Криві та поверхні другого порядку

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Кафедра вищої математики

Курсова робота

За лінійної алгебри та аналітичної геометрії

«Криві та поверхні другого порядку»

Дубна 2002

Зміст

Введення

Частина I. Дослідження кривої другого порядку

1. Визначення типу кривої з допомогою інваріантів

2. Приведення до канонічного вигляду

3. Побудова графіків

4. Висновок

Частина II. Дослідження поверхні другого порядку

1. Визначення типу поверхні.

2. Приведення до канонічного вигляду

3. Дослідження форми поверхні методом перерізів

4. Графіки рівняння поверхні.

5. Висновок

Введення

Мета:

Метою даної курсової роботи є дослідження кривої і поверхні другого порядку. Закріплення теоретичних знань і практичних навичок з вивчення та аналізу властивостей кривих і поверхонь другого порядку.

Постановка завдання:

  1. Для даного рівняння кривої другого порядку:

    1. Визначити тип кривої за допомогою інваріантів.

    2. При a = 0 записати канонічне рівняння прямої та визначити розташування центру

    3. Привести рівняння до канонічного виду, застосовуючи паралельний перенос і поворот координатних осей.

  2. Для даного рівняння площини другого порядку:

    1. Дослідити форму поверхні методом перерізів площинами, побудувати лінії, отримані в перетинах.

    2. Побудувати поверхню в канонічній системі координат.

Частина I. Дослідження кривої другого порядку

1. Визначення типу кривої з допомогою інваріантів

Для даного рівняння кривої другого порядку:

(5 - a) x 2 + 4 xy + 3 y 2 + 8 x - 6 y +5 = 0 (3.1)

визначити залежність типу кривої від параметра a за допомогою інваріантів.

Для даного рівняння кривої другого порядку:

a 11 = 5 - a, a 12 = 2, a 13 = 4, a 22 = 2, a 23 = -3, a 33 = 5

Обчислимо інваріанти:

I 1 = a 11 + a 22 = (5 - a) +2 = 7 - a

I 2 = = = (5 - a) 2 - 4 = 6 -2 a

I 2 = = = (5 - a) 10-24-24-32-9 (5 - a) -20 = - a -95

Відповідно до класифікації кривих другого порядку:

              1. Якщо I 2 = 0, то дане рівняння (3.1) визначає криву параболічного типу:

I 2 = 6 - 2 a = 0, отже, при a = 3 рівняння визначає криву параболічного типу.

При a = 3 I 3 = - a - 95 = -3 - 95 = 98 ¹ 0. Значить, при a = 3 рівняння (3.1) задає параболу.

              1. Якщо I 2 ¹ 0, то задається крива є центральною. Отже, при a ¹ 3 дане рівняння задає центральну криву.

                1. Якщо I 2> 0, то рівняння задає криву еліптичного типу:

Значить, при a <3 рівняння (3.1) задає криву еліптичного типу.

                1. Якщо I 1 I 3 <0, то рівняння визначає еліпс:

I 1 I 3 = - (7 - a) (a +95) = a 2 +88 a -665 <0, при вирішенні отримуємо a Î (-95, 7). Отже, при a Î (-95, 3) рівняння (3.1) задає еліпс.

                1. Якщо I 1 I 3> 0, то рівняння визначає еліпс:

I 1 I 3 = a 2 +88 a -665> 0, при вирішенні отримуємо a Î (- ¥, -95). Отже, при a Î (- ¥, -95) рівняння (3.1) задає уявний еліпс.

                1. Якщо I 3 = 0, то рівняння визначає дві уявні пересічні прямі:

I 3 = - a - 95 = 0, при вирішенні отримуємо a - 95. Отже, при a = - 95 рівняння (3.1) задають дві уявні пересічні прямі.

                1. Якщо I 2 <0, то рівняння задає криву гіперболічного типу:

Значить, при a> 3 рівняння (3.1) задає криву гіперболічного типу.

        1. Якщо I 3 ¹ 0, то рівняння визначає гіперболу:

I 3 = - a - 95 ¹ 0, отримуємо a ¹ -95. Отже, при a Î (3, + ¥) рівняння (3.1) задає гіперболу.

Згідно з отриманими даними, побудуємо таблицю:

a Î (- ¥, -95)

a = -95

a Î (-95, 3)

a = 3

a Î (3, + ¥)

Уявний еліпс

Дві уявні пересічні прямі

Еліпс

Парабола

Гіпербола

2. Приведення до канонічного вигляду

При a = 0 рівняння (3.1) приймає вигляд:

5 x 2 + 4 xy + 2 y 2 + 8 x - 6 y + 5 = 0 (3.2)

Наведемо рівняння кривої (3.2) до канонічного виду, застосовуючи перетворення паралельного переносу і повороту координатних осей. Ми встановили, що дана крива - центральна, тому використовуємо методику приведення до канонічного виду для рівняння центральної кривої.

  1. Характеристичне рівняння для даної кривої матиме вигляд:

A (x, y) = 5 x 2 + 4 xy + 2 y 2

Звідки випливає, коріння характеристичного рівняння є: l 1 = 1, l 2 = 6.

Розташування еліпса щодо початкової системи координат буде відомо, якщо ми будемо знати координати центру та кутовий коефіцієнт речовинної осі еліпса.

Рівняння для визначення координат центру мають вигляд:

Звідки ми знаходимо x 0 = - і y 0 = . Отже, точка O ¢ (- , ) Є центр даної кривої.

Кутовий коефіцієнт осі O ¢ X можемо визначити за формулою:

б) Зробимо паралельний перенесення початку координат в точку O ¢ (X 0, y 0). При цьому координати x, y довільної точки площини в системі координат xOy і координати x ', y' в новій системі координат x 'O' y 'зв'язані співвідношеннями:

Підставивши дані вирази в рівняння (3.1), отримаємо:

5 (x 0 + x ¢) 2 + 4 (x 0 + x ¢) (y 0 + y ¢) + 2 (y 0 + y ¢) 2 + 8 (x 0 + x ¢) - 6 (y 0 + y ¢) + 5 = 0

Розкривши дужки і привівши подібні члени, отримаємо:

5x ¢ 2 +4 x ¢ y ¢ +2 y ¢ 2 + (10x 0 +4 x 0 + 8) x ¢ + (4x 0 + 4y 0 - 6) y ¢ + (5x 0 2 + 4x 0 y 0 + 2y 0 2 + 8x 0 - 6y 0 + 5) = 0 (3.3)

У даному рівнянні коефіцієнти при x ¢ та y ¢ прирівняємо до нуля і отримаємо систему рівнянь:

Вирішивши цю систему рівнянь, ми отримаємо, знайдені вже раннє, координати центру O ¢ , X 0 = - і y 0 = . Підставивши дані значення в рівняння (3.3), коефіцієнти при x ¢ та y ¢ стануть рівними нулю, ми отримаємо рівняння в системі координат x 'O' y ':

5 x ¢ 2 + 4 x ¢ y ¢ + 2 y ¢ 2 + ( ) = 0

5 x ¢ 2 + 4 x ¢ y ¢ + 2 y ¢ 2 - = 0 (3.4)

в) Так як a 12 = 2 ¹ 0, то для подальшого спрощення необхідно зробити повороту осей координат на кут a. При повороті осей координат на кут a координати x ', y' довільної точки М площини в системі координат x 'O' y 'і координати X, Y у новій системі координат XO'Y пов'язані співвідношеннями:

Підставимо дані вирази в рівняння (3.4), отримаємо:

5 (Xcos a - Ysin a) 2 + 4 (Xcos a - Ysin a) (Xsin a + Ycos a) + 2 (Xsin a + Ycos a) 2 - = 0

(5cos 2 a + 4sin a cos a + 2sin 2 a) X 2 + (-6sin a cos a + 4cos 2 a - 4sin 2 a) XY +

(5sin 2 a - 4sin a cos a + 2cos 2 a) Y 2 - = 0 (3.5)

В отриманому виразі знайдемо такий кут a, щоб коефіцієнт при XY став дорівнює нулю, для цього необхідно:

-6sin a cos a + 4cos 2 a - 4sin 2 a = 0

2tg 2 a + 3tg a - 2 = 0

Звідки, при рішенні, знаходимо два значення tg a = -2 і tg a = .

У першому завданні ми знайшли, що кутовий коефіцієнт речовинної осі O 'X еліпса дорівнює k = -2. Так як кутовий коефіцієнт дорівнює тангенсу, то з двох знайдених значень виберемо tg a = -2. Отже:

cos a = , Sin a =

Підставивши дані значення для sin a і cos a в рівняння (3.5), коефіцієнт при XY стане рівним нулю, отримаємо:

( ) X 2 + ( ) Y 2 - = 0

X 2 + 6 Y 2 - = 0

(3.6)

- Це канонічне рівняння даної кривої (3.1) при a = 0.

3. Побудова графіків

Підтвердимо результати проведеного дослідження даного рівняння кривої (3.1) другого порядку, побудувавши відповідні графіки кривих при різних a.

При a = 3 рівняння (3.1) приймає вигляд:

2 x 2 + 4 xy + 3 y 2 + 8 x - 6 y +5 = 0

Графіком даного рівняння є парабола:

При a = 6 рівняння (3.1) приймає вигляд:

x 2 + 4 xy + 3 y 2 + 8 y 2 - 6 y +5 = 0

Графіком даного рівняння є гіпербола:

При a = 0 рівняння (3.1) приймає вигляд

5 x 2 + 4 xy + 3 y 2 + 8 y 2 - 6 y +5 = 0

Графіком даного рівняння є еліпс. Зобразимо в даній системі також графік канонічного рівняння еліпса (3.6):

4. Висновок

Дослідивши дане загальне рівняння кривої другого порядку, ми встановили, що при значенні параметра a = 0 рівняння задає еліпс. Привели рівняння до канонічного виду, застосовуючи перетворення паралельного переносу і повороту. При паралельному перенесенні коефіцієнти при перших ступенях стали рівні нулю, при повороті координатних осей коефіцієнти при змішаному творі стали рівні нулю. Побудували графіки для всіх фігур, яке може задавати дане рівняння, побудували графік еліпса в загальній і канонічної системи координат.

Частина II. Дослідження поверхні другого порядку

1. Визначення типу поверхні

Для даного рівняння поверхні другого порядку:

4 x 2 - z 2 + 12 xz + 6 y - 8 z + 5 = 0 (4.1)

Визначити тип поверхні за допомогою інваріантів.

4 + 0 -1 = 3

= - 4 - 36 = - 40

Визначимо характер розташування центру: Дана поверхня не має центру, так як виконується умова I 3 = 0, I 4 ¹ 0. При цьому інваріант I 4 = 360> 0, отже, графіком рівняння (4.1) є гіперболічний параболоїд.

2. Приведення до канонічного вигляду

Зробимо паралельний перенесення початку координат в деяку точку O '(x 0, y 0, z 0). При цьому координати x, y, z довільної точки простору в системі координат Oxyz і координати x ', y', z 'цієї ж точки в новій системі координат в системі координат O' x 'y' z 'язані співвідношенням:

(4.2)

Підставляючи рівняння (4.2) в рівняння (4.1) отримаємо рівняння поверхні S у новій системі координат O 'x' y 'z':

4 (x '+ x 0) 2 - (z' + z 0) 2 + 12 (x '+ x 0) (z' + z 0) + 6 y '- 8 (z' + z 0) + 5 = 0

4 x '2 + 8 x' x 0 + 4 x 0 2 - z '2 - 2 z' z 0 - z 0 2 + 12 x 'z' + 12 z 'z 0 + 12 x 0 z' + 12 x 0 z 0 + 6 y '- 8 z' - 8 z 0 + 5 = 0

4 x '2 - z' 2 + 12 x 'z' + 6 y '+ (12 x 0 - 2 z 0 - 8) z' + (8 x 0 + 12 z 0) x '+ (4 x 0 2 - z 0 2 + 12 x 0 z 0 - 8 z 0 +5) = 0 (4.3)

Для того, щоб новий початок координат O '(x 0, y 0, z 0) було центром поверхні (4.1) необхідно і достатньо, щоб в рівнянні (4.3) був відсутній член з x' і z 'в першого ступеня:

Вирішуючи дану систему, знаходимо x 0 = і y 0 = . Підставимо отримані значення в рівняння (4.2):

4 x '2 - z' 2 + 12 x 'z' + 6 y '+ ( ) Z '+ ( ) X '+ ( ) = 0

4 x '2 - z' 2 + 12 x 'z' + 6 y '+ = 0 (4.4)

Оскільки коефіцієнт при x 'z' не дорівнює нулю, то продовжимо подальше перетворення, зробивши поворот осей координат на кут a. Координати довільної точки поверхні будуть пов'язані такими співвідношеннями:

(4.5)

Підставивши вирази з (4.5) в рівняння (4.4), отримаємо наступне:

4 (Xcos a - Zsin a) 2 - (Xsin a + Zcos a) 2 + 12 (Xcos a - Zsin a) (Xsin a + Zcos a) + 6 Y + = 0

4 X 2 cos 2 a - 8 XZcos a sin a + 4 Z 2 sin 2 a - X 2 sin 2 a - 2 XZsin 2 a - 2 XZcos a sin a - Z 2 cos 2 a + 12 X 2 cos a sin a + 12 XZcos 2 a - 12 XZsin 2 a - 12 Z 2 sin a cos a + 6 Y + = 0

(4cos 2 a-sin 2 a +12 cos a sin a) X 2 + (4sin 2 a-cos 2 a-12sin a cos a) + (-8cos a sin a-2cos a sin a +12 cos 2 a-12sin 2 a) XZ +6 Y + = 0 (4.6)

Знайдемо кут a такий, що коефіцієнт при XZ дорівнюватиме нулю:

-8cos a sin a-2cos a sin a +12 cos 2 a-12sin 2 a = 0

6 tg 2 a +5 tg a -6 = 0

D = 25 +144 = 169 = 13 2

Звідки випливає, що tg a = або tg a = . Візьмемо tg a = . Тоді знайдемо cos a = = , Sin a = . Підставимо знайдені значення у рівняння (4.6):

( ) X 2 + ( ) Z 2 + ( ) XZ +6 Y + = 0

(4.7)

- Це канонічне рівняння поверхні (4.1). Воно має зсув по осі O 'Y на (- ).

3. Дослідження форми поверхні методом перерізів

Проведемо дослідження графіка рівняння (4.7) методом перетину площинами.

Розглянемо лінії , Отримані в перетинах гіперболічного параболоїда площинами Y = h. Ці лінії визначаються системою рівнянь:

Отже, рівняння проекцій ліній на площину ZO 'X мають вигляд:

:

Розглянемо три випадки:

Якщо h + > 0, h> , Запишемо отримане рівняння у вигляді:

(4.8)

Рівняння (4.8) задає гіперболи з центрами в точках (0, h, 0).

Півосі гіпербол:

a = - Дійсна піввісь, b = - Уявна піввісь, збільшуються зі збільшенням h. При різних значеннях h отримаємо сімейство відповідних гіпербол:

h = 1 a = ; B = ;

h = 2 a = ; B = ;

h = 3 a = ; B = ;

Зобразимо дані гіперболи на малюнку:

Якщо h + = 0, h = , Запишемо отримане рівняння у вигляді:

або

Дане рівняння задає дві пересічні прямі. Зобразимо їх на малюнку:

Якщо h + <0, h < , Запишемо отримане рівняння у вигляді:

Дане рівняння задає зв'язані гіперболи з центрами у точці (0, h, 0).

Півосі гіпербол:

a = - Дійсна піввісь, b = - Уявна піввісь, збільшуються зі збільшенням | h |.

При різних значеннях h отримуємо сімейство відповідних гіпербол:

h =- 1 a = ; B = ;

h =- 2 a = ; B = ;

h =- 3 a = ; B = ;

Зобразимо дані гіперболи на малюнку:

Розглянемо лінії , Отримані в перетинах гіперболічного параболоїда площинами Z = h. Ці лінії визначаються системою рівнянь:

Отже, рівняння проекцій ліній на площину XO 'Y мають вигляд:

: (4.9)

Рівняння (4.9) задає параболи, з вершинами в точках V (0, , H) і параметром

p = . При різних h отримаємо сімейство відповідних парабол:

h = ± 1 :

h = ± 2 :

h = ± 3 :

Зобразимо дані параболи на малюнку:

Розглянемо лінії , Отримані в перетинах гіперболічного параболоїда площинами X = h. Ці лінії визначаються системою рівнянь:

Отже, рівняння проекцій ліній на площину YO 'Z мають вигляд:

(4.10)

Рівняння (4.10) задає параболи, з вершинами в V (h, , 0) і параметром p = . При різних h отримуємо сімейство відповідних парабол.

h = ± 1 :

h = ± 2 :

h = ± 3 :

Зобразимо дані параболи на малюнку:

4. Графіки рівняння поверхні

Зобразимо поверхню другого порядку в общеалгебраіческой і канонічної системи координат.

Графік у общеалгебраіческой системі координат:

Графік в канонічній системі координат:



5. Висновок

Дослідивши канонічне рівняння (4.7) гіперболічного параболоїда, зазначимо таке:

                1. Осі O 'Z і O' X є осями симетрії поверхні. Центру симетрії у поверхні немає.

                2. Розсікаючи поверхню горизонтальними площинами Y = h, в перетинах отримуємо:

h> - Гіперболи з дійсними осями, паралельними осі O 'Z

h = - Дві пересічні прямі

h < - Зв'язані гіперболи з дійсними осями, паралельними осі O 'Y

                1. Розсікаючи поверхню площинами Z = h і X = h, в перетинах отримуємо параболи, з гілками, спрямованими вниз (Z = h) або вгору (X = h).

                2. Поверхня гіперболічного параболоїда нескінченна в напрямку всіх трьох координатних осей.

Список літератури

  1. Копилова Т. В. Аналітична геометрія. - Дубна: Міжнародний університет природи, суспільства і людини «Дубно», 1997.

  2. Ільїн В. А., Позняк Г. Д. Аналітична геометрія. - М.: Наука, 1974.

Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Курсова
76.2кб. | скачати


Схожі роботи:
Поверхні обертання Циліндричні та конічні поверхні Канонічні рівняння поверхонь другого порядку
Криві другого порядку
Криві другого порядку Квадратичні форми
Поверхні другого порядку
Дослідження кривої й форми поверхні другого порядку
Інтегрування деяких рівнянь другого порядку шляхом пониження порядку рівняння
Криві лінії і поверхні їх застосування в радіоелектроніці та автоматики
Плани другого порядку реалізація В3-плану
Дослідження кривих і поверхонь другого порядку
© Усі права захищені
написати до нас