Окружності в трикутники і чотирикутники

Муніципальне загальноосвітній заклад

середня загальноосвітня школа № 8

Реферат з геометрії на тему:

Роботу виконав учень 9 «А» класу

МОУ СЗШ № 8 Петров Ігор

Керівник: учитель математики МОУ СЗШ № 8

Смирнова Надія Анатоліївна

Зміст:

Введення
Теоретична частина:

2.1 Вписана окружність

2.2 Описана окружність

2.3 Взаємне розташування прямої та кола

2.4 Площі фігур

2.5 Властивості прямокутного трикутника

Практична частина:

3.1 Завдання з окружністю, описаної близько трикутника

3.2 Завдання з окружністю, вписаною в трикутник

3.3 Завдання з окружністю, описаної близько чотирикутника

3.4 Завдання з окружністю, вписаною в чотирикутник

Висновок

Список літератури:

1. Введення

Тема «Вписані і описані кола в трикутники і чотирикутники» є однією з найскладніших в курсі геометрії. На уроках їй приділяється дуже мало часу.

Геометричні завдання цієї теми включаються в другу частину екзаменаційної роботи ЄДІ за курс середньої школи.

Для успішного виконання цих завдань необхідні тверді знання основних геометричних фактів і деякий досвід у вирішенні геометричних задач.

Мета:

Поглибити знання з теми «Вписана і описана окружності в трикутники і чотирикутники»

Завдання:

Систематизувати знання з цієї теми
Підготуватися до вирішення завдань підвищеної складності ЄДІ

2.Теоретичні частина

2.1 Вписана окружність

Визначення: якщо всі сторони многокутника стосуються кола, то коло називається вписаною в багатокутник, а багатокутник - описаним біля цієї окружності.

Теорема: у будь-трикутник можна вписати коло, і притому тільки одну.

Центр кола, вписаного в трикутник, знаходиться на перетині биссектрис трикутника.

Властивість: у будь-якому описаному чотирикутнику суми протилежних сторін рівні.

Ознака: якщо суми протилежних сторін опуклого чотирикутника рівні, то в нього можна вписати коло.

2.2 Описана окружність

Визначення: якщо всі вершини многокутника лежать на колі, то коло називається описаною навколо багатокутника, а багатокутник - вписаним в цю коло.

Теорема: біля будь-якого трикутника можна описати коло, і притому тільки одну.

Центр кола, описаного навколо трикутника, знаходиться на перетині серединних перпендикулярів.

Властивість: у будь-якому вписаному чотирикутнику сума протилежних кутів дорівнює 180 ˚.

Ознака: якщо сума протилежних кутів чотирикутника дорівнює 180 ˚, то біля нього можна описати коло.

2.3 Взаємне розташування прямої та кола:

AB - дотична, якщо OH = r

Властивість дотичної:

AB _┴ OH (OH - радіус, проведений в точку дотику H)

Властивість відрізків дотичних, проведених з однієї точки:

AB = AC

ے BAO = ے CAO

Властивість хорд: якщо дві хорди кола, AB і CD перетинаються в точці M, то твір відрізків однієї хорди дорівнює добутку відрізків інший хорди: AM ∙ MB = CM ∙ MD.

Медіана

Медіана (від лат. Mediana - середня), відрізок, що з'єднує вершину трикутника з серединою протилежної сторони.

Медіана рівнобедреного трикутника, проведена до основи, є висотою і бісектрисою.

Теорема: сума кутів трикутника дорівнює 180 °

Основне тригонометричне тотожність: sin ² A + cos ² A = 1

Теорема косинусів: квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними: a ² = b ² + c ² - ² bc ∙ cos A

2.4 Площі фігур

Площа паралелограма

Площа паралелограма дорівнює добутку його основи на висоту:

Площа паралелограма дорівнює добутку двох сусідніх його сторін на синус кута між ними:

Площа трикутника

Площа трикутника дорівнює половині добутку двох його сторін на синус кута між ними:

Площа трикутника дорівнює половині добутку його основи на висоту:

Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів:

Якщо висоти двох трикутників рівні, то їх площі ставляться як підстави.

Якщо кут одного трикутника дорівнює куту другого трикутника, то площі цих трикутників відносяться як твори сторін, що укладають рівні кути:

Площа трапеції

Площа трапеції дорівнює добутку напівсума її підстав на висоту:

Теорема: ставлення площ двох подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.

2.5 Прямокутний трикутник

Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, є середнім пропорційним для відрізків, на які ділиться гіпотенуза цієї висотою:

Катет прямокутного трикутника, що лежить проти кута в 30 °, дорівнює половині гіпотенузи:

Теорема Піфагора:

У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів: c ² = a ² + b ²

3. Практична частина

3.1 Завдання з окружністю, описаної близько трикутника

Завдання 1: Близько рівнобедреного трикутника з основою AC і кутом при основі 75 ˚ описана коло з центром O. Знайдіть її радіус, якщо площа трикутника BOC дорівнює 16.

Дано: Δ ABC - рівнобедрений, AC - підстава, ے ACB = 75 ˚,

площа Δ BOC дорівнює 16

Знайти: радіус описаного кола

Рішення:

Проведемо медіани AF, CE, BH
Δ ABC - рівнобедрений, BH - медіана, отже, BH - висота, а значить Δ HBC - прямокутний
ے HBC = 90 ˚ - ے ACB, ے HBC = 90 ˚ - 75 ˚ = 15 ˚
BO = OC = R, отже, Δ BOC - рівнобедрений, значить ے HBC = ے ECB = 15 ˚

ے COB = 180 ˚ - (ے HBC + ے ECB), ے COB = 180 ˚ - (15 ˚ + 15 ˚) = 150 ˚

S = ∙ BO ∙ OC ∙ sin ے BOC (теорема про площу трикутника), S _BOC = ∙ R ∙ R ∙ sin 150 ˚ = ∙ R ∙ R ∙ = ∙ R ^2; ∙ R ² = 16; R ² = 16: = 64; R = = 8

Відповідь: R = 8

Завдання 2: трикутник BMP з кутом B, рівним 45 ˚, вписаний в коло радіуса 6. Знайдіть довжину медіани BK, якщо BK перетинає коло в точці C і CK = 3.

Рішення:

ے MOP = 2 ے MBP

ے MOP = 2 ∙ 45 ˚ = 90 ˚, отже, Δ MOP - прямокутний

MP ² = OM ² + OP ²

MP ² = 6 ² + 6 ² = 36 + 36 = 36 ∙ 2

MP =

MK = KP = 0,5 ∙ MP

MK = KP = 0, 5 ∙ =

MK ∙ KP = BK ∙ KC

= BK ∙ 3

BK ∙ 3 = 9 ∙ 2

BK ∙ 3 = 18

BK = 6

Відповідь: BK = 6

Завдання 3: гострокутий рівнобедрений трикутник BCD з основою CD, рівним 16, вписаний в коло з центром O і радіусом 10. Знайдіть площу трикутника BOC.

Рішення:

Δ BCD - рівнобедрений, CD = 16, отже, DH = HC = 8
Δ DOH - прямокутний

По теоремі Піфагора:

OH ² = 10 ² - ⁸ лютого

OH ² = 100 - 64 = 36

OH = 6

BH = BO + OH = 10 + 6 = 16
По теоремі Піфагора:

BC ² = 16 ² + 8 ² = 256 + 64 = 320

BC =

Δ KBO ~ Δ HBC

S _BHC =

S _BOK = 20

S _BOC = 2 ∙ S _BOK = 2 ∙ 20 = 40

Відповідь: S _BOC = 40

3.2 Завдання з окружністю, вписаною в трикутник

Задача 4: радіус кола, вписаного в прямокутний трикутник, дорівнює 2 м, а радіус описаного кола дорівнює 5 м. Знайдіть більший катет трикутника.

Рішення:

AC = 2r = 10 м
Нехай AM = AK = x, MC = CL = y

По теоремі Піфагора:

x + y = 10

(X + 2) ² + (y + 2) ² = (x + y) ²

y = 10 - x

(X + 2) ² + (10 - x + 2) ² = (x + 10 - x) ²

(X + 2) ² + (12 - x) ² = 100

x ² + 4x + 4 +144 - 24x + x ² = 100

2x ² - 20x + 148 = 100

2x ² - 20x + 48 = 0

x ² - 10x + 24 = 0

x ₁ = 6, x ₂ = 4

y = 10 - x

x = 6 x = 4

y = 4 y = 6

3. Так як потрібно знайти більший катет, то беремо y = 6

BC = 2 + 6 = 8 м

Відповідь: B С = 8 м

Задача 5: коло, вписана в рівнобедрений трикутник, стосується його бічних сторін в точках K і A. Точка K ділить сторону цього трикутника на відрізки 15 і 10, рахуючи від основи. Знайдіть довжину відрізка KA.

Дано: Δ BCD - рівнобедрений, K є BC, A є DC, BK = 15, KC = 10

Знайти: KA

Рішення:

CD = CB = BK + KC, CD = CB = 15 + 10 = 25
CK = CA = 10 (відрізки дотичних, проведені з однієї точки), CB = CD, отже AD = CD - CA, AD = 25 - 10 = 15
BE = BK = 15, DE = DA = 15 (відрізки дотичних, проведені з однієї точки), отже BD = 15 + 15 = 30
Δ CKA ~ Δ CBD (ے C - загальний, CK: CB = CA: CD), отже KA: BD = CA: CD, KA: 30 = 10: 25, KA = 10 ∙ 30: 25 = 12

Відповідь: KA = 12

BC = x + y

BC = 18 + 12 = 30 (м)

Відповідь: 30 м - діаметр описаного кола

3.3. Завдання з окружністю, описаної близько чотирикутника

Завдання 6: у рівнобедреної трапеції підстави 21 і 9 сантиметрів, висота - 8 сантиметрів. Знайти радіус описаного кола.

Рішення:

Проведемо серединні перпендикуляри до підстав Н і К, тоді центр окружності Про лежить на прямій НК.
АТ = ОВ = R. Точка Про ділить відрізок НК на дві частини: нехай АЛЕ = х, тоді ОК = 8 - х.
АТ ² = АК ² + КО ^2; ОВ ² = ВН ² + АЛЕ ^2;

так як ОА ² = ОВ ^2, отримаємо:

АК ² + КО ² = ВН ² + але ²

90 + 64 - 16x = 0

16x = 154

ОВ ² = ВН ² + але ²

Відповідь: OB = 10,625

3.4 Завдання з окружністю, вписаною в чотирикутник

Завдання 7: в ромб вписано коло радіуса R. Знайти площу ромба, якщо його більша діагональ в 4 рази більше радіуса вписаного кола.

Дано: ромб, радіус вписаного кола - R, BD r в 4 рази

Знайти:

Рішення:

Нехай OE = R, BD = 4OE = 4R

Відповідь:

Завдання 8: знайдіть площа рівнобедрений трапеції, описаної близько окружності з радіусом 4, якщо відомо, що бічна сторона трапеції дорівнює 10.

Дано: ABCD - рівнобедрена трапеція, r = 4, AB = 10

Знайти:

Рішення:

AB = CD = 10 по умові
AB + CD = AD + BC по властивості вписаного кола
AD + BC = 10 + 10 = 20
FE = 2r = 2 · 4 = 8

Відповідь:

Завдання 9: всередині правильного трикутника зі стороною a розташовані три рівні кола, кожна з яких стосується двох сторін трикутника і двох інших кіл. Знайти площа частини трикутника, розташованої поза цих кіл.

Рішення:

Нехай AB = BC = AC = a.
Позначимо O ₁ E = O ₁ K = ED = r, тоді AD = AE + ED = AE + r = .

AO ₁ - бісектриса кута A, отже, ے O ₁ AE = 30 ˚ і в прямокутному Δ AO ₁ E маємо AO ₁ = 2 O ₁ E = 2 r і AE = = = . Тоді AE + r = = = , Звідки .

Відповідь:

Завдання 10: вся дуга окружності радіусу R розділена на 4 великі і 4 малі частини, які чергуються одна за одною. Більша частина в два рази довше малою. Визначити площу восьмикутника, вершинами якого є точки розподілу дуги кола.

Рішення:

Нехай ے AOB = 2 x, ے BOC = x, тоді за умовою 8x + 4x = 360 °, x = 30 °, 2x = 60 °, ے AOB = 60 °, ے BOC = 30 °

Відповідь:

Задача 11: сторони трикутника дорівнюють 12 м, 16 м і 20 м. Знайдіть го висоту, проведену з вершини більшого кута.

Рішення:

20 ² = 12 ² + ¹⁶ лютого

400 = 144 + 256

400 = 400 вірно, отже, Δ АВС - прямокутний (по теоремі, зворотної теоремі Піфагора)

96 = 10 · ВН

ВН = 9,6

Відповідь: ВН = 9,6

Завдання 12: у прямокутний трикутник вписаний квадрат, що має з нею спільну кут. Знайдіть площу квадрата, якщо катети трикутника дорівнюють 10 м і 15 м.

Дано: Δ ABC - прямокутний, AC = 15, CB = 10

Знайти:

Рішення:

Δ ADE ~ Δ ACB (ے A - загальний, ے ADE = ے ACB = 90 °)
Нехай DE = DC = X, тоді AD = 15 - X

15 · X = 10 (15 - X)

15 · X = 150 - 10 · X

25 · X = 150

X = 6

DE = DC = 6

S _кв. = 6 · 6 = 36

Відповідь: S _кв. = 36

Завдання 13: підстави трапеції дорівнюють 10 м і 31 м, а бічні сторони - 20 м і 13 м. Знайдіть висоту трапеції.

Рішення:

HK = BC = 10 м
Нехай BH = CK = x, AH = y, тоді KD = 21 - y
По теоремі Піфагора:

x ² + y ² = ¹³ лютого

x ² + (21 - y) ² = ²⁰ лютого

x ² + y ² = 169

x ² + 441 - 42y + y ² = 400

441 - 42y = 231

42y = 210

y = 5

AH = 5 м

По теоремі Піфагора:

BH ² = AB ² - AH ²

BH ² = 13 ² - ⁵ лютого

BH ² = 169 - 25

BH ² = 144

BH = 12

Відповідь: BH = 12

4. Висновок

У процесі роботи я розширив знання з теми «Вписані і описані кола в трикутники і чотирикутники», навчився вирішувати завдання, що здавалися раніше недоступними, систематизував знання з цієї теми, і закріпив методи вирішення цих завдань на практиці.

Так як геометричні завдання цієї теми включаються в другу частину екзаменаційної роботи ЄДІ за курс середньої школи, то надалі мені буде набагато легше впоратися з ними на ЄДІ.

Список літератури:

«Єдиний державний іспит 2006. Математика. Навчально-тренувальні матеріали для підготовки учнів / Рособрнадзора, ІСОП - М.: Інтелект-Центр, 2006 »
Мазур К. І. «Рішення основних конкурсних задач з математики збірника під редакцією М. І. Сканаві»
Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Е. Г. Позняк, І. І. Юдіна «Геометрія, 7 - 9: підручник для загальноосвітніх установ»
Т. А. Корєшкова, Ю. А. Глазков, В. В. Мірошин, Н. В. Шевельова «Математика. Єдиний державний іспит 2006. Типові тестові завдання »