Реферат з аналітичної геометрії
Тема: Криві на площині
Студентки групи ОАП 10-1:
Петренко Лідії
Лінія - загальна частина двох суміжних областей поверхні. Рухома точка описує при своєму русі деяку лінію. В аналітичній геометрії на площині лінії виражаються рівняннями між координатами їх точок. У прямокутній системі координат лінії поділяються в залежності від виду рівнянь. Якщо рівняння лінії має вигляд: F (x; y) = 0, де F (x; y) - многочлен n-го ступеня відносно х, у то лінія називається алгебраїчної лінією ого n-го порядку. Лінія 1-го порядку - пряма. Конічні перетини відносяться до ліній 2-го порядку і т.д.
Спіралі
Спір а чи (франц., однина spirale, від лат. Spira, грец. Speira - виток), плоскі криві лінії, незліченна безліч разів обходять деяку точку, з кожним обходом наближаючись до неї або з кожним обходом віддаляючись від неї.
Якщо вибрати точку за полюс полярної системи координат, то полярне рівняння спіралі
r = f (j) таке, що f (j + 2p)> f (j) або f (j + 2p) <f (j) при всіх j. Зокрема, спіралі виходять, якщо f (j) - монотонно зростаюча або спадна позитивна функція.
Найбільш простий вид має рівняння Архімедова спіралі: r = а j, вивченої давньогрецьким математиком Архімедом (3 ст. До н. Е..) У зв'язку із завданнями трисекции кута і квадратури кола у творі "Про спіралях".
З інших спіралей практичне значення має спіраль Корню (або клотоїд), що застосовується при графічному вирішенні деяких завдань дифракції. Параметричне рівняння цієї С. має вигляд:
.
Спіраль Корню є ідеальною перехідної кривої для заокруглення залізничної колії, так як її радіус кривизни зростає пропорційно довжині дуги. Спіралями є також евольвенти замкнутих кривих, наприклад евольвенти кола.
Назви деяких спіралях дані за подібністю їх полярних рівнянь з рівняннями кривих у декартових координатах, наприклад:
параболічна спіраль (а - r) 2 = b j,
гіперболічна спіраль: r = а / j.
Жезл: r 2 = a / j
si-ci-cпіраль, параметричні рівняння якої мають вигляд:
,
[Si (t) і ci (t)-інтегральний синус і інтегральний косинус]. Кривизна si-ci-cпіралі змінюється з довжиною дуги за законом показовою функції. Такі спіралі застосовують як профілю для лекал.
Нагадує спіраль крива , Звана кохлеоідой. Вона нескінченна безліч разів проходить через полюс, причому кожен наступний завиток лежить у попередньому.
Спіралі зустрічаються також при розгляді особливих точок в теорії диференціальних рівнянь
Спіралями іноді називають також просторові криві, що роблять нескінченно багато обертів навколо деякої осі, наприклад гвинтова лінія.
Кардіоїда
Кардіоїда (грец. καρδία - серце, грец. Ε ἶ δος - вид) - плоска лінія, яка описується фіксованою точкою кола, що котиться по нерухомій кола з таким же радіусом. Отримала свою назву через схожість своїх обрисів зі стилізованим зображенням серця.
Кардіоїда є окремим випадком равлики Паскаля, епіціклоіди і синусоїдальної спіралі.
Так само можна сказати, що Кардіоїда-це плоска крива, описувана точкою М кола, яка ззовні стосується нерухомої кола того ж радіуса і котиться по ній без ковзання. Належить до епіціклоідам (плоска крива, описувана точкою кола, яка ззовні стосується нерухомої окружності і котиться по ній без ковзання, до них відносяться кардіоїда, циклоїди, гіпоціклоіди). Є алгебраїчної кривої другого порядку.
Рівняння кардіоїда:
У прямокутній системі координат:
У прямокутній системі координат (параметрична запис):
x = 2 r cos t (1 + cos t)
y = 2 r sin t (1 + cos t)
В полярній системі координат:
Довжина дуги одного витка кардіоїда, заданої формулою:
дорівнює:
s = 8 a.
Площа фігури, обмеженої кардіоїда, заданої формулою:
дорівнює:
.
Властивості кардіоїда:
1. Дотична в довільній точці кардіоїда проходить через точку кола виробляє кола, діаметрально протилежної точки дотику кіл, а нормаль - через точку їх дотику.
2. Кут, що складається дотичній до кардіоїда з радіус-вектором точки дотику, дорівнює половині кута, утвореного цим радіус-вектором з полярною віссю.
3. Дотичні до кардіоїда, проведені в кінцях хорди, що проходить через полюс, взаємно перпендикулярні.
Циклоїди
Циклоїда (від грец. Κυκλοειδής - колоподібний) - плоска трансцендентна крива. Циклоїда визначається кінематично як траєкторія фіксованої точки виробляє окружності радіусу r, що котиться без ковзання по прямій.
Властивості:
Циклоїда - періодична функція по осі абсцис, з періодом 2 π r. За межі періоду зручно прийняти особливі точки (точки повернення) виду t = 2 π k, де k - довільне ціле число.
Для проведення дотичної до циклоїди в довільній її точці A досить з'єднати цю точку з верхньою точкою виробляє кола. Поєднавши A з нижньою точкою виробляє кола, ми отримаємо нормаль.
Довжина арки циклоїди дорівнює 8 r. Це властивість відкрив Крістофер Рен (1658).
Площа під кожною аркою циклоїди втричі більше, ніж площа породжує кола. Торрічеллі повідомив, що цей факт Галілей відкрив експериментально: порівняв вага пластинок з колом і з аркою циклоїди.
Радіус кривизни у першої арки циклоїди дорівнює
.
«Перевернута» циклоїда є кривою якнайшвидшого спуску (брахістохроной). Більш того, вона має також властивість таутохронності: важке тіло, поміщене в будь-яку точку арки циклоїди, досягає горизонталі за один і той же час.
Період коливань матеріальної точки, ковзної по перевернутої циклоїди, не залежить від амплітуди, цей факт був використаний Гюйгенсом для створення точних механічних годинників.
Еволюти циклоїди є циклоїдою, конгруентний вихідної, а саме - паралельно зрушеної так, що вершини переходять в «вістря».
Деталі машин, які здійснюють одночасно рівномірний обертальний і поступальний рух, описують циклоїдальні криві (циклоїда, епіціклоіда, гіпоціклоіда, трохоіда, астроіда) (пор. побудова Лемніската Бернуллі).
Рівняння
Приймемо горизонтальну вісь координат як прямої, по якій котиться виробляє коло радіуса r.
Циклоїда описується параметрично:
x = rt - r sin t,
y = r - r cos t.
Рівняння в декартовій прямокутній системі координат:
Циклоїда може бути отримана як рішення диференціального рівняння:
Астроіда
Астроіда - плоска крива, описувана точкою M окружності радіусу r, що котиться по внутрішній стороні кола радіуса R = 4 r. Інакше кажучи, астроіда - це гіпоціклоіда з модулем m = 4.
Так само можна сказати, що Астроіда-це плоска крива, описувана точкою кола, яка стосується зсередини нерухомої кола вчетверо більшого радіуса і котиться по ній без ковзання. Належить до гіпоціклоідам. Є алгебраїчної кривої шостого порядку.
Властивості
Є чотири Каспію.
Довжина дуги від точки з 0 до
Довжина всієї кривої 6 R.
Радіус кривизни:
Площа, обмежена кривою:
Астроіда є огинаючої сімейства відрізків постійної довжини, кінці яких розташовані на двох взаємно перпендикулярних прямих.
Астроіда є алгебраїчної кривої 6-го порядку.
Рівняння
Рівняння в декартовій прямокутній системі координат:
параметричне рівняння:
Лемніската Бернуллі
Лемніската Бернуллі - плоска крива, геометричне місце точок, твір відстаней від яких до двох заданих точок (фокусів) постійно і дорівнює квадрату половини відстані між фокусами.
Так само можна сказати, що Лемніската Бернуллі-це плоска крива, що має вигляд «вісімки»; безліч точок М, твір відстаней r 1 і r 2 який до двох даних точок F 1 і F 2 (фокусів) дорівнює квадрату междуфокусного відстані. Алгебраїчна крива 4-го порядку, розглянута Я. Бернуллі (1964 г).
Рівняння
Розглянемо найпростіший випадок: якщо відстань між фокусами 2 c, розташовані вони на осі OX, і початок координат ділить відрізок між ними навпіл, то наступні рівняння задають Лемніската:
в прямокутній декартовій системі координат:
Фокуси Лемніската - F 1 (- c; 0) і F 2 (c; 0). Візьмемо довільну точку M (x; y). Твір відстаней від фокусів до точки M є
,
і за визначенням воно дорівнює c 2:
Зводимо в квадрат обидві частини рівності:
Розкриваємо дужки в лівій частині:
Розкриваємо дужки і згортаємо новий квадрат суми:
Виносимо загальний множник і переносимо:
Далі можна зробити заміну a 2 = 2 c 2, хоча це не обов'язково:
В даному випадку a - радіус кола, що описує Лемніската.
Провівши нескладні перетворення, можна отримати явне рівняння:
Зводимо в квадрат і розкриваємо дужки:
Наводимо до виду
Це квадратне рівняння відносно y 2. Вирішивши його, отримаємо
Взявши корінь і відкинувши варіант з негативним другим доданком, отримаємо:
де позитивний варіант визначає верхню половину Лемніската, негативний - нижню.
в полярній системі координат:
Використовуючи формули переходу до полярній системі координат отримаємо:
Виносимо загальні множники і використовуємо тригонометричне тотожність sin α 2 + cos 2 α = 1:
Використовуємо ще одне тотожність: cos 2 α - sin α = 2 cos 2 α:
Ділимо на ρ 2, припускаючи, що :
\
Як і у випадку прямокутної системи можна замінити a 2 = 2 c 2:
Щільність точок кривої при рівномірному зміні параметра
Параметричне рівняння в прямокутної системі:
, Де
Це єдиний варіант раціональної параметризації кривої. Рівняння повністю описує криву, коли параметр пробігає всю речову пряму: від до
. При цьому, коли параметр прагне до
, Точка кривої прагне (0, 0) з другої координатної чверті, а коли параметр прагне до
, То - з четвертої. Розподіл точок, які дає параметричне рівняння, при зміні його параметра з фіксованим кроком показано на малюнку.
Властивості
Лемніската Бернуллі є окремим випадком овалу Кассіні при a = c, синусоїдальної спіралі з індексом n = 2 і Лемніската Бута при c = 0, тому вона успадковує деякі властивості цих кривих.
Властивості від овалу Кассіні
Лемніската - крива четвертого порядку.
Вона симетрична щодо подвійної точки - середини відрізка між фокусами.
Крива має 2 максимуму і 2 мінімуму. Їх координати:
Відстань від максимуму до мінімуму, що знаходяться по один бік від серединного перпендикуляра відрізка між фокусами дорівнює відстані від максимуму (або від мінімуму) до подвійної точки.
Лемніската описує коло радіуса , Тому іноді в рівняннях виробляють цю заміну.
Властивості від синусоїдальної спіралі
Точка, де Лемніската перетинає саму себе, називається вузловою або подвійний точкою.
Дотичні в подвійній точці складають з відрізком F 1 F 2 кути
.
Кут μ, що складається дотичній в довільній точці кривої з радіус-вектором точки дотику дорівнює .
Дотичні в точках перетину кривої і хорди, що проходить через подвійну точку, паралельні один одному.
Інверсія щодо кола з центром в подвійній точці, переводить Лемніската Бернуллі в равнобочной гіперболу.
Радіус кривизни Лемніската є
Є окремий випадок формули радіуса кривизни синусоїдальної спіралі:
при m = 2,
проте, легко вивести і за визначенням.
Рівняння Лемніската в полярній системі:
Формули переходу до полярній системі координат:
Висловлюємо :
Підставляємо в рівняння Лемніската і висловлюємо x і y:
- - Це параметричне рівняння щодо . Провівши деякі тригонометричні перетворення, можна отримати рівняння відносно
, Вказане вище в розділі Рівняння.
Формула радіусу кривизни кривої, заданої параметрично:
Знаходимо похідні за :
Підставляємо у формулу радіуса:
Повертаємося до рівняння Лемніската:
Підставляємо цей вираз в отриману формулу радіуса і отримуємо:
Натуральне рівняння кривої має вигляд
Подер Лемніската є синусоїдальна спіраль
Лемніската сама є подер равносторонней гіперболи.
Власні властивості:
Гравітаційне властивість Лемніската
Крива є геометричним місцем точок, симетричних з центром равносторонней гіперболи щодо її дотичних.
Відрізок бісектриси кута між фокальними радіус-векторами точки Лемніската дорівнює відрізку від центру Лемніската до перетину її осі з цією бісектрисою.
Матеріальна точка, що рухається по кривій під дією однорідного гравітаційного поля, пробігає дугу за той же час, що й відповідну хорду. При цьому вісь Лемніската складає кут з вектором напруженості поля, а центр Лемніската збігається з вихідним положенням рухається точки.
Площа полярного сектора , При
:
Зокрема, площа кожної петлі
, Тобто площа, обмежена кривою, дорівнює площі квадрата зі стороною
.
Перпендикуляр, опущений з фокусу Лемніската на радіус-вектор якої-небудь її точки, ділить площу відповідного сектора навпіл.
Довжина дуги Лемніската між точками
і
виражається еліптичним інтегралом роду:
де
Зокрема, довжина всієї Лемніската
Додаток
В геометрії, синусоїдальна спіраль - сімейство кривих, обумовлений рівнянням в полярній системі координат:
r n = a n cos (n θ),
де a - ненульова константа і n - раціональне число, не рівне нулю. З урахуванням можливості повороту кривої відносно початку координат рівняння також може бути записано у вигляді:
r n = a n sin (n θ)
Використання терміну «спіраль» в даному випадку не є точним, тому що отримуються криві за формою радше нагадують квітку. Багато відомих криві є окремими випадками синусоїдальної спіралі:
Пряма (n = -1)
Коло (n = 1)
Гіпербола (n = -2)
Парабола (n = -1 / 2)
Кардіоїда (n = 1 / 2)
Лемніската Бернуллі (n = 2)
Вперше була вивчена Маклореном.