Колізії в міркуваннях
Аналіз логічних помилок за допомогою E-структур заснований на тому, що в міркуванні допускаються всі можливі (часом складені явно не за правилами Арістотелевой силлогистики) поєднання суджень. При цьому з вихідних посилок виходять всі можливі наслідки. Серед них можуть виявитися і такі, які говорять про те, що в посилках містяться якісь неприємності. Ці неприємності ми будемо називати колізіями.
Колізіями E-структури називаються такі ситуації, що з'являються при побудові CT-замикання:
колізія парадоксу: поява в CT-замиканні принаймні одного з суджень типу X ® або
® X;
колізія циклу: поява в CT-замиканні принаймні одного циклу.
Згадаймо, що циклом в графі називається шлях, який починається і закінчується однією і тією ж вершиною. Але спочатку ми розглянемо колізію парадоксу.
Колізія парадоксу. Що означає відношення X ® в алгебрі множин (наприклад, "Всі мої друзі - не мої друзі")? Згадаймо закон непротиріччя: X Ç
= Æ. З нього явно випливає, що ставлення X Í
може бути справедливим тільки в єдиному випадку, коли безліч X одно пустому безлічі. А з іншого закону випливає, що
в цьому випадку має дорівнювати універсуму. З точки зору алгебри множин таку ситуацію не можна назвати катастрофічною, але в звичайному міркуванні це означає, що деякий об'єкт X, в існуванні якого ми спочатку не сумнівалися, виявляється неіснуючим. Наприклад, з судження "Всі мої друзі - не мої друзі" випливає, що друзів у мене немає.
Найпростішим випадком колізії парадоксу є поєднання в одній E структурі двох контрарних суджень, наприклад, A ® B і A ® . Подивимося, що вийде, якщо побудувати для цієї пари суджень E-структуру (рис.1). Прикладом такої контрарной пари можуть бути, зокрема, такі судження: "Все жирафи живуть в Африці" та "Все жирафи не живуть в Африці". Якщо ми побудуємо контрапозиции вихідних посилок, то побачимо, що між термінами A і
з'явилися два шляхи, які призводять до слідства A ®
(Рис.2). Змістовно таке судження говорить про те, що всі жирафи не є жирафами. Причому отримати це наслідок можна двома шляхами: A ® B ®
і A ®
®
.
Рис.1 Рис.2
Інший простий випадок колізії парадоксу для пари різних термінів і їх заперечень ми отримаємо, якщо з'єднаємо в одній E-структурі два судження A ® B і ® B. Зробивши аналогічні побудови, отримаємо вже іншу колізію парадоксу
® A. Тут порожнім виявляється базовий термін
, А роль універсуму бере на себе термін A.
Спробуємо змоделювати колізію парадоксу в прикладі, додавши в число посилок судження S ® ("Всі розумні люди не приборкують крокодилів"). Можливо, для когось це судження саме по собі не здається парадоксальним, але в нашій системі воно викликає катастрофу. Якщо не полінуємося і побудуємо CT-замикання для нашої нової системи, то переконаємося, що в ньому з'явилася колізія парадоксу T ®
(На схемі вона буде представлена вертикальною стрілкою). Якщо ми вважаємо правильним судження S ®
і заодно всі інші посилки нашого прикладу, то ми тим самим маємо визнати, що людей, приборкують крокодилів, не існує.
Але колізія парадоксу не завжди означає катастрофу. Іноді її поява дозволяє розпізнати в міркуванні явно зайві терміни. Як приклад такого міркування візьмемо смітить Л. Керролла про парламент, який був приведений в кінці попереднього розділу в якості самостійного вправи. Ті, хто впорався з цим завданням, напевно, змогли переконатися в тому, що в цьому смітите відсутні колізії, але деякі слідства здаються трохи дивними для членів парламенту (наприклад, "Усі, хто не при здоровому глузді, є членами палати лордів" або " Усі, хто бере участь у скачках на мулах, є членами палати громад ").
Припустимо, що хтось вирішив за допомогою хитромудрих тестів перевірити розумові здібності всіх членів палати лордів і в результаті досліджень отримав такий результат: "Усі члени палати лордів знаходяться в здоровому глузді". Цей результат за формою є судженням (до речі, багато фактів також можна виразити у формі суджень), і ми можемо ввести його в якості додаткової посилки в нашу систему.
Неважко переконатися, що в результаті такого нововведення з'являється колізія парадоксу: "Усі, хто не при здоровому глузді, перебувають у здоровому глузді". Звідси ясно, що тих, хто не при здоровому глузді в нашому універсумі (тобто серед членів парламенту) немає, і ми можемо тепер виключити з розгляду термін "ті, хто не при здоровому глузді" і заодно альтернативний йому термін "ті, хто в здоровому глузді ". Заодно разом з цим вилученням (або елімінацією) потрібно виключити всі зв'язки, які з'єднують ці терміни з іншими термінами нашого міркування.
Видалення терміна з міркування через колізію парадоксу не означає, що він зникає безслідно. Просто один з термінів (у нашому прикладі - це термін "ті, хто в здоровому глузді") стає необхідною властивістю всього універсуму.
Розглянемо ще один приклад, за допомогою якого можна показати явне нерівність один одному судження і його звернення. Якщо дано деякий судження, то зворотним судженням називається судження, в якому права і ліва частини переставлені. Наприклад, судженням, зворотним судженню A ® B, буде судження B ® A.
Приклад. Дано посилки:
Всі мої друзі хвальки і не скандалісти;
Всі, хто хвалиться, не впевнений у собі.
А тепер припустимо, що у нас є дві гіпотези, які нам необхідно перевірити на сумісність з вихідними посилками:
Г1: всі впевнені в собі не скандалісти;
Г2: Всі, хто не скандалить, впевнені в собі.
Ясно, що обидві гіпотези містять одні й ті ж терміни, але кожна з них є зверненням іншої. Спочатку запишемо вихідні судження в математичній формі, для чого введемо наступні позначення: D - мої друзі, H - хвальки, S - скандалісти, Y - упевнені в собі. Тоді отримаємо:
D ® (H, );
H ® .
Будуємо граф (рисунок 3), при цьому треба враховувати, що судження типу D ® (H, ), В яких один суб'єкт і декілька предикатів, на графі треба відображати у вигляді декількох дуг, які направлені від суб'єкта до кожного з предикатів судження. Потім для кожного елементарного судження (тобто судження, представленого на графі тільки однією дугою) будуємо наслідок за правилом контрапозиции (малюнок 4). Неважко переконатися, що в даному міркуванні колізії відсутні.
Рис.3 Рис.4
Треба побудувати дві системи міркувань, в одній з яких до складу вихідних посилок добавлена гіпотеза Г1, а в іншій - гіпотеза Г2. І тоді виявиться, що гіпотеза Г1 (Y ® ) Не призводить до жодних колізій, у той час як гіпотеза Г2 (
® Y) після відповідних побудов виявляється суперечливою. Одним з її наслідків виявляється судження D ®
(Всі мої друзі - не мої друзі). Оскільки є підстави припускати, що безліч "моїх друзів" не є порожнім, то ми приймаємо першу гіпотезу і відкидаємо другу.
Запропоновані методи аналізу міркувань можна використовувати не тільки для термінів, які позначають будь-які кінцеві перераховуються множини, але і для термінів, які позначають нескінченні множини з заданими властивостями. Розглянемо нескінченні безлічі позитивних цілих чисел з властивостями подільності. Серед них є безлічі парних чисел, непарних чисел, чисел, кратних трьом, семи і т.д. Ясно, що кожне з цих множин є потенційно нескінченним безліччю. Позначимо ці множини відповідно N 2 (парні числа), N 3 (кратні трьом), N 5 (кратні п'яти), N 7 (кратні семи). Існують відповідно і доповнення цих множин, які теж є потенційно нескінченними множинами: (Непарні числа),
(Не діляться на три),
(Не діляться на п'ять),
(Не діляться на сім).
Приклад. Нехай є деяка, можливо, нескінченну безліч позитивних цілих чисел, в якій дотримуються наступні співвідношення:
N 2 Í (N 3 Ç ) (Всі парні числа діляться на 3 і не діляться на 5);
N 3 Í (Всі числа, кратні 3, не діляться на 7);
Í N 7 (всі числа не діляться на 5, кратні 7).
Питається, чи є в цій безлічі парні числа?
Щоб відповісти на питання задачі, виконаємо вже знайомі нам побудови. Співвідношення включення позначимо, використовуючи стрілки (наприклад, замість N 2 Í (N 3 Ç ) Запишемо N 2 ® (N 3,
)), І побудуємо граф вихідних посилок (рисунок 5), а потім для кожного елементарного судження побудуємо його контрапозиции (малюнок 6, нові слідства показані пунктирними дугами).
Рис.5 Рис.6
Виберемо мінімальний літерал (тобто той, в який не входить жодна дуга). Ним виявився літерал N 2 (парні числа), тобто той, який нам і потрібен для відповіді на питання завдання. Побудуємо з цього літерала можливі шляхи:
1-й шлях: N 2 ® N 3 ® ® N 5 ®
;
2-й шлях: N 2 ® ® N 7 ®
®
.
В обох випадках отримана колізія парадоксу, з чого випливає, що за даних умов завдання парних чисел в цій множині не повинно бути.
Розпізнавати колізію парадоксу в E-структурах безпосередньо за схемою далеко не завжди зручно, особливо коли в структурі багато літералів. Якщо використовувати верхні конуси, то можна сформулювати необхідна і достатня умова існування цієї колізії. Для цього виконуємо наступні дії:
вибрати верхні конуси всіх мінімальних елементів структури (верхні конуси мінімальних елементів називаються максимальними верхніми конусами);
в кожному з обраних конусів перевірити наявність або відсутність пар альтернативних літералів (наприклад, A і ).
використовувати наступний критерій розпізнавання колізії парадоксу: якщо хоча б в одному з максимальних верхніх конусів зустрічається пара альтернативних літералів, то в структурі є колізія парадоксу, в іншому випадку колізія парадоксу відсутня.
Наприклад, в E-структурі з прикладу існує тільки один мінімальний елемент, отже, є тільки один максимальний верхній конус
(N 2, {N 2, N 3, , N 5,
,
, N 7,
}),
в якому міститься 4 пари альтернативних літералів. Це говорить про те, що в структурі є колізія парадоксу.
Перейдемо до розгляду іншої колізії - колізії циклу. Розглянемо спочатку простий цикл між двома термінами: A ® B ® A. Якщо зіставити цей цикл з відношенням включення між множинами, то виявиться, що в даному випадку цей цикл означає, що справедливі два відносини включення A Í B і B Í A. А це в свою чергу означає, що наші безлічі A і B рівні один одному, і відповідно терміни, які позначають ці множини, мають один і той же зміст. Розглянемо наступний приклад.
Приклад. Нехай задано три посилки:
1) Все, що існує, підтверджується експериментом.
2) Усі невідоме не підтверджується експериментом.
3) Усі відоме існує.
Спробуємо прийняти ці три посилки як аксіоми і побудуємо для них відповідну E-структуру. Позначимо: E - все, що існує, C - все, що підтверджується експериментом, K - все, що відомо. Відповідно позначає те, що не існує,
- Те, що не підтверджується експериментом,
- Те, що невідомо. Тепер уявімо ці посилки у вигляді формальних суджень:
E ® C;
®
;
K ® E.
Якщо тепер побудувати граф цього міркування і застосувати до трьох посилок правило контрапозиции, то на малюнку чітко позначаться два цикли: E ® C ® K ® E і ®
®
®
.
З законів алгебри множин слід (суворе доказ цього твердження ми опустимо), що для будь-якій послідовності включень множин, що утворюють цикл типу A ® B ® C ® ... ® A, справедливо рівність всіх множин, що містяться в циклі. У нашому прикладі це означає, що всі існуючі, підтверджені в експерименті і відомі явища повністю збігаються один з одним. Якщо взяти інший отриманий в цьому завданні цикл, то виявиться, що всі невідомі, неіснуючі і не підтверджені в експерименті явища також еквівалентні один одному.
У традиційній логіці така ситуація визначається як логічна помилка "коло в обгрунтуванні" (або "порочне коло"). Як тут не згадати крилату фразу з оповідання Чехова: "Цього не може бути, бо цього не може бути ніколи"! Або менш відоме в Росії жартівливе висловлювання Л. Керролла: "Як добре, що я не люблю спаржу, - сказала маленька дівчинка своєму дбайливому другу, - адже якби я її любила, то мені довелося б її їсти, а я її терпіти не можу ". Все це приклади "порочного кола".
У той же час наведений приклад важко віднести до розряду вдалих жартів. Швидше за все, це зразок беззмістовною демагогії.
Однак колізія циклу в E-структурі, так само як і колізія парадоксу, не завжди означає помилку в міркуванні. Тут багато що залежить від конкретних прикладів. Розглянемо приклад, в якому колізія циклу дозволяє уточнити властивості об'єктів, що містяться в міркуванні.
Нехай відомо, що система містить якісь об'єкти з незалежними властивостями E, C і K, і для кожного з цих властивостей існує його альтернатива: ,
,
. Наприклад, нам відомо, що в якомусь закритому ящику містяться предмети з різним поєднанням наступних властивостей: вони можуть бути дерев'яними (E), або пластмасовими (
); Мати форму кулі (C), або куба (
); Бути червоного (K), або зеленого (
) Кольору. Нам не відомо число предметів (їх може бути як завгодно багато), але відомі деякі співвідношення, які можна виразити у формі суджень. Прикладом таких співвідношень можуть бути наступні:
Всі дерев'яні предмети мають форму куба (E ® );
Всі предмети зеленого кольору - кулі ( ® C);
Всі предмети червоного кольору - дерев'яні (K ® E).
Потрібно визначити, які поєднання властивостей неможливі для предметів, що знаходяться у цій скриньці. Намалюємо схему для вихідних суджень (рис.7) і додамо до них контрапозиции вихідних суджень (рис.8).
Рис.7 Рис.8
На малюнку 8 чітко видно два цикли: E ® ® K ® E і
®
® C ®
. Звідси зрозуміло, що властивості E,
, K притаманні одному і тому ж безлічі і не притаманні окремо іншим множинам нашої системи. Те ж саме можна сказати і щодо властивостей
,
, C. З цього випливає, що в ящику можуть перебувати тільки дерев'яні червоні куби та пластмасові зелені кулі, а всі інші поєднання властивостей виключаються. Наприклад, в ящику не повинно бути дерев'яних предметів зеленого кольору.
Для розпізнавання колізії циклу алгоритмічним способом потрібно використовувати відповідність "CT-замикання". При цьому використовується наступний критерій:
Якщо в CT-замиканні E-структури існують пари (E, M), у яких літерал E є елементом множини M, то в E-структурі є колізія циклу, в іншому випадку колізія циклу відсутня.
Аналіз колізій дозволяє нам розділити всі типи E-структур на два класи: коректні і некоректні E-структури. Закріпимо цю класифікацію за допомогою строгих визначень.
E-структура називається коректною, якщо в ній не міститься жодних колізій, в іншому випадку така E-структура називається некоректною.
Некоректна E-структура називається парадоксальною, якщо в ній міститься колізія парадоксу, і непарадоксальной в іншому випадку.
Розглянуті раніше колізії можна вважати чисто формальними колізіями, так як вони виявляються тільки на основі відомостей, які містяться у вихідних посилках. Уявімо тепер ситуацію, коли ми з вихідних посилок вивели якісь слідства і виявилося, що колізії відсутні. Треба б радіти, але ми раптом чомусь вирішили перевірити, наскільки наші наслідки відповідають дійсності. І цілком можливо, що в наслідках містяться відомості, які вступають в конфлікт з нашими знаннями. Якщо у нас є строгі підстави для того, щоб вважати наші знання істинними, то в цьому випадку можна для даної E структури встановити ще один тип колізії, який ми назвемо колізією неадекватності.
Приклади колізій неадекватності нерідко зустрічаються в процесі історичного розвитку наукового знання. На певному історичному етапі в науковій картині світу є деяка теорія, з допомогою якої пояснюються численні відомі факти або результати експериментів. Але наука не стоїть на місці: з'являються деякі нові факти, багато з яких відповідають існуючої теорії (тобто є наслідками її вихідних положень). Разом з тим іноді з'являються факти (або експериментальні дані), які суперечать наслідків існуючої теорії. І ці протиріччя як раз і є те, що ми назвали колізією неадекватності. І тоді в науці настає етап суперечок і дискусій, що передує народженню нової теорії. В даному випадку колізію неадекватності можна вважати ініціатором нових наукових відкриттів.