Перетворення подібності площині зберігає просте відношення трьох точок прямої.
Перетворення подібності площині зберігає відношення "лежати між".
Перетворення подібності площині відображає кут у рівний йому кут.
Перетворення подібності площині відображає відрізок у відрізок, промінь в промінь.
Перетворення подібності площині відображає паралельні прямі в паралельні прямі.
Слідство. Перетворення подібності площині відображає паралелограм в паралелограм.
Перетворення подібності площині відображає вектор в вектор, суму векторів в суму векторів і добуток кількості на вектор у твір того ж числа на відповідний вектор.
Теорема. Якщо перетворення подібності f з коефіцієнтом подібності k задано двома системами координат Oij і O ^/ i ^/ j ^/, при цьому і O ^/ (x _0, y _0), то координати будь-якої точки M (x, y) _Oij і її образу M ^/ (x ^/, y ^/) _O ^/ _i ^/ _j ^/ пов'язані співвідношеннями:
де (1)
Доказ спирається на визначення перетворення подібності, на формули, що зв'язують координати однієї і тієї ж точки щодо двох прямокутних декартових систем координат, на розкладання вектора по базисами.
Зауваження. При системи координат Oij і O ^/ i ^/ j ^/ однаково орієнтовані, а при протилежний орієнтовані.
Визначення. Перетворення подібності площині, визначається формулами (1) називається перетворенням подібності першого роду при і перетворенням подібності другого роду при .
З основного властивості перетворення подібності і вірного твердження, зворотного йому (якщо перетворення площині змінює відстань між точками в одному і тому ж відношенні, що дорівнює k> 0, то воно є перетворенням подібності з коефіцієнтом подібності k), слід інше визначення перетворення подібності. Визначення. перетворенням подібності площині з коефіцієнтом подібності k> 0 називається перетворення площини, що змінює відстань між будь-якими точками в одному і тому ж відношенні, що дорівнює k.
Гомотетія площині.
Визначення. Гомотетія площині з центром гомотетии О і коефіцієнтом гомотетии називається перетворенням площині, яке будь-якої точці М площини ставить відповідно точку М ^/ за законом
.
Позначення. - Гомотетія площині з центром гомотетии О і коефіцієнтом гомотетии k.
Визначення. Гомотетічнимі називаються фігури і = .
1) Гомотетічние точки М і М ^/ лежать на одній прямій з центром гомотетии Про.
2) Точки М і М ^/ лежать по один бік від центру О, якщо k> 0, і - по різні сторони, якщо k <0.
3) М ^/ N ^/ = | k | MN.
4) Гомотетія площині є при:
k = 1-тотожним перетворенням;
k =- 1-центральної симетрією.
Формули гомотетии з центром у початку координат:
,
Якщо центр гомотетии має координати S (x _0, y _0), то формули гомотетии з центром S мають вигляд:
,
Якщо введемо позначення , то отримаємо формули
,
Основна властивість гомотетии.
Для будь-яких точок М, N і їх образів , має місце рівність:
.
Доказ. Скористаємося равенствами:
, , , і знайдемо
.
Слідства.
1) Гомотетія з коефіцієнтом є перетворенням подібності з коефіцієнтом подібності , Так як з основного властивості слід або .
2) , Якщо k> 0, і , Якщо k <0.
3) Гомотетія площині має всі властивості перетворення подібності, зокрема: пряму відображає в пряму, паралельні прямі - у паралельні прямі, Змінює всі відстані в одному і тому ж відношенні, зберігає кути.
Характерні властивості гомотетии.
Гомотетія площині має одну нерухому точку - центр гомотетии.
Гомотетія площині відображає пряму, що проходить через центр гомотетии, в себе.
Гомотетія площині ( ) Відображає пряму, в паралельну їй пряму, так не проходить через центр гомотетии.
Гомотетія площині відображає коло, центр якої збігається з центром гомотетии, в концентричне коло. При цьому радіуси кіл зв'язані співвідношенням .
Всякі дві нерівні окружності гомотетічни один одному, при цьому, якщо кола не є концентричними, існують дві гомотетии, відображають одну з них в іншу.



Гомотетія площині є перетворенням подібності першого роду.
Теорема. Всяке перетворення подібності з коефіцієнтом подібності k можна представити як композицію гомотетии і руху.

1.5 Група перетворень подібності і її підгрупи

Теорема 1. Безліч всіх перетворень подібності площині є група перетворень, звана групою подоб.
Доказ.
Якщо і - Перетворення подібності з коефіцієнтами і , То - Перетворення подібності з коефіцієнтом . Дійсно є перетворенням площині. Доведемо, що для будь-яких двох точок M і N і їх образів , Виконується рівність . Позначимо і , Тоді , . За основним властивості перетворення подібності , . Тому і композиція є перетворенням подібності.
Нехай - Перетворення подібності площині. Так як змінює всю відстань у відношення , То зворотне до нього перетворення змінює всі відстані у відношенні .
Отже, - Перетворення подібності з коефіцієнтом .
Обидва умови і виконуються. Отже, множина всіх перетворень подібності є підгрупою групи всіх перетворень площини, а, значить, і групою.
Визначення. Безліч всіх подібних між собою фігур називається формою.
Теорема 3. Підгрупами групи подоб площині є:
1) Група перетворень подібності першого роду;
2) Група рухів і всі її підгрупи;
3) Група гомотетія і паралельних переносів;
4) Група гомотетія з одним і тим же центром.

1.6 Метод подібності

Метод подібності виявляється зручним при доказі теорем або при вирішенні завдань. Цим методом вирішуються завдання, в яких задані кути, відносини відрізків і лише тільки одне дане умова пов'язана з лінійними розмірами шуканої фігури. Фігури, що задовольняє всім умовам завдання, крім того, яке пов'язане з розмірами шуканої фігури, подібні між собою. Побудувавши одну з них, а потім, підібравши відповідним чином, коефіцієнт подібності, побудуємо шукану фігуру.
Теорема. Медіани трикутника перетинаються в одній точці, кожна медіана ділитися цією точкою в відношенні 2:1 (рахуючи від вершини трикутника).
Завдання. Побудувати трикутник АВС, якщо дано: , Відношення сторін АВ: ВС = m: n (m, n-ці відрізки) і медіана до сторони АС. [21]

Глава 2. Методика вивчення теми «Подібні трикутники» в шкільному курсі геометрії

§ 1.Сравнітельний аналіз теми «Подібні трикутники» в різних підручниках з геометрії

У цьому розділі пропонується порівняльний аналіз теми за такими підручниками:
1. Атанасян Л.С. Геометрія 7-9;
2. Погорєлов А.В. Геометрія 7-11;
3. Александров А.Д. Геометрія 7-9;
4. Бевз Г.П. Геометрія 7-11;
5. Шаригін І.Ф. Геометрія 7-9.
Розглянуті навчальні посібники, такі як Атанасян Л.С. Погорєлова О.В. найчастіше використовуються в школі, підручник Александрова А.Д. цікавий тим, що використовується в класах з поглибленим вивченням математики, підручник Шаригіна І.Ф. -Це новий підручник, який ставитися на противагу підручника Бевза Г.П. трохи застарілого і практично не застосовується на практиці.
Матеріал структурується за таким планом, до якого включаються основні питання аналізу:
1. Поняття перетворення подібності та його властивості;
2. Гомотетія та її властивості;
3. Визначення подібних фігур, властивості подібних фігур;
4. Визначення подібних трикутників;
5. Ознаки подібності трикутників;
6. Метод подібності;
7. Система завдань з даної теми;
Поняття перетворення подібності та його властивості.
У розглянутих підручниках поняття перетворення подібності та його властивості найчастіше не вивчається, тільки в підручниках Атанасян Л.С., тема, вивчається індуктивно і розгляду подібних трикутників не передує. Дані поняття додаються в рамках інших тем досліджуваних пізніше.
Наприклад, у підручнику Александрова А.Д. пропонуються такі визначення перетворення подібності: «Подобою називається перетворення, при якому відстані змінюються в одному і тому ж відношенні, тобто множиться на одне і теж число, називане коефіцієнтом подібності »,« Подобою фігури з коефіцієнтом k> 0 називається таке її перетворення, при якому будь-яким двом точкам X і Y фігури зіставляються такі точки X   і Y, що XY = k * XY ». Розглянуті визначення разом складають аналогічне визначення в підручнику Погорєлова «Перетворення фігури F у фігуру F, називається перетворенням подібності, якщо при цьому перетворенні відстань між точками змінюється в одне і теж число раз. Довільні точки X і Y фігури F при відображенні подоби переходить до точки X, Y фігури F, то XY = k * XY, причому число k одне і теж для всіх точок X і Y, число k називається коефіцієнтом подібності ».
У навчальних посібниках розглянутих вище визначення перетворення подібності не виділяються і не привертають увагу учнів.
Зовсім інакше вводиться визначення перетворення подібності в навчальному посібнику Бевза Г.П., «Геометричне перетворення, що відображає фігуру на подібну їй фігуру», автор спирається на визначення подібних фігур. Абсолютно різні властивості перетворення подібності виділяє кожен автор, тільки дві властивості спільне для всіх «Подоба зберігає величину кута і відрізок переводить у відрізок».
У підручнику Александрова А.Д. додатково наводяться:
1 ⁰ Подоба переводить трикутник в трикутник. Відповідні сторони цих трикутників пропорційні, а відповідні кути рівні
2 ⁰ У результаті подібності з коефіцієнтом k площа багатокутної фігури множиться на k ²
У навчальному посібнику Погорєлова властивості розглянуті у вигляді твердження: «Перетворення подібності зберігає просте відношення трьох точок; переводить прямі в прямі; напівпрямі в напівпрямі».
Гомотетія і її властивості.
При введенні поняття гомотетии і її властивості так само існують відмінності.
Гомотетія в підручнику Александрова А.Д. визначається з використанням вектора: «гомотетія з центром О і коефіцієнтом k (відмінним від нуля) - це перетворення, при якому кожній точці X зіставляється така точка X, що = K ».
Поняття гомотетии вводитися конструктивно в підручнику Погорєлова: «Нехай F-дана фігура і O-фіксована крапка. Проведемо через довільну точку X фігури F промінь OX і відкладемо на ньому відрізок OX, рівний , Де k - позитивне число. Перетворення фігури F, при якому кожна її точка X переходить в X, побудовану зазначеним способом, називається гомотетія щодо центру О. Число k називається коефіцієнтом гомотетии, фігури F і F називаються гомотетічнимі ».
Аналогічно вводитися гомотетія в підручнику Бевза Г.П.
Такі загальні властивості гомотетии як:
1 ⁰ Гомотетія зберігає величину кута.
2 ⁰ Гомотетія відрізок переводить у відрізок
розглядаються у навчальних посібниках Александрова А.Д., Бевза Г.П., Атанасян Л.С., але є й додаткові, наприклад автор Александров А.Д., доповнює розглянуті вище властивості наступними:
3 ⁰ Основна властивість гомотетии: при гомотетии з коефіцієнтом k кожен вектор множиться на k.
4 ⁰ Гомотетія трикутник переводить в трикутник, сторони цих трикутників пропорційні, а відповідні кути рівні.
Автор Бевз Г.П. доповнює такі властивості, які явно не виділяються в підручнику:
3 ⁰ При гомотетии пряма переходить у пряму, промінь в промінь.
4 ⁰ Гомотетія змінює розмір фігури, не змінює її форми.
У підручнику Погорєлова О.В. властивості гомотетии не розглядаються, тільки є невеличке зауваження про те, що гомотетія і подобу володіють аналогічними властивостями.
Визначення подібних фігур, властивості подібних фігур.
Визначення подібних фігур у підручнику Погорєлова О.В. не виділено курсивом і зливається з текстом, таким чином, не привертає уваги учнів. «Дві фігури називаються подібними, якщо вони переводяться один в одного перетворенням подібності». Далі вводитися позначення подібних фігур.
Практично аналогічно, дуже наочно і докладно вводитися визначення подібних фігур у навчальному посібнику Александрова А.Д. «Фігура F називається подібної фігурі F з коефіцієнтом k, якщо існує подібність з коефіцієнтом k, що переводить F в F». Далі робиться висновок, що подібні фігури мають однакову форму, але різні розміри, що дуже важливо для учнів при розумінні теми.
За допомогою композиції гомотетии та утворення вводитися визначення подібності фігур у підручнику Бевза Г.П.. «Дві фігури називаються подібними, якщо за допомогою композиції гомотетии і руху одну з них можна відобразити на іншу».
Слід зауважити, що в навчальному посібнику Атанасян Л.С. подібні фігури вивчаються після теми подібні трикутники. За нашою темою є невелике згадка про те, що «в геометрії фігури однакової форми називаються подібними» і приводитися пару прикладів.
Аналогічно вводитися визначення подібних фігур у підручнику Шаригіна І.Ф.. Автор робить посилання на початок голови «Подоба» де наводитися багато прикладів подібних фігур.
Тільки в підручнику Погорєлова О.В. зустрічаються властивості подібних фігур:
«Якщо фігура F ₁ подібна фігурі F _2, а фігура F ₂ подібна фігурі F _3, то фігури F ₁ і F ₃ подібні».
У всіх розглянутих підручниках визначення подібних фігур передує вивчення подібних трикутників.
Визначення подібних трикутників.
Що стосується подібності трикутників, то в підручнику Атанасян Л.С. вони визначаються з опорою на поняття подібних сторін трикутників і рівність кутів: «Два трикутника називаються подібними, якщо їх кути відповідно рівні і сторони одного трикутника відповідно рівні сторонам іншого».
У підручнику Шаригіна І.Ф. відмінність полягає в тому, що тут використовуються поняття відповідних, а не подібних сторін, а так само вводяться коефіцієнт подібності трикутників: «Два трикутника називаються подібними, якщо у них рівні кути, а відповідні сторони пропорційні».
Ознаки подібності трикутників.
Ознаки подібності трикутників розглядаються у всіх навчальних посібниках та формулюються наступним чином:
Перша ознака: «Якщо два кути одного трикутника дорівнюють двом кутам іншого трикутника, то такі трикутники подібні».
Друга ознака: «Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам іншого трикутника і кути, укладені між цими сторонами, рівні, то такі трикутники подібні».
Третя ознака: «Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам іншого, то такі трикутники подібні».
Кожен автор доводить ознаки за певним планом. Наприклад, у підручнику Погорєлова О.В. можна виділити наступні етапи:
1) Трикутник A ₁ B ₁ C перетворюється за допомогою подоби з коефіцієнтом k, наприклад гомотетии ( ) І отримуємо трикутник A ₂ B ₂ C _2.
2) Доводимо рівність трикутників ABC і ABC _2.
3) Доводимо подобу трикутників A ₁ B ₁ C ₁ і ABC
  Після кожної ознаки автор пропонує рішення задачі на використання вивченого ознаки.
Атанасян Л.С. доводить ознаки подібності інакше:
₁₎ Розглядається трикутник ABC _2
2) Доводимо рівність трикутників ABC і ABC ₂
3) Доводимо, що трикутник ABC ₂ подібний трикутнику A ₁ B ₁ C ₁ (за визначенням).
У підручнику Александрова А.Д. ознаки доводяться різному, перша ознака доводиться аналогічно плану підручника Погорєлова О.В.. Для доказу другої ознаки використовується теорема синусів. При доведенні третьому ознаки використовується узагальнена теорема Піфагора.
Наступний план докази можна простежити в навчальному посібнику Бевза Г.П.:
1) Гомотетія з коефіцієнтом k переводить трикутник A ₁ B ₁ C ₁ у трикутник A ₂ B ₂ C _2, що дорівнює трикутнику ABC
2) Доводимо, що трикутники ABC A ₂ B ₂ C ₂ рівні
3) Доводимо, що трикутник A ₂ B ₂ C ₂ гомотетічен трикутнику A ₁ B ₁ C _1.
Автор Шаригін І.Ф. у своєму навчальному посібнику перед введенням ознак подібності розглядає теорему про подібні трикутники: «Паралельні прямі, які перетинають сторони кута, утворюють з його сторонами подібні між собою трикутники».
Після доказу теореми розглядаються ознаки подібності. Кожна ознака доводиться, з використанням ознак рівності трикутників. Тільки в підручнику даного автора вводяться ознаки подібності прямокутних трикутників.
Метод подібності.
Метод подібності в школі найчастіше явно не виділяється, деякі автори підручників дуже докладно зупиняються на цьому методі.
У підручнику Александрова розглядається застосування подібності для вирішення завдань і «докази теорем». Зокрема вирішуються завдання на побудову четвертого пропорційного відрізка, квадрата, розташованого в прямокутному трикутнику, так, що три його вершини лежать на катетах, а четверта на гіпотенузі; доводиться теорема про точку перетину медіан трикутника.
У підручнику Атанасян Л.С. розглядається теорема про середньої лінії трикутника; точка перетину медіан трикутника; про пропорційність відрізків у прямокутному трикутнику; практичне застосування подібності трикутників (задачі на побудову, вимірювальні роботи на місцевості).
Система завдань з даної теми.
За темою «Подібні трикутники» підручників Бевза Г.П., Атанасян Л.С., Погорєлова О.В., Шаригіна І.Ф., Александрова А.Д. розглядається велика кількість задач на побудову, на доказ, на обчислення відносин і на рішення. Завдання в процесі навчання виконують дидактичні, пізнавальні, розвиваючі і виховні функції. Щодо перерахованих функцій буде проводитися порівняльний аналіз систем вправ.
У кожному підручнику є особливості, які відрізняють їх один від одного. Наприклад, у підручнику Бевза Г.П. велика увага приділяється завданням на побудову фігур, гомотетічних даними фігурам. Тільки в цьому підручнику пропонуються практичні завдання такі, як: «Виріжте з паперу дві подібні фігури у формі букви« Г »і розмістіть їх на столі так, щоб вони виявилися гомотетічнимі щодо деякого центру. Скількома способами можна це зробити? Чи змінюються при цьому коефіцієнти гомотетии? Додайте ці фігури так, щоб вони були гомотетічнимі ».
Більшість завдань дидактичного характеру розглядаються в навчальному посібнику Шаригіна І.Ф., є кілька завдань несучі розвиваючу функцію, «Які трикутники можна розрізати на два подібних між собою трикутника» і так само завдання пізнавального характеру: «Доведіть, що діагоналі трапеції разом з підставами утворюють два подібних трикутника ». Мало завдань по готових кресленнях. Вправи розташовані в разноброс не відповідаючи послідовності викладу теоретичного матеріалу, що благотворно впливає на розумову діяльність учнів.
У підручнику Атанасян Л.С. пропонуються завдання з рішеннями. Велика увага приділяється завданням несучі дидактичну функцію. Дуже цікаві пізнавальні завдання: «Доведіть, що ставлення подібних сторін подібних трикутників дорівнює відношенню висот, проведених до цих сторонам». Добре підібрані розвиваючі завдання: «План земельної ділянки має форму трикутника. Площа зображеного на плані трикутника дорівнює 87,5 см ^2. Знайдіть площу земельної ділянки, якщо план виконаний у масштабі 1:100000 ». У підручнику даного автора перед групою завдань вказаний номер теоретичного пункту, що дає підказку учням.
Завдання в підручнику Погорєлова О.В. пропонуються від більш простий до складної. Багато задач по готових кресленнях. Більшість вправ пізнавального характеру сприяють отриманню нових фактів, які використовуються при вирішенні інших завдань, наприклад: «Доведіть подобу рівнобедрених трикутників з рівними кутами при вершинах протилежних підставах». Завдань розвиваючої функції практично немає. Аналогічно підручника Атанасян Л.С. завдання розташовуються щодо пунктам вивченого теоретичного матеріалу.
Система завдань підручника Александрова А.Д. включає в себе в основному завдання несучі дидактичну функцію, а так само завдання пізнавальні: «На одній стороні кута відклали рівні відрізки, через їх кінці були здійснені паралельні прямі, які перетинають сторони кута. Доведіть, що на іншій стороні кута виходять рівні відрізки ». При доведенні цього твердження учащие знайомляться з теоремою Фалеса. Велика розмаїтість завдань з використанням готового малюнка. Автор пропонує цікаві розвиваючі завдання: «На якій відстані від вас перебувати людина, що йде перпендикулярно лінії спостереження? В одній з книг дається така відповідь: «Закрийте ліве око, витягніть руку вперед і відігніть великий палець. Вловивши момент, коли палець прикриє фігуру йде далеко людини, закрийте праве око, а лівий відкрийте і порахуйте, скільки кроків зробить людина до того моменту, коли палець знову прикриє фігуру. Збільшивши отримане число в 10 разів, ви дізнаєтеся відстань від нього в кроках »На чому заснований такий прийом?
У всіх розглянутих підручниках тема «Подібні трикутники» вводитися різному, якийсь матеріал краще, будь-то гірше, немає ідеальних навчальних посібників. Найбільш доступний, зрозумілий, який містить велику кількість малюнків і вправ різного характеру є підручник Атанасян Л.С.. Подальша робота грунтується на його матеріалі.

§ 2. Логіко-дидактичний аналіз теми «Подібні трикутники» за підручником Атанасян Л.С.
Тема подібні трикутники в підручнику Атанасян Л.С. вводитися у 8 класі і включає в себе чотири параграфа, кожен з яких ділитися на пункти.
§ 1. Визначення подібних трикутників.
§ 2. Ознаки подібності трикутників.
§ 3. Застосування подібності до доведення теорем і вирішення завдань.
§ 4. співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника.
У першому параграфі вводяться такі нові поняття як «пропорційні відрізки», «подібні сторони», «подібні трикутники», «коефіцієнт подібності».
Поняття пропорційних відрізків вводитися описово з використанням раніше вивченого факту (про ставлення двох відрізків), і розглядається конкретний приклад на застосування нового визначення. Далі обмовляється, що поняття пропорційності може вводитися й для великого числа відрізків.
Перш ніж запровадити визначення подібних трикутників пропонується розібратися з подібністю у реальній і повсякденному житті, і з подобою фігур у геометрії взагалі. Після цього використовуючи малюнок двох трикутників і рівність кутів описово вводитися визначення подібних сторін. Після словесної формулювання пропонується інша запис з використанням буквеної символіки, таким чином, подобу трикутників дається не на основі перетворення подібності, а через рівність кутів і пропорційності подібних сторін. Нехай трикутники АВС і А ₁ В ₁ З ₁ подібні тоді (1); (2) з останнього відносини витікає поняття коефіцієнта подібності.
Розглянувши всі основні поняття аналізованого параграфа, переходять до вивчення наступної теореми: «Ставлення площ подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності», доказ засноване на застосування теореми про ставлення площ трикутника, що мають по рівному кутку і визначення подібних трикутників.
У другому параграфі розглядаються тільки ознаки подібності трикутників з доказом і відсутні нові поняття.
Виявляється, що подібність трикутників можна встановити, перевіривши тільки деякі з рівностей визначення подібних трикутників (1) або (2). Для доказу цього факту розглядаються три ознаки подібності трикутників. Перша ознака доводиться, спираючись на теорему про суму кутів трикутника і на раніше вивчену теорему про ставлення площ трикутників мають по одному рівному кутку. Другий і третій ознака доводиться за загальною схемою:
1. Розглядається трикутник АВС _2;
2. Доводиться, що трикутники АВС ₂ і А ₁ В ₁ З ₁ подібними (за першою ознакою);
3. Доводиться рівність трикутників АВС і АВС _2.
У викладеному матеріалі третього параграфа розглядаються нові поняття: «середня лінія трикутника», «середнє пропорційне», «метод подібності», кожне з визначень вводитися описово.
Саме в цьому параграфі доводиться теорема про середньої лінії трикутника і на підставі цієї теореми вирішується дуже важливе завдання геометрії: «Медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка ділить кожну медіану у відношенні 2:1, рахуючи від вершини».
Для доказу наступних тверджень
1 ⁰ Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, є середнім пропорційним між відрізками, на які ділить гіпотенуза цієї висоти;
2 ⁰ Катет прямокутного трикутника, є середнім пропорційним між гіпотенузою і відрізком гіпотенузи, укладеним між катетом і висотою, проведеної з вершини прямого кута; вирішується завдання: «Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, поділяє трикутник на два подібних трикутника, кожен з яких подібний даному трикутнику ». Рішення спирається на розгляд різних трикутників і докази їхньої подібності.
Для формування практичної значущості подібності трикутників розглядається метод подібності, після опису, якого пропонуються завдання з рішеннями.
Вже в останньому пункті вводитися поняття подібності довільних фігур і коефіцієнт подібності фігур. Ці поняття вводяться через зіставлення двох точок M, N однієї фігури F, точкам M _1, N ₁ іншої фігури F ₁ і , Де k-одне й теж позитивне число для всіх точок. Далі робиться висновок, що кожна точка фігури F ₁ виявляється зіставленої якійсь точці фігури F. Тут же пропонується спосіб побудови подібних фігур.
В останньому параграфі аналізованої теми учні знайомляться з елементами тригонометрії, необхідні для вирішення прямокутних трикутників. Тут вводяться нові поняття синуса, косинуса, тангенса. Їх визначення даються через відносини сторін прямокутного трикутника один до одного. Причому тангенс визначається як відношення синуса до косинусу. При розгляді даних понять вводяться їх позначення. Далі формулюється і доводиться твердження про те, що з рівності гострих кутів слід рівність значень тригонометричних функцій відповідних даними кутах. Спочатку доводиться подобу трикутників, з яких випливає пропорційність подібних сторін трикутників, користуючись отриманими равенствами, отримуємо доказуваних матеріал. Тут же доводиться sin ² A + cos ² A = 1 зване основним тригонометричним тотожністю. При доведенні спираються на нові поняття синуса, косинуса і на теорему Піфагора. Значення синуса, косинуса і тангенса для кутів 30 ^0, 45 ^0, 60 ⁰ знаходяться через основне тригонометрическое тотожність, Через теорему про катета лежачому проти кута в 30 ^0, через теорему Піфагора. Отримані результати відображені в таблиці. Матеріал, пов'язаний з подібністю, дозволяє змістовно реалізувати міжпредметні зв'язки з алгеброю (пропорційність, рівняння, квадратичні коріння) і з фізикою (наприклад, геометрична оптика). У систему вправ включено понад 50 завдань. Велика частина спрямована на пряме або опосередковане застосування теорії. Багато завдань пізнавального характеру, що сприяють отриманню нових фактів, які використовуються при вирішенні інших завдань (№ 534, 537, 569, ...), завдання з практичним змістом (№ 546, 579, 580, 581, 583, ...).
Вивчаючи тему «Подібні трикутники», можна докладно зупинитися на прикладах з реального світу, необхідно розповісти про історію виникнення і розвитку подоби, докладно розповісти легенду про Фалесе, який виміряв висоту піраміди без всяких приладів по відкидаємо нею тіні. Ознайомити учнів із золотим трикутником, золотим прямокутником, золотим перерізом, який є одним з надзвичайно красивих об'єктів, інтерес до яких виявляли вчені, художники протягом багатьох століть.

§ 3. Методичні особливості вивчення теми «Подібні трикутники»

Формування поняття пропорційні відрізки на пряму пов'язане з подібністю трикутників, саме через це поняття прокладається логічний місток до визначення коефіцієнта подібності. Для повного розуміння необхідно вирішувати якомога більше завдань виду № 534.
При розгляді подібних трикутників важлива умова, що накладається на порядок запису вершин подібних трикутників, що дозволяє (як і в разі рівних трикутників) безпосередньо з умови вказати, які саме кути рівні: і які сторони пропорційні, це корисно так само і для контролю правильності запису пропорційних сторін з метою попередження помилок учнів.
Для того щоб виробити відповідний навик в учнів, корисно вирішувати усно завдання типу:
_1. , AB = 3см, BC = 4см, AC = 6 см, A ₁ B ₁ = 12см. Обчислити B ₁ C ₁ і A ₁ C _1.
2. , , Чому дорівнюють ? [ ].
Відношення площ подібних трикутників необхідно не тільки для вирішення багатьох завдань, але і для пізнавальної діяльності дозволяє осмислити той факт, що «ставлення площ двох подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності».
Особливу увагу слід звернути на перший ознака подібності трикутників, так як він лежить в основі докази двох інших ознак, а, крім того, частіше інших застосовується при вирішенні задач. Загальний план докази мають другий і третій ознака:
1.Рассматрівается трикутник АВС _2;
2.Доказивается, що трикутники АВС ₂ і А ₁ В ₁ З ₁ подібними (за першою ознакою);
3.Доказивается рівність трикутників АВС і АВС _2.
Тому можна перший і другий ознака довести самому вчителю, а третій самостійно або перший і третій ознака, а другий самостійно, при цьому можна скласти з учнями наведений вище план.
Ознаки можна позначити традиційно номерами, а можна проводити посилання за змістом: за рівністю двох кутів, по пропорційності двох сторін і рівності кутів між ними, по пропорційності трьох сторін.
У результаті вивчення теми учні повинні знати визначення подібних трикутників, формулювання ознак подібності трикутників, вміти відтворювати докази ознак у ході вивчення поточного матеріалу, застосовувати ознаки подібності при вирішенні завдань.
Щоб показати застосування подібності трикутників при доказі теорем, вирішенні різноманітних завдань, вимірювальних робіт на місцевості вивчається параграф про застосування подоби, корисно повторити з учнями друга ознака подібності трикутників і познайомити з ідеєю доведення теореми про середньої лінії трикутника, і вирішити по готових кресленнях завдання усного характеру .
Після розглянути визначення середньої лінії трикутника і сформулювати теорему про середньої лінії трикутника, а учням можна запропонувати провести доказ самостійно.
Вивчення пункту пропорційні відрізки в прямокутному трикутнику можна організувати: за готовими кресленнями довести подібність запропонованих різних трикутників, а потім як наслідок із доведеного обгрунтувати твердження 1 ⁰ і 2 ^0. Перед тим як приступити до розв'язання задач на побудову методом подібності, бажано нагадати учням основні завдання на побудову: Накресліть гострокутий трикутник АВС. Побудуйте: медіану АМ, бісектрису AD і висоту AH трикутника АВС;
a) пряму BN, паралельну медіані AM.
(Не обов'язково щоб учні виконували всі побудови циркулем і лінійкою, достатньо, якщо вони вкажуть у кожному випадку послідовність виконання операцій). На останньому з уроків, необхідно розглянути матеріал розділу «Вимірювальні роботи на місцевості», в кінці уроку бажано провести невелику бесіду (10 хвилин) про подібність довільних фігур.
Тематичне планування

§ 4. Подоба трикутників. Ознаки подібності трикутників

Ставлення відрізків AB і CD називається відношення їх довжин при цьому виборі одиниці вимірювання; тобто число . Це число не залежить від вибору одиниці виміру [5].
Нехай у трикутниках АВС і А ₁ В ₁ З ₁ кути відповідно рівні: , , . У цьому випадку сторони АВ і А ₁ В _1, ВС і В ₁ С _1, СА і З ₁ А ₁ називаються подібне.
Визначення. Два трикутника називаються подібними, якщо їх кути відповідно рівні і сторони одного трикутника пропорційні подібних сторонам іншого. SHAPE
, , , (1)
(2)
Позначення. АВС ~ А ₁ В ₁ С _1.
З визначення подібних трикутників безпосередньо випливає, що якщо два трикутники рівні, то вони подібні, якщо один трикутник подібний до іншого, то і другий трикутник подібний до першого; якщо перший трикутник подібний другого, а другий третьому, то перший трикутник подібний третій трикутнику.
Подоба трикутників можна встановити, перевіривши тільки деякі з рівностей (1) і (2).
Перша ознака подібності трикутників.
Теорема 1. Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам іншого, то такі трикутники подібні.
Доказ. Нехай АВС і А ₁ В ₁ З ₁ два трикутника, у яких , .
По теоремі про суму кутів трикутника , Тому, . Таким чином, кути трикутника АВС відповідно рівні кутках трикутника А ₁ В ₁ С _1. Так як і , То по слідству (Якщо кут одного трикутника дорівнює куту іншого трикутника, то ставлення площ цих трикутників дорівнює відношенню творів сторін, що укладають рівні кути.).
і .
З цих рівностей отримуємо: . Аналогічно використовуючи рівності , , Отримаємо . Отже, подібні боку трикутників АВС і А ₁ В ₁ З ₁ пропорційні, отже, трикутники подібні.
Друга ознака подібності трикутників.
Теорема 2. Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам іншого трикутника і кути, укладені між цими сторонами, рівні, то трикутники подібні.
Доказ. Нехай АВС і А ₁ В ₁ С ₁ - два трикутники, у яких , . Доведемо, що АВС ~ А ₁ В ₁ С _1.
Для цього, з огляду на перший ознака подібності трикутників, достатньо довести, що .
Від променя АВ у полуплоскость, що не містить точку С, відкладемо кут 1, який дорівнює куті А _1, а від променя ВА в тугіше полуплоскость відкладемо кут 2, дорівнює куту В _1.
Т. к. , То , Тому сторони кутів 1 і 2, не належать прямій АВ, перетинаються в деякій точці С ₂ (мал. б). Трикутники АВС ₂ і А ₁ В ₁ З ₁ подібні за першою ознакою подібності трикутників, тому . З іншого боку, за умовою теореми . З цих двох рівностей отримуємо: АС = АС _2. Отже, трикутники АВС і АВС ₂ рівні за першою ознакою рівності трикутників (АВ - загальна сторона; АС = АС _2, , Т. к. і ). Звідси випливає, що , А тому що , То .
Третя ознака подібності трикутників.
Теорема 3. Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам іншого трикутника, то трикутники подібні.
Доказ. Нехай АВС і А ₁ В ₁ С ₁ - два трикутника, сторони яких пропорційні:
(3)
Доведемо, що АВС ~ А ₁ В ₁ С _1. Для цього, враховуючи друга ознака подібності трикутників, достатньо довести, що . Аналогічно доведенню попередньої теореми (мал. б) побудуємо трикутник АВС ₂ так, щоб , , . Трикутники АВС ₂ і А ₁ В ₁ З ₁ подібні за першою ознакою подібності трикутників, тому . Порівнюючи ці рівності з рівністю (3), отримуємо: ВС = ВС _2, СА = С ₂ А. Отже, трикутники АВС і АВС ₂ рівні по третьому ознакою рівності трикутників. Звідси випливає, , А тому що , То . Таким чином, АВС ~ А ₁ В ₁ З ₁ по другому ознакою подібності трикутників.
Розглянуті ознаки подібності трикутників є основними ознаками, є й інші ознаки, що дозволяють встановити подібність трикутників на основі рівності яких - то кутів і пропорційності яких - то відрізків або величин пов'язані з трикутниками.
Трикутники АВС і А ₁ В ₁ З ₁ подібні, якщо виконується хоча б одна з умов.
1.АВ> АС, , ;
2. , ;
3. , Де BM, B ₁ M ₁ - медіани трикутників;
4. , , Де BH і B ₁ H ₁ висоти трикутників.
§ 5. Дослідна робота
Мета дослідної роботи: виявлення методичних особливостей вивчення теми «Подібні трикутники» у середній школі.
Ідея: для виявлення методичних особливостей необхідно провести декілька уроків по розробленої методики, в кінці навчання провести контрольну роботу, при аналізі якої можна судити про досягнення мети.
Нами була вивчена документація: журнали, характеристики учнів; проводилися бесіди з учителями, директором школи з метою знайомства з класом складання про нього первинних уявлень.
Умови розвитку: досвідчена робота проводилася в середній школі № 1 Зав'яловське району села Зав'ялова у 8 класі. Склад класу 23 людини, успішність середня (13 осіб навчаються на відмінно і добре), учні активні в пізнавальній діяльності, працелюбні, але не уважні.
Проаналізувавши тематичний план на період проходження педагогічної практики, у зв'язку з обмеженістю в часі, досвід проводився в ході 5 уроків за наступними темами «Визначення подібних трикутників», «Перша ознака подібності трикутників», «Друга ознака подібності трикутників», «Рішення завдань», «Контрольна робота».
Робоча гіпотеза: якщо в процесі вивчення теми «Подібні трикутники» використовувати спеціально розроблену методику, спрямовану на вирішення завдань усного характеру, яка буде сприяти розвитку учнів за рахунок підвищення рівня логічного мислення, пам'яті, мови і уваги, то можна виявити методичні особливості вивчення теми « Подібні трикутники ».
Основні завдання:
1) Виконати теоретичний аналіз математичної, навчальної та методичної літератури з питань виявлення методичних особливостей вивчення теми «Подібні трикутники».
2) Створити доступну методику вивчення теми «Подібні трикутники».
3) З'ясувати вплив проведених уроків на якість знань учнів.
4) Визначити методичні особливості вивчення теми «Подібні трикутники».
Для вирішення поставлених завдань були використані наступні методи:
· Вивчення, аналіз, порівняння математичної, навчальної та методичної літератури з проблеми дослідної роботи;
· Спостереження за діяльністю учнів і вчителів;
· Організація та проведення уроків з теми;
· Кількісна та якісна обробка даних, отриманих при проведенні дослідної роботи.
Експериментальні матеріали: розробки 5 уроків включають у себе текст контрольної роботи, наочний матеріал для організації усній роботи.
Хід: на уроці по темі «Визначення подібних трикутників» учні знайомляться з поняттям, терміном і визначенням подібних трикутниках. Згадують, в ході усній роботи, відомі знання про трикутниках. Осмислюють і первинно закріплюють навчальний матеріал вирішенням завдань несучих дидактичну функцію. На наступному уроці учні ознайомлюються з формулюванням і доказом першої ознаки подібності трикутників. Згадують в ході усній роботи, раніше вивчені відомості на які, спирається доказ ознаки. Осмислюють і первинно закріплюють навчальний матеріал вирішенням завдань несучих дидактичну функцію. Проводиться самостійна робота з метою визначення рівня засвоєння знань. У ході вивчення другого і третього ознаки учні вирішують багато усних завдань по готових кресленнях з метою розвитку в учнів логічного мислення, пам'яті, мови і уваги, а так само для повторення вивченого матеріалу. На утраті присвяченому вирішенню завдань здійснюється вторинне осмислення вже відомих знань, вироблення умінь і навичок з їх застосування. Проводиться тест - самоконтроль з метою виявлення рівня навченості учнів. На п'ятому уроці поуровневом контрольна робота, яка дозволяє закріпити і систематизувати знання, а також визначити ступінь і якість засвоєння матеріалу.
Результати: після обробки результатів контрольної роботи (оцінка за п'яте шкалою) проведеної в експериментальному класі, позначки, виставлені в порядку зростання, становлять наступний варіаційний ряд: 222 333 333 4444444444 5555
Для зручності аналогічні дані зазвичай представляють у табличній формі.
Частотний розподіл відміток учнів за контрольну роботу

Варіант	«2»	«3»	«4»	«5»
Частота	3	6	10	4

Таким чином, якість знань в даному класі 61%.
Аналогічно міркуючи будуватися полігон розподілу за результатами контрольної роботи в класі, в якому не проводилася розроблена методика. Тут якість знань - 32%.
Якщо порівняти отримані результати, то в експериментальному класі результати краще.
Висновок: у ході проробленої роботи були виявлені методичні особливості теми, які раніше не були помічені і враховані. Помилки, що допускаються при приведенні розробленої методики, доведеться коригувати вчителю за коштами індивідуальних занять. В цілому досвід показав, що усні завдання сприяють хорошому засвоєнню матеріалу, підвищення працездатності учнів, з'являється інтерес до предмета, що сприяє пізнавальної активності, розвитку мови і здатності не боятися міркувати все це благотворно впливає на весь процес навчання в цілому. Слід враховувати, що надлишок усних вправ призводить до недостатньої кількості часу на вирішення письмових завдань.
Тема уроку: Визначення подібних трикутників
Цілі уроку:
· Ввести поняття, термін і визначення подібних трикутників, закріпити ці знання при вирішенні завдань;
· Розвивати зв'язне математичну мова, логічне мислення;
· Виховувати мотивацію до навчання.
Тип уроку: вивчення нового матеріалу
Форми роботи на уроці: фронтальна, робота в парах, усна, колективна, письмова.
Обладнання: підручник Геометрія 7-9 Л. С. Атанасян, картки із завданнями для усної роботи в парах, креслення для усної роботи.
План проведення уроку
I. Організаційний момент (1 хв)
II. Підготовчий етап (15 хв)
III. Вивчення нового матеріалу (10 хв)
IV. Закріплення вивченого матеріалу (15 хв)
V. Підведення підсумків (2хв)
VI. Домашнє завдання (2 хв)
Хід уроку
I. Організаційний момент
Мета: створити обстановку для нормальної роботи, психологічно підготувати учнів до роботи на уроці.
Діяльність: вітання учнів, перевірка готовності до уроку, з'ясування відсутніх.
II. Підготовчий етап
Мета: активізувати пізнавальну діяльність учнів, підготувати їх до вивчення нового матеріалу.
Діяльність:

Учитель

Учень

Ми з вами вже майже 2 роки вивчаємо геометрію. У курсі геометрії ми познайомилися з новими фігурами, їх властивостями. Але одній фігурі ми приділяли найбільше уваги. Як ви думаєте, про яку фігурі йде мова? Зараз я пропоную провести аукціон, присвячений трикутнику. Давайте спробуємо пригадати все, що нам відомо про трикутник. Виявляється, це ще дуже маленька частина того, що ми повинні знати і дізнаємося в майбутньому. Я бажаю прочитати вам маленьку притчу. "Втомлений прийшов північний чужинець в країну Великого Хапі. Сонце вже сідало, коли він підійшов до прекрасного палацу фараона, щось сказав слугам. Ті миттєво розкрили перед ним двері і провели його в приймальню залу. ТА ось він стоїть у запиленому похідному плащі, а перед ним на позолоченому троні сидить фараон. Поряд стоять зарозумілі жерці, хранителі вічних таємниць природи. - Хто ти? - Запитав верховний жрець? - Звуть мене Фалес. Родом я з Мілета. Жрець гордовито продовжував: - Так це ти похвалявся, що зможеш виміряти висоту піраміди, не піднімаючись на неї? - Жерці зігнулися від реготу. - Буде добре, - глузливо продовжував жрець, - якщо ти схибиш не більше, ніж на сто ліктів. - Я можу виміряти висоту піраміди і помилюся не більше ніж на пів-ліктя. Я зроблю це завтра. Особи жерців потемніли. Яке нахабство! Цей чужинець стверджує, що може вирахувати те, чого не можуть вони - жерці Великого Єгипту. - Добре, сказав фараон. - Біля палацу стоїть піраміда, ми знаємо її висоту. Завтра перевіримо твоє мистецтво ". Після сьогоднішнього уроку ви повинні запропонувати свій спосіб вимірювання висоти піраміди, а поки повернемося до нашого трикутника. Показує 2 рівних трикутника. Які це трикутники? Як перевірити, що вони рівні? Показує ще 2 трикутника, які не є рівними (але є подібними). А що це за трикутники? Я пропоную провести маленьку практичну роботу. (Роздаю по рядах набори подібних трикутників).

Звичайно, трикутник Називають визначення, види трикутників, ознаки рівності трикутників, медіани, бісектриси, висоти, сума кутів трикутника, зовнішній кут, теорема Піфагора і т. д. Рівні Трикутники повинні поєднатися накладенням.

1 ряд	2 ряд	3 ряд
Рис. 1	Рис. 3	Рис. 5
Рис. 2	Рис. 4	Рис. 6

Учитель			Учні
Дослідіть свої пари трикутників. Подумайте, що ви можете сказати про їхні відповідні елементах. (Роблю запису на дошці під диктовку дітей).			Працюють в парах і роблять висновки.
Д	2 ряд	3 ряд
А = А 1 = 50 о	К = До 1 = 40 о	M = M 1 = 20 о
В = В 1 = 65 о	S = S 1 = 90 о	P = P 1 = 135 про
С = З 1 = 65 о	O = O 1 = 50 о	E = E 1 = 25 о
AB / A 1 B 1 = BC / B 1 C 1 = AC / A 1 C 1 = 1 / два	K 1 S 1 / KS = K 1 O 1 / KO = S 1 O 1 / SO = 2	M 1 E 1 / ME = M 1 P 1 / MP = P 1 E 1 / PE = 2

Учитель	Учні
Як ви думаєте, як їх можна назвати? Називаються ці трикутники подібними трикутниками. Тема нашого уроку: "Подібні трикутники".	Рівнокутні. Схожі. Відкривають зошити, записують дату і тему уроку.

III. Вивчення нового матеріалу
Діяльність:

Учитель

Учні

Два трикутника називаються подібними, якщо кути одного трикутника відповідно рівні кутах іншого трикутника, і сторони одного трикутника пропорційні подібних сторонам іншого трикутника. Подібні боку це сторони лежать напроти рівних кутів. Тобто для того щоб дізнатися, подібні трикутники чи ні, які умови треба перевірити? А зараз я хочу подивитися, як ви зрозуміли нову тему. Давайте вирішимо кілька завдань. IV. Закріплення вивченого матеріалу Задача 1 Дано: ABC, A 1 B 1 C 1; А = 63 о; У = 56 о; AB = 4, BC = 3, AC = 6; A 1 = 63 о; B 1 = 56 о; A 1 B 1 = 8, B 1 C 1 = 6, A 1 C 1 = 12. Визначити, подібні чи трикутники. Задача 2 Дано: ABC ~ A 1 B 1 C 1; А = 30 о; B = 85 о; С = 65 о; Знайти: А 1; B 1; З 1. Задача 3 Дано: ABC ~ A 1 B 1 C 1; AB = 3, BC = 4, AC = 6, А 1 В 1 = 12. Знайти: B 1 C 1, A 1 C 1. Задача 4 № 542 (з підручника) У подібних трикутниках АВС і KMN боку АВ і KN, ВС і MN є подібне. Знайдіть сторони трикутника KMN, якщо АВ = 4 см, ВС = 5 см, СА = 7 см, КМ / АВ = 2,1.

Креслять у зошиті два подібних трикутника і записують АВС ~ А 1 В 1 З 1 1) 1) А = А 1, В = В 1, С = З 1 2) AС / A 1 C 1 = AB / A 1 B 1 = BC / B 1 C 1 = k, де k - деяке число, коефіцієнт подібності. Треба щоб виконувалися обидва умови визначення. Дані трикутники подібні, так як виконуються обидві умови визначення. А 1 = 30 0; B 1 = 85 0; З 1 = 65 0 з визначення подібних трикутників. Так як трикутники подібні, то АВ / А 1 В 1 = ВС / В 1 С 1, 3 / 12 = 4 / В 1 С 1, В 1 З 1 = 16 см. Аналогічно міркуючи А 1 З 1 = 24 см.

V. Підведення підсумків
Діяльність:

Учитель	Учні
Що нового дізналися на уроці? Сформулюйте його. Як визначити які сторони є подібні? Оцініть ступінь розуміння теми. Запишіть на полях зошита один з варіантів: Æ все засвоїв добре; Æ засвоїв, але не всі; Æ не зовсім засвоїв; Æ не засвоїв.	Визначення подібних трикутників. Два трикутника називаються подібними, якщо кути одного трикутника відповідно рівні кутах іншого трикутника, і сторони одного трикутника пропорційні подібних сторонам іншого трикутника. Подібні сторони лежать напроти рівних кутів.

VI. Домашнє завдання
Придумати спосіб вимірювання висоти піраміди.
№ 541, п. 57, Атанасян Л. С., "Геометрія 7 - 9 клас"
№ 541.
Подібні чи трикутники АВС і DEF, якщо А = 106 ^про, B = 34 ^о, Е = 106 ^про,
F = 40 ^о, АС = 4,4 см, АВ = 5,2 см, ВС = 7,6 см, DE = 15,6 см, DF = 22,8 см, EF = 13,2 см?
Спосіб вимірювання висоти піраміди.
- Мій зріст три царських вавілонських ліктя (близько 555 мм). А ось моя тінь. Її довжина така ж. І який би предмет не взяв саме в цей час, тінь від нього, якщо ти поставиш його вертикально, точно дорівнює довжині предмета. Цей предмет і його тінь утворюють прямокутний трикутник; знай же, що такі трикутники подібні. А тепер виміряємо довжину цієї тіні від основи піраміди, додамо до неї половину цього підстави, і отримаємо висоту піраміди. Підстава точний квадрат, а тінь перпендикулярна його основи. Фалес вийняв з - під хітона тонку мотузку, розділив її вузликами на рівні частини. Відстань між ними відповідало царського ліктя. Він закріпив мотузку в кінці тіні і простягнув її до середини підстави піраміди - 56 ліктів. Додав 207 ліктів - половину виміряного відстані - до 56 він сказав - 263 ліктя - таку висоту має піраміда.

Висновок

Поняття подібності є одним з найважливіших в курсі планіметрії. Тому вивчення даної теми є однією з основних завдань навчання геометрії в школі.
У ході вирішення завдань, поставлених у цій роботі були отримані наступні результати:
1) На основі теоретичного аналізу математичної, навчальної та методичної літератури, визначено основні поняття, пропозиції та методика їх введення, структура викладу матеріалу.
2) Розроблена доступна методика вивчення теми «Подібні трикутники» заснована на завданнях усного характеру.
3) Організовані і проведені п'ять уроків на тему «Подібні трикутники», одна самостійна і контрольна робота з розробленої методики.
4) У результаті проведених уроків з'ясувалось, дана методика підвищує рівень знань учнів, що свідчить аналіз контрольних робіт у двох класах.
На основі теоретичного аналізу математичної, навчальної, психологічної та методичної літератури і проведеної дослідно-експериментальної роботи, випливає, що якщо в процесі вивчення даної теми використовувати спеціально розроблену методику, спрямовану на вирішення завдань усного характеру, то можна виявити методичні особливості вивчення теми «Подібні трикутники ». Застосування даних методів стимулює пізнавальну діяльність, сприяє розвитку учнів за рахунок підвищення рівня логічного мислення, пам'яті, мови і уваги.
Таким чином, в результаті виконаної роботи була підтверджена гіпотеза і досягнута мета - виявлено методичні особливості вивчення теми «Подібні трикутники» у середній загальноосвітній школі.
З усього сказаного можна зробити висновок, що застосування даних рекомендацій робить більш доступною для учнів цю тему і дозволяє вводити її у відповідності з тим місцем, яке вона займає в науковій геометрії.

Список літератури

1. Александров А.Д. Геометрія 7-9.-М.: Освіта, 1992
2. Атанасян Л.С. Геометрія 7-9. - М.: Просвещение, 1990 Геометрія: Учеб. Для 7-9 кл. середн. Шк. / Л. С. Атаносян, С. Б. Кадомцев и др. - М.: Просвещение, 1990.
3. Атанасян Л.С. Геометрія: Навчальний посібник для студентів фіз. мат. факультетів пед.інстітутов. - М.: Просвещение, 1987
4. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. та ін Вивчення геометрії в 7, 8, 9 класах: методичні рекомендації до підручника. Книга для вчителя. - М.: Просвещение, 2003
5. Атанасян Л. С., Денисова Н. С., Силаєв Є.В. Курс елементарної геометрії. - М.: Сантакс-Прес, 1997, ч.1.
6. Бевз Г.П. Геометрія 7-11.-М.: Освіта, 1992
7. Вернер А.Л., Кантор Б.Є., Франгулов С.А. Геометрія. Санкт-Петербург: Спеціальна література, 1997, частина 1
8. Глейзер Г.І. Історія математики в школі 7-8 класи: Посібник для вчителів .- М.: Просвещение, 1982
9. Гусєва Т.М. Ознаки подібності трикутників .- М. / / Перше вересня, додаток «Математика», 1999, № 28
10. Жохів В.І., Карташева Г.Д., Крайнєва Л.Б. Уроки геометрії у 7-9 класах: методичні рекомендації для вчителів до підручника Атанасян Л.С. -М.: Вербум-М, 2003
11. Зів Б.Г., Мейлер В.М., Баханскій А.Т. Завдання з геометрії. - М.: Просвещение, 2000
12. Вивчення геометрії в 7, 8, 9 класах: Методичні рекомендації до підручника: книга для вчителя / Л.С. Атанасян і др.-М.: Просвещение, 2003
13. Клейн Ф. Елементарна математика з точки зору вищої. Т.2-М.: Наука, 1968
14. Кукарцев Г.І. Збірник завдань з геометрії в малюнках і тестах для 7-9 класів. - М.: Акваріум, 1999
15. Моденою П.С. Геометрія перетворення. - М.: Видавництво московського університету, 1961
16. Нікольський С.М. Подібні трикутники. - М. / / 1-е вересня, додатка «Математика», 1999, № 3
17. Нікулін А.В. Геометрія на площині. - Мінськ: Попурі, 1996
18. Перепелкин Д.І. Курс елементарної геометрії. - М.: Гостехиздат, 1949
19. Погорєлов А.В. Геометрія 7-11.-М.: Освіта, 1993
20. Погорєлов А.В. Елементарна геометрія. - М: Наука, 1974
21. Перетворення і побудови: навчальний посібник. / Л. В. Львова. - Барнаул: Изд-во БДПУ, 2002.
22. Шапіро І.М. Практикум по дидактиці математики .- Барнаул: видавництво БДПУ, 1997