Все різноманіття чинників можна умовно розділити на наступні групи:
· Фактори, які стосуються самому живому праці або особисті фактори («людський фактор»);
· Фактори, пов'язані з технічному та організаційному рівню виробництва (техніко-виробничі фактори);
· Природні умови.
Фактори продуктивності праці діють постійно, оскільки прості елементи процесу праці залишаються одними і тими ж. З розвитком виробництва змінюється співвідношення між ними: посилюється роль одних і слабшає роль інших. Якщо на ранніх етапах суспільного розвитку провідна роль належала особистісним чинникам, то з розвитком продуктивності сил співвідношення факторів змінилося: зросла роль організаційно-технічних факторів у підвищенні продуктивності праці.
Це дозволяє розрізняти глобальні та локальні чинники продуктивності праці. Підставою такої класифікації служить об'єкт статистичного дослідження: чи промисловість в цілому, або її окрема ланка - промислове підприємство. Статистичні дослідження продуктивності праці на рівні народного господарства в більшій мірі враховують глобальні фактори - чисельності населення країни, ступінь його працездатності та зайнятості. Якщо ж брати окреме підприємство, то в цьому випадку локальні чинники відіграватимуть вирішальний вплив на зростання продуктивності праці: це придбані виробничі навички, кваліфікація, вік, стаж роботи, існуючі традиції працівників, їх зацікавленість підтримувати відповідний рівень продуктивності праці на своєму підприємстві і ін
Фактори, що впливають на продуктивність праці, володіють не тільки особистісної та технічної природою, а й соціально-економічної.
Соціально-економічні фактори роблять не менше, а більший вплив на зростання продуктивності праці, ніж ті, про які йшлося вище. Саме поняття соціальний фактор пов'язано з особливостями головних сторін рушійних сил розвитку суспільного ладу: ринкова чи регульована економіка з переважанням державної власності, демократичне, громадянське чи тоталітарне суспільство, принципи соціального партнерства у вирішенні виникаючих соціальних конфліктів або голе адміністрування і т.д. і т.п.
Фактори продуктивності праці можуть бути розділені на інтенсивні та екстенсивні. У схемі взаємозв'язку зазначених чинників виділяють статистичну величину середньої годинниковий вироблення робіт (інтенсивний фактор) і екстенсивну статистичну величину, якою є середня тривалість робочого дня і середня величина кількості днів роботи одного спискового робочого протягом даного періоду.
Для статистичної класифікації факторів продуктивності праці важливим принципом є їх кількісна характеристика. За цим принципом всі фактори продуктивності праці діляться на кількісні і якісні. Залежно від мети дослідження можна здійснити самі різні класифікації факторів продуктивності праці.
Основними вимогами до класифікації факторів продуктивності праці слід назвати наступні:
· Ознака (показник) повинен бути суттєвим з позиції даної пізнавальної задачі (наприклад, кваліфікація працівника та її вплив на збільшення вироблення продукції);
· Сам фактор (ознака) повинен розглядатися як якась змінна величина, яку можна виміряти і яка безпосередньо впливає на результат (у нашому прикладі ознака кваліфікація працівника може бути виміряна стажем роботи, освітою, володінням певного розряду, наукового ступеня і т.п.) .
Завдання, яке ставить дослідник факторів продуктивності праці, повинна бути теоретично обгрунтованою, а практично здійснюваної. У цьому випадку повинні бути прозорими відносини частин і цілого, тобто частини (чинники) і цілого (продуктивності праці).
Планування і облік продуктивності праці на підприємствах, установах, великих і дрібних господарських об'єднаннях здійснюються на основі відповідних інструкцій, які розробляються вищестоящими господарствами структурами, галузевими статистичними управліннями і т.п.
Відповідно до вищесказаного можна зробити висновок, що на продуктивність праці впливають:
· Зміна кількості випущеної продукції:
Σ W ₁ T ₁ Σ W ₀ T ₁       
ΔW _Q = Σ Т ₁ - Σ Т ₁
ΔW _Q - абс.ізмененіе виробітку за рахунок зміни обсягу продукції
W ₁ T ₁ - обсяг продукції отч.года
W ₀ T ₁ - обсяг продукції баз.періода
при СР-спис. чисельності отч.періода
· Зміна чисельності зайнятих на її виробництві:
Σ W ₀ T ₁ Σ W ₀ T ₀
ΔW _T = Σ Т ₁ - Σ Т ₀
                                    ΔW _T - абс.ізмененіе виробітку за рахунок змін витрат праці
                                    W ₀ T ₀ - обсяг продукції баз.періода
W ₀ T ₁ - обсяг продукції баз.періода
при СР-спис. чисельності отч.періода
Отже, загальна зміна продуктивності праці виглядає таким чином:
Σ W ₁ T ₁ Σ W ₀ T ₀
Δ W = W ₁ - W ₀ = Σ Т ₁ ÷ Σ Т ₀
Δ W - Абс.ізмененіе вироблення
Σ Q                       W ₁ - Порівн. вироблення в отч.періоде
W = Σ T                                      W ₀ - порівн. Вироблення в баз.періоде
W ₀ T ₀ - обсяг продукції баз.періода
W ₁ T ₁ - обсяг продукції отч.періода
Т ₀ - СР-спискова чисельність працівників
                 баз.періода
Т ₁ - СР-спискова чисельність працівників
отч.періода
За аналогією можна зробити висновок, що і на обсяг продукції впливають певні чинники, а саме:
· Зміна середньооблікової чисельності працівників:
Δ Q _T = (Σ T _{1-ΣT 0)} * W ₀
                                                            Δ Q _T - Абс.ізмененіе випуску продукції за рахунок динаміки чисельності працівників
                                    T ₁ - СР-спіс.чісленность отч.періода
                                                            T ₀ - СР-спіс.чілсенность баз.періода
                                                            W ₀ - вироблення баз.періода
· Зміна продуктивності праці:
Δ Q _W = (W ₁ - W ₀₎ * Σ T ₁
                                                            ΔQ _W - абс.ізмененіе випуску продукції за рахунок динаміки продуктивності праці
                                    W ₁ - Порівн. вироблення отч.періода
                                    W ₀ - Порівн. вироблення баз.періода
                                    T ₁ - СР-спіс.чісленность отч.періода
А загальна зміна випуску продукції має таку формулу:
Δ Q = Σ Q _1-Σ Q ₀
                                                            Δ Q - Абс.ізмененіе обсягу продукції
                                    Q ₁ - Обсяг продукції отч.періода
                                                            Q ₀ - обсяг продукції баз.періода
Аналіз динаміки продуктивності праці
Для характеристики зміни рівня продуктивності праці обчислюються індекси продуктивності праці. Індекс продуктивності праці виходить шляхом розподілу рівня продуктивності праці в поточному періоді на рівень продуктивності праці, прийнятий на базу порівняння. За допомогою індексів встановлюється планове завдання по зростанню продуктивності праці, здійснюється контроль за виконанням плану, характеризується динаміка продуктивності праці.
Індекси продуктивності праці, трудових витрат та обсягу продукції взаємопов'язані, що дозволяє встановити вплив (у відсотках і в абсолютних величинах) зміни продуктивності праці і трудових витрат на зміну обсягу продукції. Індивідуальний індекс продуктивності праці в натуральному вираженні (кількості продукції, виробленої в одиницю часу):
, (12)
де v _1, v ₀ - продуктивність праці в натуральному виразі в звітному і базисному періодах на окремих ділянках, які виробляють однорідну продукцію;
q _1, q ₀ - випуск продукції в натуральному вираженні в звітному і базисному періодах;
Т _1, Т ₀ - витрати праці у звітному і базисному періодах
У цьому випадку загальний індекс продуктивності праці в агрегатній формі:
(13)
У разі трудового методу вимірювання продуктивності праці, коли в якості соизмерителя праці використовують нормативну величину трудомісткості одиниці продукції в нормо-годинах, , Загальний індекс має вигляд:
(14)
Трудовий індекс продуктивності праці показує, як змінився обсяг виробничої роботи, вираженої в нормо-годинах, в середньому на одиницю фактично відпрацьованого часу.
Використання трудового методу для оцінки продуктивності праці можливе лише там, де ведеться облік витрат у розрізі окремих видів продукції. Використання цього індексу можливо, коли нормативна трудомісткість об'єктивно відображає необхідні витрати праці у конкретних виробничих умовах. Для ділянок роботи, на продукцію яких не встановлюються відпускні ціни, цей індекс є основним. Але цей індекс виражає динаміку продуктивності праці лише основних робітників, тому що тільки витрати їх праці можуть бути безпосередньо враховані при виробництві виробів кожного виду.
А. І. Ротштейн, один з основоположників вітчизняної статистики промисловості, запропонував використовувати в якості трудового соизмерителя продукції трудомісткість одиниці продукції базисного періоду, а індекс продуктивності праці розраховувати за фактичної трудомісткості за такою формулою:
, (15)
де - Індекс трудомісткості.
Індекс показує, у скільки разів змінилися витрати часу (праці) на виробництво продукції в результаті зміни її трудомісткості (продуктивності праці), або скільки% склало зниження (зростання) витрат часу на виробництво продукції з-за
зміни трудомісткості.
Оскільки трудомісткість є мірилом продуктивності, цей спосіб виміру динаміки продуктивності праці вважається теоретично найбільш обгрунтованим. Цей індекс застосовується, коли в обох порівнюваних періодах виробляється продукція однакового складу (тобто немає асортиментних зрушень). Різниця чисельника і знаменника даного індексу дозволяє визначити абсолютну економію (додаткові витрати) робочого часу у зв'язку з ростом (зниженням) продуктивності праці.
Різниця чисельника і знаменника цієї формули показує, на скільки людино-годин змінилися загальні трудовитрати на виробництво продукції в результаті зміни трудомісткості її виробництва:
(16)
Збіг індексів, розрахованих за нормативною і фактичної трудомісткості, необов'язково. Це залежить від відмінностей у співвідношеннях нормативної та фактичної трудомісткості за видами продукції.
Індивідуальний індекс продуктивності праці за зворотним показнику (по трудомісткості) має вигляд:
, (17)
де t - витрати часу на виробництво одиниці продукції (трудомісткість одиниці продукції).
Індекс показує, у скільки разів трудомісткість виробництва одиниці продукції одного виду в базисному періоді вище, ніж у звітному.
Трудовий метод вимірювання продуктивності праці використовується при розрахунку показників виконання норм виробітку робітниками-відрядниками. Виконання норм виробітку є характеристикою зростання продуктивності праці окремих робітників, бригад, ділянок, цехів.
Успішне виконання норм виробітку окремими робочими забезпечує зростання продуктивності праці в цілому по підприємству. Відсоток виконання норм виробітку обчислюється шляхом ділення часу, належного за нормами на виконаний обсяг робіт, на час, фактично витрачений на ці роботи.
Ступінь виконання норм при виготовленні різнойменної продукції визначається індексом:
(18)
Однак на основі цієї загальної формули на практиці обчислюють два показники виконання норм виробітку: змінний і вартовий.
Показник виконання змінних норм виробітку, на практиці званий відсотком виконання норм за календарним (змінному) часу, відображає ступінь виконання норм виробітку у фактично сформованих виробничих умовах, тобто при наявності всіх організаційних неполадок у виробництві (браку не з вини робітника, внутрізмінних простоїв , переведення на погодинну роботу, відхилень від нормальних умов праці тощо). Формула цього показника така:
, (19)
де - Кількість одиниць придатної продукції кожного виду;
- Основна норма часу на одиницю продукції;
- Додаткова норма часу на одиницю продукції;
- Загальна кількість людино-годин, витрачених на виправлення браку не з вини робітника;
- Загальна кількість відрядно відпрацьованих людино-годин;
- Загальна кількість людино-годин простою не з вини робітника;
- Загальна кількість людино-годин відволікання на погодинну роботу.
Показник виконання часових норм виробітку, інакше званий відсотком виконання норм по фактично відпрацьованому часу, обчислюється для того, щоб визначити, якою була б ступінь виконання норм виробітку робітникам, якби в його роботі не було організаційних проблем, які не залежать від нього (шлюбу, простоїв , перемикання на погодинну роботу). Його формула наступна:
(20)
де - Кількість одиниць бракованої продукції не з вини робітника.
Зіставлення показників виконання змінних і часових норм виробітку дозволяє розкрити невикористані резерви зростання продуктивності праці.
Основним видом загального індексу продуктивності праці є вартісний:
, (21)
де w - продуктивність праці у вартісному вираженні,
Q = qp _C - обсяг виробництва у вартісному вимірі,
p _с - порівнянна ціна одиниці продукції.
Цей метод є універсальним. Оскільки може бути застосований на будь-якому підприємстві, а також на більш високих рівнях узагальнення - на рівні галузі, регіону, економіки в цілому. Проблема при обчисленні цього індексу - порівнянність цін, тому що ціни можуть формуватися по-різному.
У кожному виробничої одиниці облік обсягів виробництва може вестися у різних одиницях (натуральних, трудових, вартісних). Щоб уникнути необхідності перерахунку продуктивності праці в усіх підрозділах в показники по якомусь одному методу, використовують середньоарифметичний з індивідуальних індекс продуктивності праці (індекс академіка Струміліна):
, (22)
де i _w - індивідуальний індекс продуктивності праці по кожному підрозділу фірми,
T ₁ - затрати праці в підрозділах у звітному періоді, вони є вагою у цій формулі.
Оскільки чисельність працівників - універсальний показник в даному випадку, а також для розрахунку індексу необхідно знати не сам рівень продуктивності праці в кожному підрозділі, а її індекс, то індекс Струміліна може бути обчислений навіть у тому випадку, якщо в підрозділах, за яким він вважається, застосовуються різні методи вимірювання продуктивності праці - трудовий, натуральний, вартісної. Особливість цього індексу - залежність від структури витрат у звітному періоді. При різких змінах у витратах праці за окремими виробничим одиницям у порівнюваних періодах результати розрахунку зведених показників продуктивності праці по підприємству в цілому по вартісному методом та за методом Струміліна можуть істотно відрізнятися через вплив структурних зрушень у розподілі персоналу по окремим виробничим одиницям.
Для оцінки динаміки продуктивності праці працівників у сфері туристичних послуг пропонується використовувати комплексний показник динаміки ефективності праці, який означає рівень ефективності використання робочої сили в цій галузі (регіоні) [20]. Він являє собою среднегеометрических величину добутку індексів продуктивності праці у вартісній та натуральній оцінкою, обчислених за один і той же період:
, (23)
де К _П - комплексний показник динаміки ефективності праці,%;
- Індекс зміни продуктивності праці у вартісній оцінці,%;
- Індекс зміни продуктивності праці в натуральному вираженні,%.

3. Методи, застосовувані у вивченні продуктивності праці.
Натуральний метод.
Перевага цього методу - простота розрахунку, наочність, об'єктивність вимірювання рівня продуктивності праці. Використовують натуральні та умовно-натуральні показники продукції. Вони дають можливість визначити рівень і динаміку продуктивності праці за окремими видами однорідної продукції.
Натуральний метод найбільш точно відповідає змісту категорій праці. Він відображає ефективність конкретної праці при виробництві конкретних видів продукції.
Але він може застосовуватися тільки на підприємствах, дільницях, виробництвах, у галузях, де виробляється однорідна продукція або ведеться облік витрат робочого часу за кожним видом виробленої продукції. Такий метод застосовується на підприємствах транспорту, у видобувній, обробній промисловості, при характеристиці окремих видів робіт у будівництві, транспортному і сільському господарстві, при аналізі виконання норм виробітку групами робітників, що виконують однакові операції.
При виробництві різнорідної продукції натуральні показники не можуть бути використані для узагальнення рівня і динаміки продуктивності праці.
Якщо порівнюються підприємства, що випускають однакову продукцію, що розрізняються по повноті циклу виробництва, то натуральні показники продуктивності праці виявляються непорівнянними. Перехід на випуск однойменних виробів підвищеної якості при однаковому обсязі виробництва не відбивається в натуральних показниках продуктивності праці.
Розширення можливостей показників продуктивності праці виходить при використанні умовно-натурального виміру продукції.
           q
W = T                        W - вироблення в нат.показателях
                                    q - обсяг продукції в нат.показателях (т, кг, л)
Т - кількість витраченої праці (осіб / год)
Натуральний індекс продуктивності праці буде виглядати таким чином:
                 q ₁         q ₀
I ^нат. = T ₁ ÷ T ₀
I ^нат - нат.індекс продуктивності праці
q ₀ - обсяг продукції в нат.показателях
баз.період
q ₁ - обсяг продукції в нат.показателях
отч.періода
Т ₀ - у витраченої праці отч.період
Т ₁ - у витраченої праці баз.періода
ІНДЕКСИ ВИРОБНИЦТВА ПО ОКРЕМИХ ВИДІВ ЕКОНОМІЧНОЇ ДІЯЛЬНОСТІ (у відсотках до попереднього року)

	2002	2003	2004	2005	2006
Обробні виробництва 1)	101,1	110,3	110,5	105,7	104,4
з них:
виробництво харчових продуктів,	107,2	106,9	104,4	104,4	105,4
включаючи напої, і тютюну
текстильне і швейне виробництво	97,5	101,2	96	98,5	107,3
виробництво шкіри, виробів зі шкіри та	111,4	111,5	99,4	97,3	116,7
виробництво взуття
целюлозно-паперове виробництво;	104,1	107,8	105,1	101,1	106,4
видавнича та поліграфічна
діяльність
виробництво машин та устаткування	91,2	119	121,1	99,9	103,3

Вартісний метод.
Вартісний метод найбільш універсальний, дозволяє виміряти продуктивність праці при виробництві різнорідної продукції, забезпечує отримання зведених даних по галузям, територіям і економіці в цілому. Вартісні показники продукції дозволяють одержати узагальнюючі характеристики продуктивності праці по підприємствах, галузях економіки та економічним районам. При використанні грошових вимірників продукції для вивчення динаміки продуктивності праці або при характеристиці виконання планових завдань необхідно усувати вплив зміни цін, тобто використовувати дані про вартість виробленої продукції в порівнянних цінах.
Вартісний метод отримав своє поширення на рівні міністерств, галузей, територій, промисловості в цілому. Важливе значення вартісного показника продуктивності праці - можливість його розрахунку за будь-якою номенклатурі його найменування. Це і дає можливість отримання зведених характеристик у розрізі галузей макроекономіки.
Вироблення продуктивності праці у вартісному вираженні має такий вигляд:
     qp
W = T                         W - Вироблення у вартісному вираженні
                                    qp - обсяг продукції в ден.вираженіі (грн.)
Т - СР-спис. чисельність робітників
Вартісний індекс продуктивності праці має такий вигляд:
q ₁ р q ₀ p
I ^{стоїмо ..} = Т ₁ ÷ Т ₀
I ^{стоїмо.} - вартісної індекс
q ₀ p - обсяг продукції баз.періода
        в порівняних цінах
q ₁ p - обсяг продукції отч.періода
        в порівняних цінах
Т ₀ - витрати праці баз.періода
Т ₁ - затрати праці отч.періода
Статистичні дані по Москві і Московській областю (динаміка продуктивності праці на даній території):

	2005		2006
	Чисельність економічно активного населення *, тис.чол.	Валовий регіональний продукт **, млн. руб.	Чисельність економічно активного населення, тис.чол.	Валовий регіональний продукт ***, млн. руб.
м. Москва	4432	1999995	4391	2441000
Московська обл.	3434	370817	3527	447100

1. Рівень і динаміка продуктивності праці.
м.Москва:
ВРП ₂₀₀₅       1999995
W ₂₀₀₅ = ЕАН ₂₀₀₂ = 3434 = 451,2624 тис.руб.на1чел.
ВРП ₂₀₀₃       2441000
W ₂₀₀₆ = ЕАН ₂₀₀₃ = 4391 = 555,9098 тис.руб.на1чел.
W ₂₀₀₃ 555,9098
I ^{стоїмо.} = W ₂₀₀₂ = 451,2624 = 1,2319 (123,19%)
Московська обл.:
ВРП ₂₀₀₂       370817
W ₂₀₀₅ = ЕАН ₂₀₀₂ = 3434 = 107,9840 тис.руб.на1раб.
ВРП ₂₀₀₃       447100
W ₂₀₀₆ = ЕАН ₂₀₀₃ = 3527 = 126,7650 тис.руб.на1раб.
I ^{стоїмо.} = W ₂₀₀₂ = 107,9840 = 1,174 (117,40%)
Висновок: За Москві і області відзначається динамічне зростання продуктивності праці.
У Москві продуктивність праці збільшилася на 23,19%, тому що вироблення в 2005р. становила 451,2624 тис.руб. на 1 людину, а в 2006р. вона зросла до 555,9098 тис.руб. на 1 людину.
Трохи нижче продуктивність праці по Московській обл .. Динаміка продуктивності праці склала 117,40% завдяки збільшенню виробітку від 107,9840 тис.руб. на 1 людину до 126,7650 тис.руб. на 1 людину.
Ці дані представлені у вигляді діаграми:
SHAPE \ * MERGEFORMAT

Продуктивність праці за

Московському регіону (200 5 -200 червня рр..)

451,2624

555,9098

107,984

126,765

0

100

200

300

400

500

600

200 5 р. 200 6 р.

Вироблення (тис.руб.)

м.Москва

Московська обл.

Трудовий метод.
Трудові показники продуктивності засновані на вимірі обсягу виробленої продукції в нормо-годинах робочого часу. Трудові показники продуктивності визначаються по одному або декількох видів однорідної продукції. Соизмеритель різних видів продукції або робіт при цьому є нормативна трудомісткість, яка відображає витрати праці на випуск одиниці продукції. Продуктивність праці визначається:
, (1)
де q - кількість одиниць продукції кожного виду;
t _Н - норма часу на одиницю продукції кожного виду,
ST - час, відпрацьований за даний період.
Дріб в правій частині показує вироблення в нормо-годинах на одиницю фактичних витрат робочого часу, по суті, це зворотний показник виконанню норм виробітку.
Трудовий метод забезпечує можливість вимірювання продуктивності праці при випуску різнойменної продукції, ізолюючи при цьому вплив всіх факторів, що не залежать від робітників (вартість спожитих матеріалів).
Витрати праці працівників підприємства можуть бути виражені:
· Кількістю відпрацьованих людино-годин;
· Кількістю відпрацьованих людино-днів;
· Середньообліковою чисельністю працівників за місяць (квартал, рік і
інший календарний період).
Трудовий метод використовується в тих випадках, коли на підприємстві виробляється велика кількість продукції, асортимент якої часто змінюється. Цей метод заснований на вимірюванні вироблення продукції в норма-годинах робочого часу. Він застосовується, якщо на кожний вид продукції встановлено тимчасової норматив (нормативна трудомісткість). У цьому випадку загальний обсяг виробленої продукції розраховується наступним чином:
qt _н = t _н * Q                   qt _н - обсяг продукції в трудовому вираженні
                                    t _н - нормативна трудомісткість
                                    Q - Кількість виробленої продукції
А рівень продуктивності праці ухвалить наступний вигляд: qt _н
^W. = T                         W - вироблення в трудовому вираженні
Т - кількість витраченого праці
В якості трудових вимірників обсягу продукції використовується нормативна трудомісткість по конкретних видах продукції або фактична трудомісткість базисного періоду.
При використанні для вимірювання продукції нормативної трудомісткості індекс праці набуде вигляду:
               q ₁ t _н   q ₀ t _н
I ^t _н = Т ₁ ÷ Т ₀
                                                            I ^t _н - індекс нормативної трудомісткості
q ₀ t _н - обсяг продукції баз.періода
при нормативній трудомісткості
q ₁ t _н - обсяг продукції отч.періода
при нормативній трудомісткості
Т ₀ - у витраченої праці баз.періода
Т ₁ - у витраченої праці отч.періода
Використовуючи як соизмерителя продукції трудомісткість базисного періоду отримуємо наступну формулу:
  q ₁ t ₀ q ₀ t ₀ q ₁ t ₀ q ₀ t ₀ q ₁ t ₀
I ^t ₀ = Т ₁ ÷ Т ₀ = q ₁ t ₁ ÷    q ₀ t ₀ = q ₁ t ₁
                                                            I ^t ₀ - Індекс фактичної трудомісткості
q ₀ t ₀ - фактичний обсяг продукції баз.періода
                                                            q ₁ t ₀ - можливий обсяг продукції отч.періода
при баз.трудоемкості
q ₁ t ₁ - Фактичний обсяг продукції отч.
У залежності від того, чим вимірюються витрати, розрізняють такі показники виробітку (продуктивності праці):
· Середня годинна вироблення відображає результати праці одного
робітника за годину фактичної роботи. Вона дорівнює відношенню обсягу виробленої продукції до числа людино-годин, фактично відпрацьованих протягом даного періоду часу
(2).
Характеризує середню вироблення одного робочого за одну годину фактичної роботи (виключаючи час внутрішньозмінних простоїв і перерв, але з урахуванням понаднормової роботи).
Розрахункова частина
Завдання 1. Дослідження структури сукупності.
Завдання 2. Виявлення наявності кореляційного зв'язку між ознаками, встановлення напрямку зв'язку та оцінка її тісноти.
Завдання 3. Застосування методу вибіркових спостережень.
При проведенні статистичного спостереження за діяльністю організацій одного з регіонів РФ за досліджуваний період отримані вибіркові дані про випуск продукції і середньоспискової чисельністю працівників по 30-ти організаціям (вибірка 20%-ва, механічна).
У проведеному статистичному дослідженні ці організації виступають як одиниці вибіркової сукупності. Генеральну сукупність утворюють всі подібні організації регіону. Аналізованих ознакою досліджуваних одиниць сукупності є Рівень продуктивності праці організації.

Вибіркові дані представлені в табл.1. Таблиця 1
Вихідні дані

Номер організації	Середньооблікова чисельність працівників, чол.	Випуск продукції, млн. руб.	Рівень продуктивності праці, млн.руб. / чол
1	162	36,45	0,225
2	156	23,4	0,15
3	179	46,540	0,26
4	194	59,752	0,308
5	165	41,415	0,251
6	158	26,86	0,17
7	220	79,2	0,36
8	190	54,720	0,288
9	163	40,424	0,248
10	159	30,21	0,19
11	167	42,418	0,254
12	205	64,575	0,315
13	187	51,612	0,276
14	161	35,42	0,22
15	120	14,4	0,12
16	162	36,936	0,228
17	188	53,392	0,284
18	164	41,0	0,25
19	192	55,680	0,29
20	130	18,2	0,14
21	159	31,8	0,2
22	162	39,204	0,242
23	193	57,128	0,296
24	158	28,44	0,18
25	168	43,344	0,258
26	208	70,720	0,34
27	166	41,832	0,252
28	207	69,345	0,335
29	161	35,903	0,223
30	186	50,220	0,27

Завдання 1
За вихідними даними (табл.1) необхідно виконати наступне:
1. Побудувати статистичний ряд розподілу організацій з Рівню продуктивності праці, утворивши п'ять груп з рівними інтервалами.
2. Графічним методом і шляхом розрахунків визначити значення моди і медіани отриманого ряду розподілу.
3. Розрахувати характеристики ряду розподілу: середню арифметичну, середнє квадратичне відхилення, коефіцієнт варіації.
4. Обчислити середню арифметичну за вихідними даними (табл. 1.1), порівняти її з аналогічним показником, розрахованим у п. 3 для інтервального ряду розподілу. Пояснити причину їх розбіжності.
Зробити висновки за результатами виконання Завдання 1.
Виконання Завдання 1
Метою виконання даного Завдання є вивчення складу і структури вибіркової сукупності організацій шляхом побудови та аналізу статистичного ряду розподілу організацій за ознакою Рівень продуктивності праці.
1.Построеніе інтервального ряду розподілу організацій за рівнем продуктивності праці.
Для побудови інтервального варіаційного ряду, що характеризує розподіл організацій за рівнем продуктивності праці, необхідно обчислити величину і межі інтервалів ряду.
При побудові ряду з рівними інтервалами величина інтервалу h визначається за формулою
, (1)
де   - Найбільше і найменше значення ознаки в досліджуваній сукупності, k - число груп інтервального ряду.
Кількість груп k задається в умові завдання або розраховується за формулою Г. Стерджесс
k = 1 +3,322 lg n, (2)
де n - Число одиниць сукупності.
Визначення величини інтервалу за формулою (1) при заданих k = 5, _{x ma} x = 0360 тисяч руб. / чол., X _min = 0120 тисяч руб. / чол.:

При h = 0048 тисяч руб. / чол. межі інтервалів ряду розподілу мають такий вигляд (табл. 2):
Таблиця 2

Номер групи	Нижня межа, млн руб. / чол.	Верхня межа, млн руб. / чол.
1	0,12	0,168
2	0,168	0,216
3	0,216	0,264
4	0,264	0,312
5	0,312	0,36

Для побудови інтервального ряду необхідно підрахувати число організацій, що входять до кожної групи (частоти груп
Процес угруповання одиниць сукупності за ознакою Рівень продуктивності праці представлений в допоміжній (разработочной) таблиці 3 (графа 4 цієї таблиці необхідна для побудови аналітичної угруповання в Завданні 2). Таблиця 3.Разработочная таблиця для побудови інтервального ряду розподілу та аналітичної угруповання

Групи організацій за рівнем продуктивності праці.	Номер організації	Середньооблікова чисельність працівників, чол.	Випуск продукції, млн. руб.
1	2	3	4
0,12 - 0,168	15	120	14,4
	20	130	18,2
	2	156	23,4
Всього	3	406	56
0,168 - 0,216	6	158	26,86
	24	158	28,44
	10	159	30,21
	21	159	31,8
Всього	4	634	117,31
0,216 - 0,264	14	161	35,42
	29	161	35,903
	1	162	36,45
	16	162	36,936
	22	162	39,204
	9	163	40,424
	18	164	41
	5	165	41,415
	27	166	41,832
	11	167	42,418
	25	168	43,344
	3	179	46,54
Всього	12	1980	480,886
0,264 - 0,312	30	186	50,22
	13	187	51,612
	17	188	53,392
	8	190	54,72
	19	192	55,68
	23	193	57,128
	4	194	59,752
Всього	7	1330	382,504
0,312 - 0,36	12	205	64,575
	28	207	69,345
	26	208	70,72
	7	220	79,2
Всього	4	840	283,84
РАЗОМ	30	5190	1320,54

На основі групових підсумкових рядків «Разом» табл. 3 формується підсумкова таблиця 4, що представляє інтервальний ряд розподілу організацій за рівнем продуктивності праці.
Таблиця 4
Розподіл організацій за рівнем продуктивності праці

Номер групи	Групи організацій за рівнем продуктивності праці, х	Число організацій, f
1	0,12 - 0,168	3
2	0,168 - 0,216	4
3	0,216 - 0,264	12
4	0,264 - 0,312	7
5	0,312 - 0,36	4
	Разом	30

Крім частот груп в абсолютному вираженні в аналізі інтервальних рядів використовуються ще три характеристики ряду, наведені в графах 4 - 6 табл. 1.4. Це частоти груп у відносному вираженні, накопичені (кумулятивні) частоти S _j, одержувані шляхом послідовного підсумовування частот всіх попередніх (j-1) інтервалів, і накопичені частості, що розраховуються за формулою .

Таблиця 5
Структура організацій за рівнем продуктивності праці

№ групи	Групи організацій за рівнем продуктивності праці	Число організацій, f j		Накопичена частота, S j	Накопичена частоcть,%
		в абсолютному вираженні	у% до підсумку
1	2	3	4	5	6
1	0,12 - 0,168	3	10,0	3	10,0
2	0,168 - 0,216	4	13,33	7	23,33
3	0,216 - 0,264	12	40,0	19	63,33
4	0,264 - 0,312	7	23,34	26	86,67
5	0,312 - 0,36	4	13,33	30	100
	Разом	30	100,0

Висновок. Аналіз інтервального ряду розподілу досліджуваної сукупності організацій показує, що розподіл організацій за рівнем продуктивності праці не є рівномірним: переважають організації з продуктивністю праці в межах від 0,216 до 0264 тисячі руб. / чол. (Це 12 організацій, частка яких становить 40%); 23,34% з продуктивністю праці в межах від 0,264 до 0312 тисяч руб. / чол.; 23,33% організації з продуктивністю праці менше 0216 тисяч руб. / чол., А 86,67% - менше 0312 тисяч руб. / чол ..
1.2. Знаходження моди і медіани отриманого інтервального ряду розподілу графічним методом і шляхом розрахунків
Мода і медіана є структурними середніми величинами, що характеризують (поряд із середньою арифметичною) центр розподілу одиниць сукупності по досліджуваному ознакою.
Мода Мо для дискретного ряду - це значення ознаки, найбільш часто зустрічається в одиниць досліджуваної сукупності [1]. В інтервальному варіаційному ряду модою наближено вважається центральне значення модального інтервалу (що має найбільшу частоту). Більш точно моду можна визначити графічним методом по гістограмі ряду (рис.1).

Рис. 1 Визначення моди графічним методом
Конкретне значення моди для інтервального ряду розраховується за формулою:
(3)
де х _Мo - Нижня межа модального інтервалу,
h -Величина модального інтервалу,
f _Mo - частота модального інтервалу,
f _Mo-1 - частота інтервалу, що передує модальному,
f _{Mo +1} - Частота інтервалу, наступного за модальним.
Згідно табл.1.3 модальним інтервалом побудованого ряду є інтервал 0,216 - 0264 тисячі руб. / чол., Так як його частота максимальна (f ₃ = 12).
Розрахунок моди за формулою (3):
млн руб. / чол.
Висновок. Для розглянутої сукупності організацій найбільш поширений рівень продуктивності праці характеризується середньою величиною 0,245.
Медіана Ме - це значення ознаки, що припадає на середину рангового ряду. По обидві сторони від медіани знаходиться однакову кількість одиниць сукупності.
Медіану можна визначити графічним методом за кумулятивної кривої (рис. 2). Кумуляту будується по накопичених частотах (табл. 5, графа 5).

Рис. 2. Визначення медіани графічним методом
Конкретне значення медіани для інтервального ряду розраховується за формулою:
, (4)
де х _Ме - нижня межа медіанного інтервалу,
h - величина медіанного інтервалу,
- Сума всіх частот,
f _Ме - частота медіанного інтервалу,
S _Mе-1 - кумулятивна (накопичена) частота інтервалу, що передує медіани.
Для розрахунку медіани необхідно, перш за все, визначити медіанний інтервал, для чого використовуються накопичені частоти (або частості) з табл. 5 (графа 5). Так як медіана ділить чисельність ряду навпіл, вона буде розташовуватися в тому інтервалі, де накопичена частота вперше дорівнює напівсумі всіх частот або перевищує її (тобто всі попередні накопичені частоти менше цієї величини).
У демонстраційному прикладі медіанним інтервалом є інтервал 0,216 - 0264 тисячі руб. / чол., Так як саме в цьому інтервалі накопичена частота S _j = 19 вперше перевищує величину, рівну половині чисельності одиниць сукупності ( = ).
Розрахунок значення медіани за формулою (4):
млн руб. / чол.
Висновок. У розглянутій сукупності організацій половина організацій мають в середньому рівень продуктивності праці не більше 0248 тисяч руб. / чол., А інша половина - не менше 0248 тисяч руб. / чол ..
3. Розрахунок характеристик ряду розподілу
Для розрахунку характеристик ряду розподілу , Σ, σ 2, V _σ на основі табл. 5 будується допоміжна таблиця 6 ( - Середина j-го інтервалу).
Таблиця 6
Розрахункова таблиця для знаходження характеристик ряду розподілу

Групи організацій за рівнем продуктивності праці, млн. руб. / чол.	Середина інтервалу,	Число організацій, f j
1	2	3	4	5	6	7
0,12 - 0,168	0,144	3	0,432	-0,104	0,01	0,03
0,168 - 0,216	0,192	4	0,768	-0,056	0,003	0,012
0,216 - 0,264	0,24	12	2,88	-0,008	0,000064	0,000768
0,264 - 0,312	0,288	7	2,016	0,04	0,0016	0,0112
0,312 - 0,36	0,336	4	1,344	0,088	0,007744	0,030976
Разом		30	7,44	- 0,04	0,022408	0,084944

Розрахунок середньої арифметичної зваженої:

Розрахунок середнього квадратичного відхилення:

Розрахунок дисперсії:
σ2 = 0,05322 = 0,0028 млн. руб / чол.
Розрахунок коефіцієнта варіації:

Висновок. Аналіз отриманих значень показників і σ говорить про те, що середній випуск продукції організацій становить 0,248 млн. грн. / чол., відхилення від середнього рівня в ту чи іншу сторону складає в середньому 0053200 руб. / чол. (Або 21,45%), найбільш характерні значення рівня продуктивності праці перебувають у межах від 0194800 руб. / чол. до 0301200 руб. / чол. (Діапазон ).
Значення V _σ = 21,45% не перевищує 33%, отже, варіація рівня продуктивності праці в досліджуваній сукупності організацій незначна і сукупність за цією ознакою якісно однорідна. Розбіжність між значеннями , Мо і Ме незначно ( = 0248 тисяч руб. / чол, Мо = 0245 тисяч руб. / чол., Ме = 0248000 руб. \ Чол.), Що підтверджує висновок про однорідність сукупності організхацій. Таким чином, знайдене середнє значення рівня продуктивності праці (0248000 руб. / чол.) Є типовою, надійної характеристикою досліджуваної сукупності організацій.
4.Вичісленіе середньої арифметичної за вихідними даними
Для розрахунку застосовується формула середньої арифметичної простої:
(8)
Причина розбіжності середніх величин, розрахованих за формулами (8) і (5), полягає в тому, що за формулою (8) середня визначається за фактичними значеннями досліджуваного ознаки для всіх 30-ти організацій, а за формулою (5) середня обчислюється для інтервального ряду, коли в якості значень ознаки беруться середини інтервалів і, отже, показник середньої буде менш точним (за винятком випадку рівномірного розподілу значень ознаки всередині кожної групи).
Завдання 2
За вихідними даними табл. 1 з використанням результатів виконання Завдання 1 необхідно виконати наступне:
1. Встановити наявність і характер кореляційного зв'язку між ознаками Середньооблікова чисельність працівників та Випуск продукції, утворивши за кожною ознакою п'ять груп з рівними інтервалами, використовуючи методи:
а) аналітичної угруповання;
б) кореляційної таблиці.
2. Оцінити тісноту кореляційного зв'язку, використовуючи коефіцієнт детермінації і емпіричне кореляційне відношення.
Зробити висновки за результатами виконання Завдання 2.
Виконання Завдання 2
Метою виконання даного Завдання є виявлення наявності кореляційного зв'язку між факторною та результативною ознаками, встановлення напрямку зв'язку та оцінка її тісноти.
Факторний і результативний ознаки або задаються в умові завдання, або визначаються шляхом проведення попереднього теоретичного аналізу. Лише після того, як з'ясовано економічна сутність явища та визначено факторний і результативний ознаки, приступають до проведення кореляційного аналізу даних.
За умовою Завдання 2 факторингу є ознака Рівень продуктивності праці (X), результативним - ознака Випуск продукції (Y).
1. Встановлення наявності та характеру зв'язку між ознаками Рівень продуктивності праці та Випуск продукції методами аналітичної угруповання і кореляційної таблиці
1а. Застосування методу аналітичної угруповання
При використанні методу аналітичної угруповання будується інтервальний ряд розподілу одиниць сукупності за факторному ознакою Х і для кожної j-ої групи ряду визначається среднегрупповие значення результативної ознаки Y. Якщо з ростом значень фактора Х від групи до групи середні значення систематично зростають (або зменшуються), між ознаками X і Y має місце кореляційний зв'язок.
Використовуючи разработочной таблицю 3, будуємо аналітичну угруповання, що характеризує залежність між факторною ознакою Х - Рівень продуктивності праці та результативною ознакою Y - Випуск продукції. Макет аналітичної таблиці має наступний вигляд (табл. 7):
Таблиця 7
Залежність суми прибутку банків від обсягу кредитних вкладень

Номер групи	Групи організацій за рівнем продуктивності праці, х	Число організацій, f j	Випуск продукції, млн руб.
			всього	в середньому на одну організацію,
1
2
3
4
Разом

Групові середні значення отримуємо з таблиці 3 (графа 4), грунтуючись на підсумкових рядках «Усього». Побудовану аналітичну угруповання представляє табл. 8.

Таблиця 8
Залежність випуску продукції організацій від випуску продукції

Номер групи	Групи організацій за рівнем продуктивності праці, х	Число організацій, f j	Випуск продукції, млн руб.
			всього	в середньому на одну організацію,
1	2	3	4	5 = 4:3
1	0,12 - 0,168	3	56	18,666
2	0,168 - 0,216	4	117,31	29,327
3	0,216 - 0,264	12	480,886	40,073
4	0,264 - 0,312	7	382,504	54,643
5	0,312 - 0,36	4	283,84	70,96
	Разом	30	1320,54	213,669

Висновок. Аналіз даних табл. 8 показує, що зі збільшенням рівня продуктивності праці від групи до групи систематично зростає і випуск продукції в середньому по кожній групі організацій, що свідчить про наявність прямого кореляційного зв'язку між досліджуваними ознаками.
1б. Застосування методу кореляційної таблиці.
Кореляційна таблиця являє собою комбінацію двох рядів розподілу. Рядки таблиці відповідають угрупованню одиниць сукупності по факторному ознакою Х, а графи - угрупованню одиниць по результативному ознакою Y. На перетині j-го рядка та k-ої графи вказується число одиниць сукупності, що входять в j-ий інтервал по факторному ознакою і в k-ий інтервал по результативному ознакою. Концентрація частот близько діагоналі побудованої таблиці свідчить про наявність кореляційного зв'язку між ознаками. Зв'язок пряма, якщо частоти розташовуються по діагоналі, що йде від лівого верхнього кута до правого нижнього. Розташування частот по діагоналі від правого верхнього кута до лівого нижнього говорить про зворотний зв'язок.
Для побудови кореляційної таблиці необхідно знати величини і межі інтервалів за двома ознаками X і Y. Величина інтервалу і межі інтервалів для факторного ознаки Х - Рівень продуктивності праці відомі з табл. 8. Для результативного ознаки Y - Випуск продукції величина інтервалу визначається за формулою (1) при k = 5, у _{ma x} = 79200 тисяч руб., У _min = 14,4 млн руб.:

Межі інтервалів ряду розподілу результативної ознаки Y мають такий вигляд (табл. 9):
Таблиця 9

Номер групи	Нижня межа, млн руб.	Верхня межа, млн руб.
1	14,4	27,36
2	27,36	40,32
3	40,32	53,28
4	53,28	66,24
5	66,24	79,2

Підраховуючи з використанням принципу напіввідкритого інтервалу [) число банків, що входять до кожної групи (частоти груп), отримуємо інтервальний ряд розподілу результативної ознаки (табл. 10).
Таблиця 10
Розподіл організацій з випуску продукції

Групи організацій з випуску продукції, млн. руб., х	Число організацій, f j
14,4 - 27,36	4
27,36 - 40,32	8
40,32 - 53,28	9
53,28 - 66,24	6
66,24 - 79,2	3
Разом	30

Використовуючи угруповання по факторному та результативному ознаками, будуємо кореляційну таблицю (табл. 11).
Таблиця 11
Кореляційна таблиця залежності випуску продукції від рівня продуктивності праці

Групи організацій за рівнем продуктивності праці, млн руб. / чол.	Групи організацій з випуску продукції, млн. руб.
	14,4 - 27,36	27,36 - 40,32	40,32 - 53,28	53,28 - 66,24	66,24 - 79,2	Разом
0,12 - 0,168	3
0,168 - 0,216	1	3
0,216 - 0,264		5	7
0,264 - 0,312			2	5
0,312 - 0,36				1	3
Разом	4	8	9	6	3	30

Висновок. Аналіз даних табл. 11 показує, що розподіл частот груп сталося вздовж діагоналі, що йде з лівого верхнього кута в правий нижній кут таблиці. Це свідчить про наявність прямого зв'язку між рівнем продуктивності праці та випуском продукції.
2. Вимірювання тісноти кореляційного зв'язку з використанням коефіцієнта детермінації та емпіричного кореляційного відносини
Для вимірювання тісноти зв'язку між факторною та результативною ознаками розраховують спеціальні показники - емпіричний коефіцієнт детермінації і емпіричне кореляційне відношення .
Емпіричний коефіцієнт детермінації оцінює, наскільки варіація результативної ознаки Y пояснюється варіацією чинника Х (інша частина варіації Y пояснюється варіацією інших чинників). Показник розраховується як частка міжгруповий дисперсії в загальній дисперсії за формулою
, (9)
де - Загальна дисперсія ознаки Y,
- Міжгрупова (факторна) дисперсія ознаки Y.
Значення показника змінюються в межах . При відсутності кореляційного зв'язку між ознаками Х і Y має місце рівність = 0, а при наявності функціонального зв'язку між ними - рівність = 1.
Загальна дисперсія характеризує варіацію результативної ознаки, що склалася під впливом всіх діючих на Y факторів (систематичних і випадкових). Цей показник обчислюється за формулою
, (10)
де y _i - індивідуальні значення результативної ознаки;
- Загальна середня значень результативної ознаки;
n - число одиниць сукупності.
Загальна середня обчислюється як середня арифметична проста за всім одиницям сукупності:
(11)
або як середня зважена за частотою груп інтервального ряду:
(12)
Для обчислення зручно використовувати формулу (11), тому що в табл. 8 (графи 3 і 4 підсумкового рядка) є значення чисельника і знаменника формули.
Розрахунок за формулою (11):

Для розрахунку загальної дисперсії застосовується допоміжна таблиця 12.
Таблиця 12
Допоміжна таблиця для розрахунку загальної дисперсії

Номер організації п / п	Випуск продукції, млн руб.
1	2	3	4	5
1	36,45	-7,568	57,274	1328,602
2	23,4	-20,618	425,101	547,56
3	46,54	2,522	6,360	2165,971
4	59,752	15,734	247,558	3570,301
5	41,415	-2,603	6,775	1715,202
6	26,86	-17,158	294,396	721,459
7	79,2	35,182	1237,773	6272,64
8	54,72	10,702	114,532	2994,278
9	40,424	-3,594	12,916	1634,099
10	30,21	-13,808	190,660	912,644
11	42,418	-1,6	2,56	1799,286
12	64,575	20,557	422,590	4169,930
13	51,612	7,594	57,668	2663,798
14	35,42	-8,598	73,925	1254,576
15	14,4	-29,618	877,225	207,36
16	36,936	-7,082	50,154	1364,268
17	53,392	9,374	87,871	2850,705
18	41	-3,018	9,108	1681
19	55,68	11,662	136,002	3100,262
20	18,2	-25,818	666,569	331,24
21	31,8	-12,218	149,279	1011,240
22	39,204	-4,814	23,174	1536,953
23	57,128	13,11	171,872	3263,608
24	28,44	-15,578	242,674	808,833
25	43,344	-0,674	0,454	1878,702
26	70,72	26,702	712,996	5001,318
27	41,832	-2,186	4,778	1749,916
28	69,345	25,327	641,456	4808,729
29	35,903	-8,115	65,853	1289,025
30	50,22	6,202	38,464	2522,048
Разом	1320,54	0	7028,017	65155,553

Розрахунок загальної дисперсії за формулою (10):

Загальна дисперсія може бути також розрахована за формулою
,
де - Середня з квадратів значень результативної ознаки,
- Квадрат середньої величини значень результативної ознаки.
Для демонстраційного прикладу


Тоді

Міжгрупова дисперсія вимірює систематичну варіацію результативної ознаки, яка обумовлена ​​впливом ознаки-фактора Х (по якому зроблена угруповання). Вплив чинника Х на результативний ознака Y проявляється у відхиленні групових середніх від загальної середньої . Показник обчислюється за формулою
, (13)
де -Групові середні,
- Загальна середня,
-Число одиниць у j-ій групі,
k - число груп.
Для розрахунку міжгруповий дисперсії будується допоміжна таблиця 13 При цьому використовуються групові середні значення з табл. 8 (графа 5).
Таблиця 13
Допоміжна таблиця для розрахунку міжгруповий дисперсії

Групи організацій за рівнем продуктивності праці	Число організацій,	Середнє значення в групі
1	2	3	4	5
0,12 - 0,168	3	18,666	-25,352	1928,171
0,168 - 0,216	4	29,327	-14,691	863,301
0,216 - 0,264	12	40,073	-3,945	186,756
0,264 - 0,312	7	54,643	10,625	790,234
0,312 - 0,36	4	70,96	26,942	2903,485
Разом	30			6671,947

Розрахунок міжгруповий дисперсії за формулою (11):

Розрахунок емпіричного коефіцієнта детермінації за формулою (9):
або 94,9%
Висновок. 94,9% варіації випуску продукції організацій обумовлена ​​варіацією рівня продуктивності праці, а 5,1% - впливом інших неврахованих факторів.
Емпіричне кореляційне відношення оцінює тісноту зв'язку між факторною та результативною ознаками і обчислюється за формулою
(14)
Значення показника змінюються в межах . Чим ближче значення до 1, тим тісніше зв'язок між ознаками. Для якісної оцінки тісноти зв'язку на основі служить шкала Чеддока (табл. 14):
Таблиця 14
Шкала Чеддока

h	0,1 - 0,3	0,3 - 0,5	0,5 - 0,7	0,7 - 0,9	0,9 - 0,99
Характеристика сили зв'язку	Слабка	Помірна	Помітна	Тісний	Дуже тісний

Розрахунок емпіричного кореляційного відносини за формулою (14):
або 97,4%
Висновок. Згідно зі шкалою Чеддока зв'язок між рівнем продуктивності праці та випуском продукції організацій є дуже тісною.
Завдання 3
За результатами виконання Завдання 1 з ймовірністю 0,954 необхідно визначити:
1) похибку вибірки середнього рівня продуктивності праці і межі, в яких буде перебувати продуктивність праці у генеральній сукупності.
2) похибку вибірки частки організацій з рівнем продуктивності праці 0264000 руб. / чол і більше, а також кордонів, в яких буде перебувати генеральна частка.
Виконання Завдання 3
Метою виконання даного Завдання є визначення для генеральної сукупності організацій регіону кордонів, в яких перебуватимуть величина середнього рівня продуктивності праці організацій і частка організацій з рівнем продуктивності праці не менше 0264 тисячі руб. / чол.
1. Визначення помилки вибірки середнього рівня продуктивності праці організацій і межі, в яких буде перебувати генеральна сукупність.
Застосування вибіркового методу спостереження завжди пов'язано з встановленням ступеня достовірності оцінок показників генеральної сукупності, отриманих на основі значень показників вибіркової сукупності. Достовірність цих оцінок залежить від репрезентативності вибірки, тобто від того, наскільки повно і адекватно представлені у вибірці статистичні властивості генеральної сукупності. Як правило, генеральні і вибіркові характеристики не збігаються, а відхиляються на деяку величину ε, яку називають помилкою вибірки (помилкою репрезентативності).
Значення ознак одиниць, відібраних з генеральної сукупності у вибіркову, завжди випадкові, тому й статистичні характеристики вибірки випадкові, отже, і помилки вибірки також випадкові. Зважаючи на це прийнято обчислювати два види помилок - середню і граничну .
Середня помилка вибірки - Це середнє квадратичне відхилення всіх можливих значень вибіркової середньої від генеральної середньої, тобто від свого математичного сподівання M [ ].
Величина середньої помилки вибірки розраховується диференційовано (за різними формулами) в залежності від виду і способу відбору одиниць з генеральної сукупності у вибіркову.
Для власне-випадкової і механічної вибірки з бесповторного способом відбору середня помилка вибіркової середньої визначається за формулою
, (15)
де - Загальна дисперсія вибіркових значень ознак,
N - кількість одиниць у генеральній сукупності,
n - число одиниць у вибірковій сукупності.
Гранична помилка вибірки визначає межі, в межах яких буде перебувати генеральна середня:
,
, (16)
де - Вибіркова середня,
- Генеральна середня.
Межі задають довірчий інтервал генеральної середньої, тобто випадкову область значень, яка з вірогідністю Р гарантовано містить значення генеральної середньої. Цю ймовірність Р називають довірчою ймовірністю або рівнем надійності.
В економічних дослідженнях найчастіше використовуються довірчі ймовірності Р = 0.954, Р = 0.997, рідше Р = 0,683.
У математичній статистиці доведено, що гранична помилка вибірки Δ кратна середньої помилку μ з коефіцієнтом кратності t (званим також коефіцієнтом довіри), який залежить від значення довірчої ймовірності Р. Для граничної помилки вибіркової середньої це теоретичне положення виражається формулою

(17)
Значення t обчислені заздалегідь для різних довірчих ймовірностей Р і протабуліровани (таблиці функції Лапласа Ф). Для найбільш часто використовуваних рівнів надійності Р значення t задаються таким чином (табл. 15):
Таблиця 15

Довірча ймовірність P	0,683	0,866	0,954	0,988	0,997	0,999
Значення t	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5

За умовами задачі вибіркова сукупність налічує 30 організацій, вибірка 20% механічна, отже, генеральна сукупність включає 150 організацій. Вибіркова середня , Дисперсія визначені в Завданні 1 (п. 3). Значення параметрів, необхідних для вирішення задачі, представлені в табл. 16:
Таблиця 16

Р	t	n	N
0,954	2	30	150	0,248	-, 0028

Розрахунок середньої помилки вибірки за формулою (15):
,
Розрахунок граничної помилки вибірки за формулою (17):

Визначення за формулою (16) довірчого інтервалу для генеральної середньої:
0,248-0,00015 0,248 +0,00015
0247850 руб. / чол. 0248150 крб.
Висновок. На підставі проведеного вибіркового обстеження організацій регіону з ймовірністю 0,954 можна стверджувати, що для генеральної сукупності організацій середній рівень продуктивності праці знаходиться в межах від, 024785 млн руб. / чол. до 0248150 руб. / чол.
3. Визначення помилки вибірки частки організацій з рівнем продуктивності праці 0264000 руб. / чол і більше, а також кордонів, в яких буде перебувати генеральна частка.
Частка одиниць вибіркової сукупності, які мають тим чи іншим заданою властивістю, виражається формулою
, (18)
де m - число одиниць сукупності, які мають заданою властивістю;
n - загальне число одиниць у сукупності.
Для власне-випадкової і механічної вибірки з бесповторного способом відбору гранична помилка вибірки частки одиниць, що володіють заданою властивістю, розраховується за формулою
, (19)
де w - частка одиниць сукупності, які мають заданою властивістю;
(1 - w) - частка одиниць сукупності, що не володіють заданою властивістю,
N - кількість одиниць у генеральній сукупності,
n - число одиниць у вибірковій сукупності.
Гранична помилка вибірки визначає межі, в межах яких буде перебувати генеральна частка р одиниць, які мають заданою властивістю:
(20)
4. За умовою Завдання 3 досліджуваним властивістю є рівність або перевищення рівня продуктивності праці величини 0264000 руб. / чол.
Число організацій з заданою властивістю визначається з табл. 3 (графа 3):
m = 11
Розрахунок вибіркової частки за формулою (18):

Розрахунок за формулою (19) граничної помилки вибірки для частки:

Визначення за формулою (20) довірчого інтервалу генеральної частки:

0,21 0,524
або
21% 52,4%
5. Висновок. З ймовірністю 0,954 можна стверджувати, що в генеральній сукупності організацій частка організацій з рівнем продуктивності праці 0264000 руб. / чол. і вище буде перебувати в межах від 21% до 52,4%.
Завдання 4
За вихідними даними табл. 17 необхідно виконати наступне:
1. Визначити рівні середньогодинної, середньоденний і середньорічної продуктивності праці, їх динаміку і взаємозв'язок. Розрахунки представити в таблиці.
2. Визначити абсолютний приріст середньорічної продуктивності праці одного працівника за рахунок окремих факторів (середньогодинної продуктивності праці робітника, середньої тривалості робочого дня, і робочого року, частки робітників у загальній чисельності працівників).
Зробити висновки за результатами виконання Завдання 4.
Таблиця 17
Є такі дані по організації за два роки:

№ п / п	Показники	Базисний рік	Звітний рік
1.	Випуск продукції (в порівняних цінах), млн. руб.	40,8	54,2
2.	Середньооблікова чисельність працівників, чол.	164	180
3.	У тому числі робітників, чол.	130	145
4.	Відпрацьовано робітниками люд.-днів	31200	33060
5.	Відпрацьовано робітниками люд.-год	240 240	261 174

Виконання Завдання 4.
1 частина.
· Середня годинна вироблення відображає результати праці одного
робітника за годину фактичної роботи. Вона дорівнює відношенню обсягу виробленої продукції до числа людино-годин, фактично відпрацьованих протягом даного періоду часу

· Середня денна вироблення. Вона дорівнює відношенню обсягу
виробленої продукції до числа людино-днів, фактично відпрацьованих усіма робітниками підприємствами.

· Середня вироблення за період часу (середньомісячна, среднеквартальной, середньорічна) одного спискового робітника або працівника всього персоналу, безпосередньо пов'язаного з виробництвом даної продукції (промислово-виробничого персоналу). Вона дорівнює відношенню обсягу продукції до середньооблікової чисельності робітників (Т _Р) або працівників промислово - виробничого персоналу (Т _ППП) відповідно.

або


1.Средняя годинна вироблення:
- Базисний період
= 40,8 / 240240 = 0,0001 млн. руб.
- Звітний період
= 54,2 / 240240 = 0,0002 млн. руб.
2.Средняя денний виробіток.
- Базисний період
= 40,8 / 31200 = 0,0013 млн. руб.
- Звітний період
= 54,2 / 33060 = 0,0016 млн. руб.
3. Середній виробіток за рік одного спискового робітника
- Базисний період
= 40,8 / 164 = 0,2488 млн. руб.
- Звітний період
= 54,2 / 180 = 0,3011 млн. руб.
4. Середній виробіток за рік працівника всього персоналу, безпосередньо пов'язаного з виробництвом даної продукції
- Базисний період
= 40,8 / 130 = 0,3138 млн. руб.
- Звітний період
= 54,2 / 145 = 0,3738 млн. руб.

Визначення динаміки розрахованих показників та їх
взаємозв'язку.
У разі трудового методу вимірювання продуктивності праці, коли в якості соизмерителя праці використовують величину трудомісткості одиниці продукції у люд.-годинах, чол-днях, ср.виработкі за рік.
I = v1 / v2
де v _1, v ₀ - продуктивність праці в натуральному виразі в звітному і базисному періодах;
Індекс показує, у скільки разів змінилися витрати часу (праці) на виробництво продукції в результаті зміни її трудомісткості (продуктивності праці), або скільки% склало зниження (зростання) витрат часу на виробництво продукції з-за зміни трудомісткості.

1) Динаміка середньої годинниковий вироблення:
I = 0,0002 / 0,0001 = 2 млн. руб.
2) Динаміка середньої денної виробітку:
I = 0,0016 / 0,0013 = 1,2307 млн. руб.
3) Динаміка середнього виробітку за рік одного спискового робітника:
I = 0,3011 / 0,2488 = 1,2102 млн. руб.
4) Динаміка середнього виробітку за рік одного спискового робітника:
I = 0,3738 / 0,3138 = 1,1912 млн. руб.
Між показниками годинний, денний виробітку одного робітника підприємства існують наступні взаємозв'язки:
Середньоденна вироблення пов'язана з середньогодинної:
,
ПРД - середня фактична тривалість робочого дня в людино-годинах.
У базисному періоді ПРД = 240240 / 31200 = 7,7 чол - ч.
У звітному періоді ПРД = +261174 / 33060 = 7,9 чол - ч.
Таким чином,
У базисному періоді:
Wд = 0,0001 × 7,7 = 0,00077
У звітному періоді:
Wд = 0,0002 × 7,9 = 0,00158
Середній виробіток одного робітника за період пов'язана з середньоденний і середньогодинної:

ПРП - середня фактична тривалість робочого періоду в людино-днях (середнє число днів фактичної роботи на одного спискового робітника за період)
У базисному періоді ПРП = 31200 / 164 = 190,24 чол - днів.
У звітному періоді ПРП = 33060 / 180 = 183,66 чол - днів
У базисному періоді:
W = 0,00077 × 190,24 = 0,1465 або W = 0,0001 × 7,7 × 190,24 = 0,1465
У звітному періоді:
W = 0,00158 × 183,66 = 0,2902 або W = 0,0002 × 7,9 × 183,66 = 0,2902
Середній виробіток одного працівника промислово-виробничого персоналу за період пов'язана з показниками середньої вироблення робітників:
, (8)
де -Виробіток на одного працівника промислово-виробничого персоналу за період;
- Частка робітників у загальній чисельності промислово-виробничого персоналу;
У базисному періоді: d робочих = 130 / 164 = 0,7927
У звітному періоді: d робочих = 145 / 180 = 0,8055
У базисному періоді:
W ппп = 0,7927 × 190,24 × 7,7 × 0,0001 = 0,1161
У звітному періоді:
W ппп = 0,8055 × 183,66 × 7,9 × 0,0002 = 0,2337

Показники	Базовий період	Звітний період	Індекс динаміки
Середня годинна вироблення	0,0001	0,0002	2
Середня денна вироблення	0,0013	0,0016	1,2307
Середній виробіток за рік одного спискового робітника	0,2488	0,3011	1,2102
Середній виробіток за рік працівника всього ППП.	0,3138	0,3738	1,1912
Взаємозв'язок середовищ / днев. і середовищ / год. виробки.	7,7	7,9
Взаємозв'язок середнього виробітку одного робітника за рік з середовищ / днев. і середовищ / год.	0,1465	0,2902
Взаємозв'язок середнього виробітку одного робітника ППП за рік з показниками середньої вироблення робочих	0,1161	0,2337

Висновок:
На підставі вихідних даних були визначені рівні середньогодинної, середньоденний і середньорічної продуктивності праці, а також їх динаміка і взаємозв'язок.
За час з базового до звітного періоду відбулося
- Збільшення середньогодинної виробки з 0,0001 до 0,0002 млн. руб, з індексом динаміки рівним 2;
- Збільшення середньоденної виробки з 0,0013 до 0,0016 млн. руб, з індексом динаміки рівним 1,2307
- Збільшення середнього виробітку за рік одного спискового працівника з 0,2488 до 0,3011 млн. руб, з індексом динаміки рівним 1,2102
- Збільшення середнього виробітку за рік одного спискового працівника з 0,3138 до 0,3738 млн. руб, з індексом динаміки рівним 1,1912
- Збільшення середнього виробітку за рік одного спискового працівника з 0,3138 до 0,3738 млн. руб, з індексом динаміки рівним 1,1912
- Середня тривалість робочого дня збільшилася з 7,7 чол-годин до 7,9 люд.-годин
2 частина.
Визначити абсолютний приріст середньорічної продуктивності праці одного працівника за рахунок окремих факторів (середньогодинної продуктивності праці робітника, середньої тривалості робочого дня, і робочого року, частки робітників у загальній чисельності працівників).

	Базисний період	Звітний період	Абсолютний приріст
Середньогодинна продуктивність праці робітника, млн. руб.	0,0001	0,0002	0,0001
Середня тривалість робочого дня, люд - годину	7,7	7,9	0,2
Середня тривалість робочого року, чол - дн.	190,24	183,66	-6,58
Частка робітників у загальній чисельності працівників,%	79,27	80,55	1,28

1. Абсолютний приріст Среднечасовой продуктивності праці робітника з базисного періоду за звітний склав:
0,0002 - 0,0001 = 0,0001 млн. руб.
2. Абсолютний приріст Середньої тривалості робочого дня з базисного періоду за звітний склав:
7,9 - 7,7 = 0,2 чол - годину.
3. Абсолютний приріст Середньої тривалості робочого року з базисного періоду за звітний склав:
183,66 - 190,24 = - 6,58 чол - дн.
4. Абсолютний приріст Долі робітників у загальній чисельності працівників з базисного періоду за звітний склав:
80,55 - 79,27 = 1,28%
Висновок:
Визначила абсолютний приріст середньорічної продуктивності праці одного працівника за рахунок окремих чинників:
середньогодинна продуктивність праці робітника 0,0001 млн. руб,
середня тривалість робочого дня 0,2 чол-годину,
середня тривалість робочого року - 6,58 чол-дн,
частка робітників у загальній чисельності працівників 1,28%.

Література
1. Гусаров В.М. Статистика: Підручник. - М.: Юніті-дана, 2001
2. Яковлєв Г.А. Економіка і статистика туризму: Навчальний посібник. - М.: Видавництво РДЛ, 2002
3. Інтернет ресурси.

---

[1] Якщо в дискретному ряді всі варіанти зустрічаються однаково часто, то в цьому випадку мода відсутня. Можуть бути розподілу, де не один, а два (або більше) варіанти мають найбільші частоти. Тоді ряд має дві (або більш) моди, розподіл є бімодальному (або багатомодальну), що вказує на якісну неоднорідність сукупності по досліджуваному ознакою.