Реферат
на тему:
"Розподілу та заходи розшарування доходів"
Москва, 2008
Введення
Душовий дохід, як вже стало ясно, варіює досить значно, тому в усіх країнах намагаються мати порівняно малі дохідні групи (верстви) з доходами, скажімо, від 200 до 300, від 300 до 400 і т.д. і основну роль починає грати частка людей, що належать до кожної з них. Тому вивчення питань розподілу членів суспільства за доходами (або доходів по людях) має багату історію і багато граней. Але далі буде розглядатися лише один аспект цієї великої проблеми: яке розшарування суспільства і яка міра цього розшарування. Часто замість терміну «розшарування» вживають аналогічні, наприклад, «диференціація», «розсіяння» і навіть «невизначеність» доходів або терміни протилежного змісту, скажімо, «концентрація», «зосередження», «визначеність» і т.п.
1. Заходи розшарування
З раніше сказаного ясно, що міра розшарування повинні бути тісно пов'язані з часткою людей, що мають прибуток менший x рублів. Ця частка вивчається теорією ймовірностей і зазвичай там позначається F (x). Крім того, захід розшарування повинна задовольняти деяким вимогам:
1. Міра розшарування мінімальна, коли доходи всіх людей однакові (розшарування немає);
2. Міра розшарування збільшується при збільшенні розкиду доходів;
3. Міра розшарування не залежить від одиниці вимірювання доходів.
Вимога 1 виконується тоді, коли при однакових доходах значення заходи мінімально (зручніше, коли воно дорівнює 0). Тоді міра розшарування позитивна і тим більше, чим більше відрізняються доходи різних людей один від одного.
Найбільш повно заходи розшарування вивчаються теорією ймовірностей, де зазвичай говорять не просто про заходи розшарування, а про розсіяння. Мірою розсіювання в теорії ймовірностей служить ентропія E розподілу F (x), яка задається так:
E = - M ln F '(x)
де x - випадкова величина, розподілена за законом F (x). Для випадкових величин, душових доходів окремої людини, на якого в домогосподарстві доводиться x 1, x 2, ..., або x n грошових одиниць, з імовірностями p 1, p 2, ..., p n (
Для неперервних випадкових величин, що мають щільність f (x) = F '(x), ентропія
Очевидно, що для дискретних випадкових величин ентропія E задовольняє нерівності 0 £ E £ E m, де E m - максимальне значення ентропії. Розподіл, відповідне E m, можна знайти, як втім, можна знайти і розподілу, відповідні іншим заходам розшарування.
2. Приклади
Приклад 1. Розглянемо доходи x i = a + (i - 1) h, де a - мінімальний дохід, а h - крок дискретності, скажімо, рівний грошової одиниці. Якщо середньодушові доходи обмежені величиною b, то всього градацій доходів буде n, де n = m +1, а m = (b - a) / h, тобто x 1 = a, x 2 = a + h, x 3 = a +2 h, ..., x n = b. Якщо верхню межу вказати важко, то будемо вважати, що послідовність x 1, x 2, ..., x n, ... не обмежена. Нехай кожному x i відповідає ймовірність p i (частка людей, що мають середньодушовий дохід, рівний x i).
а) Доходи обмежені і потрібно знайти такі p i, щоб
б) Банківські відсотки, під які можна вкласти свій капітал, якщо вони цілком розумні, не піддаються обгрунтованого обмеження зверху. Але в цій ситуації, як правило, задані мінімальні відсотки - r, а також середнє значення всіх відсотків - b. Тепер постає задача: знайти такі p i, які давали б максимум
Беручи до уваги, що перші p 1, p 2, ... p m - рівні 0, так як мінімум відсотка r = hm = x m, то можна знайти (див. завдання 1)
де
в) Розглянемо задачу з пункту а) цього прикладу, але як міра розшарування візьмемо не ентропію, а дисперсію. Спроба вирішити завдання так само, як у пункті а) приводить до висновку, що екстремуму всередині області (симплекса
D = p (1 - p) (y - x) 2 - (1 - g) [2 y (y - x) + g (y 2 - c 2) +2 c (xp + yq)].
Тому останнім доданок неотрицательно і воно дорівнює 0 при p + q = 1, тобто при 1 - g = 0. Звідси випливає, що max D = p (1 - p) (b - a) 2 при заданому p, max D = p (1 - p) (y - x) 2 при заданих x і y і
Розглядати аналог пункту б) для дисперсій не має сенсу, так будь-який розподіл, що має математичне сподівання при неіснуючої дисперсії дає відповідь.
Зауваження 1 приміром 1б. Всі виведені розподілу мають безперервні аналоги; так для пункту а) таким аналогом буде рівномірний розподіл на відрізку [a, b]. Для пункту б) аналогом буде показовий розподіл з
Зауваження 2 приміром 1б. Представляє інтерес отримати розподіл з найбільшою ентропією не тільки при заданому середньому значенні, але і заданої дисперсії. Для дискретного випадку завдання не вирішена, а для неперервної випадкової величини з необмеженим в обидві сторони діапазоном відповідь відома: розподіл буде нормальним.
Приклад 1 показує, що всяке розшарування в тому числі і в суспільстві через різні середньодушових доходів можна міряти і дисперсією і ентропія, так як і та і інша міра дорівнює 0 при рівності середньодушових доходів і зростає при розшаруванні. Однак необхідно привести недоліки наведених заходів.
3. Властивості заходів розшарування
Заходи розшарування вводяться для того, щоб мати можливість порівнювати добробут різних товариств, або, говорячи мовою математики, різних розподілів. При цьому вважається, що чим більше інтуїтивне уявлення про розшарування, тим більше і міра. Наприклад, якщо розшарування немає, то й міра повинна бути мінімальною (найчастіше, рівної 0) і вона повинна зростати при зростанні розшарування. І дисперсія і ентропія безумовно задовольняють цій умові.
Властивість, яка необхідна для будь-якого заходу розшарування, - це властивість залежності від того, збільшується або зменшується середній дохід, що припадає на одну людину. Ясно, що при збільшенні середнього доходу та за інших однакових умовах (наприклад, дисперсія або різницю між найбільшим і найменшим доходами залишається постійною) розшарування в суспільстві має спадати і, навпаки, при зменшенні середнього доходу розшарування має зростати.
Проте властивість незалежності від зсуву, тобто від додавання або зменшення всіх середньодушових доходів x i на одну і ту ж величину, яка збільшує або зменшує на неї ж середній дохід, притаманне і дисперсії та ентропії, які залежать лише від відмінних від 0 ймовірностей (густин), а не від ділянки, де вони рівні 0. Тому ентропія і дисперсія не реагують на зсув (надбавку або зменшення) усіх доходів на одну і ту ж величину.
Але порівняння можливо, коли заходи виражені в одних і тих же одиницях, краще всього коли вони (заходи) взагалі не залежать від одиниць вимірювання доходів, тобто коли вони безрозмірні. Ентропія задовольняє такій умові, але дисперсія, як легко бачити, немає. Тому замість дисперсії вводять коефіцієнт варіації
Крім вже описаних заходів розшарування існують інші, зазначені раніше у попередньому розділі. Приклади заходів будуть приведені в кінці глави для різних розподілів, але перш за все, потрібно вибрати розподілу, економічно підходящі для цього.
4. Приклади розподілів
Розподіл прикладу 1, наведене в пункті а), рівномірний. Воно має в економіці широке застосування і буде далі використовуватися, але тільки в безперервному випадку. Розподіл пункту в) двухточечное. Воно відображає той факт, що доходи бувають тільки двох видів: великі - b і малі - a. При цьому число людей, що мають b і a однаково. Ця ідеалізована ситуація мало відповідає реальному стану справ: зазвичай частка p людей з малими середньодушовими доходами a переважає частку q людей з великими (b). Для простоти викладу матеріалу далі будуть залишені такі ідеалізовані Двоточкові розподілу, але з різними частками p і q.
Різниця в обговорених розподілах полягає в тому, що при необхідності знайти людину (або людей) із заданим і малим інтервалом доходів пошук найбільш утруднений якраз при рівномірному розподілі, а не при двухточечной. Нехай p = 99% (а q = 1%) і треба відшукати людину з малими середньодушовими доходами, тоді практично перше ж попалися особа буде мати потрібний дохід (помилка можлива лише в 1% випадків). Для рівномірного розподілу помилка може бути як завгодно велика при пошуку людини із заданим і дуже малим діапазоном його доходів. Наприклад, якщо діапазон потрібних (бажаних для деяких цілей) душових доходів становить всього 1%, від b - a, то знайти людину при рівномірному розподілі настільки ж важко, як знайти багатого при двухточечной.
Обговорення пункту б) прикладу 1 вимагає більш детального розгляду. Спростимо завдання, вважаючи, що нові доходи утворюються з внесків колишнього капіталу x в акції, банківські рахунки і т.п. Тоді приріст доходів dx за час dt буде дорівнює
x (1 + ydt) - x
де y - відсоток від акцій, банківських вкладів і т.п. При рівних можливостях кожної людини відносний приріст доходів dx / x не залежить від початкового капіталу: він дорівнює ydt і однаковий при будь-яких стартових умовах, і, як правило, дуже невеликий оскільки деякі з y, незважаючи на позитивність, дуже малі, але надійні, а інші, які не дуже малі, недостатньо надійні.
Якщо хочеться визначити зв'язок величин відсотка y і доходу x, потрібно вирішити рівняння dx / x = ydt, тобто ln x = yt. Останнє означає, що логарифми доходів дорівнюють відсоткам. Насправді ці відсотки випадкові (h), але розподілені по одному і тому ж закону - це і означає однаковість. Але тоді й самі доходи будуть випадковими (і рівними, скажімо, x) і ln x = h (тут і далі вважаємо, що t дорівнює одиниці часу). Припустимо, що випадкові величини надійних відсотків h обмежені знизу і важко обгрунтувати розумну верхню межу, хоча середнє значення M h існує і відомо. Якщо додатково до того відсоток h ще і найбільш важко визначимо, то виникає припущення, що h підпорядковане закону з пункту б) прикладу 1. Таким чином, сам дохід x = e h і його розподіл F (x) = P (x <x) необхідно знайти, коли G (y) = P (h <y) відомо.
Розглянемо для простоти безперервний випадок, коли G (y) = 1-exp
F (x) = G (ln x)
де a = 1 / M h, а m = ln a. Остаточно маємо функцію розподілу F (x) = 1 - (a / x) a доходів x ³ a, яка представляє собою розподіл Парето.
Зауваження 3. Якщо врахувати, що прибутковість акцій і банківських депозитів може бути не тільки позитивною, але й негативною, наприклад, через інфляцію, то можна використовувати зауваження 2 до прикладу 1б для отримання розподілу доходів по функції розподілу дохідності, як тільки що було зроблено. У цьому випадку вийде добре відоме логнормальної розподіл доходу, що використовується в багатьох дослідженнях.
В усіх наступних прикладах будуть використовуватися як стандартні параметри так і параметри, що включають мінімальний (a) і середній доходи (W).
Приклад 1. Розподіл Парето. Нехай розподіл доходів w> 0 має вигляд F (w) = [1 - (a / w) a] +, де [u] + позначає max (u, 0), а a - мінімальний дохід. У цьому випадку для існування математичного сподівання W =
Приклад 2. Рівномірний розподіл. Нехай розподіл доходів рівномірно на відрізку [a, b], тобто F (w) = 0 при w <a, F (w) = (w - a) / (b - a) при a £ w <b і F (w) = 1 при w ³ b. Відомо, що середнє значення доходів W в цьому випадку дорівнює (b + a) / 2. Крива Лоренца виходить із співвідношення L (w) = 
Приклад 3. Двухточечное розподіл. Розглянемо найпростіший випадок, коли люди мають доходи тільки двох розмірів - мінімальні a і максимальні b. У цьому випадку функція розподілу F (w) = 0, при w <a, F (w) = p, при a £ w <b, і F (w) = 1, при w ³ b, а математичне очікування доходу одно W = pa + (1 - p) b. Тепер крива Лоренца складається з двох відрізків прямих ліній, що проходять через точки (0,0), (p, p
Висновок
Тепер, коли розглянуті кілька заходів розшарування, в тому числі дисперсія, ставлення квартилей (децилів), ентропія, коефіцієнти варіації та Джині можна їх порівнювати між собою. Для цього скористаємося трьома типами розподілів середньодушових доходів, які вже також були приведені - це розподілу Парето, рівномірне і двухточечное.
Для такого порівняння, як приклад, приймемо, що мінімальний середньодушовий дохід a буде вважатися одиничним. У цьому випадку математичне сподівання доходів W дорівнюватиме k (або ka = W).
У цьому випадку функції розподілу всіх трьох типів представимо у вигляді:
1) Парето - 1 -
2) рівномірне - 0 при х £ 1;
3) двухточечное - 0 при x £ 1, p при 1 <x £
Легко перевірити, що математичні очікування всіх трьох типів розподілу рівні k (див. завдання 3).
Таблиця 1. Заходи розшарування
Для отримання функції Лоренца необхідно отримати інтеграл L (w) =
на тему:
"Розподілу та заходи розшарування доходів"
Москва, 2008
Введення
Душовий дохід, як вже стало ясно, варіює досить значно, тому в усіх країнах намагаються мати порівняно малі дохідні групи (верстви) з доходами, скажімо, від 200 до 300, від 300 до 400 і т.д. і основну роль починає грати частка людей, що належать до кожної з них. Тому вивчення питань розподілу членів суспільства за доходами (або доходів по людях) має багату історію і багато граней. Але далі буде розглядатися лише один аспект цієї великої проблеми: яке розшарування суспільства і яка міра цього розшарування. Часто замість терміну «розшарування» вживають аналогічні, наприклад, «диференціація», «розсіяння» і навіть «невизначеність» доходів або терміни протилежного змісту, скажімо, «концентрація», «зосередження», «визначеність» і т.п.
1. Заходи розшарування
З раніше сказаного ясно, що міра розшарування повинні бути тісно пов'язані з часткою людей, що мають прибуток менший x рублів. Ця частка вивчається теорією ймовірностей і зазвичай там позначається F (x). Крім того, захід розшарування повинна задовольняти деяким вимогам:
1. Міра розшарування мінімальна, коли доходи всіх людей однакові (розшарування немає);
2. Міра розшарування збільшується при збільшенні розкиду доходів;
3. Міра розшарування не залежить від одиниці вимірювання доходів.
Вимога 1 виконується тоді, коли при однакових доходах значення заходи мінімально (зручніше, коли воно дорівнює 0). Тоді міра розшарування позитивна і тим більше, чим більше відрізняються доходи різних людей один від одного.
Найбільш повно заходи розшарування вивчаються теорією ймовірностей, де зазвичай говорять не просто про заходи розшарування, а про розсіяння. Мірою розсіювання в теорії ймовірностей служить ентропія E розподілу F (x), яка задається так:
E = - M ln F '(x)
де x - випадкова величина, розподілена за законом F (x). Для випадкових величин, душових доходів окремої людини, на якого в домогосподарстві доводиться x 1, x 2, ..., або x n грошових одиниць, з імовірностями p 1, p 2, ..., p n (
Для неперервних випадкових величин, що мають щільність f (x) = F '(x), ентропія
Очевидно, що для дискретних випадкових величин ентропія E задовольняє нерівності 0 £ E £ E m, де E m - максимальне значення ентропії. Розподіл, відповідне E m, можна знайти, як втім, можна знайти і розподілу, відповідні іншим заходам розшарування.
2. Приклади
Приклад 1. Розглянемо доходи x i = a + (i - 1) h, де a - мінімальний дохід, а h - крок дискретності, скажімо, рівний грошової одиниці. Якщо середньодушові доходи обмежені величиною b, то всього градацій доходів буде n, де n = m +1, а m = (b - a) / h, тобто x 1 = a, x 2 = a + h, x 3 = a +2 h, ..., x n = b. Якщо верхню межу вказати важко, то будемо вважати, що послідовність x 1, x 2, ..., x n, ... не обмежена. Нехай кожному x i відповідає ймовірність p i (частка людей, що мають середньодушовий дохід, рівний x i).
а) Доходи обмежені і потрібно знайти такі p i, щоб
б) Банківські відсотки, під які можна вкласти свій капітал, якщо вони цілком розумні, не піддаються обгрунтованого обмеження зверху. Але в цій ситуації, як правило, задані мінімальні відсотки - r, а також середнє значення всіх відсотків - b. Тепер постає задача: знайти такі p i, які давали б максимум
Беручи до уваги, що перші p 1, p 2, ... p m - рівні 0, так як мінімум відсотка r = hm = x m, то можна знайти (див. завдання 1)
де
в) Розглянемо задачу з пункту а) цього прикладу, але як міра розшарування візьмемо не ентропію, а дисперсію. Спроба вирішити завдання так само, як у пункті а) приводить до висновку, що екстремуму всередині області (симплекса
D = p (1 - p) (y - x) 2 - (1 - g) [2 y (y - x) + g (y 2 - c 2) +2 c (xp + yq)].
Тому останнім доданок неотрицательно і воно дорівнює 0 при p + q = 1, тобто при 1 - g = 0. Звідси випливає, що max D = p (1 - p) (b - a) 2 при заданому p, max D = p (1 - p) (y - x) 2 при заданих x і y і
Розглядати аналог пункту б) для дисперсій не має сенсу, так будь-який розподіл, що має математичне сподівання при неіснуючої дисперсії дає відповідь.
Зауваження 1 приміром 1б. Всі виведені розподілу мають безперервні аналоги; так для пункту а) таким аналогом буде рівномірний розподіл на відрізку [a, b]. Для пункту б) аналогом буде показовий розподіл з
Зауваження 2 приміром 1б. Представляє інтерес отримати розподіл з найбільшою ентропією не тільки при заданому середньому значенні, але і заданої дисперсії. Для дискретного випадку завдання не вирішена, а для неперервної випадкової величини з необмеженим в обидві сторони діапазоном відповідь відома: розподіл буде нормальним.
Приклад 1 показує, що всяке розшарування в тому числі і в суспільстві через різні середньодушових доходів можна міряти і дисперсією і ентропія, так як і та і інша міра дорівнює 0 при рівності середньодушових доходів і зростає при розшаруванні. Однак необхідно привести недоліки наведених заходів.
3. Властивості заходів розшарування
Заходи розшарування вводяться для того, щоб мати можливість порівнювати добробут різних товариств, або, говорячи мовою математики, різних розподілів. При цьому вважається, що чим більше інтуїтивне уявлення про розшарування, тим більше і міра. Наприклад, якщо розшарування немає, то й міра повинна бути мінімальною (найчастіше, рівної 0) і вона повинна зростати при зростанні розшарування. І дисперсія і ентропія безумовно задовольняють цій умові.
Властивість, яка необхідна для будь-якого заходу розшарування, - це властивість залежності від того, збільшується або зменшується середній дохід, що припадає на одну людину. Ясно, що при збільшенні середнього доходу та за інших однакових умовах (наприклад, дисперсія або різницю між найбільшим і найменшим доходами залишається постійною) розшарування в суспільстві має спадати і, навпаки, при зменшенні середнього доходу розшарування має зростати.
Проте властивість незалежності від зсуву, тобто від додавання або зменшення всіх середньодушових доходів x i на одну і ту ж величину, яка збільшує або зменшує на неї ж середній дохід, притаманне і дисперсії та ентропії, які залежать лише від відмінних від 0 ймовірностей (густин), а не від ділянки, де вони рівні 0. Тому ентропія і дисперсія не реагують на зсув (надбавку або зменшення) усіх доходів на одну і ту ж величину.
Але порівняння можливо, коли заходи виражені в одних і тих же одиницях, краще всього коли вони (заходи) взагалі не залежать від одиниць вимірювання доходів, тобто коли вони безрозмірні. Ентропія задовольняє такій умові, але дисперсія, як легко бачити, немає. Тому замість дисперсії вводять коефіцієнт варіації
Крім вже описаних заходів розшарування існують інші, зазначені раніше у попередньому розділі. Приклади заходів будуть приведені в кінці глави для різних розподілів, але перш за все, потрібно вибрати розподілу, економічно підходящі для цього.
4. Приклади розподілів
Розподіл прикладу 1, наведене в пункті а), рівномірний. Воно має в економіці широке застосування і буде далі використовуватися, але тільки в безперервному випадку. Розподіл пункту в) двухточечное. Воно відображає той факт, що доходи бувають тільки двох видів: великі - b і малі - a. При цьому число людей, що мають b і a однаково. Ця ідеалізована ситуація мало відповідає реальному стану справ: зазвичай частка p людей з малими середньодушовими доходами a переважає частку q людей з великими (b). Для простоти викладу матеріалу далі будуть залишені такі ідеалізовані Двоточкові розподілу, але з різними частками p і q.
Різниця в обговорених розподілах полягає в тому, що при необхідності знайти людину (або людей) із заданим і малим інтервалом доходів пошук найбільш утруднений якраз при рівномірному розподілі, а не при двухточечной. Нехай p = 99% (а q = 1%) і треба відшукати людину з малими середньодушовими доходами, тоді практично перше ж попалися особа буде мати потрібний дохід (помилка можлива лише в 1% випадків). Для рівномірного розподілу помилка може бути як завгодно велика при пошуку людини із заданим і дуже малим діапазоном його доходів. Наприклад, якщо діапазон потрібних (бажаних для деяких цілей) душових доходів становить всього 1%, від b - a, то знайти людину при рівномірному розподілі настільки ж важко, як знайти багатого при двухточечной.
Обговорення пункту б) прикладу 1 вимагає більш детального розгляду. Спростимо завдання, вважаючи, що нові доходи утворюються з внесків колишнього капіталу x в акції, банківські рахунки і т.п. Тоді приріст доходів dx за час dt буде дорівнює
x (1 + ydt) - x
де y - відсоток від акцій, банківських вкладів і т.п. При рівних можливостях кожної людини відносний приріст доходів dx / x не залежить від початкового капіталу: він дорівнює ydt і однаковий при будь-яких стартових умовах, і, як правило, дуже невеликий оскільки деякі з y, незважаючи на позитивність, дуже малі, але надійні, а інші, які не дуже малі, недостатньо надійні.
Якщо хочеться визначити зв'язок величин відсотка y і доходу x, потрібно вирішити рівняння dx / x = ydt, тобто ln x = yt. Останнє означає, що логарифми доходів дорівнюють відсоткам. Насправді ці відсотки випадкові (h), але розподілені по одному і тому ж закону - це і означає однаковість. Але тоді й самі доходи будуть випадковими (і рівними, скажімо, x) і ln x = h (тут і далі вважаємо, що t дорівнює одиниці часу). Припустимо, що випадкові величини надійних відсотків h обмежені знизу і важко обгрунтувати розумну верхню межу, хоча середнє значення M h існує і відомо. Якщо додатково до того відсоток h ще і найбільш важко визначимо, то виникає припущення, що h підпорядковане закону з пункту б) прикладу 1. Таким чином, сам дохід x = e h і його розподіл F (x) = P (x <x) необхідно знайти, коли G (y) = P (h <y) відомо.
Розглянемо для простоти безперервний випадок, коли G (y) = 1-exp
F (x) = G (ln x)
де a = 1 / M h, а m = ln a. Остаточно маємо функцію розподілу F (x) = 1 - (a / x) a доходів x ³ a, яка представляє собою розподіл Парето.
Зауваження 3. Якщо врахувати, що прибутковість акцій і банківських депозитів може бути не тільки позитивною, але й негативною, наприклад, через інфляцію, то можна використовувати зауваження 2 до прикладу 1б для отримання розподілу доходів по функції розподілу дохідності, як тільки що було зроблено. У цьому випадку вийде добре відоме логнормальної розподіл доходу, що використовується в багатьох дослідженнях.
В усіх наступних прикладах будуть використовуватися як стандартні параметри так і параметри, що включають мінімальний (a) і середній доходи (W).
Приклад 1. Розподіл Парето. Нехай розподіл доходів w> 0 має вигляд F (w) = [1 - (a / w) a] +, де [u] + позначає max (u, 0), а a - мінімальний дохід. У цьому випадку для існування математичного сподівання W =
Приклад 2. Рівномірний розподіл. Нехай розподіл доходів рівномірно на відрізку [a, b], тобто F (w) = 0 при w <a, F (w) = (w - a) / (b - a) при a £ w <b і F (w) = 1 при w ³ b. Відомо, що середнє значення доходів W в цьому випадку дорівнює (b + a) / 2. Крива Лоренца виходить із співвідношення L (w) =
Приклад 3. Двухточечное розподіл. Розглянемо найпростіший випадок, коли люди мають доходи тільки двох розмірів - мінімальні a і максимальні b. У цьому випадку функція розподілу F (w) = 0, при w <a, F (w) = p, при a £ w <b, і F (w) = 1, при w ³ b, а математичне очікування доходу одно W = pa + (1 - p) b. Тепер крива Лоренца складається з двох відрізків прямих ліній, що проходять через точки (0,0), (p, p
Висновок
Тепер, коли розглянуті кілька заходів розшарування, в тому числі дисперсія, ставлення квартилей (децилів), ентропія, коефіцієнти варіації та Джині можна їх порівнювати між собою. Для цього скористаємося трьома типами розподілів середньодушових доходів, які вже також були приведені - це розподілу Парето, рівномірне і двухточечное.
Для такого порівняння, як приклад, приймемо, що мінімальний середньодушовий дохід a буде вважатися одиничним. У цьому випадку математичне сподівання доходів W дорівнюватиме k (або ka = W).
У цьому випадку функції розподілу всіх трьох типів представимо у вигляді:
1) Парето - 1 -
2) рівномірне - 0 при х £ 1;
3) двухточечное - 0 при x £ 1, p при 1 <x £
Легко перевірити, що математичні очікування всіх трьох типів розподілу рівні k (див. завдання 3).
Таблиця 1. Заходи розшарування
| Розподілу | Дисперсія | Ентропія | Коеф. варіації | Коеф. Джині |
| Парето | | | | |
| рівномірний. | ||||
| двухточечное | - P lnp- - (1 - p) ln (1 - p) | | |
Для отримання функції Лоренца необхідно отримати інтеграл L (w) =
Таким чином, крива Лоренца (в даному випадку, ламана лінія), складається з двох відрізків прямих, що з'єднують точки (0,0), (p, p / k) і (1,1), а площа трикутника з вершинами в цих точках (див. завдання 4) дорівнює 
Використовуваний раніше в розділі інтеграл
Після того, як отримані вирази для кривих Лоренца, просто отримати частки сумарного доходу, що припадають на будь-який відсоток найменш отримують людей, для трьох типів функцій розподілу в тих випадках, коли дохід, що припадає на одну людину, вдвічі більше прожиткового мінімуму, тобто для k = 2.
У таблиці 2 представлені частки доходів, які отримують мають 10,20, ... 90% людей, розміщених у порядку збільшення середньодушового доходу для трьох прикладів (типів) функцій розподілу.
Перші два типи розподілів мають два параметри, один з яких покладено одиницею виміру - мінімальні середньодушові доходи, а інший для розрахунків у таблиці 4 дорівнює, приблизно 2, тобто математичне сподівання середньодушових доходів, приблизно, вдвічі більше ніж найменший середньодушовий дохід. Для двухточечного розподілу частка p людей, які отримують мало, і частка 1 - p людей, які отримують багато, були зафіксовані на рівнях p = 100/101 = 0,99 і 1 - p = 1 / 101 = 0,01. У цьому випадку p/1-p = 100 і можна легко порівняти багато заходів розшарування.
Таблиця 2. Частки доходів (у%), що припадають на відсоток найменш отримують
Пояснимо, як виходять відносини, наприклад, децилів для двухточечного розподілу. Відповідно до табл. 2 10% людей, які отримують мало, в цьому випадку мають лише 5% сумарного доходу, а 90% - 45%. Тому 10% найбільш забезпечених мають 55% сумарних доходів. Звідси, відношення децилів 55% / 5% = 11, що і представлено в лівій нижній клітці таблиці 3.
В економічній практиці найбільш часто вживаються два показника (два заходи) розшарування - це коефіцієнт Джині і ставлення квантиль (найчастіше децилів).
Таблиця 3. Порівняння заходів розшарування
Література
1. Борокін Ф.М., С.В. Соболєва. Прогнозування міграції та чисельності населення системою диференціальних рівнянь. Збірник Математичні методи в соціології. Новосибірськ, 1974 т.
2. Бреєв Б.Д. Старовірів О.В. Про один метод обліку факторів у русі населення. «Економіка і математичні методи», № 1, 1979 р.
3. Гаврилець Ю.М. Компроміс інтересів і справедливість в оплаті праці (модельний аналіз). «Економіка і математичні методи», том 28, випуск 1. 1992
Використовуваний раніше в розділі інтеграл
Після того, як отримані вирази для кривих Лоренца, просто отримати частки сумарного доходу, що припадають на будь-який відсоток найменш отримують людей, для трьох типів функцій розподілу в тих випадках, коли дохід, що припадає на одну людину, вдвічі більше прожиткового мінімуму, тобто для k = 2.
У таблиці 2 представлені частки доходів, які отримують мають 10,20, ... 90% людей, розміщених у порядку збільшення середньодушового доходу для трьох прикладів (типів) функцій розподілу.
Перші два типи розподілів мають два параметри, один з яких покладено одиницею виміру - мінімальні середньодушові доходи, а інший для розрахунків у таблиці 4 дорівнює, приблизно 2, тобто математичне сподівання середньодушових доходів, приблизно, вдвічі більше ніж найменший середньодушовий дохід. Для двухточечного розподілу частка p людей, які отримують мало, і частка 1 - p людей, які отримують багато, були зафіксовані на рівнях p = 100/101 = 0,99 і 1 - p = 1 / 101 = 0,01. У цьому випадку p/1-p = 100 і можна легко порівняти багато заходів розшарування.
Таблиця 2. Частки доходів (у%), що припадають на відсоток найменш отримують
| Тип розпо- | % Людей, розташованих по зростанню середньодушового доходу | |||||||
| ділення | 10 | 20 | 25 | 30 | 70 | 75 | 80 | 90 |
| 1 | 5,13 | 10,56 | 13,40 | 16,33 | 45,22 | 50,00 | 55,28 | 68,38 |
| 2 | 5,5 | 12 | 15,62 | 19,5 | 59,5 | 65,6 | 72,0 | 85,5 |
| 3 | 5 | 10 | 12,5 | 15 | 35 | 37,5 | 40 | 45 |
В економічній практиці найбільш часто вживаються два показника (два заходи) розшарування - це коефіцієнт Джині і ставлення квантиль (найчастіше децилів).
Таблиця 3. Порівняння заходів розшарування
| Тип | показник (м е р а) розшарування | |||||||
| розбраті- | Диспер- | Ентре- | Коефіцієнт | о т н о ш е н н я | ||||
| ділення | ся | Пія | варіації | Джині | квантиль | квинтилей | децилів | |
| Парето | ¥ | 0,807 | ¥ | 0,333 | 3,73 | 4,23 | 6,16 | |
| Рівномірний | 0,333 | 6,693 | 0,289 | 167 | 2,2 | 2,33 | 2,64 | |
| Двухточечное | 100 | 0,056 | 5,0 | 0,495 | 5 | 6 | 11 | |
Література
1. Борокін Ф.М., С.В. Соболєва. Прогнозування міграції та чисельності населення системою диференціальних рівнянь. Збірник Математичні методи в соціології. Новосибірськ, 1974 т.
2. Бреєв Б.Д. Старовірів О.В. Про один метод обліку факторів у русі населення. «Економіка і математичні методи», № 1, 1979 р.
3. Гаврилець Ю.М. Компроміс інтересів і справедливість в оплаті праці (модельний аналіз). «Економіка і математичні методи», том 28, випуск 1. 1992