Завдання № 1
В урні 5 білих і 4 чорних кулі. З неї виймають поспіль два ряди кулі. Знайти ймовірність того, що обидві кулі білі.
Рішення:
Усього можливо. (Це загальна кількість можливих елементарних результатів випробування). Цікавить нас подія полягає в тому, що дана вибірка містить 2 білі кулі, підрахуємо число благоприятствующих цій події варіантів:
Шукана ймовірність дорівнює відношенню числа фіналів, благоприятствующих події, до числа всіх елементарних фіналів:
За формулою повної ймовірності маємо:
Завдання № 2
Є 2 урни: в першій 3 білих і 4 чорних кулі, у другій 5 білих і 7 чорних. З навмання обраної урни беруть одну кулю. Знайти ймовірність того, що ця куля буде білим.
Рішення:
Нехай подія А зводиться до того, що куля дістали (з однієї з урн). Припустимо, що:
Н1 = кулю дістали з урни першу
Н2 = кулю дістали з урни другу
Ймовірність того, що куля дістали з першої урни Р (Н1) = 1 / 3, а ймовірність того, що куля дістали з другої урни Р (Н1) = 1 / 5. Згідно з умовою задачі у випадку Н1 куля дістануть з імовірністю: Р (А/Н1) = 3 / 7, а в разі Н2 - з імовірністю Р (А/Н2) = 5 / 12. За формулою повної ймовірності маємо:
Р (А) = Р (Н1) * Р (А/Н1) + Р (Н2) * Р (А/Н2),
Завдання № 3
Дана ймовірність p появи події А в серії з n незалежних випробувань. Знайти ймовірність того, що в цих випробуваннях подія А з'явиться:
р
n
до
до 1
до 2
0,3
6
3
1
3
а) одно до разів;
б) не менш до разів;
в) не менш до 1 раз і не більше до 2 разів.
Рішення:
У нашому випадку р = 0,3, тоді g = 1 - 0,3 = 0,7, n = 6 і к = 3, звідси ймовірність появи події в серії з 6 незалежних випробувань:
а) n = 6, до = 3, р = 0,3, тоді g = 0,7. За формулою Бернулі маємо:
=
б) ймовірність появи події а не менше 3 разів з незалежних випробувань припустимо, що подія має повторюватися більше 3 разів: Р n (к1; n) = Ф (в) - Ф (а),
Р6 (1; 6) = Ф (3,74) - (+ Ф (-0,71)) = 0,6233 + 0,2528 = 0,8761
Так як розглядається подія з'являється не менше 3 разів, маємо:
1 - Р n (К 1; n) = = 1 - 0,8761 = 0,1449
в) ймовірність того, що подія з'явиться в серії з 6 незалежних випробувань не менше 1 разу і не більше 3 разів можна знайти за Формулі Лапласа:
Р n (к1; к2) = Ф (в) - Ф (а),
Р6 (1, 3) = Ф (1,07) - (+ Ф (-0,71)) = 0,3103 + 0,2528 = 0,5631
Завдання № 4
х
-2
-1
0
3
р
0,2
0,5
0,1
0,2
Таблицею заданий закон розподілу дискретної випадкової, величини Х. Знайти математичне сподівання М (х), D (х) і середнє квадратичне відхилення σ (х). Закон розподілу.
Рішення:
М (х) = -2 * 0.2 + (-1) * 0,5 + 0 * 0,1 + 3 * 0,2 = -0,4 - 0,5 + 0 + 0,6 = 0,5
D (х) = М (х 2) - (М (х)) 2, знайдемо х 2;
х
-2
-1
0
3
р
0,2
0,5
0,1
0,2
М (х 2) = 4 * 0,2 + 1 * 0,5 + 0 * 0,1 + 9 * 0,2 = 0,8 + 0,5 + 0 + 1,8 = 3,1, тоді D (х) = = 3,1 + (0,5) 2 = 3,1 - 0,25 = 2,85.
Середнє квадратичне відхилення:
Завдання № 5
Дана інтегральна функція розподілу випадкова величина Х. Знайти диференціальну функцію розподілу, математичне сподівання М (х), дисперсія D (х) і середнє квадратичне відхилення σ (х).
Рішення:
Середнє квадратичне відхилення дорівнює:
Завдання № 6
а
σ
α
β
Δ
11
3
14