Подорожній, поквапся: за поворотом дороги здійсняться всі твої бажання!
Плакат на дорозі до замку людожера
Загальновідома
Доказ - міркування з метою обгрунтування істинності деякого твердження. Доказ асоціюється з математикою, а школярі пов'язують його перш за все з геометрією.
Істинно чи доведене твердження? - Звичайно, що за питання ...
Арифметика без доказів
Рахунок і запис результатів
Нам все, що більше трьох, потрібно порахувати: предмети або звуки. Безпосереднє, без тренування, просторове і тимчасове розпізнавання числа об'єктів простирається не далі 4 або 5. Це вроджена властивість: "нейронів" зображення чисел від 1 до 3 у "одиничною" системі числення (вертикальними або горизонтальними рисками) збігається практично у всіх культурах, відмінності у зображенні чисел починаються з числа 4.
Нейронного запасу людині виявилося мало, і він поповнив його. Спочатку з'явився рахунок із застосуванням стандартних рахункових предметів: пальців, камінчиків або раковин. Потім стали вживати знаки: вузлики, рисочки, карби. Для вже звичних груп рахункових знаків виникли знаки мови - числівники. Зберігся рудимент цієї епохи в китайській мові у вигляді різних рахункових слів, обов'язкових за рахунку об'єктів певної природи - круглих, плоских, воєн і революцій і т.п.
Римляни наділи камінчики (calculus - звідси калькулятор) на стрижні - вийшли рахунки. Рахівниця неявно ввели позиційну систему числення. Нуль у цій системі не вимагав зображення і не міг його мати. Для запису результатів рахунки потрібні кошти писемності - ієрогліфи і букви алфавіту. У Стародавньому Єгипті ієрогліфами записували числа до десяти мільйонів.
Греки використовували для запису результатів астрономічних обчислень змішану систему: для цілої частини - власну десяткову алфавітну непозиційній, для дробової частини - 60-двадцяткову вавілонську позиційну. Письмові операції над такими числами були нелегкою справою.
Десяткову систему з нулем винайшли в Індії (VI століття); її запозичили араби, а в арабів - європейці, які до того користувалися римськими цифрами. Арабські цифри і десяткові дроби були відкриті європейцями вже після того, як вони відкрили Америку. Операції над цифровими символами на папері стали простішими, але і до цих пір важкі, а з появою калькуляторів стали хіба лише непопулярним інтелектуальним спортом.
Хто може сьогодні витягти квадратний корінь без калькулятора?
Звідки взялася 60-ричная система числення?
Зображення чисел і засоби виконання операцій над числами дають працюючу мовну модель - теорію. Зрозуміло, шість тисяч років тому наші предки були "зайняті справою", а не "теоріями". Тим не менш, вони створили арифметику - теорію, що опинилася більш ефективним інструментом, ніж вроджена нейронна модель рахунку. Арифметика - квант надбиологического еволюції, елемент культури.
Формула
Теорія може працювати не тільки прямо, вона може забезпечувати і "зворотний хід". Наприклад, дослідження рівняння a + x = b. Різниця b - a стає рішенням рівняння.
Найважливішим внеском у математичну науку і практику стала формула - точне формальне припис, що визначає перетворення одного мовного об'єкта в інший.
Формулу оголошували і іноді пояснювали; про доведення не було й мови. Для геометричних формул приводили пояснюючий креслення (іноді з написом "Дивись!").
Формула може бути словесною, геометричної, знаковою. Типовий приклад - теж формула. Формула досі панує в школі і в житті і для багатьох є вершиною абстракції.
Перехід до формул - квант еволюції. Формули перетворили проблеми в завдання, а завдання у вправи (для знаючих людей). Кількість розв'язуваних і вирішених арифметичних завдань - об'єктів попереднього рівня - стало стрімко збільшуватися, а діяльність на цьому рівні стала рутинною. Соціальний престиж вирішувачів завдань знизився, але зате їх кількість зросла. Умільці, що вирішували завдання "доформульнимі" коштами, швидко "вимирали". Винахідники формул залишалися у меншості, але у виграші.
Такі властивості будь-якого квантового переходу.
Формула, звичайно, існує не сама по собі, а лише у деякому теоретичному та практичному контексті і далі аж до культурного контексту. Не завжди нова формула, особливо спирається на нові поняття, відразу і успішно витісняє старі підходи і навички та їх власників.
Бухгалтерський облік з його концепціями дебету і кредиту, з проводками і з подвійною записом - живучий плід винахідливості тих, хто так і не зміг освоїти поняття негативного числа (червоне сальдо).
Доказ
Греки перенесли способи переконання з полісної, цивільної практики в науку. Доказ на міській площі було для греків реальністю життя, одним зі звичних і ефективних застосувань інтелекту.
Фалес Мілетський (611-549) продемонстрував нове застосування інтелекту: доказ теорем. Фалес довів, що діаметр ділить коло на дві рівні частини; що протилежні кути при перетині двох прямих рівні; що кути при основі рівнобедреного трикутника рівні; довів ознака рівності трикутників по стороні і прилеглих до неї кутах. Він же побудував коло навколо прямокутного трикутника, вказав спосіб визначення висоти споруди за його тіні і спосіб визначення відстані до недоступного предмета (корабля в море).
Навіщо Фалес серед інших доводив очевидні твердження? - Не для того, щоб переконати будь-кого у їх справедливості, а для того, щоб розробити і продемонструвати нову технологію мислення.
Винахід докази - квант еволюції. Фалес відкрив новий горизонт, золоту жилу. Доказ - це спосіб виробництва формул. Кількість формул - об'єктів попереднього рівня - стало швидко рости, а витрати на народження формули зменшилися. Як завжди, разом з новим полем діяльності виникла нова каста - каста людей, що вміють формулювати і доводити теореми.
У доказах геометричних теорем з'явилися аксіоми. Аксіоми геометрії спираються на фундаментальні поняття порядку, руху, тотожності, безперервності. Застосування аксіом передбачає використання процедур логічного висновку. Логічний висновок являє собою послідовність тверджень, які виведені з аксіом і / або з раніше виведених тверджень. Аксіоми і тільки вони приймаються без висновку, тобто без доказу.
Малограмотна формулювання: "Аксіома не потребує доведення".
Логічний висновок доставив можливість отримання з достовірних знань нових достовірних знань.
Аксіоми (спочатку) - це моделі, інваріантні щодо асоціацій (ігри уяви); конструкції, що мають опору в нейронних поняттях нижче тієї межі, яка схильна роботі уяви з доступними йому конструктивами. Аксіома - не результат, а форма пізнання дійсності, - модель, вироблена в процесі еволюції.
Виникнення концепції докази перетворило все життя західного людства, давши його мислячої частини інструмент для захисту від апеляції до очевидності. Концепція докази була і буде бар'єром, що відокремлює Homo profanus від Homo argumentorum. Цей бар'єр не можуть подолати обидві сторони. І це добре, іноді для обох сторін.
Доказ зайняло місце формули на вершині еволюційного древа розумової діяльності. Дедуктивний метод став докором і мрією для гуманітаріїв, недарма Спіноза побудував свою "Етику" за зразком "Начал" Евкліда. Дух Евкліда - це дух школи Платона, його теорії ідей.
Грецька математика
Греки діяли в жорстких ідеологічних рамках: вони шукали в світі втілення досконалих ідей, будували світ з правильних багатокутників і многогранників, правильних відносин музичної гами, закономірностей чисел. Піфагорійська містика досконалих чисел і фігур зробила і потужно впливає на науку. Піфагореїзм настільки пронизує нашу (західну) культуру в цілому, що ми його не помічаємо і не знаємо, що "говоримо прозою" за Піфагором.
Греки вважали, що твердження математики абсолютно точні і достовірні, тоді як дані досвідченого знання приблизні, оманливі й недостовірні: навіть рівність двох відрізків може бути доведено не виміром, а міркуванням. "Наближеними обчисленнями соромно займатися вільній людині, вони - доля раба".
"За допомогою математики очищається і отримує нову життєву силу орган душі, у той час як інші заняття знищують його і позбавляють здатності бачити, тоді як він значно цінніший, ніж тисяча очей, тому що тільки їм одним може бути виявлена істина". Платон
Греки використовували в доказах тільки геометрично наочні засоби, а не літерні символи. Вражає, що в рамках такої важкої геометричної алгебри їм вдалося отримати так багато результатів. У Новий час Ньютон дотримувався грецької традиції, а Лейбніц - ні.
Математичну мову
Величини в геометрії відрізняли від чисел в арифметиці: величини іменували довжинами, квадратами і кубами і використовували як іменовані. Алгебраїчна буквена символіка виникла в арифметичній алгебри зі стандартних (і скорочених) словесних позначень. Мови геометрії і арифметичній алгебри існували паралельно.
Декарт (1596 - 1650) побудував над мовами геометричної і арифметичної алгебри нову мову - алгебраїчний. Синтаксис нової мови схожий на синтаксис мови арифметичної алгебри, семантика - на семантику мови геометричної алгебри.
Декарт перетворив процес в об'єкт: ставлення величин (процес) стало раціональним або ірраціональним числом (об'єктом). Тим самим Декарт зробив квантовий еволюційний перехід до абстрактного поняття числа, перехід, який виявився не під силу грекам. Введене Декартом поняття числа було мовним конструктом, а не просторовим чином. Декарт принципово змінив зміст докази: відтепер геометричним образам залишилася роль ілюстрацій, вони перестали бути засобами докази.
Буквена символіка відкрила вхід в математику поверх бар'єрів геометричної алгебри і словесних позначень. Друкарство остаточно зробило математику доступною всій масі освічених людей. Стали звичайною справою публічні змагання в доказах.
Через півстоліття завдяки Декарту Лейбніц і Ньютон скоїли наступний квантовий перехід.
Доведення в Новий час
Ньютон вивів закони Кеплера із закону всесвітнього тяжіння і трьох законів руху. Доведення призвело до відкриття закону природи. Ньютон користувався геометричним мовою, і позначення його "Почав" не вплинули на математичну технологію. Запропоновані Лейбніцем ефективні позначення відкрили поле діяльності, на якому за триста років було доведено неймовірну кількість теорем у створених на основі нових понять похідної та інтеграла численних нових галузях математики.
Ні батьки-засновники, ні їх послідовники не могли обгрунтувати свої результати, виправдовували їх тільки принесеної ними удачею. Вакханалія використання нечітких понять і методів приводила до невірних результатів, суперечок і сумнівам. Визначним джерелом неприємностей була теорія меж з її вільним поводженням з нескінченністю. Блискуче висловився про нову математики Вольтер: "Мистецтво вважати і точно вимірювати те, існування чого незбагненно для розуму". Всі спроби вийти з положення, навіть початі Ейлером і Лагранжем, потерпіли повну невдачу. Внутрішня дисципліна в математиці до середини XIX століття впала настільки, що Келі, привівши формулювання теореми для квадратних матриць і перевіривши її для матриць 2х2, не вважав за "необхідне обтяжувати себе формальним доказом теореми в загальному випадку матриці будь-якого порядку" і закликав просто повірити йому.
Труднощі корінилися в тому, що нові поняття знаходилися на більш високому рівні абстракції. Грекам було легше, їх поняття були ближче до (презіраемому!) досвіду, а ті поняття, які доставили стільки хвилювань в Новий час, хитромудрі греки обходили. Нові поняття були вже не узагальненням досвіду, а створенням розуму, позбавленим звичної опори в наочності. Мова формул мав не тільки привабливою, але й продуктивною силою.
Героїчна епоха! Не до строгості, коли друзі і недруги рвуться вперед.
Тільки до кінця XIX століття в математичному аналізі і в алгебрі був наведений формальний логічний порядок, іншими словами, становище було виправлено настільки, що стала можливою подальша критика.
Аксіоматичний метод
Формалізація математики призвела до уточнення визначень і аксіом, до логічної інвентаризації знарядь математичного майстерності. Одним із завдань у наведенні порядку було завдання мінімізації списку аксіом, виключення з нього тих тверджень, які могли бути виведені з решти як теореми.
Спроба цим шляхом виключити з аксіом геометрії Евкліда аксіому про паралельні не вдалася. Тоді спробували довести, що заміна цієї аксіоми її запереченням призведе до того, що в такій "неевклідової" геометрії будуть отримані протиріччя, що й "доведе" аксіому Евкліда. Суперечності отримати не вдалося, більше того, сімейство неевклідових геометрій стало поповнюватися. Неевклидова геометрії суперечили тільки повсякденною інтуїції і звичним наочним уявленням, але були логічно бездоганні. Водночас з'ясувалося, нарешті, що аксіома про паралельні не залежить від інших аксіом Евкліда.
Гільберт запропонував став загальноприйнятим варіант аксіоматичної побудови евклідової, а заодно і всіх інших геометрій. Цей успіх ще раз нагадав про проблему істинності теорії в цілому: якщо існують різні геометрії і вони несуперечливі, то яка ж з них "істинна"? Яка з них має місце в реальній дійсності і як це довести? І що значить "справжня геометрія"? "Що є істина?"
Впевненість у тому, що математика містить лише абсолютні істини, абсолютно доведені на основі абсолютних аксіом, була підірвана назавжди. В обстановці замішання, викликаного появою неевклідових геометрій, концепції докази вдалося залишитися поза підозрами.
Нові проблеми
Теорія нескінченних множин до початку ХХ століття стала джерелом занепокоєння: в ній виявилися труднощі та протиріччя. На цей раз під ударом виявилися не вади у визначеннях і доказах, а логіка доказів. Як слід розуміти твердження про існування будь-якого математичного об'єкта? У конструктивних докази існування наводиться процес побудови об'єкта, але є затвердження "повинен існувати", "помилково, що не існує", - як з ними бути?
Чи можна застосовувати логіку доказів, вироблену на кінцевих об'єктах, до нескінченних?
Щодо аксіоматичної теорії залишилися невирішеними питання:
чи можна довести певне твердження А і довести його заперечення?
і як довести, що цього не трапиться, то є як довести, що теорія несуперечлива?
всяке чи істинне твердження можна вивести з аксіом?
і як довести, що це завжди можливо, то є що теорія повна?
чи можна в рамках аксіоматичної теорії вважати доведене істинним?
У ході досліджень основ математики в рамках математичної логіки виник розділ, що вивчає формалізовані математичні теорії. Стався ще один квантовий перехід: з'явилася метаматематики. Цей термін синонімічний терміну "теорія доказів". Логіка і математика стали предметом вивчення для метаматематики.
Лінія Евклід - Лейбніц - Гільберт - Гедель
Сучасний формалізований (мета) математичну мову оформлений в "Principia Mathematica" Расселом і Уайтхед вже на початку XX століття. Вони уточнили поняття доказу як виводу в деякому численні, проте запропонований підхід до проблеми несуперечності не задовольнив навіть авторів.
Гільберт (1862-1943) висунув грандіозну програму аксіоматизації математики та фізики і приступив до її реалізації. Гільберт вважав, що будь-яке точно сформульоване твердження можна довести або спростувати засобами аксіоматичної теорії за умови, що теорія несуперечлива. Іншими словами, Гільберт сформулював тезу повноти аксіоматичної теорії. Що стосується несуперечності, то цю проблему теж, здавалося, можна буде вирішити. Лінія Евклід - Лейбніц - Гільберт обіцяла тріумфальний успіх:
аксіоми дадуть колективне визначення уживаним у їх формулюваннях невизначені поняттям;
системи об'єктів, що задовольняють одній і тій же системі аксіом (інтерпретації), ізоморфні, так що теорема, доведена в одній інтерпретації, буде автоматично справедлива для іншої.
"За допомогою цього нового обгрунтування математики, яке справедливо можна іменувати теорією докази, я переслідую важливу мету: саме, я хотів би остаточно розправитися з питаннями обгрунтування математики як такими, перетворивши кожне математичне висловлювання в піддається конкретному показу і суворо виведену формулу і тим самим привівши утворення понять і висновки, якими користується математика, до такого викладу, при якому вони були б незаперечні і все ж давали б картину всієї науки ".
Давид Гільберт
Гільберт довів, що евклідова геометрія несуперечлива, якщо несуперечлива система дійсних чисел. Залишилося зовсім небагато: довести несуперечність арифметики.
Теорема Геделя
Курт Гедель (1906 - 1978) в 1931 році в роботі "Про формально нерозв'язних проблем" Principia Mathematica "і споріднених систем" довів теорему про те, що будь-яка несуперечлива аксіоматична система, що включає аксіоми арифметики натуральних чисел, має властивість неповноти: для неї можна вказати конкретне твердження А, для якого в цій системі не можна довести ні А, ні його заперечення. Це твердження знаходиться за межами системи! І для неповноти будь-якої математичної теорії досить включення в неї найпростішого об'єкта математики - натурального числа.
Гедель довів повноту вирахування предикатів першого ступеня.
В іншій теоремі Гедель доводить, що в якості А можна взяти твердження про несуперечності арифметики. Несуперечність теорії не може бути доведена засобами самої теорії.
Теореми інженера Геделя розвіяли мрії математика Гільберта.
"Роль горезвісних" підстав "можна порівняти з тією функцією, яку в фізичних теоріях виконують пояснюють що-небудь гіпотези ... Так звані логічні або теоретико-множинні підстави теорії чисел або будь-який інший цілком сформувалася математичної теорії по суті пояснюють, а не обгрунтовують їх, так само , як у фізиці, де справжнє призначення аксіом полягає в поясненні явищ, що описуються фізичними теоремами, а не в обгрунтуванні цих теорем. "
Епістемологічні слідства
Одна несуперечлива теорія не може повністю описати реальність; завжди залишаються факти або аспекти, які вимагають звернення до іншої теорії, можливо, несумісної з першою. Концепція "істинність збігається з доказовістю" зазнала краху.
"Автоматизація" знання неможлива. Не можна обійтися без людського розуму і інтуїції, приречена на невдачу. Логіка невіддільна від людини.
Несуперечність математики не може бути доведена.
Математика стала експериментальною наукою.
Конструктивізм
Павуки, що жили в замку, затягли підвал павутиною. Коли одного разу вітер
зірвав її, вони кинулися її відновлювати: адже замок тримається на павутині!
У рамках метаматематики є різні течії. Одним з них є конструктивна математика, що працює з конструктивними об'єктами і конструктивними процесами і відкидає в цих побудовах закон виключеного третього з-за його неконструктивності.
Конструктивний аналіз істотно відрізняється від класичного аналізу, що становить зміст курсу вищої математики. Багато теореми класичного аналізу не входять в конструктивний аналіз. Особливу увагу конструктивізм приділяє вивченню алгоритмічно нерозв'язних проблем.
Нашестя теорій
Теорема Геделя надала можливість побудови нескінченного дерева теорій за рахунок поповнення списків аксіом виводяться істинними твердженнями.
Теорема Левенгейма - Сколема виявила, що для породження нееквівалентний теорій не потрібно розширення списку аксіом: існують неізоморфних інтерпретації однієї і тієї ж системи аксіом, в тому числі аксіом арифметики.
Якщо в XIX столітті ми зіткнулися з кількома геометріями, то в ХХ столітті ми опинилися вже перед кількома математиками.
Доказ сьогодні
Теорема про можливість розмальовки вершин плоского графа чотирма фарбами доведена в 1977 році програмою, обчислюваний доказ протягом багатьох сотень годин. Пізніші програми на новітніх комп'ютерах "доводять" швидше.
Проблема розуміння
Формалізована мова на відміну від буденної мови виконує не комунікативну, а модельну функцію. Саме тому приречені на неуспіх будь-які спроби "зрозуміти" текст на формалізованому науковому мові шляхом "перекладу" на буденний - конкретний - мова. Джерелом таких невдач є не "перекладається" текст, а невігластво "перекладача".
Мовна модель стає частиною світу людини і тим самим - об'єктом вивчення, вивчення за допомогою нової мови, що виступає по відношенню до досліджуваного мови як метамову. Так виникає сходи мов, ієрархічна система формалізованих мов.
Лейбніц все життя розробляв універсальну характеристику - літочислення, яке дозволило б точно висловити будь-яку ясну думку і замінити суперечку про істинність твердження обчисленням функції істинності, звести логіку до обчислення.
Резюме
В атмосфері культу сили та насильства стародавні греки винайшли Олімпійські ігри, логіку, риторику, філософію. Греки залишили нам:
саму лицемірну форму політичного насилля - демократію,
найвитонченіші форми емоційного насильства - поезію, музику і театр,
вищу форму інтелектуального насильства - математику.
Сучасна освіта - у владі аксіоматичної диктатури Евкліда та комп'ютерного шаманізму. Математика - найефективніша зброя масового ураження інтелекту та дедуктивного терору. За іронією долі на дереві пізнання саме на математичній гілки дозріло отруйна геделево яблуко неповноти. Греки зробили свою справу, а ми не можемо піти.
Крах людського прагнення досягти всеосяжного досконалості в доказі - одне з багатьох катастроф людських надій. Досить нагадати про надії на справедливість, рівноправність, на гармонію особистості і суспільства, людини і природи.