Основи дискретної схемотехніки

ОСНОВИ дискретної схемотехники
Двійкові чіслаtc "10.1. Двійкові числа"
Цифрові пристрої працюють з двійковими числами. Двійкова система числення або система з основою 2 використовує тільки цифри 0 або 1. Ці двійкові числа називають бітами (від binary digit).
Система числення - це код, в якому використовують спеціальні символи для позначення кількості будь-яких об'єктів.
У повсякденній діяльності ми користуємося десятковою системою числення, яка містить десять цифр (від 0 до 9). Таку систему ще називають системою числення з основою 10. Двійкову систему називають системою числення з основою 2.
Системи числення характеризуються таким поняттям, як значення позиції або вага розряду. Наприклад, десяткове число 2547 можна представити як суму 2000 +500 +40 +7 = 2547. Складові цієї суми і є вагами розрядів.
Розглянемо двійкове число 1101 ("один - один - нуль - один"). У табл.10.1 наведені значення позицій і десятковий еквівалент двійкового числа.
Таблиця 10.1. Значення позицій двійкових чисел

Біт одиниці двійкового числа в табл.10.1 називається молодшим бітом (МБ), біт вісімки - старшим бітом (СБ). Табл.10.1 дає уявлення про те, як перетворити двійкове число в його десятковий еквівалент: необхідно визначити значення позицій (вага розряду) і підсумувати ті з них, у яких відповідне значення розряду двійкового числа дорівнює 1.
Перетворення двійкового числа 1011 0110 в його десятковий еквівалент показано в табл.10.2.
Таблиця 10.2. Двійково-десяткове перетворення

Підстави системи числення називаються індексами:
1011 01102 = 18210.
Зробимо зворотне перетворення: десяткове число перетворимо в його двійковий еквівалент.
З рис.10.1 видно, що спочатку десяткове число 172 ділиться на 2, що дає число 86 і залишок 1. Залишок 1 буде молодшим бітом (МБ) двійкового числа. Потім число 86 ділиться на 2 і т.д., поки не вийде результат рівним 0. Останній одержуваний залишок від ділення буде старшим бітом (СБ) двійкового еквівалента, таким чином 17310 = 1010 11012.
Шістнадцяткові чіслаtc "10.2. Шістнадцяткові числа"
Шістнадцяткова система числення або система з основою 16, використовує 16 символів від 0 до 9 і A, B, C, D, E, F. У табл.10.3 показані десяткові числа від 0 до 15, а також виконавчі та шістнадцяткові еквіваленти.

Таблиця 10.3.
Десяткові числа і їх виконавчі і шістнадцяткові еквіваленти

Десяткове	Шістнадцяткове	Двійкове
0	0	0000
1	1	0001
2	2	0010
3	3	0011
4	4	0100
5	5	0101
6	6	0110
7	7	0111
8	8	1000
9	9	1001
10	A	1010
11	B	1011
12	C	1100
13	D	1101
14	E	1110
15	F	1111

З табл.10.3 видно, що кожен шістнадцятковий символ може бути представлений поєднанням чотирьох біт. Наприклад, представленням двійкового числа 0111 1101 в шістнадцятковій системі є число 7 D, оскільки перші чотири біти відповідають 7, а решту чотири біти рівні D, тобто 0111 11 012 = 7 D 16.
З цього прикладу можна вивести загальне правило перекладу двійкових чисел у шістнадцяткові: треба, починаючи з молодшого біта розділити двійкове число на групи з 4 біт, а потім замінити кожну таку групу шістнадцятковій цифрою.
Наприклад, задано двійкове число 101110. Розділимо це число на групи з 4 біт, починаючи з молодшого біта і на підставі табл. 10.3 зробимо заміни цих груп шестнадцатерічнимі цифрами:
11102 = E; 00102 = 2;
1011102 = 2 E 16.
Розглянемо зворотне перетворення: шістнадцяткове число перетворимо в двійкове. У такому перетворенні кожна шістнадцяткова цифра замінюється своїм двійковим еквівалентом з 4 біт на підставі табл.10.3.
Наприклад, шістнадцяткове число 5 A перетворюється на число 010110102, тобто 5 A 16 = 10110102.
Процедура перетворення шістнадцяткового числа 3 A 5 D в десяткове число показано в табл.10.4.
Таблиця 10.4.
Перетворення шістнадцяткового числа на десяткове

З табл.10.4 видно, що отримується десяткове число містить: 13 (D 16) одиниць, 5 чисел 16, 10 (A 16) чисел 256 і 3 числа 4096. Кожна цифра шістнадцяткового числа множиться на відповідне значення позиції і ці твори складаються. Таким чином, 3 A 5 D 16 = 1494110.
Зробимо зворотне перетворення. Процес перетворення десяткового числа в шістнадцяткове схожий на перетворення, отримане на рис.10.1.
Рис.10.2 показує, що початкове десяткове число 1438210 ділиться на 16, що дає результат 89810 і залишок 1410, який перетворюється в шістнадцятковий еквівалент 1410 = Е 16 і є молодшим розрядом (МР) одержуваного числа. Процес поділу продовжується і останній залишок від ділення 310 = 316 стає старшим розрядом (СР) результату.
Вісімкові чіслаtc "10.3 Вісімкові числа"
Вісімкова система містить вісім цифр від 0 до 7 і є системою з основою 8. У табл.10.5 показані десяткові, вісімкові і двійкові числа.
Таблиця 10.5. Десяткові, вісімкові і двійкові числа

Розглянемо різні перетворення. Перетворимо двійкове число 10101001100 в вісімковій еквівалент. Починаючи з молодшого біта двійкове число поділяємо на групи з 3 біт. Потім використовуючи табл.10.5, перетворимо кожну групу у вісімкову цифру.
Двійкове число 010 101 001 100
Вісімкове число 2 5 1 4
Таким чином 101010011002 = 25148.
Здійснимо зворотне перетворення. При цьому кожна вісімкова цифра замінюється двійковим еквівалентом на підставі табл.10.5.
Наприклад, 57348 = 101 111 011 1002.
Вісімкове число 5 7 3 4
Двійкове число 101 111 011 100
Перетворення вісімкового числа на десяткове показано в табл.10.6.
Таблиця 10.6. Вісімкове-десяткові перетворення

У табл.10.6 вісімкове число 3416 перетвориться в десяткове, яке містить 6 одиниць, 1 вісімку, 4 числа 64 і 3 числа 512. Кожна цифра вісімковим множиться на відповідне значення позиції і ці твори складаються. У результаті отримуємо 34 168 = 180 610.
Перетворимо десяткове число 4518 у вісімковій еквівалент. Спочатку число 4518 ділиться на 8. Що дає результат 564 і залишок 6. Який ставиться молодшим розрядом (МР) вісімковим (ріс.10.3). Останній залишок від ділення десяткового числа 1 на 8 дає залишок 1, який є старшим розрядом (СР) восьмеричного еквівалента. Т.ч. 451810 = 106468.
Двійкові логічні елементиtc "10.4 Двійкові логічні елементи"
Використовувані для обробки цифрових сигналів пристрої називаються логічними елементами. Ті елементи, що оперують з двійковими числами називаються двійковими логічними елементами. Для ідентифікації логічних елементів використовують логічні символи. У табл.10.7 наведені сім основних логічних елементів цифрових схем.
Таблиця 10.7. Основні логічні елементи

У табл.10.7 для графічного позначення логічних елементів наведені дві системи - система, рекомендована Міжнародної Електротехнічної Комісією (МЕК), і американська система milspec. Для опису зв'язку входів і виходів логічних елементів використовуються булеві функції. Основи математичної логіки були закладені англійським математиком Дж. Булем (1815 - 1864). У табл.10.7 для завдання булевих функцій використовувалися чотири логічні функції:
1) функція НЕ або інверсія (заперечення) Y =
2) функція І (сполучення) Y = A · B = A  B
3) функція АБО (диз'юнкція) Y = A + B = A  B
4) функція виключає чи Y = A  B
Для перерахованих логічних функцій справедливий ряд аксіом (тотожностей) і законів, основні з яких наведені в табл.10.8.
Таблиця 10.8. Основні аксіоми та закони булевої алгебри
SHAPE \ * MERGEFORMAT

Асксіоми (тотожності)

A

A

0

A

A

1

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

1

0

A

0

1

A

1

=

=

×

=

+

=

×

=

+

=

×

=

×

=

+

Закони комутативності

A

B

B

A

+

=

+

Закони асоціативності

)

'

'

A

=

'

'

+

+

=

+

+

C

(B

C

B)

(A

C)

(B

A

C

B)

(A

Закони дистрибутивності

)

+

×

)

B

+

A

=

×

B

(

+

A

×

+

×

A

=

+

×

З

(A

(

С)

З