Рішення задач в системі MathCad

1. Знайти значення коефіцієнта регресії (b) та зведеного члена рівняння регресії (а)

2. Визначити стандартну помилку передбачення є мірою якості реальної залежності величинами Y і х за допомогою рівняння лінійної регресії.

3. Перевірити значимість коефіцієнта регресії при р = 0,05

4. Визначити вибірковий коефіцієнт Браве-Пірсона. Перевірити гіпотезу про значущість вибіркового коефіцієнта кореляції при рівні значущості р = 0,05.

Лінійна регресія

Проста лінійна регресія дозволяє знайти лінійну залежність між однією вхідний і вихідний однієї змінними. Для цього визначається рівняння регресії - це модель, що відображає залежність значень Y, залежною величини Y від значень х, незалежної змінної х і генеральної сукупності, описується вирівняний:

де А0 - вільний член рівняння регресії;

А1 - коефіцієнт рівняння регресії

Потім будується відповідна пряма, звана лінією регресії. Коефіцієнти А0 та А1, звані також параметрами моделі, вибираються таким чином, щоб сума квадратів відхилень точок, що відповідають реальним спостереженням даних, від лінії регресії, була б мінімальною. Підбір коефіцієнтів проводиться за методом найменших квадратів. Іншими словами, проста лінійна регресія описує лінійну модель, яка найкращим чином апроксимує залежність між однією вхідний і вихідний однієї змінними.

Цілі регресійного аналізу

• Визначення наявності та характеру (математичного рівняння, що описує залежність) зв'язку між змінними

• Визначення ступеня детермінованості варіації крітеральной змінної предикторами

• Передбачити значення залежної змінної з допомогою незалежної

• Визначити внесок незалежних змінних в варіацію залежної

1. Знайдемо значення коефіцієнта регресії (А ) і зведеного члена рівняння регресії (А )

1. Представлення вихідної інформації у вигляді векторів

2. Визначення суми елементів векторів і творів векторів:

3. Визначення параметрів рівняння регресії

4. Вільний член рівняння регресії А 

5. Коефіцієнт рівняння регресії А 

6. Графічне зображення лінії рівняння регресії і точок кор-реляції

Визначимо параметри рівняння регресії А  і А  за допомогою вбудованих функцій системи MathCad

• intercept (X, Y) - коефіцієнт А  лінійної регресії;

• slope (X, Y) - коефіцієнт А  лінійної регресії;

• corr (X, Y) - коефіцієнт кореляції

1. Визначення вільного члена рівняння регресії А  за допомогою вбудованої функції intercept (X. Y)

2. Визначення коефіцієнта рівняння регресії А  за допомогою вбудованої функції slope (X. Y)

3. Визначимо коефіцієнт кореляції R за допомогою вбудованої функції corr (X, Y)

2. Визначимо стандартну помилку передбачення є мірою якості реальної залежності величинами Y і х за допомогою рівняння лінійної регресії.

Мірою якості наближеного опису реальної залежності між величинами Y і х за допомогою рівняння лінійної регресії є стандартне відхилення значень у від регресійної прямої, що обчислюється за формулою:

SYX є мірою точності передбачення значень випадкової величини Y за заданим значенням величини х, тому SYX називають також стандартною помилкою передбачення.

Знайдемо стандартну помилку передбачення для нашого прикладу:

3. Перевіримо значущість коефіцієнта регресії при р = 0,05

Якщо в результаті проведеної перевірки немає підстав сумніватися в адекватності лінійної моделі, то необхідно перевірити гіпотезу про те, що насправді у генеральній сукупності відсутня лінійна регресія, а те, що отриманий коефіцієнт регресії відмінний від нуля пояснюється тільки випадковістю вибірки.

Гіпотеза Н 0 перевіряється за допомогою стандартного t-критерію Стьюдента. Значення t-критерію визначається за формулою:

де А1 - абсолютна величина коефіцієнта регресії,

SYX - стандартна помилка прогнозів.

Якщо значення t> t p, то нульова гіпотеза відхиляється, і можна зробити висновок, що лінійна регресія значуща на рівні значущості р. Задамося рівнем значущості р = 0,05. В іншому випадку гіпотеза Н 0 приймається

Оцінимо значимість коефіцієнта регресії при рівні значущості р = 0,05.

Підставимо знайдені раніше значення в формулу і визначимо значення t-критерію.

t 0.05 = 2.306

Оскільки t> t 0.05, то на рівні значущості 0,05 відхиленням гіпотезу Н 0, тобто коефіцієнт регресії є статистично значущим.

1.4 Визначимо вибірковий коефіцієнт Браве-Пірсона. Перевіримо гіпотезу про значущість вибіркового коефіцієнта кореляції при рівні значущості р = 0,05.

Коефіцієнт кореляції Браве-Пірсона (RXY) - це параметр-ний показник, для обчислення якого порівнюють середні і стандартні відхилення результатів двох вимірювань.

де X i, Y i - значення першої і другої вибірок даних;

Xsr, Ysr - середні значення першої і другої вибірок.

Перевіримо гіпотезу про значущість вибіркового коефіцієнта кореляції при рівні значущості р = 0,05

Оскільки t> t 0.05, то на рівні значущості 0,05 відхиленням гіпотезу Н 0, тобто коефіцієнт регресії є статистично значущим.

ЗАДАЧА № 2

При рівні значущості р = 0,05 методом дисперсійного аналізу перевірити ефективність впливу рентгенівського опромінення на темп розмноження певного виду бактерій за даними, наведеними по таблиці, де представлений відносний рівень (у відсотках) розмноження опромінених бактерій до неопромінених.

У процесі медико-біологічних досліджень часто виникає потреба оцінити вплив на який-небудь результативний ознака одного або декількох факторів.

Одним із сучасних статичних методів, які дають можливість проводити спеціальний аналіз ефективності впливу багатьох чинників, є дисперсійний аналіз. За допомогою цього методу оцінюють також вірогідність впливу кожного з розглянутих факторів, їх комбінації і загальної сукупності. Важливою перевагою дисперсійного аналізу є можливість визначення ймовірних розбіжностей у невеликих групах експериментальних даних, коли який-небудь інший метод може дати не певну відповідь. Це пов'язано з тим, що в інших методах проводиться порівняння ізольованих груп. Об'єднання окремих груп в дисперсійний комплекс дає можливість чіткіше виявити наявність розбіжностей, тому що при такому об'єднанні виявлення розбіжностей кожної групи сприяють всі інші групи комплексу.

Сенс дисперсійного аналізу полягає в зіставленні між собою показників варіювання результативних ознак, що служить причиною дії постійних і випадкових факторів. Залежно від числа факторів, які враховуються при дисперсійному аналізі, статистичні комплекси діляться на:

• однофакторний дисперсійний аналіз з однаковим числом випробувань на рівнях;

• однофакторний дисперсійний аналіз з неоднаковим числом випробувань на рівнях;

• двофакторний дисперсійний аналіз

Нижче буде розглянуто приклад однофакторного дисперсійного аналізу з неоднаковим числом випробувань на рівнях.

Неоднакове число випробувань на рівнях.

Якщо число випробувань проведених на різних рівнях дії фактора, різна, а саме: на рівні А 1 проведено q 1 випробувань, на рівні А 2 - q 2 випробувань і т. д. на рівні А i - q i випробувань, то факторну і залишкову дисперсії знаходять за такими формулами:

Тут

- Загальна кількість результатів випробувань

- Сума значень величини Х на рівні А j;

- Сума квадратів значень величини Х на рівні А j

Визначимо величини:

Припускаючи, що розподілу значень, що характеризують ефективність рентгенівського опромінення, при кожному випробуванні є нормальними, а відповідні генеральні дисперсії рівні, застосуємо метод однофакторного дисперсійного аналізу.

1. Знайдемо загальна кількість результатів випробувань:

2. Визначимо суму значень величини х на рівні А j:

3. Визначимо суму квадратів значень величини х на рівні А j

4. Тепер можна визначити факторну і залишкову дисперсії за наступними формулами:

Оскільки слід перевірити значимість відмінностей між цими дисперсіями. Для цього обчислюємо експериментальне значення критерію

Так як це розходження між факторної і залишкової дисперсіями є значимим (при рівні значущості р = 0,05). Відповідно до методу дисперсійного аналізу нульову гіпотезу про рівність групових середніх слід відкинути, тобто відмінності між груповими середніми значимі, що відповідає наявності істотного відмінностей між ефективністю впливу рентгенівського опромінення на темп розмноження бактерій.

Висновок: Можна стверджувати, що даний фізичний фактор має суттєвий вплив на розмноження бактерій.

ЗАДАЧА № 3

Для заданої таблиці даних:

За допомогою функції genfit - системи MathCad провести нелінійну ре-гресссію загального вигляду для

f (x) = ax + b / x;

f1 (x) = ax  + bx + c;

f 3 (x) = a + Ab

Під нелінійної регресією загального вигляду мається на увазі знаходження вектора Р параметрів довільної функції F (x, u 1, u 2, ..., u n), при якому забезпечується мінімальна середньоквадратична похибка наближення "хмари" вихідних точок. Для проведення нелінійної регресії загального вигляду використовується функція genfit (X, Y, S, F1). Вона повертає вектор Р параметрів функції F, що дає мінімальну середньоквадратичне похибка наближення функцією F (x, u 1, u 2, ..., u n) вихідних даних. F повинен бути вектором з символьними елементами, причому вони повинні містити аналітичні вирази для вихідної функції і її похідних по всіх параметрах. Вектор S повинен містити початкові значення елементів вектора P, необхідні для розв'язання системи нелінійних рівнянь регресії ітераційним методом.

При вирішенні цього завдання виникають дві проблеми. Перш за все, треба обчислити значення похідних за змінними а і b. Це може бути Зробити за допомогою символьних операцій, що наочно показує користь від таких операцій. Друга проблема пов'язана з необхідністю застосування функції genfit в її стандартному вигляді. Тому довелося замінити параметр а на u 1, а параметр b на u 2 і т. д..

Приклад використання методу в середовищі Math C ad:

І СПОСІБ (Для функції - f 1 (x) = ax  + bx + c)

1. Вводимо результати вимірювань величин X і Y:

2. Вибравши функцію наближення

де a, b - шукані коефіцієнти регресії,

3. знайдемо приватні похідні цієї функції за коефіцієнтами регресії:

по а:

по b:

по з:

1

4. Введемо вектор, елементами якого є функція наближення та її похідні, переобозначив коефіцієнти регресії

u1 = a,

u2 = b,

u3 = c:

вектор F1 повинен бути вектором з символьними елементами, причому вони повинні містити аналітичні вирази для вихідної функції і її похідних по всіх параметрах.

4) Вводимо вектор з початковими наближеннями коефіцієнтів регресії (вектор S повинен містити початкові значення елементів вектора u):

5) За допомогою функції genfit (Х, Y, S, F1), знайдемо значення коефіцієнтів регресії a, b,

де X і Y - вектори експериментальних даних,

S - вектор з початковими наближеннями коефіцієнтів регресії,

F1 - вектор F1 (x, u)

6) Підставляючи знайдені значення коефіцієнтів регресії в перший елемент вектора F1 (x, u), визначте шукану функцію наближення експериментальних даних (рівняння регресії):

7) Побудуємо лінію регресії і графік експериментальних даних:

ІІ СПОСІБ (Для цієї ж функції - f 2 (x) = ax  + bx + c)

1. Знайдемо параметрів a, b по наступній системі нормальних рівнянь:

2. Щоб вирішити цю систему щодо параметрів a, b і з, потрібно попередньо розрахувати суми:

3. Складемо систему нормальних рівнянь:

4. Вирішуючи цю систему щодо коефіцієнтів a, b і з, знайдемо їх значення:

5. Звідси емпіричне рівняння параболи другого порядку таке:

6. Підставляючи в це рівняння замість х значення незалежної змінної Х, можна розрахувати очікувані величини:

   
   

7. Ці величини добре узгоджуються з фактичними даними, це можна побачити на (більш плавно йде) лінії регресії:

8. Знайдемо среднеквадратическое рівняння. СКО характеризує розкид будь-якого результату з ряду спостережень щодо середнього результату аналізу:

Для функції f 2 (x) = ax + b / x;

1. Для функції наближення (з тими ж результатами вимірювань величин X і Y)

де a, b - шукані коефіцієнти регресії,

2. Знайдемо приватні похідні цієї функції за коефіцієнтами регресії:

по а:

по b:

3. Знайдемо значення коефіцієнтів регресії a, b:

4. Рівняння регресії:

Для функції f 3 (x) = a + Ab

1. Для функції наближення (з тими ж результатами вимірювань величин X і Y)

де a, b - шукані коефіцієнти регресії,

2. Знайдемо приватні похідні цієї функції за коефіцієнтами регресії:

по а:

по b:

3. Знайдемо значення коефіцієнтів регресії a, b:

4. Рівняння регресії:

ЛІТЕРАТУРА

1. Основи математичної статистики: Навчальний посібник для by-тов фіз. культ. / Під. ред В. С. Іванова. - М.: Фізкультура і спорт, 1990. - 176., Мул.

2. Лакин Г. Ф. Біометрія: Учеб. посібник для біол спец. вузів - 4-е изд., перераб. і доп. - М.: Вища. шк., 1990. - 352 с., Мул.

3. Кирьянов Д. В. Самовчитель Mathcad І. - СПб.: БХВ-Петербург, 2003. - 560 с: іл.

4. Гурський Д. А., Турбіна Е. С. Обчислення в Mathcad 12. - СПб.: Питер, 2006. - 544 с: іл.

5. Алексєєв Є. Р., Чеснокова О. В. Рішення задач обчислювальної математики в пакетах Mathcad 12, МАТ L АВ 7, Мар1е 9/Алексеев Е. Р., Чеснокова О. В. - М.: НТ Пресс, 2006. - 496 с. : Іл. - (Самовчитель).

6. Макаров Е. Г. Інженерні розрахунки в Mathcad. Навчальний курс. - Спб.; Пітер, 2005. - 448 с.: Іл.

7. http://www.exponenta.ru/educat/systemat/kazah/matecon/2_5.asp Лабораторні роботи з курсів "Математика для економістів" і "Економіко-математичні методи і моделювання" у системі MathCAD Р.М. Оспанов

8. http://www.statsoft.ru/HOME/TEXTBOOK/modules/stmulreg.html

9. http://iskunstvo.narod.ru/edu/inf/regr.htm

10. http://edu.nstu.ru/courses/enc/control_quality/full/XX42.htm