Загальна теорія статистики

Завдання 1.

З метою виявлення залежності між економічними показниками провести угруповання 50 ремонтних підприємств залізничного транспорту (див. Таб. 1) з рівними інтервалами, виділивши 5 груп.

Вихідні дані:

Таб. 1

№	Группіровоч-ний ознака	Результат-ний ознака				№		Группіровоч-ний ознака		Результат-ний ознака
	число вагонів знаходяться в ремонті, шт / добу	чистий прибуток підприємства, млн. руб.						число вагонів знаходяться в ремонті, шт / добу		чистий прибуток підприємства, млн. руб.
51	8		130				76		10		134
52	11		148				77		6		136
53	36		155				78		7		133
54	2		124				79		1		127
55	2		125				80		7		128
56	29		135				81		1		118
57	14		126				82		5		124
58	14		136				83		15		137
59	8		124				84		6		110
60	8		128				85		17		139
61	5		110				86		8		148
62	8		150				87		1		123
63	1		110				88		10		138
64	6		122				89		21		189
65	18		140				90		11		139
66	4		110				91		2		122
67	9		139				92		2		124
68	2		121				93		1		113
69	1		111				94		8		117
70	5		132				95		6		126
71	1		129				96		3		130
72	7		139				97		3		112
73	9		148				98		2		133
74	25		144				99		25		195
75	16		146				100		5		176

Рішення задачі:

Угруповання проводиться за группировочного ознакою. Визначимо величину (крок) інтервалу угруповання за формулою:

k = 5, число груп в угрупованні (з умови)

Xmax, Xmin - максимальне і мінімальне значення группировочного

ознаки

l - величина (крок) інтервалу угруповання.

Визначимо нижню і верхню інтервальні кордону для кожної групи:

Номер групи	Кордон нижня	Кордон нижня
1	1.0	8.0
2	8.0	15.0
2	15.0	22.0
4	22.0	29.0
5	29.0	36.0

Складемо робочу таблицю, куди зведемо первинний статистичний матеріал:

Групи підпри-ємств за кількістю вагонів нахощящ. на ремонті, шт / добу	Номер підприємства		Кількість вагонів, що знаходяться в ремонті, шт / добу	Чистий прибуток підприємства, млн. руб.
1	2	3		4
1.0 - 8.0	51 54 55 59 60 61 62 63 64 66 68 69 70 71 72 77 78 79 80 81 82 84 86 87 91 92 93 94 95 96 97 98 100	8 2 2 8 6 5 8 1 6 4 2 1 5 1 7 6 7 1 7 1 5 6 8 1 2 2 1 8 6 3 3 2 5		130 124 125 124 128 110 150 110 122 110 121 111 132 129 139 136 133 127 128 118 124 110 148 123 122 124 113 117 126 130 112 133 176
РАЗОМ:	33	140		4165
8.0 - 15.0	52 57 58 67 73 76 83 88 90	11 14 14 9 9 10 15 10 11		148 126 136 139 148 134 137 138 139
РАЗОМ:	9	103		1245
15.0 - 22.0	65 75 85 89	18 16 17 21		140 146 139 189
РАЗОМ:	4	72		614
22.0 - 29.0	56 74 99	29 25 25		135 144 195
РАЗОМ:	3	79		474
29.0 - 36.0	53	36		155
РАЗОМ:	1	36		155

Розробимо аналітичну таблицю взаємозв'язку між кількістю вагонів знаходяться на ремонті і чистим прибутком:

Табл. 2

Групи підпр. по кол-ву вагонів надходять у ремонт	Число підпри-ємств	Число вагонів знаходяться в ремонті, шт / добу		Чистий прибуток, млн.руб
		Всього по групі	в середньому на одне підприємство	Всього по групі	в середньому на одне підприємство
1.0 - 8.0	33	140	4,2	4165	126,2
8.0 - 15.0	9	103	11,4	1245	138,3
15.0 - 22.0	4	72	18,0	614	153,5
22.0 - 29.0	3	79	26,3	474	158,0
29.0 - 36.0	1	36	36,0	155	155,0

Дослідивши показники роботи 50-ти підприємств залізничного транспорту, можна сказати, що чистий прибуток підприємства знаходиться в прямій залежності від кількості вагонів знаходяться в ремонті.

Завдання 2.

Розрахувати коефіцієнти варіації за группировочного ознакою на підставі вихідних даних і з аналітичної угрупованню згідно свого варіанту із завдання 1. Пояснити (якщо є) розбіжності у значеннях отриманих коефіцієнтів.

Рішення:

Розрахунок коефіцієнта варіації проводиться за наступною формулою:

де: G - середнє квадратичне відхилення;

x - середня величина

1)

n - обсяг (або чисельність) сукупності,

х - варіанти або значення ознаки (для інтервального ряду приймається

середнє значення)

Розрахуємо показники варіації для прикладу, розглянутого в завданні 1. Розрахунок проводиться за группировочного ознакою. По-перше, розрахуємо всі показники по вих. даними (див. табл. 1):

2) Середнє кв. відхилення розраховуємо за формулою:

повернемося до форм. (1)

3) Тепер розрахуємо коефіцієнт варіації з аналітичної таблиці (див. табл. 2)

Розрахуємо серединні значення інтервалів:

4,5 11,5 18.5 25,5 32,5

1 8 15 22 29 36

, Де

f - частота, тобто число, яке показує, скільки зустрічається кожна

варіанти:

ваг.

Розрахунок середнього квадратичного відхилення з аналітичної угруповання:

Висновок: в обох випадках розрахунку, коефіцієнт варіації (V) значно більше 30%. Отже, розглянута сукупність неоднорідна і середня для неї недостатньо типова.

Завдання 3.

Провести 20% механічну вибірку з генеральної сукупності, представленої в таблиці (використовувати всі 100 підприємств), за показником, який є результативним ознакою в аналітичній угрупованню завдання 1 у відповідності з варіантом. З імовірністю 0,997 розрахувати кордону зміни середньої величини в генеральній сукупності. Розрахувати середню даної ознаки по генеральній сукупності (по табл.) І порівняти з результатом, отриманим на підставі розрахунку по вибіркової сукупності. Початок відбору починати з номера підприємства збігається з номером варіанту (8).

1) Табл.

Номер підприємства	Чистий прибуток підпр., млн. руб.		Номер підприємства	Чистий прибуток підпр., млн. руб.
1	2		1	2
8 13 18 23 28 33 38 43 48	203 163 131 134 130 117 133 125 141		53 58 63 68 73 78 83 88 93 98	155 136 110 121 148 133 137 138 113 133

2) Для розрахунку меж зміни середньої характеристики генеральної сукупності за матеріалами вибірки скористаємося формулами:

(1)

(2)

(3)

Х - середня генеральної сукупності;

Х - середня вибіркової сукупності;

гранична помилка вибірки;

t - коефіцієнт довіри = 0,997 (за умовою);

М - середня помилки вибірки

G2 - дисперсія досліджуваного показника;

n - обсяг вибіркової сукупності;

N - обсяг генеральної сукупності;

n / N - частка вибіркової сукупності в обсязі генеральної (або%

відбору, виражений в коефіцієнті)

Рішення:

У даному варіанті завдання середня чистий прибуток на одне підприємство з вибіркової сукупності дорівнює

Х = 136,8 млн. руб.;

дисперсія дорівнює = 407,46; коеф-т довіри = 3, тому що ймовірність визначення меж середньої дорівнює = 0,997 (за ум); n / N = 0,2, тому що відсоток відбору становить 20% (за умовою). Розрахуємо середню помилку за ф. (3):

Розрахуємо граничну помилку і визначимо межі зміни середньої за ф. (2)

Т.ч. з імовірністю 0,997 можна стверджувати, що чистий прибуток на одне підприємство в генеральній сукупності буде перебувати в межах від 124,5 млн. руб. до 149,1 млн. руб., включаючи в себе середню по вибіркової сукупності.

Тепер розрахуємо середню по генеральній сукупності (по 100 підприємствам) і порівняємо її з отриманою інтервальної оцінкою за вибіркою:

де а1 + а2 +. . . + А100 - сума числа вагонів, що знаходяться в ремонті

(Штук на добу) на 1, 2, 3. . ., 100 підприємствах.

Висновок: Порівнюючи середню генеральну сукупність рівну 140,27 з інтервальної оцінкою за вибіркою 124,5 <x <149,1 робимо вибір, що інтервал із заданою вірогідністю містить в собі генеральну середню.

Завдання 4.

За даними свого варіанту (8) розрахуйте:

Індивідуальні і загальний індекс цін; Індивідуальні і загальний індекси фізичного обсягу товарообігу; Загальний індекс товарообігу; Економію або перевитрата грошових коштів населення в результаті зміни цін на товари в звітному періоді в порівнянні з базисним

Вих. дані:

Вид товару	БАЗИСНИЙ ПЕРІОД ("0")		ЗВІТНИЙ ПЕРІОД ("1")
	Ціна за 1 кг, тис.руб	Продано, тонн	Ціна за 1 кг, тис.руб	Продано, тонн
1	2	3	4	5
А	4,50	500	4,90	530
Б	2,00	200	2,10	195
У	1,08	20	1,00	110

Рішення:

Індекс - це показник порівняння двох станів одного й того ж явища (простого або складного, що складається з сумірних або несумірних елементів); включає 2 види:

Звітні, оцінювані дані ("1") Базисні, які використовуються в якості бази порівняння ("0") Знайдемо індивідуальні індекси за формулами:

(Де: р, q - ціна, обсяг відповідно; р1, р0 - ціна звітного, базисного періодів відповідно; q1, q2 - обсяг звітного, базисного періодів відповідно)

для величини (ціни) по кожному виду товару

для величини q (обсягу) по кожному виду товарів:

Знайдемо загальні індекси за формулами:

представляє собою середнє значення індивідуальних індексів (ціни, обсягу), де j - номер товару.

Загальний індекс товарообігу дорівнює:

Знайдемо абсолютна зміна показника (економії або перевитрати):

отримуємо:

Висновок: спостерігається перевитрата грошових коштів населення в результаті зміни цін на товари в звітному періоді в порівнянні з базисним, в середньому на 5,54%.

Завдання 5.

Визначити, як змінюватимуться ціни на товари, якщо їх вартість у середньому збільшиться на 3,2%, а фізичний обсяг реалізації в середньому не зміниться.

Рішення:

Для базисного періоду для цін характерний наступний індекс:

Для звітного періоду відомо збільшення вартості на 3,2%, тобто:

Висновок: з отриманого видно, що ціни на товари в наслідок збільшення їх вартості на 3,2% відповідно зростуть на 3,2%.

Завдання 6.

Розрахувати коефіцієнт кореляції за вихідними даними свого варіанту, використовуючи завдання 1.

Рішення:

Коефіцієнт кореляції оцінює тісноту зв'язку між кількома ознаками. У даному випадку потрібно оцінити зв'язок між двома ознаками. Тому необхідно розрахувати парний коефіцієнт кореляції. Скористаємося наступними формулами:

де:

- Індивідуальні значення факторного і результативного

ознак;

- Середні значення ознак;

- Середня з творів індивідуальних значень ознак;

- Середні квадратичні відхилення ознак

Коефіцієнт розрахуємо за вихідними даними варіанту (50 підприємств), які представлені в табл. 1

Розрахунок середньої з творів проведемо в таблиці M, заповнюючи дані про факторному і результативному ознаці з таблиці № 1:

№		Группир. ознака	Результат ознака	X x Y		№	Группир. ознака	Результат ознака	XxY
		число вагонів, шт / добу	чиста прибуток, млн. руб.				число вагонів, шт / добу	чиста прибуток, млн.руб.
51	8		130	1040		76	10	134	1340
52	11		148	1628		77	6	136	816
53	36		155	5580		78	7	133	931
54	2		124	248		79	1	127	127
55	2		125	250		80	7	128	896
56	29		135	3915		81	1	118	118
57	14		126	1764		82	5	124	620
58	14		136	1904		83	15	137	2055
59	8		124	992		84	6	110	660
60	8		128	1024		85	17	139	2363
61	5		110	550		86	8	148	1184
62	8		150	1200		87	1	123	123
63	1		110	110		88	10	138	1380
64	6		122	732		89	21	189	3969
65	18		140	2520		90	11	139	1529
66	4		110	440		91	2	122	244
67	9		139	1251		92	2	124	248
68	2		121	242		93	1	113	113
69	1		111	111		94	8	117	936
70	5		132	660		95	6	126	756
71	1		129	129		96	3	130	390
72	7		139	973		97	3	112	336
73	9		148	1332		98	2	133	266
74	25		144	3600		99	25	195	4875
75	16		146	2336		100	5	176	880
61686

Розрахунок коефіцієнта кореляції проведемо по першій із запропонованих на початку рішення двох формул:

Висновок: тому отриманий коефіцієнт кореляції більше значення 0,8, то можна зробити висновок про те, що тіснота зв'язку між досліджуваними ознаками досить тісний.

Завдання 7.

За даними свого варіанту (див. табл. N) розрахувати індекси сезонності, побудувати графік сезонності і зробити висновки.

Вих. дані:

Табл. N

Місяць	Роки			Разом за 3 роки	У середовищ-ньому за місяць	Індекси сезон-ності,%
	1991	1992	1993
1	2	3	4	5	6	7
Січень	4600	2831	3232	10663	3554	90,3
Лютий	4366	3265	3061	10692	3564	90,6
Березень	6003	3501	3532	13036	4345	110,5
Квітень	5102	2886	3350	11338	3779	96,1
Травень	4595	3054	3652	11301	3767	95,8
Червень	6058	3287	3332	12677	4226	107,4
Липень	5588	3744	3383	12715	4238	107,8
Серпень	4869	4431	3343	12643	4214	107,1
Вересень	4065	3886	3116	11067	3689	93,8
Жовтень	4312	3725	3114	11151	3717	94,5
Листопад	5161	3582	2807	11550	3850	97,0
Грудень	6153	3598	3000	12751	4250	108,0
У середньому	5073	3482	3244		3953	100,0

Сезонними коливаннями називають стійкі внутрішньорічні коливання в ряду динаміки. Вони характеризуються індексами сезонності, сукупність яких на графіку утворює сезонну хвилю.

Скористаємося наступною формулою розрахунку індексів сезонності:

Vt - фактичні (середні) дані по місяцях (середньомісячний

результат, обчислений за 3 роки по однойменною місяців);

Vo - загальна або постійна середня (середньомісячний рівень по

36-ти місяців)

Тепер на підставі отриманих індексів сезонності (ст. 7 табл. N) побудуємо графік сезонності:

Висновок: Сезонність мала три хвилі підйому кількості відправлених вагонів з однієї станції:

головний - у березні м-ці другий (слабкіше) - у червні-липні м-цях третій (слабкіше) - у грудні м-ці.

Зменшення спостерігається:

на початку року (січень-лютий м-ці) у другій половині весни (квітень-травень м-ці) восени (вересень-листопад м-ці) Література: Дружинін М.К. Математична статистика в економіці. - М.: Статистика, 1971. Єлісєєва І.І. моя професія - статистик. - М.: Фінанси і статистика, 1992. Єлісєєва І.І., Юзбашев М.М. Загальна теорія статистики: Підручник / За ред. Чл.-кор. РАН І. І. Єлисєєвій. - М.: Фінанси і статистика, 1996. Кривенкове Л.М., Юзбашев М.М. Область існування показників варіації та її застосування / / Вісник статистики. - 1991. - № 6. - С.66-70