Міністерство освіти РФ
Південно-Уральський державний університет
Кафедра Автоматики і управління
Реферат
з математичних основ теорії систем
на тему
Диференціальні рівняння та опис безперервних систем
Виконав:
Група: ПС-263
Перевірив: різностатева О. А.
Челябінськ
2003
Зміст:
Зміст 2
1. Поява диференціальних рівнянь при описі систем керування 3
2. Елементи теорії диференціальних рівнянь 4
2.1. Поняття диференціального рівняння 4
2.2. Нормальна система диференціальних рівнянь 4
2.3. Задача Коші 5
2.4. Властивості диференціальних рівнянь 6
2.5. Ламана Ейлера і e-наближене рішення 6
2.6. Неперервна залежність рішень від початкових умов і параметрів 7
2.7. Лінійні диференціальні рівняння 8
2.7.1. Нормальна лінійна система диференціальних рівнянь 8
2.7.2. Загальне рішення лінійної однорідної системи 9
2.7.3. Визначник Вронського. Формула Ліувілля 9
2.7.4. Лінійна неоднорідна система. Метод варіації довільних постійних 10
2.7.5. Формула Коші 12
2.7.6. Лінійне рівняння n-го порядку 13
2.7.7. Лінійне однорідне диференціальне рівняння з постійними коефіцієнтами 14
2.7.8. Лінійне неоднорідне диференціальне рівняння 15
3. Диференціальні рівняння при описі безперервних систем 16
3.1. Складання і лінеаризація диференціальних рівнянь елементів системи 16
3.2. Поняття простору станів 18
3.3. Опис безперервних систем за допомогою системи диференціальних рівнянь 18
3.4. Опис систем змінними стану 19
3.5. Поняття спостережливості системи 19
3.6. Поняття керованості системи 20
3.7. Опис безперервних систем з допомогою одного диференціального рівняння 21
3.8. Перехід від системи диференціальних рівнянь до одного рівняння 22
3.9. Перехід від одного рівняння до системи диференціальних рівнянь 22
Список літератури 24
1. Поява диференціальних рівнянь при описі систем управління
Будь-яка система автоматичного регулювання являє сукупність окремих взаємодіють один з одним елементів, з'єднаних між собою зв'язками. Першим етапом при складанні диференціальних рівнянь систем автоматичного регулювання є поділ системи на окремі елементи і складання рівнянь цих елементів. Ці рівняння можуть бути інтегральними, лінійними, трансцендентними, але найчастіше це виявляються диференціальні рівняння. Диференціальні рівняння елементів та рівняння зв'язків між окремими елементами описують процес в системі, тобто зміна за часом всіх координат системи.
Стан системи, а також кожного, хто входить до неї елемента характеризується деяким числом незалежних змінних. Цими перемінними можуть бути як електричні величини (струм, напруга і т. д.), так і механічні (швидкість, кут повороту і т. д.). Зазвичай, щоб характеризувати стан системи або її елемента, вибирають одну узагальнену координату на вході системи або елемента і одну - на виході. Будемо позначати вхідну величину g (t), а вихідну x (t). У ряді випадків таке подання неможливо, так як система або її елемент можуть мати декілька вхідних і вихідних величин. У багатовимірних системах можна розглядати векторні вхідну і вихідну величини з розмірностями, співпадаючими відповідно з числом вхідних і вихідних елементів системи.
Розглянемо приклад: управління літаком за кутом нишпорення. Припустимо, що осьова лінія літака під дією поривів вітру відхилилася від заданого напрямку y на кут q (рис.1). Повернення літака на заданий курс здійснюється за допомогою керма, відхилення якого дорівнює j. Передбачається, що відносно осі, що проходить через центр тяжіння ЦТ, літак має момент інерції J. Відновлювальний сила керма пропорційна j, тертям в повітрі нехтуємо.
Рівняння руху запишеться за другим законом Ньютона:
де kj (t) - відновлююча сила; m (t) - момент, викликаний поривами вітру. Розділивши це рівняння на J і позначивши b =- k / J, x (t) = m (t) / J, а також беручи j (t) за керуючий вплив u (t), отримуємо
Вводячи у розгляд змінні стану
до двох диференціальних рівнянь першого порядку
які у векторній формі запишуться так
Вводячи векторно-матричні позначення
приходимо до диференціального рівняння:
2. Елементи теорії диференціальних рівнянь
2.1. Поняття диференціального рівняння
Рівняння, які, крім невідомих функцій одного або декількох змінних, містять також їх похідні, називаються диференціальними. Диференціальні рівняння називаються звичайними, якщо невідомі функції є функціями одного змінного, у противному випадку диференціальні рівняння називаються рівняннями в приватних похідних.
Співвідношення виду
називається диференціальним рівнянням n-го порядку. Рішенням диференціального рівняння називається функція x = x (t), визначена на деякому інтервалі D't, яка, будучи підставлене у це рівняння, звертає його в тотожність на всьому інтервалі D. Це рівняння можна розглядати як функцію, що визначає неявно похідну n-го порядку x (n). За певних умов його можна вирішити відносно x (n):
Нехай x = x (t) - рішення даного диференціального рівняння. Тоді x (t) є безперервною і безперервно диференційовною функцією t. На площині (t, x) рішенню x = x (t) буде відповідати безперервна крива, звана інтегральної кривої.
Функція x = x (t, C) називається загальним рішенням диференціального рівняння, якщо шляхом відповідного вибору постійної можна будь-яку інтегральну криву.
2.2. Нормальна система диференціальних рівнянь
У диференціальні рівняння виду
може входити n невідомих функцій x1, ..., xn. Тоді системою диференціальних рівнянь буде сукупність співвідношень
Припустимо, що цю систему можна дозволити щодо старших похідних. У цьому випадку отримаємо систему рівнянь:
Така система називається канонічною системою диференціальних рівнянь. Вводячи нові невідомі функції, можна привести цю систему до системи першого порядку. Нехай
Тоді наша система перепишеться у вигляді
Надалі будемо розглядати систему з n рівнянь першого порядку у вигляді
Ця система називається нормальним (канонічної) системою диференціальних рівнянь. Цю систему будемо записувати у векторній формі:
Тоді ця система буде представлена у вигляді:
Рішенням цієї системи на інтервалі G називається сукупність n функцій xi = xi (t), визначених на інтервалі G і таких, що підстановка їх у цю систему звертає кожне її рівняння в тотожність на всьому інтервалі G.
Якщо вектор-функція не залежить явно від часу t, то ця система називається автономною (стаціонарного).
2.3. Задача Коші
Початковою завданням чи завданням Коші для системи
називається наступне завдання. Знайти рішення системи диференціальних рівнянь, визначене на деякому інтервалі G, що містить точку t0, і задовольняє умовам:
причому t0, xi0 (i = 1, 2, ..., n) називаються початковими значеннями для вирішення x1 (t), ..., xn (t), а ці умови - початковими умовами. Якщо ввести в розгляд (n +1)-мірний простір з координатами t, x1, ..., xn, то сукупність n функцій xi = xi (t) буде представляти лінію в n-мірному просторі. Початкові значення t0, x10, ..., xn0 представляють собою крапку в цьому просторі.
2.4. Властивості диференціальних рівнянь
Нехай є нормальна система диференціальних рівнянь у векторній формі
(1)
Спільним рішенням системи (1) в області G називається сукупність n функцій xi = xi (t, c1, ..., cn), i = 1,2, ..., n. Будемо говорити, що функція f (t, x1, ..., xn) задовольняє умові Ліпшиця в області G по змінним x1, ..., xn, якщо існує таке постійне число L> 0, що для будь-якої пари точок (t, x1, ..., xn) і (t, xs1, ..., xsn), що належать G, виконується нерівність
Нехай в системі (1) функції fi (t, x) неперервні по t і задовольняють умові Ліпшиця по x1, ..., xn в деякій області G. Тоді існує і притому єдине рішення xi = xi (t), I = 1,2, ... n системи (1), яке задовольняє початковим умовам xi (t0) = xi0, визначене на відрізку K, що містить точку t0.
Теорема стверджує існування єдиного рішення на відрізку K, що містить точку t0. Однак, це рішення може бути продовжено за межі відрізка K аж до кордону області G.
Якщо функція f (t, x1, ..., хn) має обмежені приватні похідні по xi в опуклій області G, то ця функція задовольняє умові Ліпшиця.
2.5. Ламана Ейлера і e-наближене рішення
Розглянемо систему рівнянь
(2)
причому будемо вважати, що ця система задовольняє умовам теореми існування та єдиності.
Сукупність n функцій z1 (t), ..., zn (t) називається e-наближеним рішенням системи (2) на відрізку А, якщо кожна з цих функцій безупинна, має кусково-безперервну похідну
в усіх точках tÎK, крім точок розриву безперервності цієї похідної.
Нехай задана початкова точка (t0, x10, ..., хn0) і нехай функції fi (t, xi ,..., хn) неперервні по t в області G і задовольняють у цій області умові Ліпшиця по змінним t, x1, х2,. .., хn. Можна показати, що в цьому випадку функції fi (t, x1 ,..., хn) будуть неперервні за сукупністю змінних t, x1 ,..., хn в області G. З безперервності функцій fi (t, x1 ,..., хn) у замкненій області G слід їх рівномірна безперервність. Таким чином, для будь-якого e> 0 знайдеться таке d> 0, залежне тільки від e, що при
буде справедливо нерівність
Побудуємо e-наближений розв'язок системи (2). Для цього розіб'ємо область G на куби зі сторонами, меншими d (для випадку n = 1 побудова проведено на рис. 2, в цьому випадку область розбивається на квадрати). З точки (t, xlo, ..., хn0) проведемо пряму
Цю пряму продовжимо до перетину з однією з сторін відповідного куба. Позначимо точку перетину (t1, x11 ,..., xn1). З цієї точки проведемо пряму
яку продовжимо до перетину з однією з сторін куба; позначимо точку перетину (t2, x12 ,..., xn2), через цю точку проводимо нову пряму
і так далі.
У результаті зазначених дій отримаємо ламану xi = xi (t) (i = l, 2, ..., n), звану ламаної Ейлера. Ця ламана являє собою безперервну кусково-лінійну функцію. Ламану Ейлера ми можемо продовжити до кордону області G.
Нехай xi (t) (i = l, 2, ..., n) - точне рішення системи (2), яке задовольняє початковим умовам. Позначимо через si (t) (i = 1, 2, ..., n) e-наближений розв'язок системи (1) для тих же початкових умов. Тоді
Звідси випливає, що якщо | t-t0 | <h, то
Таким чином, при e ® 0 рішення xi (t) (i = 1, 2, ..., n) рівномірно сходиться до вирішення si (t) (i = l, 2, ..., n) і ламана Ейлера, яка виходить із точки (t0, xi (t0)), рівномірно сходиться до точного розв'язання. Це нерівність дає оцінку похибки при заміні точного рішення e-наближеним.
Отримані нерівності ми використовуємо для з'ясування важливою залежності рішень диференціальних рівнянь від початкових умов і параметрів рівнянь.
2.6. Неперервна залежність рішень від початкових умов і параметрів
Нехай задана нормальна система диференціальних рівнянь (2), причому функції fi (t, xl ,..., хn) неперервні по t і задовольняють умові Ліпшиця по х1, ..., хn в деякій області G.
Нехай далі x = x (t, t0, x0) - рішення цієї системи, що задовольняє початковим умовам. Покладемо, що це рішення визначено на відрізку | t-t0 | ≤ h. Тоді для будь-якого e> 0 існує таке d (e, h)> 0, що інше рішення x = s (t, t0, z0), що задовольнить початковим умовам
де | | x0-z0 | | <d, буде визначено на тому ж відрізку | t-t0 | ≤ h і задовольняє нерівності
Розглянемо тепер безперервну залежність розв'язку системи диференціальних рівнянь від параметрів. Нехай є система рівнянь
Тут (μ1, ..., μs) = μ - речові параметри, а функції fi (t, x, μ) визначені і неперервні за сукупністю змінних t, x1, ..., xn, μ1, ..., μs в деякій області G n + s +1- мірного простору і задовольняють умові Ліпшиця по змінним x1, ..., xn з постійною L. Нехай далі x = x (t, μ ') - рішення цієї системи при значенні параметрів μ = μ', що задовольняє початковим умовам x (t0, μ ') = x0 і визначений на відрізку.
Тоді справедлива теорема:
Нехай x (t, μ'') - рішення даної системи при значенні параметрів μ = μ'', що задовольняє початковим умовам x (t0, μ'') = x0. Тоді для будь-якого e> 0 існує таке d (e, h)> 0, що якщо справедливо нерівність | μ'-μ''| <d, то рішення x (t, μ'') визначено на інтервалі | t-t0 | ≤ h і задовольняє нерівності
| | X (t, μ ')-x (t, μ'') | | <e.
Доведені теореми про безперервну залежності рішень від початкових умов і параметрів мають принципове значення. Параметри диференціальних рівнянь систем автоматичного регулювання (САР) задаються з деякими похибками. На основі доведених вище теорем можна стверджувати, що якщо похибка у визначенні параметрів диференціальних рівнянь САР незначна, то рішення цих рівнянь з достатньою достовірністю описують відбуваються в САР процеси.
2.7. Лінійні диференціальні рівняння
2.7.1. Нормальна лінійна система диференціальних рівнянь
Лінійною системою диференціальних рівнянь називається така система рівнянь, в яку невідомі функції та їх похідні можуть входити тільки в першому ступені.
Нормальна лінійна система диференціальних рівнянь має вигляд
Введемо в розгляд векторні функції
Тоді систему (1) можна переписати у вигляді
Теорема існування та єдиності справедлива для лінійної системи на будь-якому відрізку [а1, b1] Ì (а, b), де (a, b) - інтервал, на якому функції aik (t) і fi (t) безперервні.
2.7.2. Загальне рішення лінійної однорідної системи
Система (1) називається однорідною, якщо fi (t) º 0 (i = 1, 2, ..., n). Однорідна система в векторної формі запишеться у вигляді
(3)
Сукупність S всіх рішень {x (t)} утворює лінійний простір розмірності n, так як рішення цієї системи є лінійно-незалежними і утворюють базис. Будь-який елемент цього простору представимо у вигляді
причому постійні c1, c2, ..., cn визначаються однозначно. Звідси випливає, що будь-яке рішення даної системи може бути представлено у вигляді (4). Тому вираз (4) називається загальним розв'язком системи (3). Будь-яка система з n лінійно-незалежних рішень системи (3), утворює базис простору S, називається фундаментальною системою рішень.
2.7.3. Визначник Вронського. Формула Ліувілля
Нехай є деяка система з n векторних функцій
Тоді визначником Вронського, або вронскіаном, називається визначник, складений з компонент цих векторних функцій. Таким чином, визначник Вронського має вигляд
Південно-Уральський державний університет
Кафедра Автоматики і управління
Реферат
з математичних основ теорії систем
на тему
Диференціальні рівняння та опис безперервних систем
Виконав:
Група: ПС-263
Перевірив: різностатева О. А.
Челябінськ
2003
Зміст:
Зміст 2
1. Поява диференціальних рівнянь при описі систем керування 3
2. Елементи теорії диференціальних рівнянь 4
2.1. Поняття диференціального рівняння 4
2.2. Нормальна система диференціальних рівнянь 4
2.3. Задача Коші 5
2.4. Властивості диференціальних рівнянь 6
2.5. Ламана Ейлера і e-наближене рішення 6
2.6. Неперервна залежність рішень від початкових умов і параметрів 7
2.7. Лінійні диференціальні рівняння 8
2.7.1. Нормальна лінійна система диференціальних рівнянь 8
2.7.2. Загальне рішення лінійної однорідної системи 9
2.7.3. Визначник Вронського. Формула Ліувілля 9
2.7.4. Лінійна неоднорідна система. Метод варіації довільних постійних 10
2.7.5. Формула Коші 12
2.7.6. Лінійне рівняння n-го порядку 13
2.7.7. Лінійне однорідне диференціальне рівняння з постійними коефіцієнтами 14
2.7.8. Лінійне неоднорідне диференціальне рівняння 15
3. Диференціальні рівняння при описі безперервних систем 16
3.1. Складання і лінеаризація диференціальних рівнянь елементів системи 16
3.2. Поняття простору станів 18
3.3. Опис безперервних систем за допомогою системи диференціальних рівнянь 18
3.4. Опис систем змінними стану 19
3.5. Поняття спостережливості системи 19
3.6. Поняття керованості системи 20
3.7. Опис безперервних систем з допомогою одного диференціального рівняння 21
3.8. Перехід від системи диференціальних рівнянь до одного рівняння 22
3.9. Перехід від одного рівняння до системи диференціальних рівнянь 22
Список літератури 24
1. Поява диференціальних рівнянь при описі систем управління
Будь-яка система автоматичного регулювання являє сукупність окремих взаємодіють один з одним елементів, з'єднаних між собою зв'язками. Першим етапом при складанні диференціальних рівнянь систем автоматичного регулювання є поділ системи на окремі елементи і складання рівнянь цих елементів. Ці рівняння можуть бути інтегральними, лінійними, трансцендентними, але найчастіше це виявляються диференціальні рівняння. Диференціальні рівняння елементів та рівняння зв'язків між окремими елементами описують процес в системі, тобто зміна за часом всіх координат системи.
Стан системи, а також кожного, хто входить до неї елемента характеризується деяким числом незалежних змінних. Цими перемінними можуть бути як електричні величини (струм, напруга і т. д.), так і механічні (швидкість, кут повороту і т. д.). Зазвичай, щоб характеризувати стан системи або її елемента, вибирають одну узагальнену координату на вході системи або елемента і одну - на виході. Будемо позначати вхідну величину g (t), а вихідну x (t). У ряді випадків таке подання неможливо, так як система або її елемент можуть мати декілька вхідних і вихідних величин. У багатовимірних системах можна розглядати векторні вхідну і вихідну величини з розмірностями, співпадаючими відповідно з числом вхідних і вихідних елементів системи.
Розглянемо приклад: управління літаком за кутом нишпорення. Припустимо, що осьова лінія літака під дією поривів вітру відхилилася від заданого напрямку y на кут q (рис.1). Повернення літака на заданий курс здійснюється за допомогою керма, відхилення якого дорівнює j. Передбачається, що відносно осі, що проходить через центр тяжіння ЦТ, літак має момент інерції J. Відновлювальний сила керма пропорційна j, тертям в повітрі нехтуємо.
Рівняння руху запишеться за другим законом Ньютона:
де kj (t) - відновлююча сила; m (t) - момент, викликаний поривами вітру. Розділивши це рівняння на J і позначивши b =- k / J, x (t) = m (t) / J, а також беручи j (t) за керуючий вплив u (t), отримуємо
Вводячи у розгляд змінні стану
до двох диференціальних рівнянь першого порядку
які у векторній формі запишуться так
Вводячи векторно-матричні позначення
приходимо до диференціального рівняння:
2. Елементи теорії диференціальних рівнянь
2.1. Поняття диференціального рівняння
Рівняння, які, крім невідомих функцій одного або декількох змінних, містять також їх похідні, називаються диференціальними. Диференціальні рівняння називаються звичайними, якщо невідомі функції є функціями одного змінного, у противному випадку диференціальні рівняння називаються рівняннями в приватних похідних.
Співвідношення виду
називається диференціальним рівнянням n-го порядку. Рішенням диференціального рівняння називається функція x = x (t), визначена на деякому інтервалі D't, яка, будучи підставлене у це рівняння, звертає його в тотожність на всьому інтервалі D. Це рівняння можна розглядати як функцію, що визначає неявно похідну n-го порядку x (n). За певних умов його можна вирішити відносно x (n):
Нехай x = x (t) - рішення даного диференціального рівняння. Тоді x (t) є безперервною і безперервно диференційовною функцією t. На площині (t, x) рішенню x = x (t) буде відповідати безперервна крива, звана інтегральної кривої.
Функція x = x (t, C) називається загальним рішенням диференціального рівняння, якщо шляхом відповідного вибору постійної можна будь-яку інтегральну криву.
2.2. Нормальна система диференціальних рівнянь
У диференціальні рівняння виду
може входити n невідомих функцій x1, ..., xn. Тоді системою диференціальних рівнянь буде сукупність співвідношень
Припустимо, що цю систему можна дозволити щодо старших похідних. У цьому випадку отримаємо систему рівнянь:
Така система називається канонічною системою диференціальних рівнянь. Вводячи нові невідомі функції, можна привести цю систему до системи першого порядку. Нехай
Тоді наша система перепишеться у вигляді
Надалі будемо розглядати систему з n рівнянь першого порядку у вигляді
Ця система називається нормальним (канонічної) системою диференціальних рівнянь. Цю систему будемо записувати у векторній формі:
Тоді ця система буде представлена у вигляді:
Рішенням цієї системи на інтервалі G називається сукупність n функцій xi = xi (t), визначених на інтервалі G і таких, що підстановка їх у цю систему звертає кожне її рівняння в тотожність на всьому інтервалі G.
Якщо вектор-функція не залежить явно від часу t, то ця система називається автономною (стаціонарного).
2.3. Задача Коші
Початковою завданням чи завданням Коші для системи
називається наступне завдання. Знайти рішення системи диференціальних рівнянь, визначене на деякому інтервалі G, що містить точку t0, і задовольняє умовам:
причому t0, xi0 (i = 1, 2, ..., n) називаються початковими значеннями для вирішення x1 (t), ..., xn (t), а ці умови - початковими умовами. Якщо ввести в розгляд (n +1)-мірний простір з координатами t, x1, ..., xn, то сукупність n функцій xi = xi (t) буде представляти лінію в n-мірному просторі. Початкові значення t0, x10, ..., xn0 представляють собою крапку в цьому просторі.
2.4. Властивості диференціальних рівнянь
Нехай є нормальна система диференціальних рівнянь у векторній формі
Спільним рішенням системи (1) в області G називається сукупність n функцій xi = xi (t, c1, ..., cn), i = 1,2, ..., n. Будемо говорити, що функція f (t, x1, ..., xn) задовольняє умові Ліпшиця в області G по змінним x1, ..., xn, якщо існує таке постійне число L> 0, що для будь-якої пари точок (t, x1, ..., xn) і (t, xs1, ..., xsn), що належать G, виконується нерівність
Нехай в системі (1) функції fi (t, x) неперервні по t і задовольняють умові Ліпшиця по x1, ..., xn в деякій області G. Тоді існує і притому єдине рішення xi = xi (t), I = 1,2, ... n системи (1), яке задовольняє початковим умовам xi (t0) = xi0, визначене на відрізку K, що містить точку t0.
Теорема стверджує існування єдиного рішення на відрізку K, що містить точку t0. Однак, це рішення може бути продовжено за межі відрізка K аж до кордону області G.
Якщо функція f (t, x1, ..., хn) має обмежені приватні похідні по xi в опуклій області G, то ця функція задовольняє умові Ліпшиця.
2.5. Ламана Ейлера і e-наближене рішення
Розглянемо систему рівнянь
причому будемо вважати, що ця система задовольняє умовам теореми існування та єдиності.
Сукупність n функцій z1 (t), ..., zn (t) називається e-наближеним рішенням системи (2) на відрізку А, якщо кожна з цих функцій безупинна, має кусково-безперервну похідну
в усіх точках tÎK, крім точок розриву безперервності цієї похідної.
Нехай задана початкова точка (t0, x10, ..., хn0) і нехай функції fi (t, xi ,..., хn) неперервні по t в області G і задовольняють у цій області умові Ліпшиця по змінним t, x1, х2,. .., хn. Можна показати, що в цьому випадку функції fi (t, x1 ,..., хn) будуть неперервні за сукупністю змінних t, x1 ,..., хn в області G. З безперервності функцій fi (t, x1 ,..., хn) у замкненій області G слід їх рівномірна безперервність. Таким чином, для будь-якого e> 0 знайдеться таке d> 0, залежне тільки від e, що при
буде справедливо нерівність
Побудуємо e-наближений розв'язок системи (2). Для цього розіб'ємо область G на куби зі сторонами, меншими d (для випадку n = 1 побудова проведено на рис. 2, в цьому випадку область розбивається на квадрати). З точки (t, xlo, ..., хn0) проведемо пряму
Цю пряму продовжимо до перетину з однією з сторін відповідного куба. Позначимо точку перетину (t1, x11 ,..., xn1). З цієї точки проведемо пряму
яку продовжимо до перетину з однією з сторін куба; позначимо точку перетину (t2, x12 ,..., xn2), через цю точку проводимо нову пряму
і так далі.
У результаті зазначених дій отримаємо ламану xi = xi (t) (i = l, 2, ..., n), звану ламаної Ейлера. Ця ламана являє собою безперервну кусково-лінійну функцію. Ламану Ейлера ми можемо продовжити до кордону області G.
Нехай xi (t) (i = l, 2, ..., n) - точне рішення системи (2), яке задовольняє початковим умовам. Позначимо через si (t) (i = 1, 2, ..., n) e-наближений розв'язок системи (1) для тих же початкових умов. Тоді
Звідси випливає, що якщо | t-t0 | <h, то
Таким чином, при e ® 0 рішення xi (t) (i = 1, 2, ..., n) рівномірно сходиться до вирішення si (t) (i = l, 2, ..., n) і ламана Ейлера, яка виходить із точки (t0, xi (t0)), рівномірно сходиться до точного розв'язання. Це нерівність дає оцінку похибки при заміні точного рішення e-наближеним.
Отримані нерівності ми використовуємо для з'ясування важливою залежності рішень диференціальних рівнянь від початкових умов і параметрів рівнянь.
2.6. Неперервна залежність рішень від початкових умов і параметрів
Нехай задана нормальна система диференціальних рівнянь (2), причому функції fi (t, xl ,..., хn) неперервні по t і задовольняють умові Ліпшиця по х1, ..., хn в деякій області G.
Нехай далі x = x (t, t0, x0) - рішення цієї системи, що задовольняє початковим умовам. Покладемо, що це рішення визначено на відрізку | t-t0 | ≤ h. Тоді для будь-якого e> 0 існує таке d (e, h)> 0, що інше рішення x = s (t, t0, z0), що задовольнить початковим умовам
де | | x0-z0 | | <d, буде визначено на тому ж відрізку | t-t0 | ≤ h і задовольняє нерівності
Розглянемо тепер безперервну залежність розв'язку системи диференціальних рівнянь від параметрів. Нехай є система рівнянь
Тут (μ1, ..., μs) = μ - речові параметри, а функції fi (t, x, μ) визначені і неперервні за сукупністю змінних t, x1, ..., xn, μ1, ..., μs в деякій області G n + s +1- мірного простору і задовольняють умові Ліпшиця по змінним x1, ..., xn з постійною L. Нехай далі x = x (t, μ ') - рішення цієї системи при значенні параметрів μ = μ', що задовольняє початковим умовам x (t0, μ ') = x0 і визначений на відрізку.
Тоді справедлива теорема:
Нехай x (t, μ'') - рішення даної системи при значенні параметрів μ = μ'', що задовольняє початковим умовам x (t0, μ'') = x0. Тоді для будь-якого e> 0 існує таке d (e, h)> 0, що якщо справедливо нерівність | μ'-μ''| <d, то рішення x (t, μ'') визначено на інтервалі | t-t0 | ≤ h і задовольняє нерівності
| | X (t, μ ')-x (t, μ'') | | <e.
Доведені теореми про безперервну залежності рішень від початкових умов і параметрів мають принципове значення. Параметри диференціальних рівнянь систем автоматичного регулювання (САР) задаються з деякими похибками. На основі доведених вище теорем можна стверджувати, що якщо похибка у визначенні параметрів диференціальних рівнянь САР незначна, то рішення цих рівнянь з достатньою достовірністю описують відбуваються в САР процеси.
2.7. Лінійні диференціальні рівняння
2.7.1. Нормальна лінійна система диференціальних рівнянь
Лінійною системою диференціальних рівнянь називається така система рівнянь, в яку невідомі функції та їх похідні можуть входити тільки в першому ступені.
Нормальна лінійна система диференціальних рівнянь має вигляд
Введемо в розгляд векторні функції
Тоді систему (1) можна переписати у вигляді
Теорема існування та єдиності справедлива для лінійної системи на будь-якому відрізку [а1, b1] Ì (а, b), де (a, b) - інтервал, на якому функції aik (t) і fi (t) безперервні.
2.7.2. Загальне рішення лінійної однорідної системи
Система (1) називається однорідною, якщо fi (t) º 0 (i = 1, 2, ..., n). Однорідна система в векторної формі запишеться у вигляді
Сукупність S всіх рішень {x (t)} утворює лінійний простір розмірності n, так як рішення цієї системи є лінійно-незалежними і утворюють базис. Будь-який елемент цього простору представимо у вигляді
причому постійні c1, c2, ..., cn визначаються однозначно. Звідси випливає, що будь-яке рішення даної системи може бути представлено у вигляді (4). Тому вираз (4) називається загальним розв'язком системи (3). Будь-яка система з n лінійно-незалежних рішень системи (3), утворює базис простору S, називається фундаментальною системою рішень.
2.7.3. Визначник Вронського. Формула Ліувілля
Нехай є деяка система з n векторних функцій
Тоді визначником Вронського, або вронскіаном, називається визначник, складений з компонент цих векторних функцій. Таким чином, визначник Вронського має вигляд
Якщо система векторних функцій x1 (t), ..., хn (t) лінійно-залежна, то визначник Вронського W (t) = 0.
Нехай вектор-функції x1 (t), ..., xn (t) представляють собою n розв'язків системи (3). Тоді, якщо визначник Вронського W (t) для цих рішень звертається в нуль в якій-небудь точці t0Î [а, b], то W (t) тотожно дорівнює нулю на всьому відрізку [а, b].
Приклад: розглянемо вектор-функції
Визначник Вронського для цих функцій
При t = 0 W (0) = 0, але W (t) не дорівнює тотожне 0. Звідси випливає, що дані вектор-функції х1 (t) і x2 (t) не можуть бути рішеннями системи рівнянь виду (3) з безперервними коефіцієнтами, визначеними на інтервалі, що містить точку t = 0.
Значення визначника Вронського у довільній точці t можна обчислити за допомогою розглянутої нижче залежності, званої формулою Ліувілля.
Нехай x1 (t), x2 (t), ..., xn (t) - n розв'язків системи (3). Тоді між значеннями визначника Вронського W (t) в точках t0 і t існує наступна залежність:
- Слід матриці A (t).
2.7.4. Лінійна неоднорідна система. Метод варіації довільних постійних
Розглянемо лінійну неоднорідну систему (2)
Відповідна їй однорідна система (3)
Нехай x = y (t) і j (t) - два рішення системи (2). Тоді різниця
x (t) = y (t)-j (t)
Являє собою рішення однорідної системи (3).
Загальне рішення системи (2) має вигляд
де ci - довільні постійні; xi (t) (i = 1, 2, ..., n) - фундаментальна система розв'язків системи (3).
Приватне рішення системи (2) може бути знайдено методом варіації довільних сталих. Розглянемо цей метод. Нехай x1 (t), x2 (t), ..., xn (t) - фундаментальна система розв'язків системи (3). Приватне рішення неоднорідної системи (2) будемо шукати у вигляді
вважаючи, що ci є не постійними, а деякими функціями t. Підставимо це рішення в систему (2):
Так як вектор-функції xi (t) - це ті рішення однорідної системи (3), то
тому
Цей вираз являє собою систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно сi (t) (i = l, 2, ,..., n). Визначник цієї системи рівнянь є визначник Вронського для фундаментальної системи рішень. Він відмінний від нуля, тому ця система має єдине рішення сi '(t) = Фi (t) (i = l, 2 ,..., n).
Інтегруємо отримані рівності:
Отже, шукане приватне рішення має вигляд
Значить, спільне рішення неоднорідної системи буде
2.7.5. Формула Коші
За допомогою формули Коші можна виразити розв'язок лінійної неоднорідної системи диференціальних рівнянь через деяку фундаментальну систему рішень відповідної однорідної лінійної системи.
Розглянемо неоднорідну лінійну систему диференціальних рівнянь (2), записану у векторному вигляді
Відповідна їй однорідна система (3)
Нехай x1, x2, ..., xn - фундаментальна система розв'язання системи рівнянь (3). Створюємо матрицю X1 (t), стовпці якої є цими рішеннями:
Визначник матриці Х1 (t) являє собою визначник Вронського. Він відмінний від нуля для всіх tÎ [a, b]. Отже, існує зворотна матриця X-11 (t) при кожному tÎ [а, b]. Складемо матрицю
X (t, t0) = X1 (t) X1-1 (t0)
Стовпці цієї матриці також утворюють фундаментальну систему розв'язків системи рівнянь (3). Відзначимо, що X (t, t0) =
Рішення x (t) системи рівнянь (3), яке задовольняє початковим умовам x (t0) = x0, можна записати у вигляді
Тоді можна показати, що наступна формула, яка називається формулою Коші, дозволяє знайти рішення x (t) неоднорідної системи (2), яке задовольняє початковим умовам x (t0) = x0, якщо відома фундаментальна матриця X (t, t0) однорідної системи (3) :
Слід зазначити, що якщо матриця А постійна, тобто розглянута система диференціальних рівнянь є системою лінійних рівнянь з постійними коефіцієнтами
то рішення цієї системи x (t), що задовольнить початкових умов x (t0) = x0, запишеться у вигляді
де X (f) - матриця, стовпці якої складаються з фундаментальної системи рішень однорідної системи рівнянь xt '= Ах, причому X (t0) = E.
2.7.6. Лінійне рівняння n-го порядку
Лінійне рівняння n-го порядку має вигляд
де a0 (t), ..., an (t) - безперервні функції для tÎ (a, b), причому а0 (t) ¹ 0. Відповідне цього рівняння однорідне рівняння має вигляд
Ці рівняння шляхом введення допоміжних функцій
можна звести відповідно до систем рівнянь
або у векторній формі,
Нехай початкові умови цієї системи мають вигляд
Ця система має єдине рішення
Для знаходження приватного рішення ф (t) даного рівняння можна використовувати метод варіації довільних сталих. При цьому система алгебраїчних рівнянь для знаходження сi '(t) має наступний вигляд:
Визначник цієї системи є визначник Вронського для лінійно незалежної системи рішень x1, ..., xn, тому W (t) ¹ 0, і дана система має єдине рішення. Інтегруючи отримані значення для c'i (t), знайдемо ci (t) і тоді шукане рішення
Рішення x (t) вихідного рівняння, що задовольняє заданим умовам, знайдеться за формулою Коші
де
де ci (t), визначаються з системи рівнянь
Визначник цієї системи являє собою визначник Вронського фундаментальної системи рішень x1, ..., xn і тому не дорівнює нулю. Ця система має єдине рішення c1 (t), ..., cn (t). Отже, рішення x1 (t, t) визначається єдиним чином.
2.7.7. Лінійне однорідне диференціальне рівняння з постійними коефіцієнтами
Лінійне однорідне диференціальне рівняння n-го порядку з постійними коефіцієнтами має вигляд
Його рішення будемо шукати у вигляді y = ekx. Тоді y '= kekx, y''= k2ekx, ..., y (n) = knekx. Підставимо це у вихідне диференціальне рівняння і одержимо так зване характеристичне рівняння для диференціального рівняння (5):
knekx + ... + a2k2ekx + a1kekx + a0ekx = 0
або, розділивши це рівняння на ekx, бо він ні за яких x не дорівнює нулю, отримуємо:
kn + ... + a2k2 + a1k + a0 = 0
Вирішивши це рівняння відносно k, ми отримаємо n коренів, які можуть бути як дійсними, так і уявними. Залежно від виду коренів характеристичного рівняння ми будемо мати різні види рішення диференціального рівняння:
1. Деякі ki, ..., kj з усієї множини коренів характеристичного рівняння - дійсні і різні числа. Тоді кожному km з цієї множини буде відповідати рішення у вигляді: ym = cmekmx.
2. Деякі ki, ..., k2j - комплексні та різні. Тоді кожній парі km; m +1 = am ± bmi буде відповідати рішення ym = cmeamxcos (bmx); ym +1 = eamxsin (bmx).
3. Серед рішень характеристичного рівняння є корінь ki кратності m. Йому будуть відповідати рішення: yi = ciekix, yi +1 = xci +1 ekix, ..., yi + m = xm-1ci + mekix.
4. Серед рішень характеристичного рівняння є 2 комплексних кореня ki; i +1 = ai ± bii кратності m. Їм будуть відповідати рішення yi = cieaixcos (bix); yi +1 = ci +1 eaixsin (bix); yi +2 = xci +2 eaixcos (bix); yi +3 = xci +3 eaixsin (bix); ...; yi + m = x2m-1cieaixcos (bix); yi + m = x2m-1 '
'Ci +1 eaixsin (bix).
Однак, як було сказано вище, сукупність всіх рішень {y (x)} утворює лінійний простір розмірності n, так як рішення цієї системи є лінійно-незалежними і утворюють базис. Це означає, що лінійна комбінація розв'язків лінійного диференціального рівняння також буде рішенням. Отже, спільне рішення даного лінійного однорідного диференціального рівняння n-го порядку (5) з постійними коефіцієнтами можна представити як лінійну комбінацію рішень, відповідних кожному корені (або парі коренів) характеристичного рівняння.
2.7.8. Лінійне неоднорідне диференціальне рівняння
Лінійне неоднорідне диференціальне рівняння має вигляд
y (n) + Pn-1 (x) y (n-1) + ... + P2y '+ P1y + P0 = f (x), (6)
де P0 (x), P1 (x), ..., Pn-1 (x), f (x) - деякі безперервні функції, безперервні по x і задовольняють умові Ліпшиця по x. Відповідне йому однорідне диференціальне рівняння має вигляд
y (n) + Pn-1 (x) y (n-1) + ... + P2y '+ P1y + P0 = 0, (7).
Якщо диференціальне рівняння (6) має частинний розв'язок Yв (x) та спільне вирішення Yс = c1y1 + c2y2 + ... + cnyn, то загальне рішення диференціального рівняння (6) дорівнює сумі приватного рішення Yв і спільного рішення лінійного однорідного диференціального рівняння (7) yc: y = yc + Yв.
Методика знаходження спільного рішення лінійного однорідного рівняння була викладена вище. Тут ми розглянемо знаходження приватного рішення лінійного неоднорідного рівняння.
Приватне рішення буде залежати від виду правої частини f (x). У загальному випадку важко знайти приватне рішення для будь-якої функції f (x). Однак на практиці застосовуються такі види функції f (x):
1. f (x) = P (x) eax, де P (x) - деякий многочлен. Тоді частинний розв'язок шукається у вигляді:
1) yч = xmQ (x) eax, якщо a - m-кратний корінь характеристичного рівняння;
2) yч = Q (x) eax, якщо a - не корінь характеристичного рівняння,
де Q (x) - многочлен тій же мірі, що і P (x), але з невизначеними коефіцієнтами.
2. f (x) = (Pn (x) cos (bx) + Lm (x) sin (bx)) eax, де Pn (x) і Lm (x) - деякі многочлени. Тоді частинний розв'язок шукається у вигляді:
1) yч = (Mn (x) cos (bx) + Nn (x) sin (bx)) eax, якщо (a ± bi) - не корінь характеристичного рівняння;
2) yч = xm (Mn (x) cos (bx) + Nn (x) sin (bx)) eax, якщо (a ± bi) - m-кратний корінь характеристичного рівняння,
де Mn (x) і Nn (x) - многочлени, ступінь яких дорівнює найвищого ступеня многочленів Pn (x) і Lm (x).
Після вибору виду приватного рішення підставляємо його у вихідне диференціальне рівняння. При цьому невідомі коефіцієнти поліномів знаходимо за методом невизначених коефіцієнтів, який полягає в тому, що невідомі коефіцієнти шукаються з умови рівності коефіцієнтів при однакових доданків, наприклад, при x, при x2, при x3cos (bx) і т. д.
3. Диференціальні рівняння при описі безперервних систем
3.1. Складання і лінеаризація диференціальних рівнянь елементів системи
У сталому стані залежність вихідної величини елемента системи від вхідних задається статичною характеристикою елемента. Як правило, статичні характеристики елементів нелінійні. Статичні характеристики можуть бути отримані з диференціальних рівнянь елементів системи.
Нехай диференціальне рівняння, що описує поведінку елемента, має вигляд
Тоді статична характеристика цього елементу задається рівнянням в неявній формі
тобто для її отримання в рівнянні (1) слід покласти x = const і g = const.
Якщо динаміка елемента описується лінійним диференціальним рівнянням, то цей елемент називається лінійним, якщо диференціальне рівняння нелінійно, то елемент називається нелінійним. Через нелінійності статичних характеристик рівняння елементів системи в більшості випадків є нелінійними.
Для спрощення аналізу, коли це можливо, наближено замінюють нелінійні диференціальні рівняння такими лінійними рівняннями, рішення яких з достатнім ступенем точності збігаються з рішеннями нелінійних рівнянь. Цей процес заміни нелінійного диференціального рівняння лінійним називається лінеаризацією. Зазвичай лінеаризація нелінійного рівняння проводиться щодо деякого сталого стану елемента системи.
Якщо диференціальне рівняння елемента нелінійно через нелінійності його статичної характеристики, то лінеаризація рівняння зводиться до заміни нелінійної характеристики елемента x = ф (g) деякої лінійної функцією x = ag + b. Аналітично ця заміна відбувається за допомогою розкладання в ряд Тейлора функції x = y (g) в околиці точки, що відповідає сталому станом і відкидання всіх членів, що містять відхилення Dg вхідний величини елемента в ступені вище першого. Геометрично це означає заміну кривої x = ф (g) дотичній, проведеної до кривої в точці (х0, g0), що відповідає сталому станом роботи елемента (рис. 3).
В інших випадках лінеаризація проводиться шляхом проведення січної, мало відхиляється від функції x = ф (g) в необхідному діапазоні зміни вхідної величини елемента.
Назвемо нелінійні статичні характеристики, лінеарізуемие в необхідному діапазоні зміни вхідної величини зазначеним вище способом, неістотно нелінійними характеристиками. Поряд з лінеарізуемимі характеристиками є такі характеристики, які не піддаються такій лінеаризації. До них відносяться, наприклад, характеристики, не розкладаються в ряд Тейлора в околі точки сталого стану. Такі характеристики будемо називати істотно нелінійними.
Розглянемо докладніше процес лінеаризації нелінійного рівняння елемента за допомогою ряду Тейлора. Нехай поведінку елемента описується нелінійним диференціальним рівнянням (1). Тоді усталене стан елемента характеризується рівнянням (2). Нехай g0 і х0 - значення сталого стану. Тоді координати g і х можна записати у вигляді х = х0 + Dx, g = g0 + Dg, де Dg і Dx - відхилення координат g і x від усталеного стану. Рівняння (1) у відхиленнях має вигляд
Розкладемо ліву частину цього рівняння в ряд Тейлора щодо точки (0, 0, х0, g0):
У лівій частині цієї рівності не виписані члени, що містять відхилення Dg і Dx та їх похідні в ступені вище першого. Приватні похідні в лівій частині цього рівняння представляють собою деякі числа, величини яких залежать від виду функції F (x ", x ', x, g) і значень координат g0 і х0.
Вважаючи відхилення Dg, D х від усталеного стану, а також їх похідні за часом малими і вважаючи, що функція F (x ", x ', x, g) досить гладка по всіх аргументів на околиці точки, що відповідає сталому станом, відкинемо в цьому рівнянні всі члени, які містять відхилення Dg і D х, а також їх похідні в ступені вище першого. Отримане рівняння
є лінійним диференціальним рівнянням з постійними коефіцієнтами
Очевидно, що необхідною умовою лінеаризації є можливість розкладання в ряд Тейлора функції F (x ", x ', x, g) в околиці точки, що відповідає сталому стану. Лінеаризовані рівняння наближено замінює нелінійне рівняння (1) лише в деякій малої околиці точки (0 , 0, х0, g0). Величина цієї околиці залежить від гладкості функції F (x ", x ', x, g) у цій точці, тобто від величин похідних порядку вище першого цієї функції в точці (0, 0, х0, g0). Як правило, за допомогою Лінеаризовані рівняння можна дослідити поведінку елемента системи лише при малих відхиленнях вхідний і вихідний координати від усталеного стану. Очевидно, що необхідною умовою лінеаризації є можливість розкладання в ряд Тейлора функції F (x ", x ', x, g) в околиці точки, що відповідає сталому стану. Лінеаризовані рівняння наближено замінює нелінійне рівняння (1) лише в деякій малої околиці точки (0 , 0, х0, g0). Величина цієї околиці залежить від гладкості функції F (x ", x ', x, g) у цій точці, тобто від величин похідних порядку вище першого цієї функції в точці (0, 0, х0, g0). Як правило, за допомогою Лінеаризовані рівняння можна дослідити поведінку елемента системи лише при малих відхиленнях вхідний і вихідний координати від усталеного стану.
3.2. Поняття простору станів
З точки зору аналізу та синтезу систем представляється доцільним розділити всі змінні, що характеризують систему, на три групи:
1) вхідні змінні або вхідні дії mi, що представляють сигнали, що генеруються системами, зовнішніми стосовно до досліджуваної, і які впливають на поведінку системи;
2) вихідні змінні або змінні, що характеризують реакцію системи yj, що дозволяють описати деякі аспекти поведінки системи, що представляють інтерес для дослідника;
3) змінні (координати) стану або проміжні змінні xk, що характеризують динамічну поведінку досліджуваної системи.
Величини mi, yj і xk передбачаються функціями часу. Для зручності оперування з багатовимірними величинами сукупність вхідних змінних представимо у вигляді вектора входу, сукупність вихідних змінних - у вигляді вектора виходу, і сукупність змінних стану - у вигляді вектора стану:
Безліч всіх значень, які може прийняти вектор входу m в момент t, утворює простір входу системи. Безліч всіх значень, які може прийняти вектор виходу y в момент t, утворює простір виходу системи. Безліч всіх значень, які може прийняти вектор стану x в момент t, утворює простір станів системи.
3.3. Опис безперервних систем за допомогою системи диференціальних рівнянь
У будь-який момент часу t стан системи є функцією початкового стану x (t0) і вектора входу m (t0, t), тобто
x (t) = F [x (t0); m (t0; t)],
де F - однозначна функція своїх аргументів. Вектор виходу в момент t є також функцією x (t0) і m (t0; t) і може бути записаний як
y (t) = z [x (t0); m (t0; t)].
Ці два рівняння часто називають рівняннями стану системи. Для систем, що описуються диференціальними рівняннями, ці рівняння можуть бути записані в такій загальній формі:
x (t) = F [x (t); m (t)],
y (t) = z [x (t); m (t)].
Такий опис системи носить назву «вхід-стан-вихід».
Якщо система описується лінійними диференціальними рівняннями, то рівняння стану системи зводяться до наступних:
dx (t) / dt = A (t) x (t) + D (t) m (t);
y (t) = B (t) x (t) + G (t) m (t),
де A (t) - матриця коефіцієнтів; D (t) - матриця управління; B (t) - матриця виходу; G (t) - матриця обходу системи.
Вирішення цієї системи будемо шукати у формі
x (t) = p (t-t0) C1 (t), (7)
де p (t-t0) = exp A (t-t0) - матриця переходу процесу, а С1 (t) - вектор, що залежить від часу, який замінює вектор початкового стану x0 в рівнянні руху при відсутності зовнішніх впливів. Диференціюючи це вираз по t, отримуємо
dx (t) / dt = Ax (t) + p (t-t0) dC1 (t) / dt.
Якщо формула (7) є рішенням однорідного рівняння, то величини в правих частинах однорідного рівняння і отриманої формули повинні бути однакові. Звідси
Dm (t) = p (t-t0) dC1 (t) / dt.
Вирішуючи це рівняння щодо С1 (t), отримуємо
З огляду на це вираження і визначення матриці переходу рівняння (7) приведемо до вигляду
При t = t0, p (t-t0) = I і С2 = x (t0). Звідси знаходимо
3.4. Опис систем змінними стану
Лінійна стаціонарна система може бути описана сукупністю лінійних диференціальних рівнянь першого порядку з постійними коефіцієнтами, яку можна уявити в такій векторно-матричній формі:
dv (t) / dt = Av (t),
де A - матриця коефіцієнтів; v (t) - вектор-стовпець, що представляє собою вхідні змінні mi і координати xk системи
Якщо вхідні змінні розглядати спільно зі змінними стану системи, тобто включити їх до числа координат системи, то вектор v можна вважати вектором стану системи збільшеної розмірності.
3.5. Поняття спостережливості системи
Перепишемо ще раз вираз для вектора виходу лінійного багатовимірного процесу:
y (t) = Bx (t) + Gm (t), (8)
де y - p-мірний вектор, що представляє вихідні змінні; B - матриця виходу розміром pxn; G - матриця обходу системи розміру pxr.
Нехай матриця B має вигляд
а матриця обходу G задана у вигляді
Тоді, розгортаючи формулу (8), отримуємо p виразів
Координату стану прийнято називати спостерігається, якщо вона може бути визначена або для неї може бути отримана оцінка за вимірним вихідним змінним. Аналіз рівнянь (9) показує, що координата xk може бути визначена або для неї може бути отримана оцінка за вимірним вихідним змінним y1, y2, ..., yi, ..., yp, якщо коефіцієнти bik для i = 1, 2, ..., p НЕ всі рівні нулю. Іншими словами, xk є спостережуваної координатою, якщо елементи k-го стовпця матриці виходу не всі рівні нулю. Якщо ця умова не дотримується, то координату xk називають неспостережний. Таким чином, лінійний процес є піднаглядним, якщо матриця виходу B не містить стовпців, елементи яких дорівнюють нулю.
3.6. Поняття керованості системи
Нехай лінійний багатовимірний процес описується векторним диференціальним рівнянням
dx (t) / dt = Ax (t) + Dm (t), (10)
де x - n-мірний вектор стану; m - r-мірний вектор, що представляє керуючі впливу; A - квадратна матриця коефіцієнтів n-го порядку; D - матриця управління розміру nxr.
Матриця A може бути приведена до діагональної матриці (або в загальному випадку до жорданова формі)
де Lш - власні значення матриці A, які передбачаються всі різними.
Застосовуючи підстановку x = Tz, вихідне рівняння запишеться в канонічній формі
dz (t) / dt = Lz (t) + Dm (t),
де D = T-1D = [dij] nxr.
Вектор z в отриманій формулі будемо називати канонічним вектором стану. Будемо вважати, що в попередніх матричних виразах власні значення li розташовані в порядку зростання їх модулів, комплексні li - у порядку зростання їхніх аргументів, вектори-стовпчики матриці T - нормалізовані, тобто вибрані так, що евклідова довжина їх дорівнює одиниці.
Запишемо отриманий вираз в розгорнутій формі, тобто у вигляді системи диференціальних рівнянь першого порядку:
Ці рівняння показують, що управляє вплив mk не буде робити будь-небудь впливу на рух по координаті zj, якщо
тобто коли djk = 0 для k = 1, 2, ..., r. Запис в такій формі означає, що всі елементи j-го рядка матриці D всі рівні нулю. Звідси випливає висновок, що некерованими координатами системи є всі ті канонічні координати, які відповідають нульовим рядкам матриці D. Рівність нулю всіх елементів цих рядків матриці D робить неможливим управління за відповідними координатами. Це означає також, що зміна координат відбувається незалежно від керуючих впливів і, отже, цілком визначається початковими умовами і збуреннями. Можна сказати, що ці координати розв'язані від управління.
Наведене розгляд дозволяє дати таке визначення керованості: процес, що описується рівнянням (10), є повністю керованим, якщо матриця D не містить рядків, елементи яких дорівнюють нулю; координати, відповідні ненульовим рядках D, вважаються керованими.
3.7. Опис безперервних систем з допомогою одного диференціального рівняння
Безперервну систему часто описують диференціальним рівнянням щодо її виходу y (t) і входу r (t):
або, вводячи оператор диференціювання p = d / dt,
Тут ми ввели функцію F (t) = B (p) v (t), тому що, як правило, вхідний вплив на систему відомо. Така система називається системою «вхід-вихід».
Многочлен A (p) називається власним оператором системи, а M (p) - вхідним оператором.
Введемо поняття передавальної функції системи. Ставлення вхідного оператора М (р) до власного оператора D (р) назвемо передавальної функцією W (р) системи, що описується лінійним диференціальним рівнянням з постійними коефіцієнтами
Вирішення цієї системи цілком аналогічно рішенням лінійного неоднорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами.
3.8. Перехід від системи диференціальних рівнянь до одного рівняння
Введемо оператор диференціювання Lij = anijpn + a (n-1) ijpn-1 + ... + a1ijp1 + a0ij. Тоді будь-яку систему диференціальних рівнянь (у тому числі і систему рівнянь, що описують систему «вхід-стан-вихід») можна представити у вигляді
Так як оператори Lij залежать тільки від p, то рішення можна отримати, використовуючи формули Крамера:
де D (p) - диференціальний оператор, який визначається визначником:
- Оператор, який визначається ki-им алгебраїчним доповненням.
3.9. Перехід від одного рівняння до системи диференціальних рівнянь
Нехай дана лінійна система з постійними параметрами, одним входом і виходом:
де p = d / dt. Безпосередньо зі схеми моделювання слід
(11)
Диференціюючи y, отримаємо
Подальша підстановка px1 з отриманих рівнянь дає
Згідно наведеній процедурі друга і старші похідні y рівні
Підставивши отримані вирази для y, py, ..., pn-1y і вирази (11) у вихідне рівняння і зіставляючи з виразом для pny, отримаємо вирази для ai і bi:
bi, мабуть, можна також записати у вигляді
Значить, bi можна визначити, помноживши обидві частини цього виразу на зворотну матрицю коефіцієнтів. Згідно з отриманими виразами, одна з форм матриць A, B, C, D для системи виду «вхід-стан-вихід» має вигляд
Наведені рівняння стану відповідають так званому стандартному виглядом системи.
Список літератури:
1. Валіз Б К. Математичні основи теорії систем.
2. Ю. Ту. Сучасна теорія управління.
Величини mi, yj і xk передбачаються функціями часу. Для зручності оперування з багатовимірними величинами сукупність вхідних змінних представимо у вигляді вектора входу, сукупність вихідних змінних - у вигляді вектора виходу, і сукупність змінних стану - у вигляді вектора стану:
Безліч всіх значень, які може прийняти вектор входу m в момент t, утворює простір входу системи. Безліч всіх значень, які може прийняти вектор виходу y в момент t, утворює простір виходу системи. Безліч всіх значень, які може прийняти вектор стану x в момент t, утворює простір станів системи.
3.3. Опис безперервних систем за допомогою системи диференціальних рівнянь
У будь-який момент часу t стан системи є функцією початкового стану x (t0) і вектора входу m (t0, t), тобто
x (t) = F [x (t0); m (t0; t)],
де F - однозначна функція своїх аргументів. Вектор виходу в момент t є також функцією x (t0) і m (t0; t) і може бути записаний як
y (t) = z [x (t0); m (t0; t)].
Ці два рівняння часто називають рівняннями стану системи. Для систем, що описуються диференціальними рівняннями, ці рівняння можуть бути записані в такій загальній формі:
x (t) = F [x (t); m (t)],
y (t) = z [x (t); m (t)].
Такий опис системи носить назву «вхід-стан-вихід».
Якщо система описується лінійними диференціальними рівняннями, то рівняння стану системи зводяться до наступних:
dx (t) / dt = A (t) x (t) + D (t) m (t);
y (t) = B (t) x (t) + G (t) m (t),
де A (t) - матриця коефіцієнтів; D (t) - матриця управління; B (t) - матриця виходу; G (t) - матриця обходу системи.
Вирішення цієї системи будемо шукати у формі
x (t) = p (t-t0) C1 (t), (7)
де p (t-t0) = exp A (t-t0) - матриця переходу процесу, а С1 (t) - вектор, що залежить від часу, який замінює вектор початкового стану x0 в рівнянні руху при відсутності зовнішніх впливів. Диференціюючи це вираз по t, отримуємо
dx (t) / dt = Ax (t) + p (t-t0) dC1 (t) / dt.
Якщо формула (7) є рішенням однорідного рівняння, то величини в правих частинах однорідного рівняння і отриманої формули повинні бути однакові. Звідси
Dm (t) = p (t-t0) dC1 (t) / dt.
Вирішуючи це рівняння щодо С1 (t), отримуємо
З огляду на це вираження і визначення матриці переходу рівняння (7) приведемо до вигляду
При t = t0, p (t-t0) = I і С2 = x (t0). Звідси знаходимо
3.4. Опис систем змінними стану
Лінійна стаціонарна система може бути описана сукупністю лінійних диференціальних рівнянь першого порядку з постійними коефіцієнтами, яку можна уявити в такій векторно-матричній формі:
dv (t) / dt = Av (t),
де A - матриця коефіцієнтів; v (t) - вектор-стовпець, що представляє собою вхідні змінні mi і координати xk системи
Якщо вхідні змінні розглядати спільно зі змінними стану системи, тобто включити їх до числа координат системи, то вектор v можна вважати вектором стану системи збільшеної розмірності.
3.5. Поняття спостережливості системи
Перепишемо ще раз вираз для вектора виходу лінійного багатовимірного процесу:
y (t) = Bx (t) + Gm (t), (8)
де y - p-мірний вектор, що представляє вихідні змінні; B - матриця виходу розміром pxn; G - матриця обходу системи розміру pxr.
Нехай матриця B має вигляд
а матриця обходу G задана у вигляді
Тоді, розгортаючи формулу (8), отримуємо p виразів
Координату стану прийнято називати спостерігається, якщо вона може бути визначена або для неї може бути отримана оцінка за вимірним вихідним змінним. Аналіз рівнянь (9) показує, що координата xk може бути визначена або для неї може бути отримана оцінка за вимірним вихідним змінним y1, y2, ..., yi, ..., yp, якщо коефіцієнти bik для i = 1, 2, ..., p НЕ всі рівні нулю. Іншими словами, xk є спостережуваної координатою, якщо елементи k-го стовпця матриці виходу не всі рівні нулю. Якщо ця умова не дотримується, то координату xk називають неспостережний. Таким чином, лінійний процес є піднаглядним, якщо матриця виходу B не містить стовпців, елементи яких дорівнюють нулю.
3.6. Поняття керованості системи
Нехай лінійний багатовимірний процес описується векторним диференціальним рівнянням
dx (t) / dt = Ax (t) + Dm (t), (10)
де x - n-мірний вектор стану; m - r-мірний вектор, що представляє керуючі впливу; A - квадратна матриця коефіцієнтів n-го порядку; D - матриця управління розміру nxr.
Матриця A може бути приведена до діагональної матриці (або в загальному випадку до жорданова формі)
де Lш - власні значення матриці A, які передбачаються всі різними.
Застосовуючи підстановку x = Tz, вихідне рівняння запишеться в канонічній формі
dz (t) / dt = Lz (t) + Dm (t),
де D = T-1D = [dij] nxr.
Вектор z в отриманій формулі будемо називати канонічним вектором стану. Будемо вважати, що в попередніх матричних виразах власні значення li розташовані в порядку зростання їх модулів, комплексні li - у порядку зростання їхніх аргументів, вектори-стовпчики матриці T - нормалізовані, тобто вибрані так, що евклідова довжина їх дорівнює одиниці.
Запишемо отриманий вираз в розгорнутій формі, тобто у вигляді системи диференціальних рівнянь першого порядку:
Ці рівняння показують, що управляє вплив mk не буде робити будь-небудь впливу на рух по координаті zj, якщо
тобто коли djk = 0 для k = 1, 2, ..., r. Запис в такій формі означає, що всі елементи j-го рядка матриці D всі рівні нулю. Звідси випливає висновок, що некерованими координатами системи є всі ті канонічні координати, які відповідають нульовим рядкам матриці D. Рівність нулю всіх елементів цих рядків матриці D робить неможливим управління за відповідними координатами. Це означає також, що зміна координат відбувається незалежно від керуючих впливів і, отже, цілком визначається початковими умовами і збуреннями. Можна сказати, що ці координати розв'язані від управління.
Наведене розгляд дозволяє дати таке визначення керованості: процес, що описується рівнянням (10), є повністю керованим, якщо матриця D не містить рядків, елементи яких дорівнюють нулю; координати, відповідні ненульовим рядках D, вважаються керованими.
3.7. Опис безперервних систем з допомогою одного диференціального рівняння
Безперервну систему часто описують диференціальним рівнянням щодо її виходу y (t) і входу r (t):
або, вводячи оператор диференціювання p = d / dt,
Тут ми ввели функцію F (t) = B (p) v (t), тому що, як правило, вхідний вплив на систему відомо. Така система називається системою «вхід-вихід».
Многочлен A (p) називається власним оператором системи, а M (p) - вхідним оператором.
Введемо поняття передавальної функції системи. Ставлення вхідного оператора М (р) до власного оператора D (р) назвемо передавальної функцією W (р) системи, що описується лінійним диференціальним рівнянням з постійними коефіцієнтами
Вирішення цієї системи цілком аналогічно рішенням лінійного неоднорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами.
3.8. Перехід від системи диференціальних рівнянь до одного рівняння
Введемо оператор диференціювання Lij = anijpn + a (n-1) ijpn-1 + ... + a1ijp1 + a0ij. Тоді будь-яку систему диференціальних рівнянь (у тому числі і систему рівнянь, що описують систему «вхід-стан-вихід») можна представити у вигляді
Так як оператори Lij залежать тільки від p, то рішення можна отримати, використовуючи формули Крамера:
де D (p) - диференціальний оператор, який визначається визначником:
3.9. Перехід від одного рівняння до системи диференціальних рівнянь
Нехай дана лінійна система з постійними параметрами, одним входом і виходом:
де p = d / dt. Безпосередньо зі схеми моделювання слід
Диференціюючи y, отримаємо
Подальша підстановка px1 з отриманих рівнянь дає
Згідно наведеній процедурі друга і старші похідні y рівні
Підставивши отримані вирази для y, py, ..., pn-1y і вирази (11) у вихідне рівняння і зіставляючи з виразом для pny, отримаємо вирази для ai і bi:
bi, мабуть, можна також записати у вигляді
Значить, bi можна визначити, помноживши обидві частини цього виразу на зворотну матрицю коефіцієнтів. Згідно з отриманими виразами, одна з форм матриць A, B, C, D для системи виду «вхід-стан-вихід» має вигляд
Наведені рівняння стану відповідають так званому стандартному виглядом системи.
Список літератури:
1. Валіз Б К. Математичні основи теорії систем.
2. Ю. Ту. Сучасна теорія управління.