Математичний пакет Mathcad [23, 42, 44] дозволяє фахівцям у конкретній науково-технічній галузі швидко освоїти роботу на комп'ютері і реалізувати на них математичні моделі, не вдаючись в тонкощі програмування. Mathcad - це зареєстрована торгова марка фірми MathSoft, Inc. (Http://www.mathsoft.com), що представляє собою скорочення англійської фрази: Mathematical Computer Aided Design - математичне проектування за допомогою комп'ютера.
Нижче наведені три приклади рішення типових завдань теплоенергетики [68], які дають уявлення про особливості роботи в середовищі Mathcad.
Завдання 1. Розрахунок термодинамічних властивостей води і водяної пари. Нижче представлено формування функції користувача vw (p), призначеної для визначення питомої обсягу киплячої води на лінії насичення (vw) від тиску (p), і функції hss (T, p), призначеної для визначення питомої ентальпії перегрітого пара (hss) від температури (T) і тиску (p).
Розрахунок питомої обсягу киплячої води на лінії насичення зводиться до інтерполяції (тут задіяна вбудована Mathcad-функція interp) кубічними сплайнами (cspline) табличних даних, що зберігаються у двох векторах: P - табличні значення тиску і V - табличні значення питомого об'єму. Елементи векторів - величини розмірні: тиск вимірюється в мегапаскалях (106Pa), а питома обсяг - у літрах на кілограм (m3/1000kg). У векторах P і V (вони транспоніруются з векторів-рядків у вектора-стовпці) показані тільки крайні елементи (далі будуть показані екрани дисплея, що відображають роботу в середовищі Mathcad):
Інтерполяція сплайном для визначення питомої обсягу киплячої води ведеться в діапазоні тисків від 611 Па до 22,088 МПа. Функція error відстежує значення аргументу p, перериває виконання обчислювальної процедури і видає користувальницьке повідомлення про помилку ("Тиск низька" або "Тиск високе"), якщо значення аргументу не потрапляє в обумовлений діапазон (цю роботу виконує оператор if).
Створену функцію з одним аргументом можна викликати в традиційному вигляді (функція), а також у вигляді префіксного і постфіксній операторів.
При цьому в розрахунках можливі різні розмірності тиску, обсягу і маси (тут kgf - кілограм сили, galUK - британський галон, lb - фунт і lbf - фунт сили і ft - фут). Далі представлено рішення оберненої задачі через вбудовану Mathcad-функцію root (пошук кореня рівняння) - визначення тиску при заданому значенні питомої обсягу киплячої води.
Розрахунок питомої ентальпії перегрітого пара ведеться також через кубічний сплайн, але вже двомірної інтерполяцією. Табличні значення ентропії (кілоджоулі на кілограм) заносяться в матрицю M, "боковик" якої (без першого елемента) значення температури (градуси Цельсія), а «шапка» - тиску (мегапаскалі). Далі ці значення з допомогою вбудованої функції submatrix розносяться за матрицями TP (у неї два стовпці та 18 рядків) і M (квадратна матриця з порядком 18). Так досягається компроміс між вимогами наочного представлення табличних даних і специфікою двовимірної сплано-інтерполяції в середовищі Mathcad.
До користувача повідомленнями про помилки введення невірних значень аргументів (температура і тиск пари) додано нове - "Помилка: змініть p і / або T". Помилка виникає в тому випадку, якщо розраховане значення ентальпії виявиться менше найменшого табличного значення (1930,8 кДж / кг), що може трапитися на кордонах матриці H, де замість відсутніх термодинамічних табличних даних записано: -1.
Для користувача функцію hss (T, p) з двома аргументами можна викликати в традиційній формі (функція), а також інфіксним і деревовидним оператором.
Аналогічним чином побудовані й інші функції термодинамічних властивостей води і водяної пари: питома ентальпія киплячої води на лінії насичення hw (p), питома ентальпія сухої пари на лінії насичення hs (p), питома ентропія киплячої води на лінії насичення sw (p), питома ентропія сухої пари на лінії насичення ss (p), питома ентропія перегрітого пара sss (T, p) і ін Відповідний саморозкриваються архівний файл з ім'ям WaterSteamPro.exe зберігається на FTP-cервер по Internet-адресою: http://twt.mpei .ac.ru / orlov / watersteampro /. Цей файл можна по мережі Internet скопіювати на комп'ютер конкретного користувача, розархівувати файл і задіяти його в термодинамічних розрахунках, що і буде зроблено під час вирішення другого завдання.
Особливості Mathcad, проілюстровані прикладами:
1. Інтерфейс користувача в середовищі Mathcad спирається на оператори введення та оператори виведення значень змінних та виразів.
У середовищі Mathcad три оператори вводу:
A ¬ ■ - введення значення локальної змінної, область видимості якої обмежена місцем введення змінної і кінцем обчислювальної процедури, зазначеної вертикальної рисою, що фіксує початок і кінець програмного блоку (див. вище програму формування функції vw (p));
A: = ■ - введення значення полуглобальной змінної, область видимості якої - це частина Mathcad-документа, розташована правіше і нижче місця введення змінної;
A º ■ - введення значення глобальної змінної, область видимості - весь Mathcad-документ.
Крім того, в Mathcad-документі можливі посилання на інший Mathcad-документ (на відповідний Mathcad-файл на диску - файл із розширенням mcd), змінні і призначені для користувача функції якого, стають видимими в поточному Mathcad-документі.
У середовищі Mathcad два оператори виводу:
A = ■ ■ - висновок чисельного значення змінної або вирази: на місці першого операнда з'являється числова константа, а на місці другого ¾ відповідна розмірність (див. табл. 5.17), якщо константа розмірна; користувач має право змінювати розмірність за замовчуванням на будь-яку іншу, визначену до даного моменту;
A ® ■ - висновок символьного значення змінної або виразу.
Змінні в середовищі Mathcad можуть зберігати скалярний, векторне і матричне значення.
Скаляром, а також елементом вектора (V) і матриці (M) може бути число (ціле, дійсне або комплексне - див елементи вищенаведеного вектора V), текст, а також новий вектор або матрицю (механізм складових масивів). Булеві значення «True» (Істина) і «False» (Брехня) в середовищі Mathcad мають значення 1 та 0, відповідно. Розраховані значення можуть бути виведені в десятковому (умовчання), двійковому, вісімковому або шістнадцятковому форматі.
Змінні в середовищі Mathcad поділяються на призначені для користувача і вбудовані (зумовлені ¾ табл. 5.16).
Таблиця 5.16. Вбудовані змінні Mathcad
| Ім'я вбудованої змінної і її значення за замовчуванням | Опис змінної |
p = 3.14159 ... | Число p. У чисельних розрахунках Mathcad використовує значення p з урахуванням 15 значущих цифр. У символьних обчисленнях p зберігає своє точне значення |
e = 2.71828 ... | Підстава натуральних логарифмів. У чисельних розрахунках Mathcad використовує значення e з урахуванням 15 значущих цифр. У символьних обчисленнях e зберігає своє точне значення |
¥ | Нескінченність. У чисельних розрахунках це заданий велике число (10 307). У символьних обчисленнях - нескінченність |
| % = 0.01 | Відсоток. Використовується його у виразах, подібних 10 ×% або як масштабуючий множник у полі, що відводиться для одиниць розмірності |
TOL = 10-3 | Допустима похибка для різних алгоритмів апроксимації (інтегрування, рішення рівнянь, пошуку мінімумів і максимумів і т.д.) |
СTOL = 10-3 | Допустима похибка для рівностей і нерівностей, що входять до рішення оптимізаційних задач з обмеженнями |
| ORIGIN = 0 | Визначає індекс першого елемента векторів і матриць |
| PRNCOLWIDTH = 8 | Ширина стовпця, використовується при записі файлів функцією WRITEPRN |
| PRNPRECISION = 4 | Число значущих цифр, що використовуються при записі файлів функцією WRITEPRN |
| FRAME = 0 | Використовується як лічильник кадрів при створенні анімаційних кліпів |
| inn = 0, outn = 0 | Змінні введення і виведення в Mathcad-компонентах в середовищі MathConnex (інструмент, що входить до складу Mathcad і дозволяє інтегрувати Mathcad, MatLab і Excel, а також реалізовувати динамічні моделі) |
| CWD | Текстова змінна, що зберігає адресу поточного документа на диску |
Імена змінних в середовищі Mathcad можуть містити пробіли, букви латиниці, кирилиці і (чого немає в традиційних мовах програмування) грецького алфавіту. Крім того, в іменах змінних допустимі нижні індекси і штрихи. Все це дозволяє робити Mathcad-документ максимально «читабельним» - давати змінним і функцій ті імена, які закріпилися за ними в процесі формування тієї чи іншої наукової дисципліни задовго до появи комп'ютерів.
2. У роботі з Mathcad є особливість, що дозволяє називати Mathcad не просто математичним, а фізико-математичним пакетом. Часто вирішуючи фізичну задачу, користувач робить помилки не в формулах і не в рахунку, а в розмірностях фізичних величин. Пакет Mathcad підтримує основні системи фізичних величин (СІ, кілограм-метр-секунда, грам-сантиметр-секунда і британську систему одиниць) і веде контроль за відповідністю розмірностей (табл. 5.17).
Для привласнення величиною розмірності за числової константою ставиться знак множення (але його можна і не ставити) і вводиться назва відповідної розмірності. - L: = 5 × m (або L: = 5 m, що більш відповідає загальноприйнятій нормі запису розмірностей).
Таблиця 5.3.2. Список одиниць вимірювання фізичних величин, вбудованих в Mathcad
| Фізична величина | Одиниця |
| Активність (activity) | Bq (бекерель) |
| Час (time) | day (день), hr (годину), min (хвилина), s (секунда, sec і yr (рік) |
| В'язкість динамічна (dynamic viscosity) | poise (пуаз) |
| В'язкість кінематична (dynamic viscosity) | stokes (Стокса) |
| Тиск (divssure) | atm (атмосфера фізична), in_Hg (дюйми ртутного стовпа), Pa (паскаль), psi (фунт сили на квадратний дюйм) і torr (мм ртутного стовпа) |
| Довжина (length) | cm (сантиметр), ft (фут), in (дюйм), km (кілометр), m (метр), mi (миля), mm (міліметр) і yd (ярд) |
| Доза (dose) | Gy (грей) і Sv (зіверт) |
| Ємність (capacitance) | F (Фарадей), farad (Фарадей), mF (мілліфарада), nF (нанофарада), pF (пікафарада) і statfarad (статфарада) |
| Заряд (charge) | С або coul (кулон) і statcoul (статкулон) |
| Індуктивність (inductance) | H або henry (генрі), mH (мікрогенрі), mH (міллігенрі) і stathenry (статгенрі) |
| Індукція магнітного поля (magnetic flux density) | gauss (гаус), stattesla (статтесла), T або tesla (тесла) |
| Кількість речовини (substance) | mole (моль) |
| Магнітний потік (magnetic flux) | statweber (статвебер) і Wb або weber (вебер) |
| Маса (mass) | gm (грам), kg (кілограм), lb (фунт), mg (міліграмів), oz (унція), slug (пуд), ton (тонна британська) і tonne (тонна метрична) |
| Потужність (power) | hp (кінська сила) або kW або W або watt (ват) |
| Напруженість магнітного поля (magnetic field strange) | Oe або oersted (Ерстед) |
| Обсяг (volume) | fl_oz (об'ємна унція), gal (галон), L або liter (літр) і mL (мілілітр) |
| Освітленість (illuminosity) | lx (люкс) |
| Площа (area) | acre (акр) і hectare (гектар) |
| Потенціал (potential) | kV або KV (кіловольт), mV (мілівольт), statvolt (статвольт) і V або volt (вольт) |
| Провідність (conductance) | mho або S або siemens (сіменс) і statsiemens (статсіменс) |
| Сила (force) | dyne (дина), kgf (кілограм сили), lbf (фунт сили) і N або newton (ньютон) |
| Сила світла (luminosity) | cd (кандела) і Im (люмен) |
| Швидкість (velocity) | kph (кілометр на годину) і mph (миля за годину) |
| Опір (resistance) | kW (кілом), MW (мегом), ohm (ом), statohm (статей) і W (ом) |
| Температура (temperature) | K (градуси Кельвіна) і R (градуси Ренкіна) |
| Струм (current) | A чи amp (ампер), KA (кілоампер), mA (мікроампер), mA (міліампер) і statamp (статампер) |
| Кут (angular) | deg (кутовий градус), rad (радіан) і str (стерадіан) |
| Прискорення (acceleration) | g (прискорення вільного падіння) |
| Частота (frequency) | GHz (гігагерц), Hz (герц), kHz (кілогерц), KHz (кілогерц) і MHz (мегагерц) |
| Енергія (energy) | BTU (британська теплова одиниця), cal (калорія), erg (ерг), J (джоуль), joule (джоуль) і kcal (кілокалорія) |
Для введення розмірностей передбачено діалогове вікно «Введення розмірності» («Insert Unit»), що визначає фізичну величину (Dimension), розмірність (Unit) і систему одиниць (System).
3. У пакет Mathcad інтегрований потужний математичний апарат, що дозволяє чисельно і аналітично вирішувати різноманітні завдання. Перелік груп вбудованих функцій Mathcad наведено нижче:
функції Бесселя (Bessel);
функції комплексних чисел (Complex Numbers);
функції рішення диференціальних рівнянь і систем (задача Коші, крайова задача, рівняння в приватних похідних - Differential Equation Solving);
функції типу виразу (Exdivssion Type);
функції роботи з файлами (File Access);
функції перетворень Фур'є (Fourier Transform);
гіперболічні функції (Hyperbolic);
функції обробки образів (Image Processing);
функції інтерполяції та екстраполяції (Interpolation and Prediction);
логарифмічні та експоненціальні функції (Log and Exponential);
функції теорії чисел і комбінаторики (Numbers Theory / Combinatorics);
функції сходинок і умови (Piecewise Continuous);
функції щільності ймовірності (Probably Density);
функції розподілу ймовірності (Probably Distribution);
функції випадкових чисел (Random Numbers);
функції регресії і згладжування (Regression and Smoothing);
функції обробки сигналів (Signal Processing);
функції рішення алгебраїчних рівнянь і систем, а також рішення оптимізаційних задач (Solving);
функції сортування (Sorting);
спеціальні функції (Special);
статистичні функції (Statistics);
текстові функції (String);
тригонометричні функції (Trigonometric);
функції округлення та роботи з частиною числа (Truncation and Round-Off);
функції роботи з векторами і матрицями (Vector and Matrix);
функції хвильового перетворення (Wavelet Transform).
Для функції передбачено діалогове вікно «Введення функції» («Insert Function»), що показує групи функцій (Function Category), ім'я функції (Function Name), її синтаксис і коротку анотацію.
У систему Mathcad, крім того, інтегровані засоби символьної математики, що дозволяє вирішувати поставлені завдання (етап завдання) не тільки чисельно, але й аналітично ¾ див. третю задачу.
Крім математичних функцій у Mathcad-документі можна працювати з математичними операторами, які вводяться через натиснення відповідних кнопок панелей інструментів.
Одна з причин популярності Mathcad полягає в тому, що користувач має право вставляти в документи або функцію, або оператор в залежності від того, до чого він звик, вивчаючи математику в школі або в інституті. Завдяки цьому Mathcad-документ максимально схожий на лист з математичними викладками, написаними від руки або створеними в середовищі будь-якого текстового процесора (MS Word, Scientific Word, ChiWriter та ін.)
4. Математичні вирази в середовищі Mathcad записуються в їх загальноприйнятої нотації: чисельник знаходиться зверху, а знаменник - внизу, в інтегралі межі інтегрування також розташовані на своїх звичних місцях. Здавалося б, це все дрібниці, ніяк не впливають на обчислювальний процес. Але! .. Програма повинна бути зрозумілою не тільки для комп'ютера, але і для людини. Користувач, аналізуючи Mathcad-документ на екрані дисплея або на папері принтера, бачить, що дана величина записана в чисельнику і її зростання призводить до зростання всього виразу. А це дуже важливо при аналізі математичних моделей, форма і зміст яких єдині.
5. У середовищі Mathcad процес створення програми йде паралельно з її налагодженням та оптимізацією. Користувач, ввівши в Mathcad-документ новий вираз, може не тільки відразу підрахувати, чому воно дорівнює при певних значеннях змінних і в обраній системі розмірностей, а й побудувати графік або поверхню, побіжний погляд на які може безпомилково показати, де криється помилка, якщо вона була допущена при введенні формул або при створенні самої математичної моделі. Налагодження фрагменти можна залишити в готовому документі для того, щоб, наприклад, ще раз переконати уявного чи реального опонента в правильності моделі. Система Mathcad обладнана засобами анімації, що дозволяє реалізувати створені моделі не тільки в статиці (числа, таблиці, графіки), але і в динаміці (анімаційні кліпи).
6. Пакет Mathcad доповнено довідником по основним математичним та фізико-хімічними формулами і констант, які можна автоматично переносити в документ без побоювання внести в них спотворення, нерідкі при ручній роботі. До пакету Mathcad можна придбати ті чи інші електронні підручники з різних дисциплін: рішення звичайних диференціальних рівнянь, статистика, термодинаміка, теорія управління, опір матеріалів і т.д. Перш ніж вирішувати проблему, що виникла, користувач може вивчити електронний підручник і перенести з нього в свій документ потрібні фрагменти, окремі формули і константи.
7. Не виходячи з середовища Mathcad, можливо відкривати нові документи на інших серверах і користуватися тими перевагами інформаційних технологій, що надаються Internet. Нижче наведено діалогове вікно, що відкривається з середовища Mathcad, за допомогою якого користувачі Mathcad можуть обмінюватися інформацією та вести спільні проекти за такими розділами: математика і статистика, астрономія і навігація, електроенергетика, фізика, хімія і хімічна промисловість і т.д.
Користувачі пакету Mathcad (або пакета Mathcad Explorer ¾ вільно поширюваної в Internet укороченою версії Mathcad) можуть послати на сервер своє повідомлення (кнопка Post ...) або вступити в дискусію (Post Reply ...) по його питанню.
Завдання 2. Розрахунок параметрів циклу Ренкіна. Нижче представлений розрахунок у середовищі Mathcad термічного ККД найпростішого циклу Ренкіна [1] [1]:
Розрахунок передує завданням (п. 1) для користувача розмірностей фізичних величин (МПа, бар, мм рт ст, м, кг, кДж і ат), які зв'язуються з вбудованими в Mathcad - Pa, torr, m, kg, J, kgf і cm (див. табл. 5.17).
Розрахунок ККД циклу ведеться двома способами:
в режимі суперкалькулятора (п.п. 2 і 3 ¾ див. вище);
в режимі програмного формування функції користувача, що повертає ккд циклу (п. 4 ¾ див. нижче).
Режим суперкалькулятора зручний при налагодженні розрахунку (при пошуку в ньому помилок) і при підготовці його протоколу до перевірки (наприклад, до опонування рецензентом). Значення введеної змінної або змінної, розрахованої за заданою користувачем формулою, там ж виводиться на екран дисплея і / або папір принтера з обраної користувачем розмірністю і точністю.
Функції, які повертають термодинамічні параметри води і водяної пари, вводяться в розрахунок посиланням (Reference - див. початок п. 3) на відповідний Mathcad-документ (див. вище завдання 1). Після посилання на документ, де задаються функції користувача за властивостями води і водяної пари) в робочому документі стають доступні (видимі) функції, які повертають потрібні термодинамічні властивості. Далі розрахунок ведеться за рутинним формулам, що задає основні параметри циклу: ступінь сухості пара, виходить з турбіни (x2), питому роботу турбіни (lT), питому роботу насоса (lн), теплоту, подводимую в циклі (qk), і, нарешті, сам термічний ККД циклу (HТ).
У п.4 (див. нижче) програмно формується функція користувача HТ (p1, p2, T1), яка повертає значення ККД циклу Ренкіна в залежності від значень трьох аргументів: початкове (p1) і кінцеве (p2) тиску в турбіні і температура гострої пари (T1). У функцію HТ вбудовано користувальницьке повідомлення про помилку (оператор error): при розрахунку мається на увазі, що в конденсатор надходить волога пара (допущення розрахунку):
При формуванні функції h т всі проміжні значення оператором ■ ¬ ■ заносяться в локальні змінні, область видимості яких обмежена самою програмою-функцією. Вертикальні лінії відзначають початку і кінці відповідних операторних блоків.
Функція користувача HТ (p 1, p 2, T 1) дозволяє засобами Mathcad побудувати табличні (п. 4.3) і графічні (п. 4.4) залежності, що зв'язують ККД циклу з його параметрами:
Завдання 3. Оптимізація ступеневої випаровування у барабанному котлі. Нижче представлений протокол вирішення засобами символьної математики Mathcad задачі про оптимальний паророзподіл в барабані котла із ступінчастим випаровуванням. Розглядається триступеневе випаровування: необхідно визначити частки пара, що генеруються в першому (змінна x) і другому (y) відсіках, при яких концентрація домішки в парі, що виходить з котла, була б мінімальна.
Вихідні дані розрахунку (див. п. 1): величина продувки з котла (змінна Пр), сумарні коефіцієнти виносу домішки по відсіках (відношення концентрації домішки в парі до концентрації домішки в котельній воді - K p) і концентрація домішки в живильній воді (C в - формальний параметр, що не впливає на результат, але бере участь у проміжних викладках).
Ключове місце розрахунку - аналітичне формування функції CП (x, y), що повертає концентрацію пари залежно від паророзподілу у відсіках:
Формується функція CП (x, y) за допомогою оператора символьних перетворень: ■ ■ ®, де перший операнд - це конвертувати вираз, а другий - ключове слово (або вертикальна ланцюжок ключових слів), що задає напрямок перетворення (рішення рівняння або системи як у задачі 3, спрощення висловлювання, розкриття дужок, факторизація і т.д.). Дані оператори вводяться через натиснення відповідних кнопок панелі символьних перетворень.
У задачі 3 в п. 2 аналітично вирішуються щодо зазначеної змінної (параметр ключового слова solve) складені користувачем рівняння матеріального балансу домішки по відсіках: надходить у відсік домішка (твір концентрації на витрату води) частково несеться з парою, інша частина продувається в сусідній відсік. Можливе відкладення домішки на внутрішніх поверхнях котла, так само як і вимивання домішки з поверхонь котла, в розрахунку не враховується. Рішення спрощуються (simplify) без виведення проміжного результату і вручну (з деякою модифікацією) переносяться користувачем в оператор завдання функції СВ1 (x): = ■. Так формуються три функції з іменами Свi, де i - номер відсіку. Після цього за рівнянням матеріального балансу складається цільова функція CП (x, y).
Пошук мінімуму функції CП (x, y) передує її графічним аналізом (п. 3):
Графік ліній рівня показує, при що x ~ 0.9 і y ~ 0.1 знаходиться мінімум, який уточнюється (п. 4.1) через аналітичне рішення системи двох алгебраїчних рівнянь, складених з приватних похідних функції CП (x, y) і прирівняних до нуля. Система Mathcad видала вісім рішень - координати точок, де обидві приватні похідні функції CП (x, y) дорівнюють нулю (це можуть бути мінімуми, максимуми, сідла). Один з коренів системи (x = 0.891, y = 0.0912) - рішення оптимізаційної задачі.