Криві другого порядку

ВИЩА МАТЕМАТИКА

Криві другого порядку

ЗМІСТ

1 окружність. Еліпс

2 Гіпербола

3 Парабола

4 Література

1 окружність. Еліпс

При розгляді рівнянь прямої на площині ми бачили, що всі вони - рівняння першого ступеня, тобто змінні х і у входять до них
в першого ступеня. Розглянемо основні види так званих кривих другого порядку, тобто кривих, у рівняннях яких змінна х чи змінна у, або обидві змінні х і у, входять в другому ступені, або ж входить твір х ^· у (Ступеня складаємо - отримуємо теж другий ступінь). Раніше ви вже знайомилися з такими рівняннями: - Рівняння-ня кола з центром в початку координат радіуса R; - Рівняння гіперболи, - Рівняння параболи. Отримаємо так звані канонічні (основні) рівняння деяких кривих другого порядку.

Окружністю називається безліч точок площини, рівновіддалених від даної точки, званої її центром. Нехай - Центр
кола. R - Радіус кола. Нехай - Довільна точка кола. Отже, = =

(1)

(1) - рівняння кола радіуса R c центром в точці з координатами

Еліпсом називається множина точок площини, для кожної з яких сума відстаней до двох даних точок F ₁ і F ₂ цієї площини, які називаються фокусами еліпса, є задана постійна величина, що дорівнює 2 а, а> 0, більша, ніж відстань між фокусами 2 с, с> 0.

Нехай фокуси еліпса лежать на осі Х, причому т. е. - Межфокусное відстань еліпса.

Нехай - Довільна точка еліпса. Величини називаються фокальними радіусами точки М еліпса.

За визначенням еліпса: r ₁ + r ₂ = ₂ a, а> c. З прямокутних трикутників, по теоремі Піфагора, маємо:

(2)

Помножимо (2) на

(3)

Складемо рівняння (2) і (3):

(4)

Зведено (4) в квадрат:

Нехай

(5)

(5) - канонічне рівняння еліпса з центром на початку координат. Відповідно, рівняння

- Канонічне рівняння еліпса з центром в точці

Числа а і називаються відповідно великої і малої півосями еліпса. Зауважимо, що а> , Якщо а < , То фокуси еліпса будуть на осі Оу, якщо а = , То еліпс перетворюється в коло.

Точки , називаються вершинами еліпса. Зазначимо, що еліпс цілком розташований усередині прямокутника:

Так як

(6)

Ексцентриситетом еліпса e називають відношення межфокусного відстані 2 с до довжини великої осі 2 а.

(7)

Отже, причому коли тобто маємо коло.

При прагне до 1 еліпс стає більш витягнутим уздовж осі Ох.

Висловимо фокальні радіуси точки через ексцентриситет. З (4):

(8)

З (3):

Значить, підставивши координати точки еліпса в рівняння (8), отримуємо фокальні радіуси точки М.

Прямі називаються директриса еліпса.

- Ліва директриса,

- Права директриса.

Зауважимо, що директриси еліпса мають наступним важливим властивістю:

(9)

тобто відношення відстані r _i від будь-якої точки еліпса до фокуса до відстані d _i від неї до відповідної директриси є величина постійна, рівна ексцентриситету еліпса.

2 Гіпербола

Гіперболою називається безліч точок площини, для кожної з яких модуль різниці відстаней від яких до двох даних точок тій же площині, званих фокусами гіперболи, є задана постійна величина менша, ніж відстань між фокусами

Нехай фокуси гіперболи лежать на осі Ох, причому т. е. Зауважимо, що

Нехай - Довільна точка гіперболи. Як і раніше, - Фокальні радіуси точки М.

За визначенням гіперболи:

де

Отже,

(10)

Помножимо (10) на

(11)

Складемо рівняння (10) і (11):

(12)

Зведено (12) в квадрат:

Нехай

(13)

(13) - канонічне рівняння гіперболи з центром на початку координат. Відповідно, рівняння

- Канонічне рівняння гіперболи з центром в точці

Числа a і b називаються відповідно дійсною та уявної півосями гіперболи. Гіпербола з рівними півосями (a = b) називається равносторонней, її канонічне рівняння має вигляд:

Точки називаються вершинами гіперболи.

Зауважимо, що якщо рівняння гіперболи має вигляд

(14)

то фокуси гіперболи знаходяться на осі Оу, а галузі гіперболи будуть спрямовані не вліво і вправо, а вгору і вниз.

Так як , То (15)

Як і у випадку з еліпсом, ексцентриситетом гіперболи називається відношення межфокусного відстані до довжини дійсній осі :

(16)

Отже,

Висловимо фокальні радіуси точки через ексцентриситет. З (12)

(17)

Прямі називаються директриса гіперболи.

- Ліва директриса,

- Права директриса.

Директриси гіперболи володіють тим же властивістю, що і директорки еліпса

(18)

тобто відношення відстані від будь-якої точки гіперболи до фокуса до відстані від неї до відповідної директриси є величина постійна, рівна ексцентриситету гіперболи.

Для гіперболи важливу роль відіграють також прямі

(19)

які є її асимптотами, тобто прямими до яких графік гіперболи необмежено близько наближається, але не перетинає їх. Зауважимо, що асимптоти гіперболи збігаються з діагоналями прямокутника (якщо їх продовжити)

Слід зазначити, що якщо рівняння гіперболи має вигляд (14), тобто її фокуси знаходяться на осі Оу, то зміняться формули для обчислення фокальних радіусів, ексцентриситету, директриса. Так - Ексцентриситет, - Рівняння директриси.

3 Парабола

Параболою називається множина точок площини, рівновіддалених від даної точки F цій площині, званої фокусом параболи, і даної прямої, званої її директоркою.

Побудуємо рівняння параболи.

Нехай вісь Про x проходить через фокус F параболи і перпендикулярний директрисі, а вісь Оу проходить посередині між фокусом і директрисою. Позначимо через p - відстань між фокусом і директрисою. Тоді , А рівняння директриси .

Число p - Називається фокальним параметром параболи.

Нехай - Довільна точка параболи. Нехай - Фокальний радіус точки M. D - Відстань від точки М до директорки. Тоді

За визначенням параболи . Отже

Зведемо це рівняння в квадрат

(20)

- Канонічне рівняння параболи, симетричної щодо осі Про x і проходить через початок координат.

Точка (0, 0) - вершина параболи.

Якщо р> 0 (р> 0), то парабола (20) розташована правіше (лівіше) осі Оу.

Так як для параболи , А для еліпса і гіперболи , То, отже, ексцентриситет параболи дорівнює 1 (e = 1).

Зауважимо, що парабола, симетрична щодо Оу і що проходить через початок координат, визначається рівнянням

х ² = ² q y (21)

Фокус цієї параболи знаходиться в точці . Рівняння її директорки . Фокальний радіус її точки М (х, у) виражається формулою .

Якщо q > 0 (q <0), то гілки параболи (21) розташовані вище (нижче) осі Ох.

Розглянемо приклади.

ПРИКЛАД 1

Знайти координати центра і радіус кола, яка визначається рівнянням

х ² + у ² - 4 х + 6 у - 3 = 0.

Рішення.

Виділимо повні квадрати в даному рівнянні:

х ² + у ² - 4 х + 6 у - 3 = (х ² - 4 х + 4) - 4 + (у ² + 6 у + 9) - 9 - 3 = 0

Þ (х - 2) ² + (у + 3) ² = 16.

Враховуючи рівняння кола (1), маємо, що її центр знаходиться в точці з координатами (2; -3), а радіус дорівнює 4.

ПРИКЛАД 2

Еліпс, симетричний відносно осей координат, фокуси якого знаходяться на осі Ох, проходить через точку М (-4; ) І має ексцентриситет . Написати рівняння еліпса і знайти фокальні радіуси точки М.

Рішення.

Канонічне рівняння еліпса має вигляд

Так як еліпс проходить через точку М, то її координати повинні задовольняти цьому рівнянню

Фокуси знаходяться на осі Ох, отже

Об'єднавши отримані два рівняння в систему, знайдемо а ² і в ^2:

Отже, рівняння даного еліпса має вигляд:

Фокальні радіуси точки М визначимо за формулами (8): х = -4, , .

Þ r ₁ = а + e х = = 8 - 3 = 5,

r ₂ = а - e х = = 8 + 3 = 11.

ПРИКЛАД 3

Визначити траєкторію точки М, яка при своєму русі залишається вдвічі ближче до точки F (-1; 0), ніж до прямої х = -4.

Рішення.

Нехай М (х, у). Тоді ç MN ú = 2 ç MF ú , Ç MN ú = ç -4 - x ú , Ç MF ú = = , Þ ç - (4 + х) ú = .

Зведемо в квадрат: (4 + х) ² = 4 ((х + 1) ² + у ^2),

16 + 8 х + х ² = (х ² + ² х + 1 + у ²⁾ · 4 = 4 х ² + 8 х + 4 + 4 у ^2,
3 х ² + 4 у ² = 12 Þ Þ .

Таким чином, точка М (х, у) рухається по еліпсу.

ПРИКЛАД 4

Написати рівняння гіперболи, що має вершини в фокусах, а фокуси - в вершинах еліпса .

Рішення.

З рівняння даного еліпса маємо: а = 5; в = 3, а> в.

Отже, Тому, вершинами еліпса будуть точки (± 5; 0), (0; ± 3), а фокусами точки F ₁ (- с; 0) = (-4; 0), F ₂ (4, 0).

Так як фокуси еліпса знаходяться на осі Ох (а> в), то вершини (± 5; 0) будуть фокусами гіперболи. Канонічне рівняння гіперболи, що має фокуси на осі Ох, має вигляд (13)

причому F ₁ (- 5; 0), F ₂ (5, 0) - фокуси даної гіперболи, тобто з ₁ = 5. Знайдемо а ₁ і в _1.

Так як вершини даної гіперболи знаходяться у фокусах еліпса, то а ₁ = с = 4. Отже:

Таким чином, рівняння гіперболи має вигляд

ПРИКЛАД 5

Скласти рівняння геометричного місця точок, однаково віддалених від точки F (2, 0) і від прямої у = 2. Знайти вершину параболи, точки перетину її з віссю Ох.