Зміст
Введення
Плоскі криві лінії
Загальні відомості про поверхні
Поверхні обертання лінійчаті
Поверхні обертання нелінейчатие
Поверхні з площиною паралелізму
Поверхні, що задаються каркасом
Просторові криві і площини
Література
Введення
Криві лінії і поверхні їх застосування в радіоелектроніці та автоматики.
Цей розділ курсу має особливе значення для графічної підготовки інженера. Зовнішня і внутрішня форма деталей радіоапаратів і автоматичних пристроїв є поєднанням гранних і кривих поверхонь. Тому не можна бути грамотним конструктором, не вміючи ставити поверхні на кресленні, будувати лінії їх перетину один з одним і з площиною, робити розгортки поверхонь і т. д.
Плоскі криві лінії
Можна дати кілька різних визначень кривої лінії як геометричному образу. Одне з них: крива лінії є траєкторія переміщається точки.
Якщо крива лінія поєднується всіма точками з площиною, її називають плоскою. Порядком плоскою алгебраїчної кривої вважають максимальне число точок її перетину з прямою лінією. До плоским кривим відносяться всі криві другого порядку, детально вивчаються в аналітичній геометрії. На рис. 1 показано побудова цих кривих та наведено їх канонічні рівняння.
Еліпсом є геометричне місце точок М, для яких сума відстаней до точок F 1 і F 2 постійна і дорівнює великої осі АВ (рис. 1, а). Точки F 1 і F 2 називають фокусами. Побудуємо точку, що належить еліпсу, якщо дано фокуси F 1,. F 2 і вершини А, В. Для цього на осі АВ беремо довільну точку L і з фокусу F 1 проводимо дугу кола радіусом А L. Потім з фокусу F 2 креслимо дугу кола радіусом У L, що перетинає першого дугу в точці М. Таким чином, F 1 М + F 2 М = АВ.
При рівних осях еліпс перетворюється в коло, що є геометричним місцем точок площини, рівновіддалених від даної точки О (рис. 1, б).
Параболою є геометричне місце точок М, для яких відстані до точки F площині і до прямої КN, не проходить через точку F, рівні (рис. 1, в). Вершина Про параболи ділить відстань від точки F до прямої КN навпіл. Крапку F називають фокусом, пряму КN-директрисою. Побудуємо точку М, що належить параболі, якщо дано фокус F і директриса До N. Для цього проводимо пряму L М II КN і з точки F засікаємо її дугою кола радіусом МN. Отже, МN = МР
Гіперболою є геометричне місце точок М, для яких різниця відстаней до точок F 1 і F 2 площині постійна і дорівнює відстані між вершинами А і В кривої (рис. 1, г)
Точки F 1 і F 2 називають фокусами, координатну вісь X-дійсною віссю, а У - вдаваною. Якщо дані вершини А, В і фокуси F 1 і F 2, то належить гіперболі точку будуємо наступним чином. На дійсної осі беремо довільну точку L. З фокусу F 2 проводимо дугу кола радіусом А L. З фокусу F 1 креслимо дугу кола радіусом У L, засікаючи перший дугу в точці М. У результаті:
А L - У L = АВ.
Криві другого порядку широко використовуються в теорії та практиці. Зокрема, вони є траєкторіями руху електронів.
Загальні відомості про поверхні
Поверхнею є геометричне місце лінії, що рухається в просторі за певним законом. Цю лінію називають твірною. Вона може бути прямою, і тоді утворену нею поверхню відносять до класу лінійчатих. Якщо твірна - крива лінія, поверхня вважають нелінейчатой. Лінію, за якою переміщують твірну, називають направляє. Як остання іноді використовують слід поверхні, тобто лінію її перетину з площиною проекцій.
Визначником поверхні називають сукупність умов, які задають поверхню в просторі.
Поверхня вважають заданою, якщо можна побудувати проекції будь-який її утворює. Одну й ту саму поверхню можна утворити рухом різних ліній. Наприклад, сфера утворюється обертанням кола навколо її діаметра. Але якщо точки перетину сфери з віссю обертання з'єднати по поверхні сфери довільній кривій, то її теж можна прийняти за твірну даної поверхні.
При вивченні кривих поверхонь слід звернути увагу на їх перетину трьома координатними площинами і вміти за цим перетинах визначати поверхню. Останнє особливо важливо для освоєння деяких розділів курсу вищої математики, які потім широко використовуються в електро-і радіотехніці.
Розглянуті нижче поверхні класифіковані наступним чином.
Поверхні обертання лінійчаті.
Конус.
Циліндр
Однополостной гіперболоїд.
Поверхні обертання нелінейчатие.
Куля
Тор (кругової, параболічний, еліптичний).
Еліпсоїд (витягнутий і стиснутий).
Двуполостной гіперболоїд.
Параболоїд.
Поверхня обертання загального виду.
Поверхні з площиною паралелізму.
Ціліндроід
Коноід (гелікоіди).
3. Гіперболічний параболоїд. IV. Поверхні, що задаються каркасом
Поверхні обертання лінійчаті
Всі поверхні цього класу утворені обертанням прямої лінії навколо іншої прямої. Дві прямі можуть займати відносно один одного три різних положення. Кожному з них відповідає своя поверхню обертання.
1. Конус утворюють обертанням прямий СЮ навколо пересічної з нею осі Z (Рис. 2, а). Координатні пл. ХВ Z і У0 Z розсікають конус по перетинаються прямим Про D, ОЕ, ОК і OF; пл. ХВ Y дає в перетині точку О; площина, паралельна пл. ХВ Y, перетинає по колу (DF ЄК).
Для побудови точки, що належить кривій поверхні, її проекції в своєму розпорядженні на проекціях лінії, що лежить на цій поверхні. Якщо дана проекція l 1 точки L поверхні конуса, то її проекцію I визначаємо наступним чином (рис. 2, б).
1-й спосіб. У просторі через точку L проводимо твірну ОЗ. На кресленні будуємо проекції про 1 S 1 і цієї твірної. На останній по лінії зв'язку і знаходимо відсутню проекцію I. З проекцією l 1 точки L збігається проекція m 1 точки М, симетричної L щодо фронтальній площині, що проходить через вісь конуса. Проекцію т цієї точки визначаємо за допомогою твірної Про R.
2-й спосіб. Крапку L припускаємо розташованої на колі, що належить поверхні конуса. На пл. V ця окружність проектується в лінію n 1 р 1, на пл. Н - без спотворення; діаметр кола дорівнює п 1 р 1 - По лінії зв'язку на збудованій горизонтальної проекції кола та визначаємо відсутню проекцію I.
Конус бере участь в утворенні форми діаграми спрямованості антени, поверхні положення об'єкта в просторі, антени і її опромінювача, дифузора гучномовця, резонатора, відбивача радіохвиль, електроннопроменевих трубок та електронних ламп, світловода, кулачків, деталей вакуумних установок, рукояток, контактів реле, цапф осей приладів , що реєструють пір'я автоматів і т. д.
2. Циліндр утворюють обертанням прямий Е D навколо паралельної їй осі Z.
(Рис. 2, в, г). Пл. ХВ Z і УО Z перетинають його вздовж паралельних прямих Е D, F К, Nр і L М, а пл. ХВ Y і їй паралельні - по колах DP КМ і (ЕN FL).
Циліндр застосовують при утворенні форми хвилеводів, антен, амортизаторів приладів, дзеркал лазера, корпусів датчиків і т. д.
3. Однополостной гіперболоїд утворюють обертанням прямий D Е навколо схрещуються з нею осі Z (рис. 3, а). Пл. ХВ Z і Y Про Z перетинають його по гіпербол F K, L М, Р Q і RS, а пл. ХВ Y і їй паралельні - по колах (GU, F Р L Р і К Q М S). При обертанні точок D і Е їх проекції d і е переміщуються по колу, і проекції d 'і е' - по прямих, паралельним осі X. Точка U прямий D Е, ближче інших розташована до осі обертання, описує коло UU 1 найменшого діаметра. Цю окружність називають гордій поверхні. Промені, які проектують будь-яку поверхню, стосуються її в точках, що утворюють контурну лінію. Відповідна проекція цієї лінії називається нарисом поверхні. Нарисом однополостного гіперболоїда на пл. V служать дві гілки гіперболи, вершини якої лежать на горлі поверхні. Отже, цю поверхню можна утворити обертанням гіперболи навколо її уявної осі.
Форму однополостного гіперболоїда мають деякі радіощогли, в тому числі башта Шухова в Москві. Її складають шість гіперболоїдом; висота кожного дорівнює 25 м; діаметр підстав гіперболоїдом поступово зменшуються. Однополостной гіперболоїд утворює форму вібраційних живильників, що використовуються в промисловій автоматиці, кулачків, з'єднувачів контактів і т. д.
б)
Рис.3
Поверхні обертання нелінейчатие
До цього класу відносять в основному поверхні, утворені обертанням кривих другого порядку.
1. Сферу утворюють обертанням кола навколо її діаметра (рис. 3, б). Будь-яка площину перетинає сферу по колу. Нарис фронтальної проекції сфери називають головним меридіаном, нарис горизонтальної проекції-екватором. Проекції точки К, що лежить на поверхні сфери, належать проекціям горизонтальної окружності, проведеної на сфері.
Сфера утворює форму діаграм спрямованості антени, обтічника і випромінювача антени, головка мікрофона, контактів реле, рукояток приладів і т. д. Сфера є поверхнею положення об'єкта в просторі.
Рис. 4
кільце, коли вісь обертання 2. Круговий тор утворюють обертанням кола навколо осі, що лежить в площині цієї окружності і не є її діаметром. Таким чином, сферу можна розглядати як окремий випадок тора. Розрізняють тор-не перетинає твірну коло (рис. 4, а) і тор-бочку, коли є такий перетин (мал. 4, б). Тор-кільце перетинається пл. ХВ Z і УО Z по колах АВС і D Е F, а тор-бочка по колах АВ і С D. Пл. НОУ перетинає тор по одній або двома колами, з яких З D називають горлом, а А F і А D-екватора.
У радіотехніці використовують також параболічний і еліптичний тор.
Параболічний тор утворюють обертанням параболи навколо прямої, що лежить в площині цієї параболи і не є її фокальній віссю. Зазвичай за вісь обертання беруть пряму, перпендикулярну фокальній осі. На рис. 5, а дан випадок, коли вісь обертання не перетинає твірну параболу; на рис. 5, б вісь перетинає параболу. Дві координатні площини перетинають поверхню за однаковими парабола; площину, перпендикулярна осі обертання, розсікає поверхню по колу.
Еліпс
Парабол a
а)
б)
Еліптичний тор утворюють обертанням еліпса навколо прямої, що лежить в площині цього еліпса і не є його віссю. Зазвичай за вісь обертання беруть пряму, перпендикулярну великий (рис. 5, в) або малої осі еліпса (рис. 5, г). Дві координатні площини перетинають такий тор по еліпсах, третя - по колах.
Торові поверхні мають діаграм спрямованості антен, поверхні положення об'єкта в просторі, антени і їх обтічники, хвилеводи, резонатори, гучномовці, кулачки, сердечники котушок і т. д.
Еліпсоїд утворюють обертанням еліпса навколо його малої або великої осі. У першому випадку отримують стиснений (рис. 6, а), а в другому - витягнутий еліпсоїди обертання (рис. 6, б).
Пл. ХВ Z і УО Z припиняють їх по еліпсах D Е і Е F, а пл. ХВ Z - по колу DF.
Ця поверхня зустрічається при розгляді теоретичних питань радіолокації і гіроскопії; форму еліпсоїда мають дзеркала антен і лазерів, випромінювачі антен, поверхні положення і т. д.
4. Двуполостной гіперболоїд утворює обертанням гіперболи D Е навколо її дійсної осі FF 1 (рис. 7, а). Пл. ХО2 і УО2 перетинають його по гіпербол D Е і КЕ; пл. ХВ Y дає в перетині уявну точку О.
5. Параболоїд утворюють обертанням параболи Про D навколо її фокальній осі О F (рис. 7, б). Пл. ХВ Z. І Y Про Z перетинають цю поверхню по параболі Про D і ОЕ, а пл. ХВ Y дає в перетині точку О.
Дзеркала антен і лазерів найчастіше виготовляють
параболічними. Нерідко дзеркало антени є поєднанням декількох поверхонь. Так, антена, призначена для далекого космічного зв'язку (рис.7, а), складається з циліндричного розкриву 1, конічного рупора 2 і параболічного відбивача радіохвиль 3. Фокус параболоїда знаходиться в точці Р.
6. Поверхня обертання загального виду утворюють обертанням довільної кривої.
На рис. 8, б дана поверхню просторової діаграми спрямованості антени локатора О, отримана обертанням навколо осі Z плоскої діаграми спрямованості СЮ РЕ. Об'ємні графіки також часто мають форму поверхні
Рис. 8
обертання загального виду.
Поверхні з площиною паралелізму
Всі поверхні цього класу - лінійчаті.
Ціліндроід утворюють переміщенням прямої по двом кривим напрямних, коли утворює залишається паралельної заданої площині.
Коноід утворюють переміщенням по кривій лінії і прямий, коли утворює залишається паралельної заданої площині. Окремим випадком коноіда є прямою гелікоіди, утворений прямої по гвинтовій лінії і її осі, коли утворює залишається паралельної заданої площині.
Гіперболічний параболоїд чи косу площину утворюють переміщенням прямої по двом мимобіжні прямі, коли утворює залишається паралельної деякій площині. Отримана поверхня має сідлоподібний форму.
Поверхні, що задаються каркасом
До них відносять поверхні, утворення яких не підпорядковане певним геометричному закону. Ці поверхні задають каркасом - сімейством ліній, що належать їм і паралельних координатній площині.
Просторові криві і площини
Якщо криву лінію без її деформації не можна поєднати всіма точками з площиною, то її називають просторової. До таких кривим відносять, зокрема, гвинтові лінії. Гвинтова лінія на даній поверхні є траєкторія точки, рівномірно переміщається уздовж твірної, яка рівномірно обертається навколо осі цієї поверхні. Гвинтову лінію називають правою, якщо на видимій стороні поверхні вона йде зліва вгору направо. В іншому випадку її називають лівою. Відстань S, яке проходить точка вздовж твірної за один її оборот, називають кроком гвинтової лінії.
Література
1. Анісімов І.К. Конспект лекцій з нарисної геометрії. Рязань. РГРТА. 1970.