Обробка статистичної інформації щодо показників надійності

де - Значення кінця i-го інтервалу статистичного ряду.
З рівняння 1.15 випливає,
(1.17)
При обробці дослідної інформації встановлено:
- Середній ресурс = 6,49 мм;
- Середнє квадратичне відхилення σ = 0,24 мм ;
- Коефіцієнт варіації V = 0,42.
Для побудови диференціальної кривої f (t) визначається теоретична ймовірність попадання випадкової величини в кожному інтервалі статистичного ряду (таблиця 1.2).
Так, ймовірність того, що деталь потребують ремонту в першому і другому інтервалі напрацювань буде дорівнює:


і т.д. для інших інтервалів.
Результати розрахунків представлені в таблиці 1.3.
Для побудови інтегральної кривої визначаються значення функції F (t) для кінців інтервалів статистичного ряду.
Для першого інтервалу отримаємо:
;
.
Подальші результати розрахунків представлені в таблиці 1.3.
Таблиця 1.3 - Значення f (t) і F (t) при ЗУНР

Інтервали, мм	6,00-6,16	6,16-6,32	6,32-6,48	6,48-6,64	6,64-6,80	6,80-6,96
f (t)	0,061	0,153	0,245	0,243	0,166	0,071
F (t)	0,085	0,239	0,484	0,732	0,902	0,975

Закон розподілу Вейбулла (ЗРВ)
Відмінною особливістю закону розподілу Вейбулла є правобічна асиметрія диференціальної функції.
Диференціальна f (t) та інтегральна F (t) функції визначаються рівняннями:
(1.18)
(1.19)
де а і в - параметри розподілу Вейбулла.
Визначення параметрів "а" і "в" аналітичним шляхом досить трудомістким, тому на практиці при їх визначенні користуються спеціальними таблицями.
Порядок визначення диференціальної та інтегральної функцій при ЗРВ наступний:
1. Визначення, на підставі дослідної інформації, середнього значення випадкової величини , Середнього квадратичного відхилення σ і коефіцієнта варіації.
2. За таблицями за відомим значенням коефіцієнта варіації V визначаються параметр "в" і коефіцієнти Вейбулла Кв і Св.
3. Параметр "а" визначається з виразу:
(1.20)
або
(1.21)
Для розглянутого завдання з ; ; ; .
З літературних джерел за відомим коефіцієнтом варіації V отримаємо ; Кв = 0,887; Св = 0,380.

4. Знаючи параметри "а" і "в" і користуючись табульований функціями АF (t) і F (t), можна визначити диференціальну та інтегральну функції.
При знаходженні функції f (t) для кожного інтервалу статистичного ряду визначається ставлення , Де tci - середина i-го інтервалу. За знайденому відношенню при певній величині параметра "в" за таблицею визначаємо значення функції АF (tci-tзм), нормованої по "а".
Значення функції f (t) для i-го інтервалу статистичного ряду визначиться з виразу:
(1.22)
Для знаходження функції F (t) для кожного інтервалу визначається відношення , Де tкi - кінець i-го інтервалу. По знайденому відношенню і параметру "в" за таблицею визначаємо значення інтегральної функції F (tкi - tзм).
Для даного завдання значення диференціальної і інтегральної функцій при ЗРВ будуть рівні:
для першого інтервалу
в = 2,5

в = 2,5 F (tк1) = 0,096
для другого інтервалу
в = 2,5

в = 2,5 F (tк1) = 0,243
Подальші результати розрахунків представлені в таблиці 1.4.
Графічне зображення диференціальної функції f (t) і інтегральної функції F (t) при вирівнюванні по ЗУНР і по ЗРВ представлено на малюнку 1.1 та 1.2 у додатку.
Таблиця 1.4 - Значення f (t) і F (t) при ЗРВ

Інтервали, мм	6,00-6,16	6,16-6,32	6,32-6,48	6,48-6,64	6,64-6,80	6,80-6,96
f (t)	0,083	0,183	0,247	0,234	0,15	0,069
F (t)	0,096	0,243	0,536	0,719	0,902	0,969

1.7 Критерії згоди досвідчених і теоретичних розподілів показників надійності
Стосовно до показників надійності тракторів і сільськогосподарських машин, частіше використовується критерій згоди Пірсона χ2.
Критерій χ2 визначається за формулою:
, (1.23)
де n - число інтервалів у статистичному ряді;
mi - досвідчена частота в i-му інтервалі;
mтi - теоретична частота в i-му інтервалі.
(1.24)
Для визначення критерію згоди χ2 потрібно мати статистичний ряд, який відповідає умовам:
. (1.25)
У випадку, якщо статистичний ряд не задовольняє цим умовам, проводиться укрупнення його шляхом об'єднання інтервалів з частотою mi або mтi менше 5 з сусідніми.
Для даного завдання значення теоретичної частоти (mтi) для кожного інтервалу статистичного ряду, визначене за формулою 1.24 для ЗУНР і ЗРВ представлено в таблиці 1.5.
Таблиця 1.5 - Значення теоретичної частоти для ЗУНР і ЗРВ

Інтервали, мм		6,00-6,16	6,16-6,32	6,32-6,48	6,48-6,64	6,64-6,80	6,80-6,96
Досвідчена частота mi		3	5	6	7	6	3
F (t)	ЗУНР	0,085	0,239	0,484	0,732	0,902	0,975
	ЗРВ	0,096	0,243	0,536	0,719	0,902	0,969
Теоретична частота, mтi	ЗУНР	2,55	4,62	7,35	7,44	5,1	2,19
	ЗРВ	2,88	4,41	8,79	5,49	5,49	2,01

Тому що при вирівнюванні по ЗУНР статистичний ряд не задовольняє умові 1.25, виробляємо укрупнення статистичного ряду, тобто об'єднуємо перший і другий, а також п `ятий і шостий інтервали. Укрупнений статистичний ряд представлений в таблиці 1.6.
Таблиця 1.6 - Укрупнений статистичний ряд для визначення критерію згоди χ2

Інтервали, мм		6,00-6,32	6,32-6,48	6,48-6,64	6,64-6,96
Досвідчена частота, mi		8	6	7	9
Теоретична частота, mтi	ЗУНР	7,17	7,35	7,44	7,29
	ЗРВ	7,29	8,79	5,49	7,5

Критерій χ2 буде відповідно дорівнює:
- Для закону нормального закону
.
- Для закону розподілу Вейбулла
.
Для кількісної оцінки збіги досвідченого і теоретичного розподілу визначається можливість збігу за критерієм Пірсона Р (χ2), що визначається за таблицями в літературних джерелах.
Вірогідність збігу при інших рівних умовах залежить також від повторності досліджуваної інформації. Для користування таблицею необхідно визначити число ступенів свободи "r" з рівняння:
(1.26)
де ny - число інтервалів укрупненого статистичного ряду;
к - число параметрів теоретичного закону розподілу;
1 - зв'язок, що накладається закономірністю ΣPi = 1.
Для даного прикладу
Тоді для закону нормального розподілу Р (χ2) = 40%, для закону розподілу Вейбулла Р (χ2) = 20%.
Прийнято вважати, що теоретичний закон узгоджується з досвідченим розподілом, якщо Р (χ2) ≥ 10%.
З проведеної перевірки випливає, що обидва теоретичні закону узгоджуються з досвідченим розподілом, але ймовірність збігу закону нормального розподілу трохи вище, ніж закон розподілу Вейбулла.
1.8 Визначення довірчих меж розсіювання одиночного і середнього значень показника надійності. Абсолютна і відносна граничні помилки
Довірчі межі розсіювання показників надійності при використанні закону нормального розподілу визначається за формулами:
а) для одиночного значення показника надійності
; (1.27)
; (1.28)
; (1.29)
, (1.30)
де - Нижня межа довірча одиночного значення показника надійності;
- Верхня межа довірча одиночного значення показника надійності;
σ - середньоквадратичне відхилення;
- Коефіцієнт Стьюдента визначається за таблицею в залежності від прийнятої довірчої ймовірності α та обсягу інформації N;
- Довірчий інтервал;
- Абсолютна помилка розсіювання.
б) для середнього значення показника надійності:
; (1.31)
; (1.32)
; (1.33)
, (1.34)
де - - Нижня межа довірча розсіювання середнього значення показника надійності;
- Верхня межа довірча розсіювання середнього значення показника надійності;
- Абсолютна помилка розсіювання середнього значення показника надійності.
Відносна помилка перенесення досвідчених значень показника надійності на генеральну сукупність:
(1.35)
Визначаємо довірчі границі розсіювання одиночного і середнього значень показника надійності, попередньо задаємося довірчою ймовірністю α = 0,95. За таблицею визначаємо значення коефіцієнта Стьюдента для α = 0,95 і N = 30. Для заданих умов = 2,04. Тоді, за формулами 1.27, 1.28, 1.30 і 1.31 визначимо:
мм;
мм;
мм;
мм;

Розрахунок довірчих меж розсіювання при використанні закону розподілу Вейбулла ведеться від нуля, тому що крива розподілу в цьому випадку асиметрична.
Розсіювання одиночних значень показника надійності визначається за формулами:
, (1.36)
(1.37)
де tн - нижня довірча кордон;
tв - верхня довірча кордон;
- Нормована квантиль закону розподілу Вейбулла, визначається за таблицею з літературних джерел для відомих значень "в" і ;
а - параметр розподілу Вейбулла.
Для визначення меж розсіювання середнього значення використовуються формули:
, (1.38)
, (1.39)
де - Нижня довірча кордон;
- Верхня довірча кордон;
r1; r3 - коефіцієнти Вейбулла, визначаються за таблицею з літератури;
в - параметр розподілу Вейбулла.
При довірчій ймовірності α = 0,95; = 6,49 мм; tсм = 5,92 мм; в = 2,5; а = 0,63 мм довірчі межі розсіювання одиночного й середнього значення визначені за формулами 1.21 ... 1.24 будуть рівні:




Відносна помилка розсіювання (перенесення) досвідчених значень показника надійності на генеральну сукупність:
(1.40)

1.9 Визначення мінімального числа об'єктів спостереження при оцінці показників надійності
Точність визначення показників надійності залежить за інших рівних умов від обсягу інформації, тобто від кількості піддослідних об'єктів. Як відомо, зі збільшенням кількості випробовуваних об'єктів N довірчі межі зближуються, а абсолютна помилка зменшується.
Перш ніж приступити до випробування, потрібно визначити кількість випробовуваних виробів. Для цього задаються певної довірчою ймовірністю α і можливої ​​відносної помилкою εα.
В умовах виробництва при випробуванні на надійність в більшості випадків задаються довірчою ймовірністю α = 0,80 ... 0,95 і величиною відносної помилки εα = 10 ... 20%. Кількість об'єктів випробування визначається відповідно до прийнятого закону розподілу.
При використанні закону нормального розподілу, якщо обидві частини рівняння 1.34 розділити на середнє значення показника надійності , Отримаємо:
або .
Остаточно отримаємо:
. (1.41)
Для визначення обсягу випробувань N необхідно задатися величиною допустимої відносної помилкою і для відомої величини коефіцієнта варіації V визначити значення з використання формули 1.41, потім по таблиці визначити шуканий обсяг інформації N при заданій довірчій ймовірності α.
У нашому випадку відносна помилка ≤ 20% (0,20), довірча ймовірність α .= 0,95, коефіцієнт варіації V = 0,42. Підставляючи дані у формулу 1.41 отримаємо
.
По таблиці для α .= 0,95 N = 20.
При використанні закону розподілу Вейбулла користуються рівнянням:
, (1.42)
де у - параметр розподілу Вейбулла.
За значенням q, при відомій довірчої ймовірності за таблицею визначається кількість випробовуваних об'єктів.
Для V = 0,42; в = 2,5 отримаємо

За таблицями для α = 0,95 знаходимо N = 17.

2 Методи обробки усіченої інформації
Проводити ресурсні випробування тракторів і автомобілів, які мають досить високою довговічністю, до отримання показників довговічності у всіх об'єктів практично неможливо. Це вимагає дуже тривалого часу їх випробувань. Тому, при зборі інформації за показниками довговічності таких машин, випробування ведуть до певної напрацювання «Т». При цьому тривалість випробувань вибирається таким чином, щоб одержати показники надійності не менш ніж у 50% виробів.
Отримана при таких випробуваннях інформація називається усіченою.
У разі усіченої інформації отримати характеристики розподілу ( і σ) викладеним вище методом неможливо. Це завдання можна вирішити графічним методом обробки статистичної інформації за допомогою імовірнісної паперу.
2.1 Імовірнісна папір закону нормального розподілу
Порядок користування ймовірнісної папером закону нормального розподілу наступний:
1. На аркуші паперу наносять прямокутні осі координат.
2. На графік наносять 6 ... 7 досвідчених точок, рівномірно розташованих у зведеній таблиці вихідної інформації (варіаційному ряду). При цьому координати точок визначають за рівнянням:
, (2.1)
де МХ - масштаб по осі Х;
ti - значення показника надійності i-ї точки.
, (2.2)
де МУ - масштаб по осі "у" (приймається = 50 мм / ед.квантілі);
НК - нормована квантиль нормального закону розподілу визначається за таблицею для накопиченої дослідної ймовірності розглянутої точки інформації ;
«+» - Якщо «-» - Якщо
Накопичена досвідчена ймовірність розглянутої точки інформації визначається за формулою:
, (2.3)
де - Порядковий номер i-ої точки варіаційного ряду
статистичної інформації;
N - обсяг інформації.
3. Нанести досвідчені точки на графік і через них провести пряму лінію таким чином, щоб точки були максимально наближені до цієї прямої
4. Визначаємо і σ. Для цього через координату "у" = 116,5 мм , Що відповідає , Провести пряму, паралельну осі "х" до перетину з графіком. Абсцис точки графіка, відповідна , Дорівнює . Для визначення σ через координату "у" = 66,6 мм , Що відповідає , Провести пряму, паралельну осі "х", до перетину з графіком. Різниця абсцис точок відповідних і дорівнює середньоквадратичного відхилення випадкової величини у відповідному масштабі.
нашому випадку для обробки візьмемо точки 2, 4, 7, 9, 11, 13.
Приймемо МХ = 3 мм / ед.лог., Тоді:
мм;
мм;
;
.
мм;
мм.
Результати розрахунків представлені в таблиці 2.1
Таблиця 2.1 Результати розрахунків для побудови ймовірнісної папери ЗУНР

Порядковий номер,	Значення показника надійності, ti, мм	Х мм		Уi мм
2	6,09	18,27	1,126	60,2
4	6,22	18,66	0,675	82,75
7	6,28	18,84	0,151	88,35
9	6,36	19,08	0,151	124,05
11	6,41	19,23	0,468	13939
13	6,46	19,38	0,878	160,4

Імовірнісна папір ЗУНР представлена ​​на малюнку 2.1, з графіка отримаємо
,


2.2 Імовірнісна папір закону розподілу Вейбулла
Порядок розрахунку за ймовірнісної папері наступний:
1. З зведеної таблиці взяти 6 ... 7 рівномірно розташованих крапок.
2. Визначити координати досвідчених точок по рівняннях:
, Мм (2.4)