Новосибірська державна академія водного транспорту
Кафедра інформаційних систем
Курсова робота на тему "Аналіз дискретної системи"
з дисципліни "Математичні моделі даних, сигналів і систем"
Виконав студент
Абросимов М.В.
Перевірив
викладач Голишев Д.М.
2010
Ключові слова:
АЧХ, ФЧХ, амплітуда, коливання, імпульсну характеристику, система каузальна, алгоритм, дискретна система, система, індекс, період, чистота, стійкість, фаза.
Обсяг роботи: 17стр.
Кількість графіків: 5 рисунків
Використана література: 5 джерел
Мета роботи:
Ознайомитися з системними функціями лінійних систем. Придбати практичні навички аналізу дискретної лінійної системи.
а0: = 1 а1: = 1 а2: = 1 а3: = 1 b 1: = 0,5 b 2: = 0,3
Зміст
Введення
Пояснювальна записка
Завдання I. Різницеве рівняння системи
Завдання II. Імпульсна характеристика
Завдання III. Перехідна характеристика
Завдання IV. Імпульсна характеристика
Завдання V. Системна функція дискретної системи
Завдання VI. АЧХ і ФЧХ
Завдання VII. Стійкість системи
Висновок
Список літератури
Введення
Багатошвидкісна обробка сигналів (multirate processing) припускає, що в процесі перетворення цифрових сигналів можлива зміна частоти дискретизації в бік зменшення або збільшення і, як наслідок, необхідної швидкості обробки. Це призводить до більш ефективної обробки сигналів, оскільки відкривається можливість значного зменшення необхідної обчислювальної продуктивності проектованої цифрової системи. В останні роки в області багатошвідкісний обробки сигналів досягнуті величезні успіхи. Багатошвидкісна фільтрація та особливості її застосування стали предметом досліджень численних наукових робіт по цифровій обробці сигналів (ЦОС). З'явилися десятки монографій та навчальних посібників, так чи інакше пов'язаних з науковими та практичними досягненнями в цій галузі. Абсолютно унікальні можливості дає використання багатошвідкісний обробки в системах адаптивної та нелінійної фільтрації, стиску, аналізу і відновлення мови, звуку й зображень.
Пояснювальна записка
Передбачається, що на вхід системи надходять вхідні дискретні сигнали x (n), реакцію на які називають виходом системи y (n). Тут n - це номер дискретного звіту n = 0, 1, 2, 3 ...
Основні конструктивні елементи дискретних систем.
1. Множення сигналу на константу А.
2. Затримка сигналу на один звіт n (інтервал часу, рівний кроку дискретизації сигналу T d).
3. Суматор сигналів.
Завдання I. Різницеве рівняння системи
Знайдемо різницеве рівняння системи - це залежність між дискретними сигналами x (n) і y (n).
Для даної схеми отримаємо
y (n) = x (n) + x (n -1) + x (n -2) + x (n -3) +0,5 * y (n -1) +0,3 * y (n - 2)
За аналогією з безперервною системою дискретна система в тимчасовій області описується 2 характеристиками: імпульсної (ваговий) w (n) та перехідною g (n).
Завдання II. Імпульсна характеристика
Знайдемо імпульсну характеристику - це реакція системи на вхідний вплив у вигляді дискретної дельта-функції δ (n), тобто
якщо x (n) = δ (n), то y (n) = w (n), де
.
Отримаємо для нашої системи
w (n) = 1 * δ (n) +1 * δ (n -1) +1 * δ (n -2) +1 * δ (n -3) +0,5 * w (n -1) + 0,3 * w (n -2)
При цьому ми припускаємо, що наша система каузальна або фізично реалізована, що означає, що реакція (відгук) системи не може наступити раніше подачі вхідного сигналу.
Оскільки вхідний сигнал подається в момент n = 0, то імпульсна характеристика має бути дорівнює w (n) = 0 при негативних значеннях n.
При n = 0 імпульсна характеристика системи буде дорівнює
w (0) = δ (0) + δ (0-1) + δ (0-2) + δ (0-3) +0,5 * w (0-1) +0,3 * w (0 - 2)
w (0) = 1 +0 +0 +0 +0 +0 = 1
При n = 1 імпульсна характеристика системи буде дорівнює
w (1) = δ (1) + δ (1-1) + δ (1-2) + δ (1-3) +0,5 * w (1-1) +0,3 * w (1 - 2)
w (1) = 0 +1 +0 +0,5 +0 = 1,5
При n = 2 імпульсна характеристика системи буде дорівнює
w (2) = δ (2) + δ (2-1) + δ (2-2) + δ (2-3) +0,5 * w (2-1) +0,3 * w (2 - 2)
w (2) = 0 +0 +1 +0 + (0,5 * 1,5) +1 = 2,05
При n = 3 імпульсна характеристика системи буде дорівнює
w (3) = δ (3) + δ (3-1) + δ (3-2) + δ (3-3) +0,5 * w (3-1) +0,3 * w (3 - 2)
w (3) = 0 +0 +0 +1 +0,5 * 2,05 +0,3 * 1,5 = 2,47
При n = 4 імпульсна характеристика системи буде дорівнює
w (4) = δ (4) + δ (4-1) + δ (4-2) + δ (4-3) +0,5 * w (4-1) +0,3 * w (4 - 2)
w (4) = 0 +0 +0 +0 +0,5 * 2,47 +0,3 * 2,05 = 1,85
При n = 5 імпульсна характеристика системи буде дорівнює
w (5) = δ (5) + δ (5-1) + δ (5-2) + δ (5-3) +0,5 * w (5-1) +0,3 * w (5 - 2)
w (5) = 0 +0 +0 +0 +0,5 * 1,85 +0,3 * 2,47 = 1,66
При n = 6 імпульсна характеристика системи буде дорівнює
w (6) = δ (6) + δ (6-1) + δ (6-2) + δ (6-3) +0,5 * w (6-1) +0,3 * w (6 - 2)
w (6) = 0 +0 +0 +0 +0,5 * 1,66 +0,3 * 1,85 = 1,38
При n = 7 імпульсна характеристика системи буде дорівнює
w (7) = δ (7) + δ (7-1) + δ (7-2) + δ (7-3) +0,5 * w (7-1) +0,3 * w (7 - 2)
w (7) = 0 +0 +0 +0 +0,5 * 1,38 +0,3 * 1,66 = 1,19
При n = 8 імпульсна характеристика системи буде дорівнює
w (8) = δ (8) + δ (8-1) + δ (8-2) + δ (8-3) +0,5 * w (8-1) +0,3 * w (8 - 2)
w (8) = 0 +0 +0 +0 +0,5 * 1,19 +0,3 * 1,38 = 1,01
При n = 9 імпульсна характеристика системи буде дорівнює
w (9) = δ (1) + δ (9-1) + δ (9-2) + δ (9-3) +0,5 * w (9-1) +0,3 * w (9 - 2)
w (9) = 0 +0 +0 +0 +0,5 * 1,01 +0,3 * 1,19 = 0,86
При n = 10 імпульсна характеристика системи буде дорівнює
w (10) = δ (10) + δ (10-1) + δ (10-2) + δ (10-3) +0,5 * w (10-1) +0,3 * w (10 - 2)
w (10) = 0 +0 +0 +0 +0,5 * 0,86 +0,3 * 1,01 = 0,73
При n = 11імпульсная характеристика системи буде дорівнює
w (11) = δ (11) + δ (11-1) + δ (11-2) + δ (11-3) +0,5 * w (11-1) +0,3 * w (11 - 2)
w (11) = 0 +0 +0 +0 +0,5 * 0,73 +0,3 * 0,86 = 0,62
При n = 12 імпульсна характеристика системи буде дорівнює
w (12) = δ (12) + δ (12-1) + δ (12-2) + δ (12-3) +0,5 * w (12-1) +0,3 * w (12 - 2)
w (12) = 0 +0 +0 +0 +0,5 * 0,62 +0,3 * 0,73 = 0,53
При n = 13 імпульсна характеристика системи буде дорівнює
w (13) = δ (13) + δ (13-1) + δ (13-2) + δ (13-3) +0,5 * w (13-1) +0,3 * w (13 - 2)
w (13) = 0 +0 +0 +0 +0,5 * 0,53 +0,3 * 0,62 = 0,45
При n = 14 імпульсна характеристика системи буде дорівнює
w (14) = δ (14) + δ (14-1) + δ (14-2) + δ (14-3) +0,5 * w (14-1) +0,3 * w (14 - 2)
w (14) = 0 +0 +0 +0 +0,5 * 0,45 +0,3 * 0,52 = 0,38
При n = 14 імпульсна характеристика системи буде дорівнює
w (15) = δ (1 5) + δ (1 5 -1) + δ (1 5 -2) + δ (1 5 -3) +0,5 * w (1 5 -1) +0,3 * w (1 5 -2)
w (15) = 0 +0 +0 +0 +0,5 * 0,38 +0,3 * 0, 45 = 0,32
Малюнок 1: імпульсна характеристика
Завдання III. Перехідна характеристика
Знайдемо перехідну характеристику - це реакція системи на вхідний вплив у вигляді дискретної функції одиничного стрибка, тобто
якщо x (n) = h (n), то y (n) = g (n), де
Отримаємо для нашої системи
g (n) = 1 * h (n) +1 * h (n -1) +1 * h (n -2) +1 * h (n -3) +0,5 * g (n -1) + 0,3 * g (n -2)
При цьому ми припускаємо, що наша система каузальна або фізично реалізована, що означає, що перехідна характеристика повинна бути дорівнює g (n) = 0 при негативних значеннях n.
При n = 0 перехідна характеристика системи буде дорівнює
g (0) = h (0) + h (0-1) + h (0-2) + h (0-3) +0,5 * g (0-1) +0,3 * g (0 - 2)
g (0) = 1 +0 +0 +0 +0 +0 = 1
При n = 1 перехідна характеристика системи буде дорівнює
g (1) = h (1) + h (1-1) + h (1-2) + h (1-3) +0,5 * g (1-1) +0,3 * g (1 - 2)
g (1) = 1 +1 +0 +0 +0,5 +0 = 2,5
При n = 2 перехідна характеристика системи буде дорівнює
g (2) = h (2) + h (2-1) + h (2-2) + h (2-3) +0,5 * g (2-1) +0,3 * g (2 - 2)
g (2) = 1 +1 +1 +0 +0,5 * 2,5 +0,3 = 4,55
При n = 3 перехідна характеристика системи буде дорівнює
g (3) = h (3) + h (3-1) + h (3-2) + h (3-3) +0,5 * g (3-1) +0,3 * g (3 - 2)
g (3) = 1 +1 +1 +1 +0,5 * 4,55 +0,3 * 2,5 = 7,02
При n = 4 перехідна характеристика системи буде дорівнює
g (4) = h (4) + h (4-1) + h (4-2) + h (4-3) +0,5 * g (4-1) +0,3 * g (4 - 2)
g (4) = 1 +1 +1 +1 +0,5 * 7,02 +0,3 * 4,55 = 8,87
При n = 5 перехідна характеристика системи буде дорівнює
g (5) = h (5) + h (5-1) + h (5-2) + h (5-3) +0,5 * g (5-1) +0,3 * g (5 - 2)
g (5) = 1 +1 +1 +1 +0,5 * 8,87 +0,3 * 7,02 = 10,54
При n = 6 перехідна характеристика системи буде дорівнює
g (6) = h (6) + h (6-1) + h (6-2) + h (6-3) +0,5 * g (6-1) +0,3 * g (6 - 2)
g (6) = 1 +1 +1 +1 +0,5 * 10,54 +0,3 * 8,87 = 11,93
При n = 7 перехідна характеристика системи буде дорівнює
g (7) = h (7) + h (7-1) + h (7-2) + h (7-3) +0,5 * g (7-1) +0,3 * g (7 - 2)
g (7) = 1 +1 +1 +1 +0,5 * 11,93 +0,3 * 10,54 = 13,12
При n = 8 перехідна характеристика системи буде дорівнює
g (8) = h (8) + h (8-1) + h (8-2) + h (8-3) +0,5 * g (8-1) +0,3 * g (8 - 2)
g (8) = 1 +1 +1 +1 +0,5 * 13,12 +0,3 * 11,93 = 14,13
При n = 9 перехідна характеристика системи буде дорівнює
g (9) = h (9) + h (9-1) + h (9-2) + h (9-3) +0,5 * g (9-1) +0,3 * g (9 - 2)
g (9) = 1 +1 +1 +1 +0,5 * 14,13 +0,3 * 13,12 = 15,0
При n = 10 перехідна характеристика системи буде дорівнює
g (10) = h (10) + h (10-1) + h (10-2) + h (10-3) +0,5 * g (10-1) +0,3 * g (10 - 2)
g (10) = 1 +1 +1 +1 +0,5 * 15,0 +0,3 * 14,13 = 15,73
При n = 11 перехідна характеристика системи буде дорівнює
g (11) = h (11) + h (11-1) + h (11-2) + h (11-3) +0,5 * g (11-1) +0,3 * g (11 - 2)
g (11) = 1 +1 +1 +1 +0,5 * 15,73 +0,3 * 15,0 = 16,36
При n = 12 перехідна характеристика системи буде дорівнює
g (12) = h (12) + h (12-1) + h (12-2) + h (12-3) +0,5 * g (12-1) +0,3 * g (12 - 2)
g (12) = 1 +1 +1 +1 +0,5 * 16,36 +0,3 * 15,73 = 16,90
При n = 13 перехідна характеристика системи буде дорівнює
g (13) = h (13) + h (13-1) + h (13-2) + h (13-3) +0,5 * g (13-1) +0,3 * g (13 - 2)
g (13) = 1 +1 +1 +1 +0,5 * 16,90 +0,3 * 16,36 = 17,36
При n = 14 перехідна характеристика системи буде дорівнює
g (14) = h (14) + h (14-1) + h (14-2) + h (14-3) +0,5 * g (14-1) +0,3 * g (14 - 2)
g (14) = 1 +1 +1 +1 +0,5 * 17,36 +0,3 * 16,90 = 17,75
При n = 15 перехідна характеристика системи буде дорівнює
g (15) = h (15) + h (15 -1) + h (15 -2) + h (15 -3) +0,5 * g (15 -1) +0,3 * g (15 - 2)
g (15) = 1 +1 +1 +1 + 0, 5 * 17,75 +0, 3 * 17,36 = 18,08
Малюнок 2: перехідна характеристика
Завдання IV. Імпульсна характеристика
Знайдемо відгук системи на вхідний вплив наступного виду
.
y (n) = 1 * x (n) +1 * x (n-1) +1 * x (n-2) +1 * x (n-3) +0,5 * y (n-1) + 0,3 * y (n-2)
При n = 0 вихідний сигнал системи буде дорівнює
y (0) = x (0) + x (0-1) + x (0-2) + x (0-3) +0,5 * y (0-1) +0,3 * y (0 - 2)
y (0) = 1 +0 +0 +0 +0 +0 = 1
При n = 1 вихідний сигнал системи буде дорівнює
y (1) = x (1) + x (1-1) + x (1-2) - x (1-3) +0,5 * x (1-1) +0,3 * x (1 - 2)
y (1) = 1 +1 +0 +0 +0,5 +0 = 2,5
При n = 2 вихідний сигнал системи буде дорівнює
y (2) = x (2) + x (2-1) + x (2-2) + x (2-3) +0,5 * y (2-1) +0,3 * y (2 - 2)
y (2) = 1 +1 +1 +0 +0,5 * 2,5 +0,3 = 4,55
При n = 3 вихідний сигнал системи буде дорівнює
y (3) = x (3) + x (3-1) + x (3-2) + x (3-3) +0,5 * y (3-1) +0,3 * y (3 - 2)
y (3) = 1 +1 +1 +1 +0,5 * 4,55 +0,3 * 2,5 = 7,02
При n = 4 вихідний сигнал системи буде дорівнює
y (4) = x (4) + x (4-1) + x (4-2) + x (4-3) +0,5 * y (4-1) +0,3 * y (4 - 2)
y (4) = 1 +1 +1 +1 +0,5 * 7,02 +0,3 * 4,55 = 8,87
При n = 5 вихідний сигнал системи буде дорівнює
y (5) = x (5) + x (5-1) + x (5-2) + x (5-3) +0,5 * x (5-1) +0,3 * x (5 - 2)
y (5) = 1 +1 +1 +1 +0,5 * 8,87 +0,3 * 7,02 = 10,54
При n = 6 вихідний сигнал системи буде дорівнює
y (6) = x (6) + x (6-1) + x (6-2) + x (6-3) +0,5 * y (6-1) +0,3 * y (6 - 2)
y (6) = 1 +1 +1 +1 +0,5 * 10,54 +0,3 * 8,87 = 11,93
При n = 7 вихідний сигнал системи буде дорівнює
y (7) = x (7) + x (7-1) + x (7-2) + x (7-3) +0,5 * y (7-1) +0,3 * y (7 - 2)
y (7) = 1 +1 +1 +1 +0,5 * 11,93 +0,3 * 10,54 = 13,12
При n = 8 вихідний сигнал системи буде дорівнює
y (8) = x (8) + x (8-1) + x (8-2) + x (8-3) +0,5 * y (8-1) +0,3 * y (8 - 2)
y (8) = 1 +1 +1 +1 +0,5 * 13,12 +0,3 * 11,93 = 14,13
При n = 9 вихідний сигнал системи буде дорівнює
y (9) = x (9) + x (9-1) + x (9-2) + x (9-3) +0,5 * y (9-1) +0,3 * y (9 - 2)
y (9) = 1 +1 +1 +1 +0,5 * 14,13 +0,3 * 13,12 = 15,0
При n = 10 вихідний сигнал системи буде дорівнює
y (10) = x (10) + x (10-1) + x (10-2) + x (10-3) +0,5 * y (10-1) +0,3 * y (10 - 2)
y (10) = 1 +1 +1 +1 +0,5 * 15,0 +0,3 * 14,13 = 15,73
При n = 11 вихідний сигнал системи буде дорівнює
y (11) = x (11) + x (11-1) + x (11-2) + x (11-3) +0,5 * y (11-1) +0,3 * y (11 - 2)
y (11) = 0 +1 +1 +1 +0,5 * 15,73 +0,3 * 15,0 = 15,36
При n = 12 вихідний сигнал системи буде дорівнює
y (12) = x (12) + x (12-1) + x (12-2) + x (12-3) +0,5 * y (12-1) +0,3 * y (12 - 2)
y (12) = 0 +0 +1 +1 +0,5 * 15,36 +0,3 * 15,73 = 14,40
При n = 13 вихідний сигнал системи буде дорівнює
y (13) = x (13) + x (13-1) + x (13-2) + x (13-3) +0,5 * y (13-1) +0,3 * y (13 - 2)
y (13) = 0 +0 +0 +1 +0,5 * 14,40 +0,3 * 15,36 = 12,81
При n = 14 вихідний сигнал системи буде дорівнює
y (14) = x (14) + x (14-1) + x (14-2) + x (14-3) +0,5 * y (14-1) +0,3 * y (14 - 2)
y (14) = 0 +0 +0 +0 +0,5 * 12,81 +0,3 * 14,40 = 10,72
При n = 15 вихідний сигнал системи буде дорівнює
y (1 5) = x (1 5) +0 * x (1 5 -1) + x (1 5 -2) + x (1 5 -3) +0,5 * y (1 5 -1) + 0,3 * y (1 5 -2)
y (1 5) = 0 +0 +0 +0 + 0, 5 * 10,72 +0, 3 * 12,81 = 9,20
Малюнок 3: вихідний сигнал
Завдання V. Системна функція дискретної системи
Знайдемо системну функцію дискретної системи.
Перетворимо різницеве рівняння з області звітів n в область деякої комплексної змінної z за наступними правилами:
,
,
і т.д.
Тоді отримаємо
y (n) = 1 * x (n) +1 * x (n -1) +1 * x (n -2) +1 * x (n -3) +0,5 * y (n -1) + 0,3 * y (n -2)
y (z) = 1 * x (z) +1 * x (z) * z -1 +1 * x (z) * z -2 +1 * x (z) z -3 +0,5 * y ( z) * z -1 +0,3 * y (z) * z -2
Системна функція W (z) - це відношення вихідної та вхідної сигналів в області z, рівна
.
Розділимо наше вираз на X (Z)
Тоді отримаємо:
w (z) = 1 + z -1 + z -2 + z -3 +0,5 * w (z) * z -1 +0,3 * w (z) * z -2
звідси отримаємо кінцеве вираз
Завдання VI. АЧХ і ФЧХ
Знайдемо амплітудно-частотну і фазово-частотну характеристику системи (АЧХ і ФЧХ).
Для обчислення АЧХ і ФЧХ використовуємо програму MathCad
Задамо коефіцієнти системи
а0: = 1
а1: = 1
а2: = 1
а3: = 1
b 1: = 0,5
b 2: = 0,3
L: = 10
ω: =- L, - L +0.05 .. L
j: =
Передавальна функція системи
Малюнок 4: АЧ X
Малюнок 5: ФЧХ
,
де T d - це крок дискретизації сигналу.
Завдання VII. Стійкість системи
Оцінимо стійкість системи
Поняття стійкості системи пов'язане з її здатністю повертатися в стан рівноваги після зникнення зовнішніх сил, які вивели її з цього стану.
Природно, що існує межа стійкості - це потужність сили, що вивела систему зі стану рівноваги.
Для цих цілей необхідно обчислити полюса системної функції W (z), тобто такі значення z, при яких знаменник системної функції дорівнює нулю. Отримаємо
1-0,5 * z -1 -0,3 * z -2 = 0
Помножимо праву і ліву частину на z 2
Z 2 -0,5 * z -0,3 = 0
Z 1; 2 =
Z 1; 2 = 0.85; -0.35
Якщо хоча б одне з отриманих значень кореня , То система вважається нестійкою Z 1 = 0.85 <1
Дана система стійка.
Висновок
Ми ознайомилися з системними функціями лінійних систем. Придбали практичні навички аналізу дискретної лінійної системи, навчилися будувати графіки АЧХ і ФЧХ за допомогою програми MathCad.
Підбиваючи загальний підсумок проведених вище досліджень, можна стверджувати що наша система нестійка.
Список літератури
Основи цифрової обробки сигналів. Курс лекцій / А.І. Солонина, Д.А. Улаховіч, С.М. Арбузов та ін - СПб.: БХВ-Петербург, 2003. - 608 с.
Голишев Н.В., Щетинін Ю. І. Теорія і обробка сигналів. Учеб. посібник. - Новосибірськ, Вид-во НГТУ, 1998. - Ч.1. - 103 с.
Голишев Н.В., Щетинін Ю. І. Теорія і обробка сигналів. Учеб. посібник. - Новосибірськ, Вид-во НГТУ, 1998. - Ч.2. - 115 с.
Сиберт У. М. Ланцюги, сигнали, системи. - М.: Мир, 1988. - Ч.1. - 336с.
Сиберт У. М. Ланцюги, сигнали, системи. - М.: Мир, 1988. - Ч.2. - 360С.