Моделі завдання просторового обертання

Розглянемо дві різні фізично можливі ситуації, пов'язані з обертанням навколо якоїсь фіксованої точки - центру. У даному розділі ми, не прагнучи зайвої строгості викладу, обмежимося фізичними аналогіями і підходом до аналізу криволінійного руху, запозиченим з класичної теоретичної механіки.
1. У першому випадку уявімо собі обертальний рух двоатомної молекули навколо її центра мас. Нехтуючи відносно невеликими коливальними деформаціями хімічного зв'язку, можна вважати постійним меж'ядерное відстань R, а відповідно, і радіуси сфер, по яких переміщається кожен з атомів обертається молекули з масами

. Така модель називається жорстким ротатором і може розглядатися як приклад чистого обертання (рис. 1)

Рис. 1. Жорсткий ротатор.
Йому відповідає кінетична енергія

(1)
де L-момент імпульсу, I - момент інерції, а

- Приведена маса,

У вільному обертальному русі потенційна енергія відсутня, і оператор кінетичної енергії являє собою одночасно оператор повної енергії. Він запишеться так:

де R = const (2)
Нагадаємо читачеві, що вираз оператора моменту імпульсу I дано у розділі 2.2. Слід очікувати, що в сферичних координатах оператор

вр повинен залежати тільки від кутових змінних

, Але не від радіуса

. Це легко перевірити за допомогою аналізу розмірності.
2. Другий випадок складніше і повніше. Він має місце при русі одного електрона в полі ядра атома водню, воднеподібних іоні або при взаємному обертанні частинок в електрон-позитронної системі, відомої як атом позитронів. Такий рух називається центральним, а саме завдання кеплерові.
Електрон неможливо зафіксувати на сфері постійного радіуса - це заборонено принципом невизначеності. При русі електрона як би утворюється просторове хмара. Тим не менш, можна звернутися до аналогії з класичною механікою, яка дозволяє в будь-якому криволінійному русі виділити нормальну (радіальну) і тангенціальну (дотичну) компоненти. Тангенціальна складова кінетичної енергії відповідає чистому обертанню - переміщення по сфері - і пов'язана з моментом імпульсу формулою (1).
Рух електрона, породжує хмара з імовірнісним розподілом щільності, можна умовно представити як сукупність чистих обертань на концентричних сферах з фіксованими радіусами і радіальних переміщень між цими сферами. У такому випадку чисто обертальний доданок у складі оператора кінетичної енергії також описується формулою (2) але при цьому момент інерції є змінною величиною з-за мінливого радіуса

(3)
де

- Маса електрона, а

.
Присутність радіального доданка

в цьому випадку змушує уявити оператор кінетичної енергії

у вигляді суми

(4)
3. У силу того, що оператор кінетичної енергії частинки відрізняється від лапласіана тільки множником

(Див. рівняння 2.15), помножити на нього формулу (4.46), отримаємо

(5)
Порівнюючи формули (4.50) і (4.51), приходимо до фундаментального співвідношенню

, (6)
тобто оператор квадрата моменту імпульсу збігається з оператором Лежандра

з точністю до постійного множника

. Зауважимо, що розмірність власних значень оператора

збігається з розмірністю постійної Планка

.
4. Цей же результат можна отримати і послідовними математичними перетвореннями компонент операторів

. Процедура переходу до сферичним координатами для компонент

аналогічна тій, що була здійснена в розділі. при перекладі

до плоскої полярній системі координат. До речі кажучи, в сферичних координатах

має той самий вигляд. Використовуючи рівняння і читач сам легко отримає вираження

(7)

(8)

(9)
Підсумовуючи результати зведення в квадрат знайдених виразів для операторів проекцій моменту імпульсу, отримуємо формулу (6), яка в розгорнутій формі з урахуванням має вигляд

(10)
5. Жорсткий ротатор. Рівняння Шредінгера.
5.1. Відповідно до вищевикладеного, рівняння Шредінгера для жорсткого ротатора може бути представлено так

(11)
Оскільки момент інерції постійний (I = const), хвильові функція жорсткого ротатора з точністю до постійного множника збігаються з власними функціями оператора Лежандра. Останні позначаються символом

і носять назву кульових, або сферичних функцій. Це значить, що повинно бути справедливим операторний рівняння, що випливає з (11)

(12)
де

- Власне значення оператора Лежандра, пов'язане з квадратом моменту імпульсу і енергією обертання;

(13)
5.2. Тому наступний етап рішення нашої задачі полягає в знаходженні власних функцій операторного рівняння (4.57), яке в розгорнутому вигляді представляється так

(14)
Конструкція рівняння (14), що включає суму операторів, кожен з яких містить одну змінну, дозволяє легко зробити поділ змінних, використовуючи метод Фур'є.
5.3. Для цього представимо функцію

у вигляді добутку

, (15)
помножимо обидві частини рівняння (14) ліворуч на

і перегруппіруем складові, що включають різні змінні:

(16)
Змінні

повністю розділилися, тому праву і ліву його частини можна прирівняти однієї і тієї ж постійної. У результаті вийде два незалежних рівняння

(17)

(18)
5.4. Рівняння (17) - це рівняння Шредінгера для плоского ротатори, де

, І рішення його було предметом обговорення в розділі 3.2:

, Де

(19)
причому квантове число m пов'язано з квантуванням проекції моменту імпульсу на вісь z, так як зміна кута

описує обертання навколо цієї осі:

6. Множник

поки ще не розкритий, проте ясно, що кожна хвильова функція

відповідає стану з деяким певним фіксованим квадратом моменту імпульсу або, що те ж саме, з фіксованим модулем моменту імпульсу. Звернемо увагу читача на те, що всі перетворення, почавшись як векторні, завершуються розрахунками в скалярної формі, і зрозуміло, що з таких розрахунків природнім шляхом випливає квантування абсолютного значення векторної величини у вигляді квантування її квадрата. Необхідна квантове число назвемо l і далі отримаємо його значення.
7. Нагадуємо, що хвильові функції

є власними функція-ми операторів

. На підставі рівнянь і можна записати

(20)
а з рівнянь (4.58) і (4.70) слід

(21)
При вирахуванні (21) з (20) отримуємо операторний рівняння (22) з конкретним власним значенням

тобто

. (22)
Доцільно побудувати таку послідовність співмножників з операторів зсуву, яка безпосередньо призводила б до очікуваного результату (4.91).
8. Для цього досліджуємо твір операторів виду

.
Підставляючи комутатор, отримаємо

(23)
Цілком аналогічно

(24)
або при спільній запису

(25)
У цих формулах привабливо те, що результат добутку двох операторів зрушень виражається через оператори з дійсними власними значеннями, як це випливає із зіставлення правих частин рівнянь (22) - (20), з одного боку, і рівнянь (20) і (21) - з іншого.
9. Всі комутаційні співвідношення операторів моменту імпульсу і його проекцій, знайдені в цьому розділі, зручно звести в одну таблицю 4.З. . У рядках таблиці вказані ліві оператори-співмножники, а у стовпцях - праві. На перетині рядка і стовпця знаходиться комутатор відповідних операторів.
Звертаємо увагу читача на антисиметричний характер таблиці комутаторів щодо головної діагоналі, тобто елементи, однаково розташовані по різні сторони останньої відрізняються тільки знаками. Таким чином, при зміні порядку запису операторів-співмножників комутатор змінює знак.

Таблиця 1. Комутатори операторів моменту імпульсу

1 \ 2
	0	0	0	0	0	0
	0	0
	0		0
	0			0
	0				0
	0					0