Рішення економічних задач

Завдання 1

Підприємству для виготовлення наборів ялинкових прикрас необхідно виготовити їх складові частини - куля, дзвіночок, мішура. Ці дані представлені в таблиці:
У свою чергу для виготовлення цих складових частин необхідні три види сировини - скло (в м), пап'є-маше (в м), фольга (в м), потреби в якому відображені у наступній таблиці
Потрібно:
1) визначити потреби в сировині для виконання плану з виготовлення комплектів першого, другого, третього і четвертого виду у кількості відповідно x _1, x _2, x ₃ та x ₄ штук;
2) провести підрахунки для значень x ₁ = 500, x ₂ = 400, x ₃ = 300 і x ₄ = 200.
Рішення: складемо умови для визначення числа деталей залежно від кількості і виду наборів. Нехай n _1, n ₂ і n ₃ - число куль, дзвіночків і мішури, відповідно.
Тоді умови будуть виглядати наступним чином:
n ₁ = 5x ₁ + 6x ₂ + 8x ₃ + 10x ₄
n ₂ = 3x ₁ + 4x ₂ + 6x ₃
n ₃ = 3x ₂ + 5x ₃ + 8x ₄
Складемо умови визначають потреби в сировині залежно від виду деталей. Нехай y _1, y ₂ і y ₃ - потреби у склі, пап'є-маше і фользі, відповідно:
y ₁ = 5n ₁
y ₂ = 4n ₂
y ₃ = 3n ₁ + 75n ₃
Тепер підставимо замість n _i - отримані раніше рівності.
y ₁ = 5 · (5x ₁ + 6x ₂ + 8x ₃ + 10x ₄₎ = 25x ₁ + 30x ₂ + 40x ₃ + 50x ₄
y ₂ = 4 · (3x ₁ + 4x ₂ + 6x ₃₎ = 12x ₁ + 16x ₂ + 24x ₃
y ₃ = ₃ · (5x ₁ + 6x ₂ + 8x ₃ + 10x ₄₎ + 75 · (3x ₂ + 5x ₃ + 8x ₄₎ = 15x ₁ + 243x ₂ + 399x ₃ + 630x ₄
Проведемо підрахунки для значень
x ₁ = 500, x ₂ = 400, x ₃ = 300 і x ₄ = 200.
y ₁ = 25 * 500 + 30 * 400 + 40 * 300 + 50 * 200 = 46500 р.
y ₂ = 12 * 500 + 16 * 400 + 24 * 300 = 19600 р.
y ₃ = 15 * 500 + 243 * 400 + 399 * 300 + 630 * 200 = 350 400 р.

Завдання 2

Нехай a _{ij -} кількість продукції j, виробленої підприємством i, а b _{i -} вартість всієї продукції підприємства i досліджуваної галузі. Значення a _ij і b _i задані матрицями A і В відповідно. Потрібно визначити ціну одиниці продукції кожного виду, виробленої підприємствами галузі. У ході виконання завдання необхідно скласти систему рівнянь, відповідну умовам, і вирішити її трьома способами (матричний метод, метод Крамера, метод Гаусса).
,
Рішення:
Складемо систему рівнянь:

Матричне рівняння виглядає наступним чином:
A · X = B
Домножимо зліва кожну з частин рівняння на матрицю A ^-1
A ^-1 · A · X = A ^-1 · B; E · ​​X = A ^-1 · B; X = A ^-1 · B
Знайдемо обернену матрицю A ^-1
Δ = 12 * 9 * 1 + 6 * 8 * 10 + 15 * 5 * 11 - 15 * 9 * 8 - 6 * 5 * 1 - 12 * 10 * 11 = - 1017
;

=
X = · = =
Вирішимо систему методом Крамера
Δ = - 1017
Δ ₁ = = 231 * 9 * 1 + 238 * 8 * 10 + 216 * 5 * 11 - 216 * 9 * 8 - 238 * 5 * 1 - - 231 * 10 * 11 = - 9153
Δ ₂ = = 12 * 238 * 1 + 6 * 8 * 216 + 15 * 231 * 11 - 15 * 238 * 8 - 6 * 231 * 1 - 12 * 216 * 11 = - 7119
Δ ₃ = = 12 * 9 * 216 + 6 * 231 * 10 + 15 * 5 * 238 - 15 * 9 * 231 - 6 * 5 * 216 - 12 * 10 * 238 = - 11187
x ₁ = Δ _{1 /} Δ = - 9153 / (- 1017) = 9
x ₂ = Δ _{2 /} Δ = - 7119 / (- 1017) = 7
x ₃ = Δ _{3 /} Δ = - 11187 / (- 1017) = 11
Вирішимо систему методом Гауса
=> => =>
=> => =>

Завдання 3

Знайти приватні похідні першого і другого порядків заданої функції:

Рішення:

Завдання 4

Задана функція попиту , Де p _1, p ₂ - ціни на перший і другий товари відповідно. Грунтуючись на властивості функції попиту, визначити: який товар є досліджуваним, а який альтернативним і еластичність попиту за цінами досліджуваного і альтернативного товарів. У процесі рішення відзначити, якими є дані товари - взаємозамінними або взаємодоповнюючими.

Рішення: еластичність попиту за ціною дорівнює першої похідної від функції попиту:

еластичність негативна, отже, перший товар - досліджуваний.

еластичність позитивна, отже, другий товар - альтернативний.
Товари є товарами замінниками, т.к зростання цін на альтернативний товар приводить до зростання попиту.

Завдання 5

У таблиці наведено дані про товарообіг магазину за минулий рік (по місяцях). Провести вирівнювання даних по прямій за допомогою методу найменших квадратів.
Скориставшись знайденим рівнянням прямої, зробити прогноз про величину товарообігу через півроку і рік. Супроводити завдання кресленням, на якому необхідно побудувати ламану емпіричних даних і отриману пряму.
Проаналізувавши креслення, зробіть висновки.

Місяць	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Товарообіг, (тис. р.)	18	5,6	30,5	59,3	59,3	42	96,4	72,6	56,8	52	38,6	33

Рішення:
Розрахуємо параметри рівняння лінійної парної регресії.
Для розрахунку параметрів a і b рівняння лінійної регресії у = а + bx вирішимо систему нормальних рівнянь відносно а і b (вона випливає з методу найменших квадратів):

За вихідними даними розраховуємо Sх, Sу, Sух, Sх ^2, Sу ^2.

t	y	x	yx	x 2	y 2
1	18,0	1	18	1	324,00	33,662
2	5,6	2	11,2	4	31,36	36,089
3	30,5	3	91,5	9	930,25	38,516
4	59,3	4	237,2	16	3516,49	40,943
5	59,3	5	296,5	25	3516,49	43,37
6	42,0	6	252	36	1764,00	45,797
7	96,4	7	674,8	49	9292,96	48,224
8	72,6	8	580,8	64	5270,76	50,651
9	56,8	9	511,2	81	3226,24	53,078
10	52,0	10	520	100	2704,00	55,505
11	38,6	11	424,6	121	1489,96	57,932
12	33,0	12	396	144	1089,00	60,359
Разом	564,1	78	4013,8	650	33155,51	564,13

;
;
;
;
Рівняння регресії:
= 31,235 + 2,427 · х
Розрахуємо по даному рівнянню значення для і запишемо їх в додатковий стовпець вихідних даних.
Знайдемо прогноз на півроку вперед:
= 31,235 + 2,427 * 18 = 74,921 тис. руб.
Знайдемо прогноз на рік уперед:
= 31,235 + 2,427 * 24 = 89,483 тис. руб.


Отримані графіки кажуть про поганий відображенні вихідних даних рівнянням прямої. Можливо це пов'язано з наявністю сезонності у товарообігу. Тоді пряма лінія є рівнянням тренду.

Завдання 6

Дослідити на екстремум наступну функцію:
;
Рішення:
Знайдемо перші приватні похідні і визначимо точки потенційних екстремумів.
= 4x ³ + 2xy ^2; 4x ³ + 2xy ² = 0; 2x (2x ² + y ^2);
2x = 0 чи (2x ² + y ²⁾ = 0; точка (0, 0)
= 4y ³ + 2x ² y; 4y ³ + 2x ² y = 0; 2y (x ² + 2y ^2);
2y = 0 чи (x ² + 2y ²⁾ = 0; точка (0, 0)
Знайдемо другу похідні та їх значення в точці (0; 0)
= 12x ² + 2y ^2; 12 * 0 ² + 2 * 0 ² = 0 = А
= 2xy; 2 * 0 * 0 = 0 = B
= 12y ² + 2x ^2; 12 * 0 ² + 2 * 0 ² = 0 = C
Δ = AC - B ² = 0
Отже, питання про екстремуму залишається відкритим.
Точка (0; 0) можливий екстремум функції.

Задача 7

Нехай функція корисності задана як

де x і y - кількість товарів А і В, придбаних споживачем, а значення функції корисності чисельно висловлюють міру задоволення покупця. За такої вартості одиниці товарів А і В, загальна сума, що виділяється покупцем на їх купівлю, становить 140 рублів. При якій кількості товарів А і В корисність для споживача максимальна. А = 21, В = 37.
Рішення: корисність максимальна при рівності перших похідних:
= ; = ; = ; =
Обмеження вартості задається нерівністю 21x + 37y ≤ 140
Складемо систему.
; ; ;
Максимальна корисність буде досягнута при споживанні 2,14 од. А і 2,57 ед.в.

Завдання 8

Задані функції попиту і пропозиції залежно від кількості товару Q: і . Під функціями попиту та пропозиції будемо розуміти функціональну залежність ціни від кількості товару на ринку. Визначити надлишки споживача і надлишки виробника при рівноважному стані попиту і пропозиції.
і ,
Рішення: знайдемо рівноважний стан попиту і пропозиції:
D (Q) = S (Q); = ; ; - t ² - 6t + 300 = 0
t ₁ = - 25,12 і t ₂ = 16,72, t ₁ - не задовольняє умові
; Q = 279,56 од.
При цьому ціна складе: Р = 6 * 16,72 = 100,32 гр. од.
Надлишки споживача рівні площі фігури обмеженою зверху кривої попиту, знизу рівноважною ціною і зліва нульовим випуском. Знайдемо надлишки споживача:
S _потр = - 100,32 · 279,56 = - 28045,46 =
= 300 * 279,56 - 5 / 14 * 279,56 - 28045,46 = 55722,7
Надлишки виробника рівні площі фігури обмеженою зверху рівноважною ціною, ліворуч нульовим випуском і знизу кривою пропозиції. Знайдемо надлишки виробника:
S _произв = 100,32 · 279,56 - = 28045,46 - =
= 28045,46 - 4 * 16,72 ³ = 9348,6

Література

1. Н.Ш. Кремер. Вища математика для економістів. - М.: Банки і біржі, ЮНИТИ, 1997.
2. Н.Ш. Кремер. Практикум з вищої математики для економістів. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.
3. І.А. Зайцев. Вища математика. - М.: Вища школа, 1998.
4. Математичний аналіз і лінійна алгебра. Навчальний методичний посібник. Під ред. Н.Ш. Кремера. - ХТРЕІУ, 2006.