Федеральне агентство з освіти
Державна освітня установа вищої професійної освіти
«Вятський державний гуманітарний університет»
Фізико-математичний факультет
Кафедра дидактики фізики і математики
Випускна кваліфікаційна робота
Використання методів наукового пізнання при вивченні теми «Чотирикутники»
Виконав: студент V курсу
очної форми навчання
фізико-математичного факультету
Овечкін Костянтин Андрійович
Науковий керівник:
к. пед. н., доцент кафедри
дидактики фізики і математики
Шилова З.В.
Рецензент: ст. пр. кафедри
дидактики фізики і математики
Ошуева Е.С.
Робота допущена до захисту в ГАК
«___» ________2008 Р. Зам. зав. кафедрою __________ М. В. Крутіхін
«___» _________2008 Р. Декан факультету ___________ Є. В. Кантор
Кіров 2008
Зміст
\ T "2; 2; 3; 3; голови; 1" Введення
Глава I. Методи наукового пізнання в навчанні математики
1.1. Емпіричні методи пізнання
1.2. Логічні методи пізнання
1.2.1. Аналіз і синтез
1.2.2. Порівняння і аналогія
1.2.3. Узагальнення, абстрагування і конкретизація
1.2.4. Індукція і дедукція
1.3. Математичні методи пізнання. Математичне моделювання
Глава II. Методичні аспекти вивчення теми «Чотирикутники» в шкільному курсі математики основної школи
2.1. Аналіз підручників з теми «Чотирикутники» в шкільному курсі математики основної школи
2.1.1. «Геометрія, 7-11», авт. О. В. Погорєлов
2.1.2 «Геометрія, 7-9», авт. Л. С. Атанасян
2.1.3. «Геометрія, 8-9», авт. А. Д. Александров
2.1.4 «Геометрія, 7-9», авт. І. М. Смирнова, В. А. Смирнов
2.1.5. «Геометрія, 7-9», авт. І. Ф. Шаригін
2.2. Методика вивчення теми «Чотирикутники»
2.2.1. Введення поняття чотирикутник
2.2.2. Приватні види чотирикутників
2.2.3. Вивчення властивостей і ознак чотирикутників
2.3. Застосування методів наукового пізнання при вивченні чотирикутників
2.3.1. Аналіз і синтез
2.3.2. Порівняння та аналогії
2.3.3. Узагальнення
2.3.4. Спостереження і досвід
2.3.5. Індукція
Глава III. Дослідне викладання
Висновок
Бібліографічний список
Додаток 1
Додаток 2
Введення
У сучасній школі у зв'язку з появою нових підручників, нових підходів до викладу матеріалу, зростає інтерес як до математичної освіти в цілому, так і до питань викладання математики, зокрема геометрії.
Вивчення чотирикутників в курсі геометрії основної школи є розділом традиційним і досить важливим у всіх періодах шкільної освіти. У курсі геометрії 7-9-х класів дана тема є досить актуальною, так як на розглянутому матеріалі, як на фундаменті, будують і вивчають інші розділи геометрії: перетворення фігур, площі, багатокутники. Крім того, вивчення багатогранників, площ та обсягів також базується на цій темі.
Тим часом при вивченні теми «Чотирикутники» виникають певні труднощі:
· При вирішенні завдань на побудову;
· При застосуванні визначень, властивостей і ознак чотирикутників до вирішення практичних завдань, до доведення теорем і т. п.
Відповідно виникає необхідність у пошуку найбільш ефективних форм і методів роботи з теоретичним і задачний матеріалом з даної теми. У зв'язку з цим мета кваліфікаційної роботи: дослідити можливості застосування методів наукового пізнання при вивченні теми «Чотирикутники».
Об'єктом дослідження є процес навчання геометрії в основній школі.
Предмет - тема «Чотирикутники» в курсі геометрії основної школи.
Для здійснення мети даного дослідження сформулюємо гіпотезу: вивчення теми «Чотирикутники» буде більш ефективним, якщо:
· Використовувати пропедевтичну спрямованість;
· Застосовувати методи наукового пізнання.
Мета, предмет і гіпотеза дослідження визначили такі завдання:
1. Розкрити зміст понять методів наукового пізнання.
2. Вивчити навчально-методичну літературу з теми дослідження.
3. Показати застосування методів наукового пізнання при вивченні математики.
Для реалізації мети і завдань були використані наступні методи:
1. Вивчення та аналіз навчально-методичної літератури темі дослідження.
2. Аналіз підручників з математики.
3. Проведення досвідченого викладання та експериментальної роботи.
Глава I. Методи наукового пізнання в навчанні математики
Одне з центральних місць в методиці викладання математики займають методи навчання. Знання методів навчання математики необхідно для організації ефективного навчання школярів.
Виділяють такі методи навчання математики [26]:
· Методи навчання, які виділяються за джерелом знань;
· Методи навчання, які визначаються рівнем пізнавальної діяльності учнів;
· Проблемне навчання математики;
· Евристичний метод навчання математики;
· Метод програмованого навчання у викладанні математики;
· Методи інформатики в навчанні математики;
· Методи наукового пізнання в навчанні математики.
У цьому розділі ми докладно розглянемо методи наукового пізнання в навчанні математики. Серед методів наукового пізнання можна виділити наступні:
1. Емпіричні методи пізнання.
2. Логічні методи пізнання.
3. Математичні методи пізнання.
1.1 Емпіричні методи пізнання
До емпіричним методам пізнання відносяться спостереження, опис, вимірювання та експеримент. Найбільш часто ці методи застосовуються в природничо дисциплінах (хімії, біології, астрономії, фізики, географії і т. д.). Для математики ці методи не є характерними. Історія розвитку математики свідчить про те, що емпіричні методи відіграли неоціненну роль у зародженні математичних знань, становленні математики як самостійної теоретичної дисципліни. Шкільне навчання математики в певній мірі повторює її історичний шлях розвитку. Використання засобів наочності і технічних засобів навчання, як правило, передбачає застосування різних емпіричних методів. Часто має місце одночасне використання методів спостереження, опису, вимірювання й експерименту. Це допомагає уникнути пасивної споглядальності, активізувати дії учнів, залучити їх до цілеспрямовану роботу з використання демонстраційних наочних посібників, приладів, моделей і т. п.
Математика не є експериментальною наукою, і, отже, дослідне підтвердження не може служити достатньою підставою істинності її пропозицій. Це, безсумнівно, вірно, якщо під математикою розуміти сукупність готових, вже побудованих дедуктивних теорій, але це невірно, якщо під математикою розуміти розумову діяльність, результатом якої є подібні теорії. В останньому випадку дедуктивна теорія лише одна фаза математики. Але вона має ще дві фази - попередню дедуктивної теорії фазу накопичення фактів (дослідну, інтуїтивну) і наступну за нею фазу додатків. Ці дві фази незалежно від того, чи вважають їх власне математичними або «околоматематіческімі», не менш важливі в навчанні, ніж сама дедуктивна теорія: перша - для розуміння цієї теорії, друга - для її виправдання.
Виходячи із завдань, що стоять перед школою, мова йде про навчання не тільки готовим знанням, а й методів пізнання, що призводить до цих знань. Тому природно застосовувати у навчанні і ті емпіричні методи пізнання, за допомогою яких формулюються гіпотези, що підлягають обгрунтуванню (або спростуванню) вже іншими методами.
Спостереження, досвід і вимірювання повинні бути спрямовані на створення в процесі навчання спеціальних ситуацій та надання учням можливості отримати від них очевидні закономірності, геометричні факти, ідеї докази і т, д. Найчастіше результати спостереження, досвіду і вимірювань служать посилками індуктивних висновків, за допомогою яких здійснюються відкриття нових істин. Тому спостереження, досвід і вимірювання відносять і до евристичних методів навчання, тобто до методів, що сприяє відкриттів.
Проілюструємо таке застосування спостереження, досвіду і вимірювань кількома прикладами.
Якщо показати учням IV-V класів різні фігури, в тому числі навколишні нас предмети, серед яких одні мають, а інші не мають осьовою симетрією, то спостереження цих фігур дозволяє помітити, що кожна з «симетричних» постатей ділиться деякої прямої на дві частини так , що, якщо зігнути фігуру у цій прямий, одна її частина повністю накладеться на іншу. Для кожної ж з «несиметричних» постатей такої прямої не можна знайти.
Після такого спостереження «симетричних» фігур навколо нас (архітектурних прикрас, будівельних та інших деталей, деяких листя на деревах і т. д.) можна перейти до подальшого вивчення осьової симетрії за допомогою спеціального досвіду (експерименту).
Кожному учню пропонується зігнути аркуш паперу так, щоб одна частина листа впала на іншу і утворилася лінія згину. Потім пропонується випрямити знову лист і відзначити на ньому довільну точку А, що не лежить на лінії згину, потім знову зігнути аркуш з тієї ж лінії згину і визначити, дивлячись на світ через зігнутий лист, з якою точкою збіглася при цьому точка А. Нехай це точка А 1 Учням повідомляють, що точки А і А 1 називаються симетричними відносно прямої l (лінії згину), званої віссю симетрії цих точок. Для іншої точки В, що лежить по іншу сторону від лінії згину, ніж точка А, пропонується визначити (дослідним шляхом, за допомогою згинання аркуша) симетричну їй крапку щодо тієї ж осі l. Помічаємо, що, якщо взяти точку С на лінії згину, вона залишається нерухомою при згинанні аркуша, то є. не збігається з якою-небудь іншою точкою аркуша. Ми говоримо, що будь-яка точка осі симетрії (лінії згину) симетрична сама собі.
Наведемо приклад, коли досвід сприяє відкриттю геометричного властивості і підказує шлях його докази.
Експериментально виявити, що сума кутів даного трикутника дорівнює 180 °, можна відразу ж, як тільки учні навчаться вимірювати кути за допомогою транспортира.
Учням пропонується виміряти транспортиром кути накресленого в зошиті трикутника і скласти результати вимірювання. У деяких сума кутів трикутника виходить менше 180 °, в інших - більше, але у всіх результати близькі до 180 °, а в деяких навіть «точно» 180 °. Учні здогадуються, що повинне вийти 180 °, а інші результати пояснюються похибками вимірювання. Вони «здійснюють відкриття»: «В усякому трикутнику сума внутрішніх кутів дорівнює 180 °».
Це припущення підкріплюється друге досвідом, підказує ідею доказу (одного з можливих доказів). У кожного школяра заготовлений вирізаний з паперу трикутник. Учитель пропонує «відірвати» два кути і прикласти їх до третього так, як він це робить сам на великому трикутнику. Учні помічають, що отримані три кути із загальною вершиною А, розташовані по один бік від прямої. Отже, сума цих кутів дорівнює 180 °. За допомогою цього досвіду (вже без вимірювань) ми прийшли до тієї ж гіпотези, і всім здається, що виявлене властивість вірогідно. Але чи можна бути впевненим у тому, що два промені, що сходяться в точці А, утворюють пряму лінію? Адже вони можуть утворити ламану, так мало відрізняється від прямої, що ми цього не помітимо. Але в цьому випадку сума кутів вже не буде дорівнює 180 °.
Таким чином, проведений досвід не замінює доказ. Він лише підказує один з можливих шляхів докази відкритого досвідченим шляхом властивості.
Важливо відзначити, що за допомогою емпіричних методів (спостереження, досвіду, вимірювань) виконується лише початковий етап роботи з математичного опису реальних ситуацій. Одержуваний математичний матеріал (інтуїтивні поняття, гіпотези, сукупності математичних пропозицій) підлягає подальшій обробці вже іншими методами.
1.2 Логічні методи пізнання
До логічним методам пізнання відносяться: аналіз, синтез, порівняння, аналогія, абстрагування, узагальнення, конкретизація, індукція, дедукція, класифікація та ін
1.2.1 Аналіз і синтез
Логічні методи пізнання особливо необхідні при знаходженні вирішення завдань. Розглянемо, наприклад, таку задачу: «Визначити площу чотирикутника, діагоналі якого взаємно перпендикулярні і рівні 6 і 8 см». Пошук її рішення доцільно почати, користуючись методами аналізу та синтезу. У процесі аналізу задачі виділяються всі її твердження: 1) необхідно обчислити площу чотирикутника, 2) чотирикутник має взаємно перпендикулярні діагоналі; 3) діагоналі чотирикутника дорівнюють 6 і 8 см.
Виділення цих тверджень з «цілого» (завдання) - результат проведення аналізу. Аналіз спрямовується питаннями: «Що дано в задачі?», «Що ще дано в задачі?», «Про що ще йдеться в задачі?», «Що в задачі потрібно знайти?». Важливо мати на увазі, що при вирішенні завдання аналіз проводиться не один раз: можливий повторний аналіз, аналіз з новою метою, з іншої точки зору і т. п.
Так, для виконання креслення необхідний додатковий аналіз, що встановлює порядок використання даних завдання для побудови креслення. Виконання креслення передбачає вже інший метод пізнання - метод синтезу. Помилки у виконанні креслення є приводом для проведення аналізу з більш конкретною метою, тобто більш поглибленого аналізу. Наприклад, при вирішенні даної задачі учні іноді чотирикутник зображують у вигляді паралелограма. Уникнути помилки у виконанні креслення можна, якщо почати побудови не з чотирикутника, а з його діагоналей, зображуючи їх довільними взаємно перпендикулярними відрізками.
У результаті додаткового аналізу на перший план висувається умова перпендикулярності діагоналей, яке є основним у відшуканні загальної ідеї рішення задачі, необхідних обчислень. Можливі різні рішення задачі (в залежності від того, в якому напрямку буде вестися аналіз, на які трикутники буде розбитий даний чотирикутник). Наприклад, неважко помітити, що даний чотирикутник складається з чотирьох (або двох) трикутників і завдання тим самим зводиться до знаходження суми площ цих трикутників.
Аналіз - логічний прийом, метод дослідження, який полягає в тому, що об'єкт, що вивчається подумки (або практично) розчленовується на складові елементи (ознаки, властивості, відносини), кожен з яких досліджується окремо як частина розчленованого цілого [8].
Синтез - логічний прийом, за допомогою якого окремі елементи з'єднуються в ціле [8].
Дуже часто вміння мислити пов'язують з умінням аналізувати. Це цілком правомірно, так як висновок наслідків, виражають нові властивості досліджуваного об'єкта, дуже часто вимагає аналізу того, що вже відомо про нього. У математиці, найчастіше, під аналізом розуміють міркування в «зворотному напрямку», тобто від невідомого, від того, що необхідно знайти, до відомого, до того, що вже знайдено або дано, від того, що необхідно довести, до того, що вже доведено або прийнято за дійсне. У такому розумінні, найбільш важливому для навчання, аналіз є засобом пошуку рішення, докази, хоча в більшості випадків сам по собі рішенням, доказом ще не є.
Синтез, спираючись на дані, отримані в ході аналізу, дає рішення задачі або доведення теореми. Аналіз лежить в основі досить загального підходу до вирішення завдань (мається на увазі нестандартних завдань, для яких немає відповідного алгоритму), відомого під назвою відомості (редукції) завдання до сукупності підзадач. Ідея такого підходу полягає саме у властивому для аналізу «міркуванні у зворотному напрямку» від завдання, яке належить вирішити, до підзадач, потім від цих підзадач до подподзадачам і т. д., поки вихідна задача не буде зведена до набору елементарних завдань. Що ж розуміють під «елементарними завданнями»? Це, по-перше, завдання, які вирішуються за один крок пошуку, по-друге, більш складні завдання (тобто не вирішуються за один крок пошуку), рішення яких вже відомо з наявного досвіду вирішення завдань.
З такого розуміння елементарної задачі випливає, що чим більший досвід вирішення завдань, тим більше завдань стають для нас «елементарними» у згаданому вище значенні, а отже, тим менше об'єм пошуку при вирішенні нових завдань, їх зведення до елементарним, тому що мета пошуку полягає в отриманні елементарних завдань, які зупиняють процес пошуку.
Підхід до вирішення завдань, що складається в зведенні завдань до сукупності підзадач, знаходить широке застосування в практиці вирішення не тільки завдань на доказ.
Наведемо як приклад арифметичну задачу для IV класу: «У двох бригадах радгоспу ділянки під зернові складали 2000 га і 3000 га відповідно. Перша бригада зібрала по 30 ц, друга по 26 ц з гектара. Продано державі 5500 т з першої ділянки і 7000 т з другого. Інше зерно засипано в насіннєвий фонд. Скільки зерна засипав радгосп у насіннєвий фонд? » Державна освітня установа вищої професійної освіти
«Вятський державний гуманітарний університет»
Фізико-математичний факультет
Кафедра дидактики фізики і математики
Випускна кваліфікаційна робота
Використання методів наукового пізнання при вивченні теми «Чотирикутники»
Виконав: студент V курсу
очної форми навчання
фізико-математичного факультету
Овечкін Костянтин Андрійович
Науковий керівник:
к. пед. н., доцент кафедри
дидактики фізики і математики
Шилова З.В.
Рецензент: ст. пр. кафедри
дидактики фізики і математики
Ошуева Е.С.
Робота допущена до захисту в ГАК
«___» ________2008 Р. Зам. зав. кафедрою __________ М. В. Крутіхін
«___» _________2008 Р. Декан факультету ___________ Є. В. Кантор
Кіров 2008
Зміст
\ T "2; 2; 3; 3; голови; 1" Введення
Глава I. Методи наукового пізнання в навчанні математики
1.1. Емпіричні методи пізнання
1.2. Логічні методи пізнання
1.2.1. Аналіз і синтез
1.2.2. Порівняння і аналогія
1.2.3. Узагальнення, абстрагування і конкретизація
1.2.4. Індукція і дедукція
1.3. Математичні методи пізнання. Математичне моделювання
Глава II. Методичні аспекти вивчення теми «Чотирикутники» в шкільному курсі математики основної школи
2.1. Аналіз підручників з теми «Чотирикутники» в шкільному курсі математики основної школи
2.1.1. «Геометрія, 7-11», авт. О. В. Погорєлов
2.1.2 «Геометрія, 7-9», авт. Л. С. Атанасян
2.1.3. «Геометрія, 8-9», авт. А. Д. Александров
2.1.4 «Геометрія, 7-9», авт. І. М. Смирнова, В. А. Смирнов
2.1.5. «Геометрія, 7-9», авт. І. Ф. Шаригін
2.2. Методика вивчення теми «Чотирикутники»
2.2.1. Введення поняття чотирикутник
2.2.2. Приватні види чотирикутників
2.2.3. Вивчення властивостей і ознак чотирикутників
2.3. Застосування методів наукового пізнання при вивченні чотирикутників
2.3.1. Аналіз і синтез
2.3.2. Порівняння та аналогії
2.3.3. Узагальнення
2.3.4. Спостереження і досвід
2.3.5. Індукція
Глава III. Дослідне викладання
Висновок
Бібліографічний список
Додаток 1
Додаток 2
Введення
У сучасній школі у зв'язку з появою нових підручників, нових підходів до викладу матеріалу, зростає інтерес як до математичної освіти в цілому, так і до питань викладання математики, зокрема геометрії.
Вивчення чотирикутників в курсі геометрії основної школи є розділом традиційним і досить важливим у всіх періодах шкільної освіти. У курсі геометрії 7-9-х класів дана тема є досить актуальною, так як на розглянутому матеріалі, як на фундаменті, будують і вивчають інші розділи геометрії: перетворення фігур, площі, багатокутники. Крім того, вивчення багатогранників, площ та обсягів також базується на цій темі.
Тим часом при вивченні теми «Чотирикутники» виникають певні труднощі:
· При вирішенні завдань на побудову;
· При застосуванні визначень, властивостей і ознак чотирикутників до вирішення практичних завдань, до доведення теорем і т. п.
Відповідно виникає необхідність у пошуку найбільш ефективних форм і методів роботи з теоретичним і задачний матеріалом з даної теми. У зв'язку з цим мета кваліфікаційної роботи: дослідити можливості застосування методів наукового пізнання при вивченні теми «Чотирикутники».
Об'єктом дослідження є процес навчання геометрії в основній школі.
Предмет - тема «Чотирикутники» в курсі геометрії основної школи.
Для здійснення мети даного дослідження сформулюємо гіпотезу: вивчення теми «Чотирикутники» буде більш ефективним, якщо:
· Використовувати пропедевтичну спрямованість;
· Застосовувати методи наукового пізнання.
Мета, предмет і гіпотеза дослідження визначили такі завдання:
1. Розкрити зміст понять методів наукового пізнання.
2. Вивчити навчально-методичну літературу з теми дослідження.
3. Показати застосування методів наукового пізнання при вивченні математики.
Для реалізації мети і завдань були використані наступні методи:
1. Вивчення та аналіз навчально-методичної літератури темі дослідження.
2. Аналіз підручників з математики.
3. Проведення досвідченого викладання та експериментальної роботи.
Глава I. Методи наукового пізнання в навчанні математики
Одне з центральних місць в методиці викладання математики займають методи навчання. Знання методів навчання математики необхідно для організації ефективного навчання школярів.
Виділяють такі методи навчання математики [26]:
· Методи навчання, які виділяються за джерелом знань;
· Методи навчання, які визначаються рівнем пізнавальної діяльності учнів;
· Проблемне навчання математики;
· Евристичний метод навчання математики;
· Метод програмованого навчання у викладанні математики;
· Методи інформатики в навчанні математики;
· Методи наукового пізнання в навчанні математики.
У цьому розділі ми докладно розглянемо методи наукового пізнання в навчанні математики. Серед методів наукового пізнання можна виділити наступні:
1. Емпіричні методи пізнання.
2. Логічні методи пізнання.
3. Математичні методи пізнання.
1.1 Емпіричні методи пізнання
До емпіричним методам пізнання відносяться спостереження, опис, вимірювання та експеримент. Найбільш часто ці методи застосовуються в природничо дисциплінах (хімії, біології, астрономії, фізики, географії і т. д.). Для математики ці методи не є характерними. Історія розвитку математики свідчить про те, що емпіричні методи відіграли неоціненну роль у зародженні математичних знань, становленні математики як самостійної теоретичної дисципліни. Шкільне навчання математики в певній мірі повторює її історичний шлях розвитку. Використання засобів наочності і технічних засобів навчання, як правило, передбачає застосування різних емпіричних методів. Часто має місце одночасне використання методів спостереження, опису, вимірювання й експерименту. Це допомагає уникнути пасивної споглядальності, активізувати дії учнів, залучити їх до цілеспрямовану роботу з використання демонстраційних наочних посібників, приладів, моделей і т. п.
Математика не є експериментальною наукою, і, отже, дослідне підтвердження не може служити достатньою підставою істинності її пропозицій. Це, безсумнівно, вірно, якщо під математикою розуміти сукупність готових, вже побудованих дедуктивних теорій, але це невірно, якщо під математикою розуміти розумову діяльність, результатом якої є подібні теорії. В останньому випадку дедуктивна теорія лише одна фаза математики. Але вона має ще дві фази - попередню дедуктивної теорії фазу накопичення фактів (дослідну, інтуїтивну) і наступну за нею фазу додатків. Ці дві фази незалежно від того, чи вважають їх власне математичними або «околоматематіческімі», не менш важливі в навчанні, ніж сама дедуктивна теорія: перша - для розуміння цієї теорії, друга - для її виправдання.
Виходячи із завдань, що стоять перед школою, мова йде про навчання не тільки готовим знанням, а й методів пізнання, що призводить до цих знань. Тому природно застосовувати у навчанні і ті емпіричні методи пізнання, за допомогою яких формулюються гіпотези, що підлягають обгрунтуванню (або спростуванню) вже іншими методами.
Спостереження, досвід і вимірювання повинні бути спрямовані на створення в процесі навчання спеціальних ситуацій та надання учням можливості отримати від них очевидні закономірності, геометричні факти, ідеї докази і т, д. Найчастіше результати спостереження, досвіду і вимірювань служать посилками індуктивних висновків, за допомогою яких здійснюються відкриття нових істин. Тому спостереження, досвід і вимірювання відносять і до евристичних методів навчання, тобто до методів, що сприяє відкриттів.
Проілюструємо таке застосування спостереження, досвіду і вимірювань кількома прикладами.
Якщо показати учням IV-V класів різні фігури, в тому числі навколишні нас предмети, серед яких одні мають, а інші не мають осьовою симетрією, то спостереження цих фігур дозволяє помітити, що кожна з «симетричних» постатей ділиться деякої прямої на дві частини так , що, якщо зігнути фігуру у цій прямий, одна її частина повністю накладеться на іншу. Для кожної ж з «несиметричних» постатей такої прямої не можна знайти.
Після такого спостереження «симетричних» фігур навколо нас (архітектурних прикрас, будівельних та інших деталей, деяких листя на деревах і т. д.) можна перейти до подальшого вивчення осьової симетрії за допомогою спеціального досвіду (експерименту).
Кожному учню пропонується зігнути аркуш паперу так, щоб одна частина листа впала на іншу і утворилася лінія згину. Потім пропонується випрямити знову лист і відзначити на ньому довільну точку А, що не лежить на лінії згину, потім знову зігнути аркуш з тієї ж лінії згину і визначити, дивлячись на світ через зігнутий лист, з якою точкою збіглася при цьому точка А. Нехай це точка А 1 Учням повідомляють, що точки А і А 1 називаються симетричними відносно прямої l (лінії згину), званої віссю симетрії цих точок. Для іншої точки В, що лежить по іншу сторону від лінії згину, ніж точка А, пропонується визначити (дослідним шляхом, за допомогою згинання аркуша) симетричну їй крапку щодо тієї ж осі l. Помічаємо, що, якщо взяти точку С на лінії згину, вона залишається нерухомою при згинанні аркуша, то є. не збігається з якою-небудь іншою точкою аркуша. Ми говоримо, що будь-яка точка осі симетрії (лінії згину) симетрична сама собі.
Наведемо приклад, коли досвід сприяє відкриттю геометричного властивості і підказує шлях його докази.
Експериментально виявити, що сума кутів даного трикутника дорівнює 180 °, можна відразу ж, як тільки учні навчаться вимірювати кути за допомогою транспортира.
Учням пропонується виміряти транспортиром кути накресленого в зошиті трикутника і скласти результати вимірювання. У деяких сума кутів трикутника виходить менше 180 °, в інших - більше, але у всіх результати близькі до 180 °, а в деяких навіть «точно» 180 °. Учні здогадуються, що повинне вийти 180 °, а інші результати пояснюються похибками вимірювання. Вони «здійснюють відкриття»: «В усякому трикутнику сума внутрішніх кутів дорівнює 180 °».
Це припущення підкріплюється друге досвідом, підказує ідею доказу (одного з можливих доказів). У кожного школяра заготовлений вирізаний з паперу трикутник. Учитель пропонує «відірвати» два кути і прикласти їх до третього так, як він це робить сам на великому трикутнику. Учні помічають, що отримані три кути із загальною вершиною А, розташовані по один бік від прямої. Отже, сума цих кутів дорівнює 180 °. За допомогою цього досвіду (вже без вимірювань) ми прийшли до тієї ж гіпотези, і всім здається, що виявлене властивість вірогідно. Але чи можна бути впевненим у тому, що два промені, що сходяться в точці А, утворюють пряму лінію? Адже вони можуть утворити ламану, так мало відрізняється від прямої, що ми цього не помітимо. Але в цьому випадку сума кутів вже не буде дорівнює 180 °.
Таким чином, проведений досвід не замінює доказ. Він лише підказує один з можливих шляхів докази відкритого досвідченим шляхом властивості.
Важливо відзначити, що за допомогою емпіричних методів (спостереження, досвіду, вимірювань) виконується лише початковий етап роботи з математичного опису реальних ситуацій. Одержуваний математичний матеріал (інтуїтивні поняття, гіпотези, сукупності математичних пропозицій) підлягає подальшій обробці вже іншими методами.
1.2 Логічні методи пізнання
До логічним методам пізнання відносяться: аналіз, синтез, порівняння, аналогія, абстрагування, узагальнення, конкретизація, індукція, дедукція, класифікація та ін
1.2.1 Аналіз і синтез
Логічні методи пізнання особливо необхідні при знаходженні вирішення завдань. Розглянемо, наприклад, таку задачу: «Визначити площу чотирикутника, діагоналі якого взаємно перпендикулярні і рівні 6 і 8 см». Пошук її рішення доцільно почати, користуючись методами аналізу та синтезу. У процесі аналізу задачі виділяються всі її твердження: 1) необхідно обчислити площу чотирикутника, 2) чотирикутник має взаємно перпендикулярні діагоналі; 3) діагоналі чотирикутника дорівнюють 6 і 8 см.
Виділення цих тверджень з «цілого» (завдання) - результат проведення аналізу. Аналіз спрямовується питаннями: «Що дано в задачі?», «Що ще дано в задачі?», «Про що ще йдеться в задачі?», «Що в задачі потрібно знайти?». Важливо мати на увазі, що при вирішенні завдання аналіз проводиться не один раз: можливий повторний аналіз, аналіз з новою метою, з іншої точки зору і т. п.
Так, для виконання креслення необхідний додатковий аналіз, що встановлює порядок використання даних завдання для побудови креслення. Виконання креслення передбачає вже інший метод пізнання - метод синтезу. Помилки у виконанні креслення є приводом для проведення аналізу з більш конкретною метою, тобто більш поглибленого аналізу. Наприклад, при вирішенні даної задачі учні іноді чотирикутник зображують у вигляді паралелограма. Уникнути помилки у виконанні креслення можна, якщо почати побудови не з чотирикутника, а з його діагоналей, зображуючи їх довільними взаємно перпендикулярними відрізками.
У результаті додаткового аналізу на перший план висувається умова перпендикулярності діагоналей, яке є основним у відшуканні загальної ідеї рішення задачі, необхідних обчислень. Можливі різні рішення задачі (в залежності від того, в якому напрямку буде вестися аналіз, на які трикутники буде розбитий даний чотирикутник). Наприклад, неважко помітити, що даний чотирикутник складається з чотирьох (або двох) трикутників і завдання тим самим зводиться до знаходження суми площ цих трикутників.
Аналіз - логічний прийом, метод дослідження, який полягає в тому, що об'єкт, що вивчається подумки (або практично) розчленовується на складові елементи (ознаки, властивості, відносини), кожен з яких досліджується окремо як частина розчленованого цілого [8].
Синтез - логічний прийом, за допомогою якого окремі елементи з'єднуються в ціле [8].
Дуже часто вміння мислити пов'язують з умінням аналізувати. Це цілком правомірно, так як висновок наслідків, виражають нові властивості досліджуваного об'єкта, дуже часто вимагає аналізу того, що вже відомо про нього. У математиці, найчастіше, під аналізом розуміють міркування в «зворотному напрямку», тобто від невідомого, від того, що необхідно знайти, до відомого, до того, що вже знайдено або дано, від того, що необхідно довести, до того, що вже доведено або прийнято за дійсне. У такому розумінні, найбільш важливому для навчання, аналіз є засобом пошуку рішення, докази, хоча в більшості випадків сам по собі рішенням, доказом ще не є.
Синтез, спираючись на дані, отримані в ході аналізу, дає рішення задачі або доведення теореми. Аналіз лежить в основі досить загального підходу до вирішення завдань (мається на увазі нестандартних завдань, для яких немає відповідного алгоритму), відомого під назвою відомості (редукції) завдання до сукупності підзадач. Ідея такого підходу полягає саме у властивому для аналізу «міркуванні у зворотному напрямку» від завдання, яке належить вирішити, до підзадач, потім від цих підзадач до подподзадачам і т. д., поки вихідна задача не буде зведена до набору елементарних завдань. Що ж розуміють під «елементарними завданнями»? Це, по-перше, завдання, які вирішуються за один крок пошуку, по-друге, більш складні завдання (тобто не вирішуються за один крок пошуку), рішення яких вже відомо з наявного досвіду вирішення завдань.
З такого розуміння елементарної задачі випливає, що чим більший досвід вирішення завдань, тим більше завдань стають для нас «елементарними» у згаданому вище значенні, а отже, тим менше об'єм пошуку при вирішенні нових завдань, їх зведення до елементарним, тому що мета пошуку полягає в отриманні елементарних завдань, які зупиняють процес пошуку.
Підхід до вирішення завдань, що складається в зведенні завдань до сукупності підзадач, знаходить широке застосування в практиці вирішення не тільки завдань на доказ.
Зазвичай аналіз задачі по суті являє собою процес зведення даного завдання до сукупності підзадач, доведений до елементарних завдань. Тут елементарної вважається завдання, яке вирішується за допомогою не більше однієї дії над даними завдання (тобто елементарної вважається і завдання, вирішення якої знаходиться серед даних, наприклад: «Скільки зерна продано державі з першої ділянки?").
Можливий і інший шлях пошуку. Побудова самого процесу рішення (синтез) здійснюється послідовним рішенням підзадач у зворотному порядку.
Поряд з аналізом і синтезом у навчанні математиці часто використовуються аналогія, узагальнення і конкретизація.
Принцип свідомості навчання орієнтує учнів на усвідомлення шляхів отримання нових знань. Це усвідомлення формується на основі практики цілеспрямованого застосування методів наукового пізнання. Корисним є також короткий методологічний коментар процесу пошуку розв'язання математичних задач.
1.2.2 Порівняння і аналогія
Порівняння і аналогія - логічні прийоми мислення, що використовуються як в наукових дослідженнях, так і в навчанні.
За допомогою порівняння виявляється схожість і відмінність порівнюваних предметів, тобто наявність у них спільних і не спільних (різних) властивостей.
Наприклад, порівняння трикутника і чотирикутника розкриває їх загальні властивості: наявність сторін, вершин, кутів, стільки ж вершин і кутів, скільки сторін, а також відмінність: у трикутника три вершини (сторони), у чотирикутника - чотири. Порівняння звичайних і алгебраїчних дробів виявляє їх подібність: наявність чисельника і знаменника, відсутність значення, коли знаменник перетворюється в нуль, і т. д., - і відмінність: в одному випадку чисельник і знаменник - числа, в іншому - алгебраїчні вирази.
Порівняння призводить до правильного висновку, якщо виконуються наступні умови:
1) порівнювані поняття однорідні і 2) порівняння здійснюється за такими ознаками, які мають істотне значення.
Ці дві умови виконуються в наведених вище порівняннях: трикутник і чотирикутник - однорідні поняття (багатокутники), звичайні і алгебраїчні дроби - вирази. У всіх трьох випадках порівняння здійснено за істотними ознаками. Порівняння готує грунт для застосування аналогії. За допомогою аналогії подібність предметів, виявлене в результаті їх порівняння, поширюється на нову властивість (або нові властивості).
Міркування за аналогією має таку загальну схему:
А має властивості А, В, С, D,
У володіє властивостями А, В, С,
Ймовірно (можливо) У володіє і властивістю D.
Як бачимо, висновок по аналогії є лише імовірним (правдоподібним), а не достовірним. Тому аналогія, як правило, не є доказовим міркуванням, тобто міркуванням, яке може служити доказом. («Як правило» тому, що є виняток, пов'язане з особливим видом аналогії, про який мова піде далі.) Однак у навчанні, як, втім, і в науці, аналогія часто корисна тим, що вона наводить нас на здогади, тобто служить евристичним методом. У навчанні ж математики не менш важливо, ніж учити доводити, це вчити здогадуватися, що саме підлягає доведенню і як знайти цей доказ.
У наведеному вище роз'яснення того, що таке аналогія, використовується поняття «подібність», яка сама потребує роз'яснення. Коли говорять, наприклад, про подібність між людьми, між людиною та її зображенням на фотознімку або картині і т. п., інтуїтивно розуміють, що означає подібність. Але чи можна в такому ж сенсі говорити, наприклад, про подібність між безліччю учнів класу і безліччю А = {1,2,3, ..., 30}, або між безліччю точок прямої і безліччю дійсних чисел, або між безліччю об'єктів на деякій ділянці і планом цієї ділянки? Застосування ж аналогії в математичному дослідженні, а тому і в навчанні математики, часто характеризується саме тим, що воно грунтується на глибокому, внутрішньому «схожості», а по суті на однаковості структури множин предметів різної природи з відносинами, що мають абсолютно різний зміст, за відсутності будь-якого зовнішнього «схожості» (у звичайному сенсі) між цими множинами. Це «структурна подібність», яке отримало точний математичний опис за допомогою поняття ізоморфізму, лежить в основі особливого виду аналогії, що приводить на відміну від звичайної аналогії до достовірних висновків.
Наприклад, в основі координатного методу лежить ідея взаємно однозначної відповідності між множиною точок прямої (площини або простору) і безліччю дійсних чисел (пар або трійок чисел), який переводить деякі відносини між точками у відносини між числами (парами або трійками чисел). Це взаємно однозначна відповідність є ізоморфізмом, що дозволяє здійснити однозначний переклад властивостей з мови, що описує структуру безлічі точок прямої (площини або простору), на мову, що описує структуру множини R, і назад.
Можливість застосування аналогії, здавалося б, до зовсім різних об'єктів заснована на збігу математичних моделей цих об'єктів або приналежності цих моделей до одного класу.
Часто та чи інша послідовність у вивченні навчального матеріалу обгрунтовується можливістю використання аналогій у навчанні. Наприклад, вивчення десяткових дробів раніше звичайних пояснюється не тільки тим, що саме десяткові дробу широко застосовуються в практиці, але і можливістю використання при вивченні арифметики десяткових дробів аналогією з арифметикою натуральних чисел. При вивченні властивостей алгебраїчних дробів можна використовувати аналогію з звичайними дробами. Аналогія може служити базою для одночасного вивчення арифметичної і геометричної прогресій.
Проте в усталеній практиці навчання математики аналогія використовується недостатньо. Іноді висловлюються побоювання, що за допомогою аналогії ми можемо прийти до помилкових висновків. Наприклад, виходячи з того, що пропозиція а | | b і а | | с => b | | з (1) вірно (є теоремою) і на площині і в просторі, а зворотне пропозицію а | | c і b | | з => a | | b (2) вірно на площині (є теоремою планіметрії), за аналогією стверджують, що пропозиція (2) вірно і в просторі, і приходять, таким чином, до помилкового висновку.
Треба, однак, пам'ятати, що в цьому разі висновок по аналогії лише правдоподібність і тому підлягає ще доказу (або спростуванню).
Слід відзначити як недолік, що (у практиці навчання) спростуванню ми майже не вчимо. Це є і серйозним недоглядом в загальноосвітньому і виховному відношенні, тому що в житті нерідко виникає необхідність спростовувати.
Виходячи з істинності пропозиції (2) на площині, необхідно з'ясувати, чи має місце аналогічне властивість у просторі. Так як ця пропозиція є загальним, то для його спростування досить знайти такі прямі а, b, с, щоб умова (а | | c і b | | c) виконувалося, а висновок (а | | b) не виконувалося.
Ми не повинні побоюватися виникнення помилкових висновків за аналогією. Необхідно лише вважати їх гіпотезами (припущеннями). Помилки, що допускаються в процесі пошуку, дослідження, цілком правомірні, оскільки частіше за все пошук ведеться способом «проб і помилок». У сталій практиці навчання, як правило, ми не даємо учням, який відповідає на запитання вчителя, помилятися. У цьому відбивається той факт, що навчальна діяльність учнів є в основному лише репродуктивної, а в такій діяльності помилки неприпустимі. Відтворювати необхідно безпомилково.
У продуктивної ж, творчої діяльності помилки неминучі. Такого роду помилками є і ті, які з'являються в результаті застосування аналогії в процесі пошуку. Вони є складовою частиною методу проб і помилок. Важливо, щоб учні в пошуку правильних відповідей самі могли знаходити помилковість виникають у цьому процесі припущень. Цьому, зрозуміло, треба їх вчити.
Знаходити схожість, яке могло б служити джерелом плідних міркувань за аналогією, буває нелегко навіть у тому випадку, коли природа порівнюваних об'єктів однакова.
Візьмемо для прикладу: паралелепіпед - просторовий аналог паралелограма: параллелограмме протилежні сторони паралельні, в паралелепіпеді протилежні грані паралельні. Міркуючи за аналогією, можна прийти до гіпотези, що в паралелепіпеді, так само як і в параллелограмме, діагоналі, перетинаючись, діляться точкою перетину навпіл. Але якщо бачити тільки схожість і не помічати відмінності, зокрема, що в параллелограмме всього дві діагоналі, а в паралелепіпеді - чотири, то ми упустимо важлива властивість, що підлягає доведенню, а саме, що всі діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці. Як бачимо, застосування аналогії повинно передувати порівняння, за допомогою якого виявляється як подібність, так і відмінність.
Виявлення спільних рис у об'єктах або явищах дозволяє висловити гіпотези. Реалізація зіставлення і протиставлення сприяє усвідомленню та кращому запам'ятовуванню властивостей, ознак досліджуваних об'єктів і явищ. Ось чому при вивченні нового матеріалу по можливості потрібно використовувати порівнянний з ним раніше вивчений матеріал. З тих же причин порівняння доцільно здійснювати і при вивченні різних, але зіставних і протівопоставімих об'єктів або явищ, розглядаючи їх, за словами П. М. Ердніева, спільно, паралельно [18].
1.2.3 Узагальнення, абстрагування і конкретизація
Узагальнення та абстрагування - два логічних прийому, застосовувані майже завжди спільно в процесі пізнання.
Узагальнення - сукупність розумових операцій, логічний прийом, що складається у виділенні, фіксуванні яких-небудь загальних істотних властивостей, що належать тільки даному класу предметів або відносин [15].
Абстрагування - сукупність розумових операцій, логічний прийом, що складається у відділенні загальних істотних властивостей, виділених в результаті узагальнення, від інших несуттєвих або незагального властивостей розглянутих предметів або відносин і відкидання останніх [15].
Коли ми говоримо «несуттєві властивості», то мається на увазі несуттєві з математичної точки зору. Один і той же предмет може вивчатися, наприклад, і фізикою, і математикою. Для фізики істотні одні його властивості (твердість, теплопровідність, електропровідність та інші фізичні властивості), для математики ці властивості несуттєві, вона вивчає лише форму, розміри, розташування предмета.
З наведеного короткого роз'яснення видно, що абстрагування не може здійснюватися без узагальнення, без виділення того загального, суттєвого, що підлягає абстрагування.
Узагальнення та абстрагування незмінно застосовуються в процесі формування понять, при перехід від уявлень до понять і, разом з індукцією, як евристичний метод.
Під узагальненням розуміють також перехід від одиничного до загального, від менш загального до більш загального.
Під конкретизацією розуміють зворотний перехід - від більш загального до менш загального, від загального до одиничного.
Якщо узагальнення використовується при формуванні понять, то конкретизація використовується при описі конкретних ситуацій за допомогою сформованих раніше понять.
Так, якщо безліч властивостей, які характеризують клас предметів А, позначити через S (А) (у традиційній формальній логіці А називається об'ємом поняття, а S (А)-змістом поняття), то має місце наступне співвідношення: якщо А
Зворотний перехід від більш загального до менш загального, або виділення деякого підкласу А класу В, здійснюється з допомогою деякого властивості, яким володіють деякі елементи В, інші ж не володіють ним. Ті елементи В, які мають цим новим властивістю і утворюють підклас А класу В.
Приєднавши це нове властивість Р до безлічі властивостей, які характеризують клас В, отримуємо безліч властивостей, які характеризують підклас А, тобто S (В)
У математиці узагальнення і абстрагування часто пов'язані із заміною постійних змінними (у переході від запису окремих фактів до запису загальних закономірностей), а конкретизація - з підстановкою замість змінних їх значень (у зворотному переході).
Розглянемо з точки зору використання узагальнення і абстрагування відкриття закону комутативності додавання, який раніше ми вивчили в іншому аспекті.
Вихідним емпіричним матеріалом тут служать непересічні множини А і В конкретних предметів (олівців і ручок або чорних і червоних паличок). Легко можна знайти досвідченим шляхом, що, приєднуючи до безлічі А безліч В або, навпаки, до безлічі У множину А, отримуємо одне і те ж безліч. Варіюючи кількість елементів цих множин, отримуємо ряд конкретних рівностей: 2 +3 = 3 +2; 5 +7 = 7 +5, 4 +8 = 8 +4 і т. п.
Уважно придивляємося до цих равенствам з метою виявлення міститься в них спільного і відділення його від приватного змісту. Помічаємо: у лівій частині кожного з цих рівностей записана сума двох чисел, в правій - сума цих же чисел, але записаних в іншому порядку. Як же зберегти тільки це спільне, відволікаючись від конкретних чисел, що входять в ці рівності?
Якщо просто відкинути ці числа, ми отримаємо форму з «порожніми місцями»: «... + ... = ... + ...»,
яка не відображає виявленої загальної закономірності, так як не зазначено, які порожні місця повинні заповнюватися одними і тими ж назвами чисел. Щоб усунути цей недолік отриманої форми, зображують порожні місця, які повинні заповнюватися іменами одних і тих же чисел, у вигляді порожніх «віконець» однакової форми. У результаті отримуємо: «x + о = о + x».
Надалі роз'яснюється, що в математиці для більшої зручності замість порожніх «віконець» різної форми застосовуються різні літери і виходить, наприклад, а + b = b + а або х + у = у + х.
Ці літери, які відіграють роль порожніх місць, і називаються змінними, а числа, імена яких можна поставити замість цих букв, - їх значеннями.
Як видно, узагальнення і абстрагування призвело до відкриття закону комутативності додавання і одночасно до важливого поняття змінної. Переходом від імен конкретних чисел до числових змінним і здійснюється узагальнення і абстрагування.
Конкретизація заснована на відомому правилі виводу
званому правилом конкретизації.
Сенс цього правила інтуїтивно зрозумілий: з того, що властивістю Р володіють всі елементи деякої множини,. Випливає, що цим властивістю володіє довільний елемент а цієї множини. Застосовуючи, наприклад, закон асоціативності складання
до усного обчислення суми 7 + (93 +15), ми застосовуємо (неявно) правило конкретизації: подумки ми відкидаємо в записі закону асоціативності квантори спільності, підставляємо замість змінних х, у, z постійні «7», «93» і «15» відповідно і отримуємо рівність 7 + (93 + 15) = (7 +93) +15, наступне з (*) за правилом конкретизації.
Як видно, за допомогою цього правила ми здійснюємо перехід від загального до одиничного.
Узагальнення, абстрагування і конкретизація знаходять широке застосування спеціальних методів навчання математиці, про які йтиметься далі.
Якщо деяка реальна ситуація або пов'язана з нею завдання призводить до ще не вивченою математичної моделі, то доводиться досліджувати новий клас моделей.
Для здійснення переходу від конкретної моделі до класу моделей такого типу використовується узагальнення і абстрагування. Застосування ж результатів дослідження до конкретної моделі цього класу припускає використання конкретизації.
Наприклад, нехай деяка задача описується за допомогою квадратного рівняння 2 x 2 - 9 х + 2 = 0, (1)
коли учні ще не вміють вирішувати подібні рівняння.
Це є стимулом для вивчення відповідного класу рівнянь (моделей)
a x 2 + bх + с = 0.
Перехід від конкретної моделі (1) до класу моделей (2), тобто від одиничного до загального, здійснюється заміною коефіцієнтів, що представляють собою імена чисел, числовими змінними.
Після дослідження цього класу моделей (побудови алгоритму для рішення будь-якого рівняння цього класу) за допомогою конкретизації (підстановки у формулі коренів замість а, b, з конкретних коефіцієнтів) вирішуємо поточна й інші рівняння цього класу.
Процес - абстрагування в математиці багато в чому відрізняється від аналогічного процесу в інших науках, оскільки способи абстрагування залежать від природи досліджуваних об'єктів, характеру і цілей їх вивчення. Тому природно, що характеристичні особливості абстрагування в математиці неминуче повинні знаходити певне відображення і в методах навчання математики.
Найбільш поширені в математиці види абстракцій - узагальнююча абстракція (або абстракція ототожнення), ідеалізація і різні абстракції здійсненності - використовуються і в шкільному навчанні математики. Однак методично формування цих абстракцій не розроблено. Тому часто ці та інші математичні абстракції викликають серйозні труднощі, з ними пов'язані і багато що допускаються учнями помилки.
Основою абстракції ототожнення є відношення еквівалентності. При встановленні відношення еквівалентності в досліджуваній об'єктів еквівалентні об'єкти ототожнюються з якого-небудь властивості, яке абстрагується від інших властивостей цих об'єктів і стає самостійним абстрактним поняттям, що знаходяться на вищому ступені абстракції, ніж об'єкти, від яких воно було абстраговано.
Так, відношення равночисленность множин об'єднує в один клас всі кінцеві множини, між якими можна встановити взаємно однозначну відповідність (еквівалентні множини). Від множин, що належать одному і тому ж класу еквівалентності, абстрагується їх загальна властивість, що характеризує цей клас. Це властивість і є самостійним поняттям натурального числа, що виражає чисельність множин (одна і та ж для кожного безлічі) з цього класу.
Так формувалося поняття натурального числа в тривалому історичному процесі, так воно формується і в навчанні дошкільників та молодших школярів.
Абстрагування в математиці часто виступає як багатоступінчатий процес, результатом якого є абстракції від абстракцій.
Розглянемо приклад.
Відношення подібності фігур розбиває множину всіх фігур на класи еквівалентності (класи подібних фігур). Всі фігури одного класу характеризуються подібністю форми. По суті кожен такий клас можна називати формою. Але ця форма визначається будь-якою фігурою (будь-яким представником) цього класу.
У шкільному навчанні не завжди явно вичленяються всі етапи абстрагування. Зокрема, утворення класів еквівалентності, як правило, протікає неявно. Спостерігається властивість у деяких предметів даного роду або відношення між ними, яке потім абстрагується від цих предметів і стає самостійним поняттям. Часто, нічого не кажучи про класи еквівалентності, ми відразу ж користуємося представниками цих класів.
Педагогічний підхід, що полягає в заміні класу його представником, спрямований на зниження рівня абстрактності понять (спрямований відрізок - менш абстрактне поняття, ніж клас таких відрізків).
Поряд з абстракцією ототожнення при побудові математичних моделей дійсності, а отже, і при навчанні математиці використовується і такий специфічний прийом абстрагування, як ідеалізація.
Під ідеалізацією мається на увазі освіта понять, наділених не тільки властивостями, абстрактними від їх реальних прообразів, а й деякими уявними властивостями, відсутніми в початкових об'єктів. Це робиться для того, щоб за допомогою вивчення ідеалізованих образів полегшити в кінцевому рахунку вивчення їх реальних прообразів.
Роз'яснення цього в процесі навчання на конкретних прикладах має важливе виховне значення, розкриваючи зв'язок абстрактних, ідеалізованих понять з реальним світом. Воно сприяє також розуміння способу математизації, побудови математичних моделей реальних ситуацій.
Дійсно, ніде в природі не зустрічається «геометрична точка» (яка не має розмірів), але спроба побудови геометрії, не використовує цієї абстракції, не призводить до успіху. Точно так само неможливо розвивати геометрію без таких ідеалізованих понять, як «пряма лінія», «площина», «куля» і т. д. Усі реальні прообрази кулі мають на своїй поверхні вибоїни і нерівності, а деякі кілька відхиляються від «ідеальної» форми кулі (як, наприклад, земля), але якщо б геометри стали займатися такими вибоїнами, нерівностями і відхиленнями, вони ніколи не змогли б отримати формулу для об'єму кулі. Тому ми вивчаємо «ідеалізовану» форму кулі і, хоча одержувана формула в застосуванні до реальних фігур, лише схожим на кулю, дає деяку похибка, отриманий наближений відповідь достатній для практичних потреб. Це повинно бути доведено до свідомості учнів.
Особливим видом ідеалізації є абстракція потенційної здійсненності. Наприклад, при побудові натуральних чисел абстрагуються від того, що неможливо написати або назвати число, що містить в десятковому запису занадто багато цифр (наприклад, 10). Нам достатньо допустити можливість, як тільки дійшло до деякого числа п, написання і наступного за ним числа n + 1. Точно так само при вивченні геометрії, користуючись зображеннями лише кінцевих ділянок (відрізків) прямий, ми допускаємо можливість необмеженого продовження їх в обидві сторони або допускаємо можливість безмежного поділу відрізка або інших фігур.
1.2.4 Індукція і дедукція
Перехід від приватного до загального, від одиничних фактів, встановлених за допомогою спостереження і досвіду, до узагальнень є закономірністю пізнання. Невід'ємною логічною формою такого переходу є індукція, що представляє собою метод міркувань від приватного до загального, висновок укладення з приватних посилок.
Дедукція в широкому розумінні являє собою форму мислення, яка полягає в тому, що нова пропозиція (а точніше, виражена в ньому думка) виводиться суто логічним шляхом, тобто за певними правилами логічного висновку (прямування) з деяких відомих пропозицій (думок).
Як у будь-яких процесах пізнання (наукової або буденного), так і в процесі навчання дедукція та індукція взаємопов'язані. У індукції ми йдемо від посилок, виражають знання меншою мірою спільності, до нового судженню більшою мірою спільності, тобто йдемо від окремих конкретних явищ до узагальнення. У дедукції хід міркування протилежний, тобто від узагальнень, висновків ми йдемо до окремих конкретних фактів або суджень меншою мірою спільності. У процесі навчання індуктивний і дедуктивний методи використовуються в єдності. Індуктивний метод використовується тоді, коли вивчається новий матеріал, важкий для учнів, але коли в результаті бесіди вони самі зможуть зробити певний висновок узагальнюючого характеру, або сформулювати правило, або довести теорему, або розкрити деяку закономірність. Індуктивний метод більше активізує учнів, але від вчителя вимагає творчого підходу і гнучкості у викладанні. При цьому витрачається більше часу на підведення учнів до самостійного висновку.
Дедуктивний метод полягає в тому, що вчитель сам формулює загальне судження, що виражає якесь правило, закон, теорему і т. д., а потім застосовує його, тобто ілюструє приватними прикладами, випадками, фактами, подіями і т. д. З'єднання дедукції та індукції в процесі навчання приводить до двох способів пояснення матеріалу:
1) індуктивно-дедуктивного способу, коли пояснення починається з індукції і переходить потім у дедукцію (можливо, при значному переважанні індукції);
2) дедуктивно-індуктивного способу, коли повідомлення учням нового здійснюється самим учителем у вигляді готового, сформульованого їм правила або положення з подальшими коментарями.
У математиці є багато прихильників як індуктивного, так і дедуктивного методу. На перших етапах навчання треба віддавати перевагу індуктивному методу, поступово готуючи і використовуючи дедуктивний підхід, бо індуктивні методи викладу матеріалу, при яких відбувається послідовне узагальнення понять, сприяють більш активному засвоєнню матеріалу
Однак, як при індуктивному, так і при дедуктивному методах при викладі нових понять або нових загальних теорій необхідно чимало часу відводити на конкретні ілюстрації, на розбір прикладів, аналіз приватних ситуацій. У методиці викладання кожне висловлювання в категоричній формі легко можна довести до абсурду. Від самого вчителя залежить оптимальний вибір методу, що дозволяє на високому рівні самостійності організувати пізнавальну діяльність учнів.
У математиці використовуються різні види індукції: повна, неповна і математична. Застосування математичної індукції покажемо на наступному прикладі. Треба визначити суму n перше непарних чисел: 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2 n - 1).
Позначивши цю суму через S (n), покладемо n == 1, 2, 3. 4, 5; тоді будемо мати:
S (1) = 1,
S (2) = 1 +3 = 4,
S (3) = 1 +3 +5 = 9,
S (4) = 1 +3 +5 +7 = 16,
S (5) = 1 +3 +5 +7 +9 = 25.
Ми спостерігаємо цікаву закономірність: при n = 1, 2, 3, 4, 5 сума n послідовних парних чисел дорівнює n 2. Але висновок за аналогією, що це має місце при будь-якому n, зробити не можна, бо воно може виявитися помилковим. Застосуємо метод математичної індукції, тобто припустимо, що для будь-то числа n наша формула вірна, і спробуємо довести, що тоді вона вірна і для наступного числа n + 1. Отже, ми вважаємо, що S (n) = 1 + 3 + 5 + ... + (2 n - 1) = n 2.
Обчислимо
S (п + 1) = 1 +3 +5 +...+( 2 n -1) + (2 n +1).
Але за припущенням, сума п перших доданків дорівнює п 2, отже,
S (n + 1) = n 2 + (2 п + 1) = (n + 1) 2.
Отже, припустивши, що S (п) = n 2, ми довели, що S (n + 1) = (n + 1) 2. Але вище ми перевірили, що ця формула вірна для п = 1, 2, 3, 4, 5, отже, вона буде вірна і для п = 6, і для п = 7 і т. д. Формула вважається доведеною для будь-якого числа доданків . Цей метод докази називається методом математичної індукції.
Умовиводи поділяються на логічно необхідні і імовірнісні (правдоподібні). Деякі види неповної індукції дають лише імовірнісні (або правдоподібні) ув'язнення.
Єдність дедукції та індукції, як у навчанні, так і в науковій творчості своєрідно і яскраво виявляється в математиці - науці, що значно відрізняється від природних і від суспільних наук, як по методам докази, так і за методикою передачі знань учням.
1.3 Математичні методи пізнання
Математичне моделювання
Більшість психологів під «моделлю» розуміють систему об'єктів чи знаків, відтворюючу деякі суттєві властивості системи-оригіналу. Наявність відносини часткового подібності («гомоморфізм») дозволяє використовувати модель в якості заступника або представника досліджуваної системи.
Іноді під моделлю розуміють таке матеріальний чи подумки представлений об'єкт, який у процесі пізнання (вивчення) заміщає об'єкт-оригінал, зберігаючи деякі важливі для даного дослідження типові риси.
Ось деякі приклади моделей:
1) архітектор готується побудувати будівлю небаченого досі типу. Але перш ніж спорудити його, він споруджує це будівля з кубиків на столі, щоб подивитися, як воно буде виглядати. Це модель.
2) на стіні висить картина, що зображає розбурхане море. Це модель [4].
«Моделювання - це є процес використання моделей (оригіналу) для вивчення тих чи інших властивостей оригіналу (перетворення оригіналу) або заміщення оригіналу моделями в процесі якої-небудь діяльності» (наприклад, для перетворення арифметичного виразу можна його компоненти тимчасово позначити буквами) [24] .
Математичне моделювання - приватний випадок моделювання. Є найважливішим видом знакового моделювання і здійснюється засобами мови математики. Знакові освіти та їх елементи завжди розглядаються разом з певними перетвореннями, операціями над ними, які виконує людина або машина (перетворення математичних, логічних, хімічних формул і т. п.).
Поняття «математична модель» і «моделювання» широко використовуються в науці та на виробництві. Роль знакових моделей особливо зросла з розширенням масштабів застосування ЕОМ при побудові знакових моделей. Сучасна форма «матеріальної реалізації» знакового (перш за все, математичного) моделювання - це моделювання на цифрових електронних обчислювальних машинах, універсальних і спеціалізованих.
Математичне моделювання передбачає використання в якості специфічного засобу дослідження оригіналу його математичну модель, вивчення якої дає нову інформацію про об'єкт пізнання, його закономірності (Н. П. Бусленко, Б. А. Глинський, Б. В. Гнеденко, Л. Д. Кудрявцев, І. Б. Новік, Г. І. Рузавін, К. А. Рибников, В. А. Штофф). Предметом дослідження при математичному моделюванні є система «оригінал - математична модель», де системоутворюючої зв'язком виступає ізоморфізм структур оригіналу і моделі. Структура служить інваріантним аспектом системи, розкриває механізм її функціонування (Н. Ф. Овчинников) [22].
Відомо, що для математичного дослідження процесів і явищ, що реально відбуваються насправді, треба зуміти описати їх на мові математики, тобто побудувати математичну модель процесу, явища. Математичні моделі і є об'єктами безпосереднього математичного дослідження.
Математичної моделлю називають опис якого-небудь реального процесу або деякої досліджуваної ситуації на мові математичних понять, формул і відносин.
Математична модель - це спрощений варіант дійсності, використовуваний для вивчення її ключових властивостей. Математична модель, заснована на деякому спрощенні, ідеалізації, не тотожна об'єкту, а є його наближеним відображенням. Однак завдяки заміні реального об'єкта відповідної йому моделлю з'являється можливість сформулювати завдання його вивчення як математичну і скористатися для аналізу універсальним математичним апаратом, який не залежить від конкретної природи об'єкта.
Математичною моделлю, з формальної точки зору, можна назвати будь-яку сукупність елементів і зв'язують їх операцій. Зі змістовної точки зору цікаві моделі, які є ізоморфні відображенням реальних чи реалізованих об'єктів, процесів і явищ.
З математичними моделями тісно пов'язаний математичний метод пізнання відображаються моделлю об'єктів - метод математичного моделювання.
Співвідношення між елементами a, b і c, яке виражається формулою
Цей приклад пояснює загальний математичний метод пізнання. Він полягає в побудові для об'єкта, процесу або явища ізоморфної математичної моделі, вивченні цієї математичної моделі та перенесення чинності ізоморфізму результатів, отриманих для моделі, на вихідний об'єкт [5]. Іншими словами, метод математичного моделювання полягає в тому, що для дослідження якого-небудь об'єкта вибирають або будують інший об'єкт, в якомусь відношенні подібний досліджуваного. Побудований або вибраний об'єкт вивчають і з його допомогою вирішують досліджувані завдання, а потім результати вирішення цих завдань переносять на первинне явище або об'єкт.
Математичне моделювання - наближений опис якого-небудь класу явищ зовнішнього світу, виражене за допомогою математичної символіки. Це потужний метод пізнання зовнішнього світу, а також прогнозування та управління [7].
Математичне моделювання розширює творчі можливості фахівця у вирішенні цілого ряду професійних завдань, істотно змінює його професійну рухливість. Сучасний спеціаліст слід «добре знати» математику, тобто не просто вміти використовувати її для різних розрахунково-обчислювальних операцій, а розуміти математичні методи дослідження та їх можливості. Тільки розуміння сутності математичного моделювання дозволяє адекватно використовувати цей метод у професійній діяльності.
Розвиток в учнів правильних уявлень про природу математики і відображенні математичною наукою явищ і процесів реального світу є програмним вимогою до навчання математики. Домінуючим засобом реалізації цієї програмної мети є метод математичного моделювання. Цей метод має своєю основою моделювання (математичне і предметне). Стосовно до навчання математики скористаємося визначенням моделювання, яке пропонує І. Г. Обойщікова, і будемо розуміти під моделюванням узагальнене інтелектуальне вміння учнів, що складає в заміні математичних об'єктів, їх відносин, способів діяльності моделями у вигляді зображень відрізками, числовими променями, схемами, значками [ 11].
Для моделювання залучаються різні математичні об'єкти: числові формули, числові таблиці, літерні формули, функції, рівняння алгебраїчні або диференціальні та їх системи, нерівності, системи нерівностей (а також нерівностей та рівнянь), ряди, геометричні фігури, різноманітні графосхеми, діаграми Венна, графи .
Математичне моделювання знаходить застосування при вирішенні багатьох сюжетних завдань. Вже рівняння, що складається за умовами задачі, є її алгебраїчної моделлю. Моделювання, особливо алгебраическому і аналітичному, слід приділити в школі належну увагу, тому що математичні моделі використовуються для вирішення (або хоча б полегшення рішення) сюжетних завдань. Крім того, при побудові моделі використовується такі операції мислення, як аналіз через синтез, порівняння, класифікація, узагальнення, які є операціями мислення, і сприяє його розвитку. Складання математичної моделі задачі, переклад завдання на мову математики поволі готує учнів до моделювання реальних процесів і явищ у їх майбутньої діяльності.
При вирішенні сюжетних завдань особливо часто використовуються їх алгебраїчні та аналітичні моделі. Такою моделлю може бути функція, що описує явище або процес, рівняння, система рівнянь, нерівність, система нерівностей, система рівнянь і нерівностей та ін При складанні моделі завдання, таким чином, перекладається на мову алгебри або математичного аналізу. Висновок: Отже, ми розглянули в першому розділі методи наукового пізнання та їх застосування в навчанні математики. У зв'язку з цим можна зробити наступний висновок:
Методи наукового пізнання знайшли своє застосування в навчанні математики. Їх можна використовувати протягом усього процесу навчання математики. Вчителю потрібно вміти застосовувати їх на різних етапах навчання математики, для того щоб сприяти логічному мисленню учнів.
Глава II. Методичні аспекти вивчення теми «Чотирикутники» в шкільному курсі математики основної школи
2.1 Аналіз підручників з теми «Чотирикутники» в шкільному курсі математики основної школи
До 12-13 років, коли учень приступає до вивчення геометрії, безпосередній інтерес до її освоєння вже практично втрачено, ще по-справжньому не проявивши. Жоден предмет не починають вивчати в школі з таким запізненням (по відношенню до психологічно сприятливого періоду), як геометрію. Наочно-образне мислення і уява найбільш повно розвиваються на стику старшого дошкільного та молодшого шкільного віку.
Наочна геометрія передбачає вивчення властивостей геометричних форм тільки на окремих геометричних предметах шляхом безпосереднього їх сприйняття і уявлення. При цьому вчитель не вдається до загальним абстрактним поняттям цих форм. Для обгрунтування справедливості находімих властивостей може широко використовуватися індуктивний метод.
Вперше, в шкільному курсі математики, з чотирикутниками школярі зустрічаються в початковій школі. Якщо навчання йде за підручниками Л.Г. Петерсона, то це другий клас. Якщо за підручниками М.І. Моро, то це третій клас. Вивчення чотирикутників, а саме прямокутника і квадрата, йде поверхово. В основному вивчається периметр та площу, оскільки при вирішенні завдань на знаходження площі і периметра відпрацьовується вміння застосовувати операції додавання, віднімання, множення і ділення. А це одне з основних умінь, які повинні виробитися в початковій школі.
У 5 і 6 класах школярі також зустрічаються з чотирикутниками. Як і в початковій школі, вивчення йде поверхово. До прямокутника і квадрату додаються паралелограм і трапеція.
Більш докладно тема «Чотирикутники» вивчається в курсі геометрії у восьмому класі. Розглянемо, як пропонується вивчення даної теми різними авторськими колективами в підручниках геометрії, рекомендованих Міністерством освіти РФ.
2.1.1 «Геометрія, 7-11», авт. О. В. Погорєлов
Тема «Чотирикутники» вивчається у восьмому класі. Цій темі у підручнику присвячений шостий параграф.
У першому пункті параграфа (п. 50) дається визначення чотирикутника і пропонується завдання на засвоєння визначення. Розповідається, які сторони і вершини називаються сусідніми і протилежними. Дають визначення діагоналей і периметра чотирикутника
У наступних пунктах (п.п. 51 - 56) дається визначення паралелограма, прямокутника, ромба і квадрата. Визначення прямокутника і ромба даються на основі паралелограма. Доводиться ознака паралелограма. Доводяться властивості паралелограма, прямокутника і ромба. Розглядається по одному завданню на кожну властивість паралелограма. Для ромба і прямокутника пропонуються завдання на використання визначення. Визначення квадрата дається на основі прямокутника. Так само йдеться, що квадрат є ромбом, тому що сторони квадрата рівні. На основі цього робиться висновок, що квадрат має властивості прямокутника і ромба. Наводиться приклад використання визначення при вирішенні задачі.
Так само в цьому параграфі вивчається теорема Фалеса (п. 57) і середня лінія трикутника (п. 58). Після приведення докази теореми Фалеса автор робить зауваження, що у ролі сторін кута можна взяти будь-які дві прямі. Пропонується завдання розділити відрізок на n рівних частин. При вивченні середньої лінії трикутника дається визначення і доказ теореми про середньої лінії трикутника.
У наступному пункті (п. 59) розглядається ще один вид чотирикутника - трапеція. Вводяться визначення трапеції і середньої лінії трапеції. Доводиться теорема про середньої лінії трапеції.
В останніх пунктах параграфа (п.п. 60 - 61) доводиться теорема про пропорційні відрізках і розповідається, як побудувати четвертий пропорційний відрізок.
Таким чином, вивчення чотирикутників йде за такою схемою:
Паралелограм |
Прямокутник |
Ромб |
Квадра т |
Трапеція |
2.1.2 «Геометрія, 7-9», авт. Л. С. Атанасян
Тема «чотирикутники» вивчається на початку восьмого класу. На її вивчення відводиться цілий розділ. Перший параграф цієї глави присвячений багатокутників. Дається визначення багатокутника (п. 39), а також що називають вершинами і сторонами багатокутника. Говориться, що називається n-кутником. Наводяться приклади фігур, які є багатокутниками і тих, які не є багатокутниками. Дається визначення сусідніх вершин і діагоналей багатокутника. У кінці цього пункту говорить про те, що будь-який багатокутник поділяє площину на дві частини (внутрішня і зовнішня область багатокутника).
У наступному пункті першого параграфа (п. 40) автор розповідає про опуклих багатокутниках. Наводить приклад опуклого і неопуклого багатокутника. Розглядаючи опуклий n-кутником A 1 A 2 A 3 ... A n -1 A n A 1 автор говорить, що кути A n A 1 A 2, A 1 A 2 A 3, ..., A n -1 A n A 1 називаються кутами цього багатокутника і показує чому дорівнює сума кутів опуклого n-кутника.
Останній пункт цього пункту (п. 41) присвячений чотирикутнику. Автор не дає визначення чотирикутника, він просто говорить, що чотирикутник має чотири вершини, чотири сторони і дві діагоналі. Дає визначення протилежних сторін і вершин. Наводить приклад опуклого і неопуклого чотирикутника. На підставі суми кутів опуклого n-кутника робиться висновок, що сума кутів опуклого чотирикутника дорівнює 360 º.
Другий параграф присвячений паралелограма і трапеції. При вивченні паралелограма (п. 42) дається його визначення, і доводяться його властивості. Л. С. Атанасян пропонує інший спосіб докази властивостей паралелограма в порівнянні з підручником [14]. Дані докази є меншими за обсягом і легше засвоюються учнями.
У наступному пункті параграфа (п. 43) розповідається про ознаки паралелограма. На відміну від А. В. Погорєлова Л. С. Атанасян розглядає три ознаки паралелограма. Це дозволяє швидше вирішувати завдання на доказ.
Останній пункт параграфа (п. 44) відводиться трапеції. У цьому пункті дається визначення трапеції і розглядаються види трапеції. У цьому підручнику також пропонується для вивчення теорема Фалеса, але в явному вигляді вона не виділена окремим пунктом (у порівнянні з підручником [14]).
Третій параграф присвячений прямокутника, ромба і квадрату. Визначення прямокутника і ромба даються на основі паралелограма (аналогічно з підручником [14]). Так як прямокутник і ромб є параллелограммом, то вони мають всі властивості паралелограма (цей факт не обмовляється в підручнику [14]). Також у підручнику розглядається особливі властивості прямокутника і ромба. Визначення і властивість квадрата розглядаються подібно, що і в підручнику [14], додаються особливі властивості квадрата.
У кінці пункту окремим пунктом (п. 47) виділена осьова і центральна симетрія. Наприкінці глави пропонуються завдання на відпрацювання ЗУН.
Вивчення чотирикутників в підручнику Л. С. Атанасян йде за такою схемою:
Паралелограм |
Трапеція |
Прямокутник |
Квадрат |
Ромб |
2.1.3 «Геометрія, 8-9», авт. А. Д. Александров
Тема «Чотирикутники» вивчається у восьмому класі в розділі «Площі багатокутних фігур».
У першому параграфі розповідається про багатокутниках і багатокутних фігурах. У першому пункті даного параграфа дається визначення ламаної, розглядаються різні особливості ламаної (замкнута, що перетинає сама себе, коса сама себе, проста).
Наступні два пункти розповідають про багатокутниках. Дається визначення багатокутника, його сторін, вершин, діагоналей. Розглядають опуклі і неопуклі багатокутники. Автор відзначає, що з усіх багатокутників найважливіші - випуклі. Далі на прикладах показують, що будь-який трикутник є опуклим багатокутником, а для чотирикутника це вже не завжди так. Також розглядають властивості опуклого багатокутника. Автор вказує наочно очевидні властивості.
У пункті 1.4, який називається «Чотирикутники», автор розповідає, що у чотирикутника 4 вершини, 4 кута, 4 сторони. Як прийнято позначати чотирикутник. Розповідає, які сторони називаються суміжними, які протилежними. Які вершини є сусідніми і протилежними. Також розповідає про діагоналі чотирикутника і автор нагадує, що сума кутів будь-якого чотирикутника дорівнює 360 0.
Пункт 1.5 присвячений багатокутний фігурам. Дається визначення багатокутної фігури. Наводиться приклад багатокутних фігур складених з багатокутників, що не мають спільних точок і мають лише окремі загальні точки на кордоні. Також розглядаються не пересічні багатокутні фігури, і дається визначення складеної фігури з багатокутних фігур.
Другий параграф присвячений площі багатокутних фігур. Дається визначення площі багатокутної фігури. Відзначається, що фігури, які мають рівні площі називаються рівновеликими.
Далі переходять до вимірювання площі. Вимірювання площі визначається як порівняння площі даної фігури з площею фігури прийнятої за одиницю виміру. У кінці пункту розглядається площа прямокутника, наводиться доказ, що величина a * b задовольняє будь-якому прямокутнику.
У третьому параграфі розповідається про площу трикутника і трапеції. Трапеція визначається як чотирикутник, у якого одна пара паралельних сторін. Ці сторони називаються підставою, а дві інші боковими. Дається визначення рівнобедреної (або равнобокой) трапеції. У кінці пункту доводиться теорема про середньої лінії трапеції. Автор відзначає, що трикутник можна вважати виродженої трапецією, коли одна з підстав стає точкою.
Останній параграф цієї глави називається «Паралелограм і його площа». У першому пункті даного параграфа дається визначення паралелограма. Властивості паралелограма розглядаються у вигляді теореми.
У пункті 4.2 доводиться теорема про ознаки паралелограма. Далі дається визначення висоти паралелограма і доводиться теорема про площу паралелограма. Наступний пункт присвячений приватним видів паралелограма.
Першим приватним виглядом паралелограма є прямокутник. Говориться, що прямокутник є параллелограммом і доводиться важлива властивість прямокутника (у прямокутнику діагональ рівні) і ознака прямокутника (паралелограм діагоналі якого дорівнюють, є прямокутником).
Другим частим видом паралелограма є ромб. Ромб визначається як чотирикутник, всі сторони якого рівні. Відзначається, що ромб є параллелограммом за ознакою останнього (чотирикутник, що має дві пари рівних протилежних сторін є параллелограммом). Наводиться доказ властивості ромба і пропонується самостійно довести дві ознаки ромба.
Останній приватний вид паралелограма - квадрат. Тут йдеться, що квадрат є прямокутником і ромбом одночасно, отже, його діагоналі взаємно перпендикулярні і рівні.
В останньому пункті цього пункту йдеться про характерні властивості фігур. Дається визначення характерного властивості. Наводиться приклад характерних властивостей паралелограма, прямокутника і ромба.
У кінці кожного параграфа і глави наводяться питання і завдання для перевірки навчальних досягнень учнів.
Вивчення чотирикутників йде за наступною темою:
Трапеція |
Прямокутник |
Ромб |
Квадрат |
Паралелограм |
2.1.4 «Геометрія, 7-9», авт. І. М. Смирнова, В. А. Смирнов
Тема «Чотирикутники» вивчається у восьмому класі в розділі «Паралельність».
У першому параграфі розглядаються паралельні прямі. Дається визначення паралельних прямих, січної. Визначаються відповідні, внутрішні навхрест лежачі і внутрішні односторонні кути. Доводиться ознака паралельності двох прямих, і розглядаються три слідства даної теореми. Також доводиться теорема про рівність внутрішніх навхрест лежачих кутів.
Наступний параграф присвячений сумі кутів багатокутника. Спочатку доводиться, що сума кутів трикутника дорівнює 180 0, а потім переходять до доказу загального випадку.
У третьому параграфі розглядають паралелограм. Дається визначення паралелограма, доводиться три його властивості. Розглянуто приклад на застосування властивостей паралелограма. На ознаки паралелограма відводиться четвертий параграф, в якому доводяться перший і другий ознаки паралелограма. Наведено два приклади на застосування цих ознак.
У п'ятому параграфі розглянуті прямокутник, ромб і квадрат. Прямокутник і ромб визначаються через паралелограм. Автори відзначають, що прямокутник є окремим випадком паралелограма. Тому він має всі властивості паралелограма і призводять доказ ознаки прямокутника (якщо в параллелограмме діагоналі рівні, то це прямокутник).
Ромб також є параллелограммом, отже, він має всі його властивостями. Наводиться доказ ознаки ромба (якщо в параллелограмме діагоналі перпендикулярні, то це ромб).
Квадрат визначається через прямокутник. Автори відзначають, що квадрат також є ромбом, у якого всі кути прямі. На підставі цього випливає, що квадрат має всі властивості прямокутника і ромба.
Перед вивченням трапеції автори розглядають теорему про середньої лінії трикутника. Дають визначення середньої лінії трикутника і призводять доказ теореми. Цей крок виправданий, тому що при доведенні теореми про середню лінії трапеції використовується теорема про середньої лінії трикутника. Визначення трапеції таке ж, як і в інших підручниках (див. [1], [2], [14]). Трапецією називається чотирикутник, у якого дві сторони паралельні. Дається визначення равнобокой, прямокутної трапецій, середньої лінії трапеції. Наводиться доказ теореми про середню лінії трапеції і розглядається наслідок з даної теореми.
Наприкінці глави наводиться доказ теореми Фалеса, яка є узагальненням теорем про середньої лінії трикутника і трапеції. У кінці кожного параграфа і глави наводяться питання і завдання для перевірки навчальних досягнень учнів.
Вивчення чотирикутників в підручнику І. В. Смирнова, В. А. Смирнов йде за такою схемою:
2.1.5 «Геометрія, 7-9», авт. І. Ф. Шаригін
Тема «Чотирикутники» вивчається у розділі «Подоба».
Перший параграф цієї глави присвячений темі «Паралелограм, прямокутник, ромб, квадрат».
Властивості і ознаки паралелограма об'єднані в одну теорему, доказ якої тут же наводиться. Автор відзначає, що з визначення прямокутника слід паралельність його протилежних сторін, тобто прямокутник є окремим випадком паралелограма. Наводиться доказ теореми про властивості прямокутника.
Властивості і ознаки ромба також об'єднані в одну теорему, доказ якої тут же наводиться. Автор відзначає, що квадрат має всі властивості прямокутника і ромба, так як він є і прямокутником, і ромбом. Ще один вид чотирикутника, а саме трапеція, вивчається після теореми Фалеса і теореми про середньої лінії трикутника. Трапеція визначається як чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші не паралельні. Визначено терміни підстави, бічні сторони трапеції. Доведено теорему про середню лінії трапеції.
Таким чином, вивчення чотирикутників йде за такою схемою:
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Проведений аналіз дозволяє зробити наступні висновки:
· В кожному підручнику свій порядок вивчення окремих видів чотирикутників
· В кожному підручнику представлений великий обсяг вправ для закріплення основних знань, умінь і навичок з даної теми.
2.2 Методика вивчення теми «Чотирикутники»
2.2.1 Введення поняття «Чотирикутник»
Поняття чотирикутник вводиться в залежності від того, як і коли введено поняття багатокутника:
- У підручнику Л.С. Атанасян чотирикутник вводиться як приватний вигляд багатокутника;
- У підручнику А.В. Погорєлова поняття багатокутника вводиться значно пізніше, тому дається визначення, аналогічне визначенню трикутника: «Чотирикутником називається фігура, яка складається з чотирьох точок і чотирьох послідовно з'єднують їх відрізків. При цьому ніякі три з даних точок не лежать на одній прямій, а що з'єднують їх відрізки не повинні перетинатися ».
SHAPE \ * MERGEFORMAT
У темі «Чотирикутники» розглядаються опуклі і неопуклі чотирикутники. Для більш наочного подання корисно скласти наступну схему:
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Підставою для класифікації опуклих чотирикутників є наявність паралельних сторін: у випадку однієї пари паралельних сторін з класу чотирикутників виділяється безліч трапецій, у випадку двох пар паралельних сторін - безліч паралелограмів.
Структурно - логічна схема основних класів геометричних фігур, складових її, має вигляд:
SHAPE \ * MERGEFORMAT
При класифікації всіх чотирикутників за підставу класифікації приймається спочатку взаємне розташування протилежних сторін - не паралельність або паралельність їх, внаслідок чого безліч всіх опуклих чотирикутників розбивається на три класи:
ü чотирикутники, що не мають паралельних сторін;
ü трапеції (одна пара паралельних сторін);
ü паралелограми (дві пари паралельних сторін).
За основу класифікації паралелограмів приймається рівність чи нерівність суміжних сторін (власне паралелограми і ромби), а також відсутність або наявність прямого кута (власне паралелограми і прямокутники).
В основу класифікації ромбів кладеться відсутність або наявність прямого кута (власне ромби і квадрати).
При класифікації прямокутників за підставу приймається рівність чи нерівність суміжних сторін (власне прямокутники і квадрати).
Класифікація трапеції проводиться спочатку по довжині бічних сторін (равнобокая і неравнобокими трапеції); потім нерівнобічні трапеції у свою чергу розбиваються на прямокутні і непрямокутні.
Описаний процес складання класифікації чотирикутників, зокрема опуклих чотирикутників, в основу якого покладено послідовна цілеспрямована деформація кожної знову отриманої фігури (отримати спочатку паралельні, а потім і рівні сторони, потім прямі кути), дозволяє чітко з'ясувати генетичний характер освіти кожного приватного виду опуклих чотирикутників. З чотирикутника з непаралельними сторонами виходять трапеції і паралелограми, з паралелограмів - прямокутники і ромби, з ромбів, прямокутників - квадрати.
З'ясування цього генезису - походження однієї фігури з іншого - допомагає більш виразному сприйняттю самих геометричних образів, з'ясування зв'язків між ними, а через це дозволяє поширювати властивість однієї більш загальної постаті, наприклад паралелограма, на приватні види її, на прямокутник, ромб і квадрат. Уявімо це на схемі. Таку схему корисно використовувати при навчанні школярів.
Паралелограм |
Прямокутник |
Ромб |
Квадрат |
Трапеція |
2.1.5 «Геометрія, 7-9», авт. І. Ф. Шаригін
Тема «Чотирикутники» вивчається у розділі «Подоба».
Перший параграф цієї глави присвячений темі «Паралелограм, прямокутник, ромб, квадрат».
Властивості і ознаки паралелограма об'єднані в одну теорему, доказ якої тут же наводиться. Автор відзначає, що з визначення прямокутника слід паралельність його протилежних сторін, тобто прямокутник є окремим випадком паралелограма. Наводиться доказ теореми про властивості прямокутника.
Властивості і ознаки ромба також об'єднані в одну теорему, доказ якої тут же наводиться. Автор відзначає, що квадрат має всі властивості прямокутника і ромба, так як він є і прямокутником, і ромбом. Ще один вид чотирикутника, а саме трапеція, вивчається після теореми Фалеса і теореми про середньої лінії трикутника. Трапеція визначається як чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші не паралельні. Визначено терміни підстави, бічні сторони трапеції. Доведено теорему про середню лінії трапеції.
Таким чином, вивчення чотирикутників йде за такою схемою:
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Паралелограм |
Прямокутник |
Ромб |
Квадрат |
Трапеція |
Проведений аналіз дозволяє зробити наступні висновки:
· В кожному підручнику свій порядок вивчення окремих видів чотирикутників
· В кожному підручнику представлений великий обсяг вправ для закріплення основних знань, умінь і навичок з даної теми.
2.2 Методика вивчення теми «Чотирикутники»
2.2.1 Введення поняття «Чотирикутник»
Поняття чотирикутник вводиться в залежності від того, як і коли введено поняття багатокутника:
- У підручнику Л.С. Атанасян чотирикутник вводиться як приватний вигляд багатокутника;
- У підручнику А.В. Погорєлова поняття багатокутника вводиться значно пізніше, тому дається визначення, аналогічне визначенню трикутника: «Чотирикутником називається фігура, яка складається з чотирьох точок і чотирьох послідовно з'єднують їх відрізків. При цьому ніякі три з даних точок не лежать на одній прямій, а що з'єднують їх відрізки не повинні перетинатися ».
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Опуклий |
Неопуклих |
У темі «Чотирикутники» розглядаються опуклі і неопуклі чотирикутники. Для більш наочного подання корисно скласти наступну схему:
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Чотирикутники |
Опуклі |
Неопуклі |
Підставою для класифікації опуклих чотирикутників є наявність паралельних сторін: у випадку однієї пари паралельних сторін з класу чотирикутників виділяється безліч трапецій, у випадку двох пар паралельних сторін - безліч паралелограмів.
Структурно - логічна схема основних класів геометричних фігур, складових її, має вигляд:
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Точка Пряма Площина |
Окружність Коло |
ламаною |
промінь |
кут |
багатокутник |
Опуклий багатокутник |
чотирикутник |
трикутник |
трапеція |
паралелограм |
прямокутник |
квадрат |
відрізок |
ромб |
рівнобедрена |
Неопуклих багатокутник |
прямокутна |
При класифікації всіх чотирикутників за підставу класифікації приймається спочатку взаємне розташування протилежних сторін - не паралельність або паралельність їх, внаслідок чого безліч всіх опуклих чотирикутників розбивається на три класи:
ü чотирикутники, що не мають паралельних сторін;
ü трапеції (одна пара паралельних сторін);
ü паралелограми (дві пари паралельних сторін).
За основу класифікації паралелограмів приймається рівність чи нерівність суміжних сторін (власне паралелограми і ромби), а також відсутність або наявність прямого кута (власне паралелограми і прямокутники).
В основу класифікації ромбів кладеться відсутність або наявність прямого кута (власне ромби і квадрати).
При класифікації прямокутників за підставу приймається рівність чи нерівність суміжних сторін (власне прямокутники і квадрати).
Класифікація трапеції проводиться спочатку по довжині бічних сторін (равнобокая і неравнобокими трапеції); потім нерівнобічні трапеції у свою чергу розбиваються на прямокутні і непрямокутні.
Описаний процес складання класифікації чотирикутників, зокрема опуклих чотирикутників, в основу якого покладено послідовна цілеспрямована деформація кожної знову отриманої фігури (отримати спочатку паралельні, а потім і рівні сторони, потім прямі кути), дозволяє чітко з'ясувати генетичний характер освіти кожного приватного виду опуклих чотирикутників. З чотирикутника з непаралельними сторонами виходять трапеції і паралелограми, з паралелограмів - прямокутники і ромби, з ромбів, прямокутників - квадрати.
З'ясування цього генезису - походження однієї фігури з іншого - допомагає більш виразному сприйняттю самих геометричних образів, з'ясування зв'язків між ними, а через це дозволяє поширювати властивість однієї більш загальної постаті, наприклад паралелограма, на приватні види її, на прямокутник, ромб і квадрат. Уявімо це на схемі. Таку схему корисно використовувати при навчанні школярів.
Класифікація чотирикутників |
Чотирикутники |
Опуклі |
Неопуклі |
З непаралельними сторонами |
Трапеції |
Паралелограми |
Равнобокая |
Нерівнобічні |
Прямокутні |
Непрямокутні |
Нерівносторонні |
Рівносторонні - ромби |
Прямокутні - прямокутники |
Прямокутні - квадрати |
Непрямокутні |
Рівносторонні - квадрати |
квадрати |
2.2.2 Приватні види чотирикутників
В усіх діючих в даний час посібниках (див. [1], [2], [14], [18]) здійснюється однаковий підхід у введенні приватних паралелограмів: прямокутників, ромбів і квадратів. Приватні види чотирикутників розглядаються відповідно до умовної єдиної методичної схемою:
ü дається визначення (через раніше вивчений вид чотирикутників);
ü вказуються елементи;
ü формулюються і доводяться властивості і ознаки;
ü розглядається задача на побудову цього чотирикутника.
Квадрат в одних підручниках вводиться як чотирикутник, який одночасно є прямокутником і ромбом. В інших - квадрат визначається як окремий вид прямокутника. У більшості підручників трапеція розглядається після паралелограма і його приватних видів. Тема має великі можливості для розвитку логічного мислення.
· Легко виявляється логічна структура теми. Корисно використовувати структурно-логічні схеми;
· Використовуються формально-логічні означення (через найближчий рід і видову відмінність).
Визначити поняття, значить перелічити його суттєві властивості, а це часто буває нелегко. Однак, завдання спрощується, якщо використовувати раніше вивчені поняття. Сказане обумовило спосіб визначення поняття, званий «через найближчий рід і видову відмінність». Конструювання визначення цим способом полягає в наступному:
1. Вказується рід, до якого входить визначається поняття як вид.
2. Вказуються видові відзнаки та зв'язок між ними.
Приклад: трапецією називається чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші ні. Рід - чотирикутник. Видове відмінність, - у якого дві сторони паралельні, а дві інші ні.
2.3 Вивчення властивостей і ознак чотирикутників
Вивчення властивостей чотирикутників зазвичай не викликають утруднень. При встановленні різних властивостей і ознак паралелограма широко використовуються властивості і ознаки рівних трикутників, властивості кутів, утворених при перетині двох паралельних прямих третин, ознаки паралельності. Матеріал про параллелограммах і їхніх приватних видах дуже зручний для формування та розвитку логічного мислення учнів. Саме тут учитель має широкі можливості по роботі з визначеннями: наприклад, запропонувати учневі дати визначення прямокутника через поняття чотирикутника, паралелограма і т.д. учням під силу самим встановити, а потім і довести різні властивості і ознаки паралелограма і трапеції.
Наприклад:
При доведенні теорем учні, як показує досвід, часто плутають, ознаки, властивості визначення, не вірно будують логічні ланцюжки, умовиводи. Тому при роботі з поняттями необхідно вже на цій темі формувати дедуктивне мислення, вчити побудови схем, таблиць, виявляти залежності, робити правильні класифікації, наприклад, використовуючи круги Ейлера.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
У курсі планіметрії основним способом допомагає організувати матеріал, засвоїти всю сукупність властивостей фігури, є створення деякого образу, що пов'язується з поняттям. Справді, що ми уявляємо собі, коли вимовляємо або читаємо слово «паралелограм». Звичайний паралелограм, з діагоналями, які в точці перетину діляться навпіл. Створення такого образу допомагає багаторазове виконання одного і того ж креслення, на якому всі властивості видно. Цьому сприяють і такі методичні прийоми, як огляд всіх властивостей, наведених вчителем, чи опитування не по окремих властивостями або теоремам, а по всій сукупності властивостей фігури: «Що ви знаєте про трапеції?», «Перерахуйте всі властивості прямокутника» і т.д .
Таким чином, навчання учнів самостійного вирішення завдань вимагає певної методики вивчення теоретичного матеріалу курсу, заснованої на системному засвоєнні понять.
Кожне математичне поняття є деяка система властивостей і відносин, що володіє всіма ознаками системи.
У різних підручниках виклад матеріалу розглянуто по-різному, з цього вчителю треба поєднувати свою роботу з матеріалом викладу на сторінках інших підручників.
2.3 Застосування методів наукового пізнання при вивченні чотирикутників
Розглянемо можливості використання методів наукового пізнання при вивченні теми «Чотирикутники».
2.3.1 Аналіз і синтез
Як було сказано в першому розділі, емпіричні методи не є характерними для математики, тому вони не застосовуються для вивчення чотирикутників.
В усіх діючих в даний час посібниках (див. [1], [2], [14], [18]) здійснюється однаковий підхід у введенні приватних паралелограмів: прямокутників, ромбів і квадратів. Приватні види чотирикутників розглядаються відповідно до умовної єдиної методичної схемою:
ü дається визначення (через раніше вивчений вид чотирикутників);
ü вказуються елементи;
ü формулюються і доводяться властивості і ознаки;
ü розглядається задача на побудову цього чотирикутника.
Квадрат в одних підручниках вводиться як чотирикутник, який одночасно є прямокутником і ромбом. В інших - квадрат визначається як окремий вид прямокутника. У більшості підручників трапеція розглядається після паралелограма і його приватних видів. Тема має великі можливості для розвитку логічного мислення.
· Легко виявляється логічна структура теми. Корисно використовувати структурно-логічні схеми;
· Використовуються формально-логічні означення (через найближчий рід і видову відмінність).
Визначити поняття, значить перелічити його суттєві властивості, а це часто буває нелегко. Однак, завдання спрощується, якщо використовувати раніше вивчені поняття. Сказане обумовило спосіб визначення поняття, званий «через найближчий рід і видову відмінність». Конструювання визначення цим способом полягає в наступному:
1. Вказується рід, до якого входить визначається поняття як вид.
2. Вказуються видові відзнаки та зв'язок між ними.
Приклад: трапецією називається чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші ні. Рід - чотирикутник. Видове відмінність, - у якого дві сторони паралельні, а дві інші ні.
2.3 Вивчення властивостей і ознак чотирикутників
Вивчення властивостей чотирикутників зазвичай не викликають утруднень. При встановленні різних властивостей і ознак паралелограма широко використовуються властивості і ознаки рівних трикутників, властивості кутів, утворених при перетині двох паралельних прямих третин, ознаки паралельності. Матеріал про параллелограммах і їхніх приватних видах дуже зручний для формування та розвитку логічного мислення учнів. Саме тут учитель має широкі можливості по роботі з визначеннями: наприклад, запропонувати учневі дати визначення прямокутника через поняття чотирикутника, паралелограма і т.д. учням під силу самим встановити, а потім і довести різні властивості і ознаки паралелограма і трапеції.
Наприклад:
Властивості | Ознака | ||||||||
| Теорема: У параллелограмме протилежні сторони рівні і протилежні кути рівні. Дано: Довести: 1. 2.
| Теорема: Якщо в чотирикутнику протилежні сторони попарно рівні, то цей чотирикутник паралелограм. Дано: Довести:
|
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Чотирикутники |
Опуклі чотирикутники |
Трапеції |
Паралелограми |
Ромб |
Квадрати |
Прямокутники |
У курсі планіметрії основним способом допомагає організувати матеріал, засвоїти всю сукупність властивостей фігури, є створення деякого образу, що пов'язується з поняттям. Справді, що ми уявляємо собі, коли вимовляємо або читаємо слово «паралелограм». Звичайний паралелограм, з діагоналями, які в точці перетину діляться навпіл. Створення такого образу допомагає багаторазове виконання одного і того ж креслення, на якому всі властивості видно. Цьому сприяють і такі методичні прийоми, як огляд всіх властивостей, наведених вчителем, чи опитування не по окремих властивостями або теоремам, а по всій сукупності властивостей фігури: «Що ви знаєте про трапеції?», «Перерахуйте всі властивості прямокутника» і т.д .
Таким чином, навчання учнів самостійного вирішення завдань вимагає певної методики вивчення теоретичного матеріалу курсу, заснованої на системному засвоєнні понять.
Кожне математичне поняття є деяка система властивостей і відносин, що володіє всіма ознаками системи.
У різних підручниках виклад матеріалу розглянуто по-різному, з цього вчителю треба поєднувати свою роботу з матеріалом викладу на сторінках інших підручників.
2.3 Застосування методів наукового пізнання при вивченні чотирикутників
Розглянемо можливості використання методів наукового пізнання при вивченні теми «Чотирикутники».
2.3.1 Аналіз і синтез
Як було сказано в першому розділі, емпіричні методи не є характерними для математики, тому вони не застосовуються для вивчення чотирикутників.
Найбільш часто у вивченні чотирикутників застосовують логічні методи пізнання. Аналіз найчастіше застосовується для розв'язання задач на доказ.
Приклад 1. Доведіть, що якщо в параллелограмме хоча б один кут прямий, то він є прямокутником.
Дано: ABCD - Паралелограм,
Довести: ABCD - Прямокутник.
Аналіз:
Приклад 2. Довести, що якщо діагональ паралелограма є бісектрисою його кутів, то він є ромбом.
Дано: ABCD - паралелограм,
AC - діагональ.
Довести: ABCD - ромб.
Аналіз:
У наведених прикладах видно як після проведення аналізу потрібно вирішувати задачу. У даних випадках застосовується висхідний аналіз. Розглянемо приклад застосування низхідного аналізу.
Приклад 3. Довести, що в рівнобедреної трапеції квадрат діагоналі дорівнює квадрату бічної сторони, складеної з твором підстав.
Дано: ABCD - трапеція.
Довести:
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Аналіз: Припускаємо, SHAPE \ * MERGEFORMAT що вірно рівність
що вірно.
Наведемо приклад використання синтетичного методу.
Приклад 4. Довести, що діагоналі ромба взаємно перпендикулярні.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
а) розглянемо
б)
в)
г)
д)
2.3.2 Порівняння та аналогії
Порівняння паралелограма і трапеції дозволяє виявити їх загальні властивості: вони обидва чотирикутники, обидва мають паралельні сторони, - і відмінність: в одному - дві пари паралельних сторін, в іншому - одна.
Якщо, наприклад, включили б в загальні властивості паралелограма і трапеції той факт, що вони обидва позначені одними і тими ж літерами АВС D, або вважали б відмінністю позначення їх різними літерами, то це було б помилковим підходом до порівняння.
Аналогія може бути використана при вивченні властивостей прямокутника, ромба і квадрата. Так як прямокутник це паралелограм, у якого всі кути прямі, то він має властивості паралелограма. Аналогічно для ромба. Ромб це паралелограм, у якого всі сторони рівні, отже він має властивості паралелограма. Квадрат це прямокутник, у якого всі сторони рівні. Прямокутник є параллелограммом, тому й квадрат є параллелограммом, у якого всі сторони рівні, тобто ромбом. Звідси випливає, що квадрат має всі властивості прямокутника і ромба.
2.3.3 Узагальнення
Розглянемо перехід від єдиного до загального, від загального до більш загального.
Формування поняття «квадрат» на ранньому етапі навчання починається показом безлічі предметів, що відрізняються один від одного формою, розмірами, забарвленням, матеріалом, з якого вони зроблені. Діти, після того як їм показують на одну з цих фігур і кажуть, що це квадрат, безпомилково відбирають з безлічі фігур всі ті, які мають таку ж форму, нехтуючи відмінностями, що стосуються розмірів, забарвлення, матеріалу. Тут виділення з безлічі предметів підмножини проводиться по одному ще недостатньо проаналізовано ознаки - за формою. Діти ще не знають властивостей квадрата, вони розпізнають його тільки за формою. Таке розпізнавання зустрічається у дітей 4-5 років. Подальша робота з формування поняття квадрата полягає в аналізі цієї форми з метою виявлення її властивостей. Учням пропонується шляхом спостереження знайти, що є спільного у всіх відібраних фігур, що мають форму квадрата, чим вони відрізняються від інших. Встановлюється, що у всіх квадратів 4 вершини і 4 сторони. Але у деяких фігур, які ми не віднесли до квадратах, теж 4 вершини і 4 сторони. Виявляється, у квадрата всі сторони рівні і всі кути прямі. Всі відібрані фігури, що володіють цими властивостями, ми об'єднуємо в один клас - квадрати (перехід від одиничного до загального).
У подальшому навчанні цей клас входить у ширший клас прямокутників (перехід від загального до більш загального). При цьому переході до більш широкого класу відбувається звуження характеристики класу, одна з властивостей, які характеризують клас квадратів (рівність усіх боків), опускається.
У нашому прикладі, якщо до змісту поняття «прямокутник» (до безлічі властивостей, які характеризують клас прямокутників) додати нову властивість (рівність усіх боків), ми отримаємо зміст поняття «квадрат» (безліч властивостей, які характеризують клас квадратів).
Узагальнення так само можна використовувати при систематизації знань по темі. Наприклад, можна розділити клас на групи і кожній групі запропонувати, використовуючи раніше вивчений матеріал, скласти схема відображає види багатокутників. А потім усім класом обговорювати дані схеми, тим самим, повторюючи вивчену тему.
2.3.4 Спостереження і досвід
Спостереження і досвід можна використовувати при відкритті властивостей паралелограма, прямокутника, ромба, квадрата. Наприклад, при вивченні ромба учням можна запропонувати самим знайти властивості даної фігури і довести їх. На уроці вчитель показує модель, що відображає рівність протилежних сторін і протилежних кутів. Учитель може запропонувати учням самостійно перевірити дослідним шляхом, що діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл.
2.3.5 Індукція
Розглянемо застосування індукції, а саме методу математичної індукції.
Приклад 5. Доведіть, що n довільних квадратів можна розрізати на частини так, що з отриманих частин можна скласти новий квадрат.
Рішення. При n = 1 твердження очевидне. Доведемо, що з двох квадратів (n = 2) можна розрізати один так, що з отриманих його частин і другого квадрата можна скласти третій квадрат.
Нехай дано квадрати: ABCD, AB = BC = CD = DA = x і STKZ, ST = TK = KZ = ZS = y і нехай x
SHAPE \ * MERGEFORMAT
На кожній стороні квадрата ABCD відкладемо від вершини відрізки AM = BN = CP = DQ =
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Отримана фігура є квадратом, так як
Припустимо, що твердження завдання вірно при n = k і доведемо, що при цьому воно вірно і для n = k +1.
Нехай дано k +1 квадратів
Тому, на аксіомі індукції, n довільних квадратів можна розрізати на частини так, що з отриманих частин можна скласти новий квадрат.
Глава III. Дослідне викладання
Для того щоб показати ефективність використання методів наукового пізнання при вивченні теми «Чотирикутники» одного теоретичного обгрунтування недостатньо. Будь-яка теорія повинна бути підтверджена практикою. У зв'язку з цим у Левинський середній загальноосвітній школі проводилася експериментальна робота. В експерименті брало участь 42 учнів восьмих класів (21 - експериментальний клас (ЕК), 21 - контрольний клас (КК)). Обидва класи навчаються в одного викладача і по одному і тому ж підручника (одного авторського колективу [2]). У ЕК, на відміну від КК, були проведені уроки з використанням методів наукового пізнання (див. Додаток 1).
Експеримент був спрямований на перевірку гіпотези цієї дипломної роботи, згідно з якою, вивчення теми «Чотирикутники» буде більш ефективним, якщо застосовувати методи наукового пізнання.
З метою оцінки результатів експерименту за допомогою застосування статистичних методів учням було запропоновано дві письмові контрольні роботи (перша - на початку, другий - в кінці навчального експерименту) (див. Додаток 2).
Результати контрольних робіт у восьмих класах на початку і наприкінці експерименту представлені відповідно у таблицях 1 і 2, а також у діаграмах 1 і 2.
Таблиця 1
Таблиця 2
Аналіз результатів виконання контрольних робіт на початку експерименту дозволив нам висунути гіпотезу H 0: «вибірки, представлені в таблиці 1, однорідні (розподіл учнів за балами істотно не розрізняються)» при конкуруючої гіпотезі H 1: «вибірки, представлені в таблиці 1, неоднорідні ( розподіл учнів за балами різняться суттєво) ». Перевіримо гіпотезу про рівність середніх генеральних значень [3]. Знайдена числова характеристика
По таблиці критичних точок розподілу Стьюдента на рівні значущості
Для того щоб переконається в позитивному впливі запропонованої методики на якість знань учнів, перевіримо гіпотезу про рівність середніх генеральних значень [3].
Висунуто нульова гіпотеза
По таблиці критичних точок розподілу Стьюдента на рівні значущості
Отримані результати дозволяють зробити висновок: якість знань в експериментальному і контрольному класах різні. Результати учнів експериментального класу мають тенденцію бути вище, ніж результати контрольних класів. На підставі цього можна стверджувати, що застосування методів наукового пізнання позитивно впливає на якість знань учнів у восьмому класі.
Представлені результати педагогічного експерименту свідчать про більш високих показниках в учнів експериментальних класів. Статистична обробка показала значимість побачити відмінностей.
Таким чином, експеримент підтвердив припущення про позитивний вплив методики навчання школярів математики з використанням методів наукового пізнання.
Висновок. По даній главі можна зробити висновок, що проведена експериментальна робота підтверджує висунуту гіпотезу: вивчення теми «Чотирикутники» буде більш ефективно, якщо застосовувати методи наукового пізнання.
Висновок
У темі «Чотирикутники» закладаються поняття основних видів чотирикутників і тут же учні знайомляться з основними видами завдань, з методами їх вирішення, оформлення запису. У ході вивчення важливо домогтися, щоб кожен учень оволодів усіма знаннями та вміннями, необхідними для подальшого успішного вивчення нових понять і теорем. Тому при підготовці до уроків геометрії за темою «Чотирикутники» вчителю необхідно ретельно підбирати навчальний матеріал, наочні засоби. На уроках більше часу відводити самостійній роботі, творчої діяльності учнів, використовувати різні методики, форми роботи. Також учителю необхідно застосовувати у своїй роботі різноманітні методи пізнання. Все це буде найбільш повно сприяти кращому засвоєнню геометрії учнями.
При виконанні випускної кваліфікаційної роботи, нами було: розкрито зміст понять методів наукового пізнання; вивчена навчально-методична література з теми дослідження; показано застосування методів наукового пізнання при вивченні математики. Тим самим завдання дослідження були виконані. У ході дослідного викладання підтверджена гіпотеза. Таким чином, вважаю, мету дослідження досягнуто.
Бібліографічний список
1. Александров, О. Д. Геометрія [Текст]: навч. для 8-9 кл. загаль. установ / А. Д. Александров, І. С. Вернер, В. І. Рижик. - М.: Просвещение, 1991. - 415 с.
2. Атанасян, А. С. Геометрія [Текст]: навч. для 7-9 кл. загаль. установ / А. С. Атанасян. - М.: Просвещение, 1995. - 335 с.
3. Гмурман, В. Є. Теорія ймовірностей і математичної статистика [Текст]: навч. посібник для вузів / В. Є. Гмурман. - М.: Вища школа, 1999. - 479 с.
4. Жменька, А. Б. Зустрітися з математичним моделюванням [Текст] / А. Б. жменька. - М.: Знание, 1991. - 160 с.
5. Грес, П. В. Математика для гуманітаріїв / П. В. Грес. - М.: Логос, 2005.
6. Груденов, Я. І. вдосконалення методики роботи вчителя математики [Текст]: книга для вчителя / Я. І. Груденов. - М.: Просвещение, 1990. - 224с.
7. Математична енциклопедія. Гол. ред. М. Виноградов. Том 3. Коо - Од. М.: Радянська енциклопедія, 1982, 1184 стор, мул.
8. Методика викладання математики [Текст]: підручник для вузів / Є. С. Канін, О. Я. Блох [и др.]; під ред. Р. С. Черкасова. - М.: Просвещение, 1985. - 268 с.
9. Методика викладання математики [Текст]: підручник для вузів / В. А. Оганесян, Ю. М. Колягін [и др.] - М.: Просвещение, 1980. - 368 с.
10. Методика викладання математики [Текст]: підручник для вузів / А. Я. Блох, В. А. Гусєв, Г. В. Дорофєєв [и др.] - М.: Просвещение, 1987. - 416 с.
11. Обойщікова, І. Г. Навчання моделювання учнів 5 - 6 класів при вивченні математики [Текст]: Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата педагогічних наук / І. Г. Обойщікова. - Саранськ, 2002.
12. Овечкін, К. А. Використання методів наукового пізнання при вивченні теми «Чотирикутники» / / Пізнання процесів навчання фізики [Текст]: збірник статей. Вип. дев'ятій / під ред. Ю. А. Саурова. - К.: Вид-во ВятГГУ, 2008. - С. 54-59.
13. Петров, Е. С. Теорія і методика навчання математики [Текст]: учеб.-метод. посібник для студ. мат. спец. / Є. С. Петров. - К.: Вид-во Сарат. ун-ту, 2004. - 84 с.
14. Погорєлов, А. В. Геометрія [Текст]: навч. для 7-11 Кл. загаль. установ / О. В. Погорєлов. - М.: Просвещение, 1990. - 384 с.
15. Полякова, Т. С. Методика навчання геометрії в основній школі: Навчальний посібник для студентів педвузів та пед.колледжей. - Ростов-на-Дону: ріпу, 1996. -96 С.
16. Саранцев, Г. І. Загальна методика викладання математики: Навчальний посібник для студентів мат. спеціальності Пед. Вузів та університетів - Саранськ: Тип. Червоний Жовтень, 1999. - 208 с.
17. Січівіца, О. М. Методи і форми наукового пізнання [Текст] / О. М. Січівіца. - М., Вища школа, 1993.
18. Смирнова, І. М. Геометрія [Текст]: навч. для 7-9 Кл. загаль. установ / І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - М.: Просвещение, 2001. - 271 с.
19. Смирнова, І. М. Дидактичні матеріали з геометрії для 7-9 класів / І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - М.: Просвещение, 2004. - 205 с.
20. Теоретичні основи навчання математики в середній школі: Навчальний посібник / Т. А. Іванова, Є. М. Перевосщікова [и др.] - Н. Новгород: МДПУ, 2003. - 320 с.
21. ФАРК, А. В. Контрольні роботи, тести, диктанти з геометрії: книга для вчителя / А. В. ФАРК. - М.: Іспит, 2008. - 157 с.
22. Формування системного мислення у навчанні: навч. посібник для вузів [Текст] / за ред. З. А. Решетова - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. - 344с.
23. Шаригін І. Ф. Геометрія [Текст]: навч. для 7-9 Кл. загаль. установ / І. Ф. Шаригін. - М.: Дрофа, 2002. - 368 с.
24. Штофф, В. А. Моделювання і філософія [Текст] / В. А. Штофф. - М.: Наука, 1966.
25. Ерднієв, П. М. Зміцнення дидактичних одиниць у навчанні математики: книга для вчителя / П. М. Ерднієв, Б. П. Ерднієв - М.: Просвещение, 1992. -
26. http://fmi.asf.ru/library/book/mpm/
Приклад 1. Доведіть, що якщо в параллелограмме хоча б один кут прямий, то він є прямокутником.
Дано: ABCD - Паралелограм,
Довести: ABCD - Прямокутник.
Аналіз:
Приклад 2. Довести, що якщо діагональ паралелограма є бісектрисою його кутів, то він є ромбом.
Дано: ABCD - паралелограм,
AC - діагональ.
Довести: ABCD - ромб.
A |
D |
C |
B |
ABCD - прямокутник |
Визначення |
Сума кутів у параллелограмме дорівнює 360 º |
По властивості паралелограма (протилежні кути рівні) |
A |
D |
C |
B |
Аналіз:
У наведених прикладах видно як після проведення аналізу потрібно вирішувати задачу. У даних випадках застосовується висхідний аналіз. Розглянемо приклад застосування низхідного аналізу.
Приклад 3. Довести, що в рівнобедреної трапеції квадрат діагоналі дорівнює квадрату бічної сторони, складеної з твором підстав.
Дано: ABCD - трапеція.
Довести:
ABCD - ромб |
Визначення AB = BC = CD = AD |
Δ ABC = Δ ADC За першою ознакою |
AD = DC DC = AB |
AD = AB |
AD = DC AD = B С D |
DC = BC |
Δ ADC - рівнобедрений |
AC - бісектриса |
SHAPE \ * MERGEFORMAT
A |
B |
C |
D |
K |
L |
c 1 |
a |
b |
d |
Аналіз: Припускаємо, SHAPE \ * MERGEFORMAT що вірно рівність
що вірно.
Наведемо приклад використання синтетичного методу.
Приклад 4. Довести, що діагоналі ромба взаємно перпендикулярні.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
A |
B |
C |
D |
O |
а) розглянемо
б)
в)
г)
д)
2.3.2 Порівняння та аналогії
Порівняння паралелограма і трапеції дозволяє виявити їх загальні властивості: вони обидва чотирикутники, обидва мають паралельні сторони, - і відмінність: в одному - дві пари паралельних сторін, в іншому - одна.
Якщо, наприклад, включили б в загальні властивості паралелограма і трапеції той факт, що вони обидва позначені одними і тими ж літерами АВС D, або вважали б відмінністю позначення їх різними літерами, то це було б помилковим підходом до порівняння.
Аналогія може бути використана при вивченні властивостей прямокутника, ромба і квадрата. Так як прямокутник це паралелограм, у якого всі кути прямі, то він має властивості паралелограма. Аналогічно для ромба. Ромб це паралелограм, у якого всі сторони рівні, отже він має властивості паралелограма. Квадрат це прямокутник, у якого всі сторони рівні. Прямокутник є параллелограммом, тому й квадрат є параллелограммом, у якого всі сторони рівні, тобто ромбом. Звідси випливає, що квадрат має всі властивості прямокутника і ромба.
2.3.3 Узагальнення
Розглянемо перехід від єдиного до загального, від загального до більш загального.
Формування поняття «квадрат» на ранньому етапі навчання починається показом безлічі предметів, що відрізняються один від одного формою, розмірами, забарвленням, матеріалом, з якого вони зроблені. Діти, після того як їм показують на одну з цих фігур і кажуть, що це квадрат, безпомилково відбирають з безлічі фігур всі ті, які мають таку ж форму, нехтуючи відмінностями, що стосуються розмірів, забарвлення, матеріалу. Тут виділення з безлічі предметів підмножини проводиться по одному ще недостатньо проаналізовано ознаки - за формою. Діти ще не знають властивостей квадрата, вони розпізнають його тільки за формою. Таке розпізнавання зустрічається у дітей 4-5 років. Подальша робота з формування поняття квадрата полягає в аналізі цієї форми з метою виявлення її властивостей. Учням пропонується шляхом спостереження знайти, що є спільного у всіх відібраних фігур, що мають форму квадрата, чим вони відрізняються від інших. Встановлюється, що у всіх квадратів 4 вершини і 4 сторони. Але у деяких фігур, які ми не віднесли до квадратах, теж 4 вершини і 4 сторони. Виявляється, у квадрата всі сторони рівні і всі кути прямі. Всі відібрані фігури, що володіють цими властивостями, ми об'єднуємо в один клас - квадрати (перехід від одиничного до загального).
У подальшому навчанні цей клас входить у ширший клас прямокутників (перехід від загального до більш загального). При цьому переході до більш широкого класу відбувається звуження характеристики класу, одна з властивостей, які характеризують клас квадратів (рівність усіх боків), опускається.
У нашому прикладі, якщо до змісту поняття «прямокутник» (до безлічі властивостей, які характеризують клас прямокутників) додати нову властивість (рівність усіх боків), ми отримаємо зміст поняття «квадрат» (безліч властивостей, які характеризують клас квадратів).
Узагальнення так само можна використовувати при систематизації знань по темі. Наприклад, можна розділити клас на групи і кожній групі запропонувати, використовуючи раніше вивчений матеріал, скласти схема відображає види багатокутників. А потім усім класом обговорювати дані схеми, тим самим, повторюючи вивчену тему.
2.3.4 Спостереження і досвід
Спостереження і досвід можна використовувати при відкритті властивостей паралелограма, прямокутника, ромба, квадрата. Наприклад, при вивченні ромба учням можна запропонувати самим знайти властивості даної фігури і довести їх. На уроці вчитель показує модель, що відображає рівність протилежних сторін і протилежних кутів. Учитель може запропонувати учням самостійно перевірити дослідним шляхом, що діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл.
2.3.5 Індукція
Розглянемо застосування індукції, а саме методу математичної індукції.
Приклад 5. Доведіть, що n довільних квадратів можна розрізати на частини так, що з отриманих частин можна скласти новий квадрат.
Рішення. При n = 1 твердження очевидне. Доведемо, що з двох квадратів (n = 2) можна розрізати один так, що з отриманих його частин і другого квадрата можна скласти третій квадрат.
Нехай дано квадрати: ABCD, AB = BC = CD = DA = x і STKZ, ST = TK = KZ = ZS = y і нехай x
SHAPE \ * MERGEFORMAT
S |
T |
K |
Z |
y |
A |
B |
C |
D |
Q |
N |
P |
x |
O |
M |
На кожній стороні квадрата ABCD відкладемо від вершини відрізки AM = BN = CP = DQ =
SHAPE \ * MERGEFORMAT
K |
S |
T |
Z |
Отримана фігура є квадратом, так як
Припустимо, що твердження завдання вірно при n = k і доведемо, що при цьому воно вірно і для n = k +1.
Нехай дано k +1 квадратів
Тому, на аксіомі індукції, n довільних квадратів можна розрізати на частини так, що з отриманих частин можна скласти новий квадрат.
Глава III. Дослідне викладання
Для того щоб показати ефективність використання методів наукового пізнання при вивченні теми «Чотирикутники» одного теоретичного обгрунтування недостатньо. Будь-яка теорія повинна бути підтверджена практикою. У зв'язку з цим у Левинський середній загальноосвітній школі проводилася експериментальна робота. В експерименті брало участь 42 учнів восьмих класів (21 - експериментальний клас (ЕК), 21 - контрольний клас (КК)). Обидва класи навчаються в одного викладача і по одному і тому ж підручника (одного авторського колективу [2]). У ЕК, на відміну від КК, були проведені уроки з використанням методів наукового пізнання (див. Додаток 1).
Експеримент був спрямований на перевірку гіпотези цієї дипломної роботи, згідно з якою, вивчення теми «Чотирикутники» буде більш ефективним, якщо застосовувати методи наукового пізнання.
З метою оцінки результатів експерименту за допомогою застосування статистичних методів учням було запропоновано дві письмові контрольні роботи (перша - на початку, другий - в кінці навчального експерименту) (див. Додаток 2).
Результати контрольних робіт у восьмих класах на початку і наприкінці експерименту представлені відповідно у таблицях 1 і 2, а також у діаграмах 1 і 2.
Таблиця 1
| Оцінка | Кількість учнів, які отримали ці оцінки | |
| Контрольний клас | Експериментальний клас | |
| 2 | 2 | 1 |
| 3 | 6 | 7 |
| 4 | 10 | 10 |
| 5 | 3 | 3 |
Таблиця 2
| Оцінка | Кількість учнів, які отримали ці оцінки | |
| Контрольний клас | Експериментальний клас | |
| 2 | 1 | 0 |
| 3 | 5 | 2 |
| 4 | 12 | 10 |
| 5 | 3 | 9 |
Аналіз результатів виконання контрольних робіт на початку експерименту дозволив нам висунути гіпотезу H 0: «вибірки, представлені в таблиці 1, однорідні (розподіл учнів за балами істотно не розрізняються)» при конкуруючої гіпотезі H 1: «вибірки, представлені в таблиці 1, неоднорідні ( розподіл учнів за балами різняться суттєво) ». Перевіримо гіпотезу про рівність середніх генеральних значень [3]. Знайдена числова характеристика
По таблиці критичних точок розподілу Стьюдента на рівні значущості
Для того щоб переконається в позитивному впливі запропонованої методики на якість знань учнів, перевіримо гіпотезу про рівність середніх генеральних значень [3].
Висунуто нульова гіпотеза
По таблиці критичних точок розподілу Стьюдента на рівні значущості
Отримані результати дозволяють зробити висновок: якість знань в експериментальному і контрольному класах різні. Результати учнів експериментального класу мають тенденцію бути вище, ніж результати контрольних класів. На підставі цього можна стверджувати, що застосування методів наукового пізнання позитивно впливає на якість знань учнів у восьмому класі.
Представлені результати педагогічного експерименту свідчать про більш високих показниках в учнів експериментальних класів. Статистична обробка показала значимість побачити відмінностей.
Таким чином, експеримент підтвердив припущення про позитивний вплив методики навчання школярів математики з використанням методів наукового пізнання.
Висновок. По даній главі можна зробити висновок, що проведена експериментальна робота підтверджує висунуту гіпотезу: вивчення теми «Чотирикутники» буде більш ефективно, якщо застосовувати методи наукового пізнання.
Висновок
У темі «Чотирикутники» закладаються поняття основних видів чотирикутників і тут же учні знайомляться з основними видами завдань, з методами їх вирішення, оформлення запису. У ході вивчення важливо домогтися, щоб кожен учень оволодів усіма знаннями та вміннями, необхідними для подальшого успішного вивчення нових понять і теорем. Тому при підготовці до уроків геометрії за темою «Чотирикутники» вчителю необхідно ретельно підбирати навчальний матеріал, наочні засоби. На уроках більше часу відводити самостійній роботі, творчої діяльності учнів, використовувати різні методики, форми роботи. Також учителю необхідно застосовувати у своїй роботі різноманітні методи пізнання. Все це буде найбільш повно сприяти кращому засвоєнню геометрії учнями.
При виконанні випускної кваліфікаційної роботи, нами було: розкрито зміст понять методів наукового пізнання; вивчена навчально-методична література з теми дослідження; показано застосування методів наукового пізнання при вивченні математики. Тим самим завдання дослідження були виконані. У ході дослідного викладання підтверджена гіпотеза. Таким чином, вважаю, мету дослідження досягнуто.
Бібліографічний список
1. Александров, О. Д. Геометрія [Текст]: навч. для 8-9 кл. загаль. установ / А. Д. Александров, І. С. Вернер, В. І. Рижик. - М.: Просвещение, 1991. - 415 с.
2. Атанасян, А. С. Геометрія [Текст]: навч. для 7-9 кл. загаль. установ / А. С. Атанасян. - М.: Просвещение, 1995. - 335 с.
3. Гмурман, В. Є. Теорія ймовірностей і математичної статистика [Текст]: навч. посібник для вузів / В. Є. Гмурман. - М.: Вища школа, 1999. - 479 с.
4. Жменька, А. Б. Зустрітися з математичним моделюванням [Текст] / А. Б. жменька. - М.: Знание, 1991. - 160 с.
5. Грес, П. В. Математика для гуманітаріїв / П. В. Грес. - М.: Логос, 2005.
6. Груденов, Я. І. вдосконалення методики роботи вчителя математики [Текст]: книга для вчителя / Я. І. Груденов. - М.: Просвещение, 1990. - 224с.
7. Математична енциклопедія. Гол. ред. М. Виноградов. Том 3. Коо - Од. М.: Радянська енциклопедія, 1982, 1184 стор, мул.
8. Методика викладання математики [Текст]: підручник для вузів / Є. С. Канін, О. Я. Блох [и др.]; під ред. Р. С. Черкасова. - М.: Просвещение, 1985. - 268 с.
9. Методика викладання математики [Текст]: підручник для вузів / В. А. Оганесян, Ю. М. Колягін [и др.] - М.: Просвещение, 1980. - 368 с.
10. Методика викладання математики [Текст]: підручник для вузів / А. Я. Блох, В. А. Гусєв, Г. В. Дорофєєв [и др.] - М.: Просвещение, 1987. - 416 с.
11. Обойщікова, І. Г. Навчання моделювання учнів 5 - 6 класів при вивченні математики [Текст]: Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата педагогічних наук / І. Г. Обойщікова. - Саранськ, 2002.
12. Овечкін, К. А. Використання методів наукового пізнання при вивченні теми «Чотирикутники» / / Пізнання процесів навчання фізики [Текст]: збірник статей. Вип. дев'ятій / під ред. Ю. А. Саурова. - К.: Вид-во ВятГГУ, 2008. - С. 54-59.
13. Петров, Е. С. Теорія і методика навчання математики [Текст]: учеб.-метод. посібник для студ. мат. спец. / Є. С. Петров. - К.: Вид-во Сарат. ун-ту, 2004. - 84 с.
14. Погорєлов, А. В. Геометрія [Текст]: навч. для 7-11 Кл. загаль. установ / О. В. Погорєлов. - М.: Просвещение, 1990. - 384 с.
15. Полякова, Т. С. Методика навчання геометрії в основній школі: Навчальний посібник для студентів педвузів та пед.колледжей. - Ростов-на-Дону: ріпу, 1996. -96 С.
16. Саранцев, Г. І. Загальна методика викладання математики: Навчальний посібник для студентів мат. спеціальності Пед. Вузів та університетів - Саранськ: Тип. Червоний Жовтень, 1999. - 208 с.
17. Січівіца, О. М. Методи і форми наукового пізнання [Текст] / О. М. Січівіца. - М., Вища школа, 1993.
18. Смирнова, І. М. Геометрія [Текст]: навч. для 7-9 Кл. загаль. установ / І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - М.: Просвещение, 2001. - 271 с.
19. Смирнова, І. М. Дидактичні матеріали з геометрії для 7-9 класів / І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - М.: Просвещение, 2004. - 205 с.
20. Теоретичні основи навчання математики в середній школі: Навчальний посібник / Т. А. Іванова, Є. М. Перевосщікова [и др.] - Н. Новгород: МДПУ, 2003. - 320 с.
21. ФАРК, А. В. Контрольні роботи, тести, диктанти з геометрії: книга для вчителя / А. В. ФАРК. - М.: Іспит, 2008. - 157 с.
22. Формування системного мислення у навчанні: навч. посібник для вузів [Текст] / за ред. З. А. Решетова - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. - 344с.
23. Шаригін І. Ф. Геометрія [Текст]: навч. для 7-9 Кл. загаль. установ / І. Ф. Шаригін. - М.: Дрофа, 2002. - 368 с.
24. Штофф, В. А. Моделювання і філософія [Текст] / В. А. Штофф. - М.: Наука, 1966.
25. Ерднієв, П. М. Зміцнення дидактичних одиниць у навчанні математики: книга для вчителя / П. М. Ерднієв, Б. П. Ерднієв - М.: Просвещение, 1992. -
26. http://fmi.asf.ru/library/book/mpm/