Відповідність між молекулами і групами симетрії

Відповідність між молекулами і групами симетрії

Кожна молекула може бути віднесена до однієї з точкових груп 14 типів. Ці точкові групи складаються з суворо визначених операцій симетрії і ніякі інші точкові групи неможливі. Однак, зіставляючи молекулу з однією з перерахованих вище груп симетрії, необхідно ретельно вибирати більш повну групу, до якої належить молекула. Неповна група допускає асиметрію в потенційному полі навколо атома, що з фізичних міркувань часто не буває. Наприклад, плоска молекула ZX ₃ навряд чи володіє симетрією C _3, бо тоді розподіл потенціалу могло б бути таке як на малюнку, хоча абсолютно ясно, що воно неможливе фізично. Її симетрія і не D ₃ (C _3, 3C _2), бо в цьому випадку розподіл потенціалу могло б бути просторово у вигляді трилопатевого гвинта. Повна симетрія плоскої молекули типу ZX ₃ - D _3h (C _3, 3C _2, 3 s _v, s _h).
Після встановлення повної симетрії молекули можна класифікувати атоми на еквівалентні. Еквівалентними атомами називаються атоми, які переходять один в одного при всіх перетвореннях симетрії. Всі еквівалентні атоми, зрозуміло, однакові в хімічному відношенні. Зворотне, звичайно, не справедливо. Число еквівалентних атомів не може перевищувати повний порядок групи (тобто число операцій), проте, може бути менше. Для будь-якого виду еквівалентних атомів сукупність операцій, які залишають даний атом незмінним, утворює підгрупу даної групи G. В окремому випадку така підгрупа може або збігатися з підгрупою G, або складатися лише з одного елемента E (C _1). Підгрупа атомів X в молекулі ZX ₃ є C _2v (Е, C _2, s _v, s _h).
Оскільки ми ідентифікували елементи групи симетрії з деякими певними геометричними операціями, ми постараємося знайти для них аналітичні вирази, тобто подання. Спочатку ми обговоримо геометричний сенс уявлень і вкажемо до якої міри геометрична інтуїція може служити для їх знаходження. Замість дійсного вказівки операцій групи ми можемо, очевидно, вказати чисельне значення деякої величини, пов'язаної із симетричною фігурою для кожної з операцій. Наприклад, в циклічній групі C _n ми можемо, починаючи з довільно обраної точки, позначити кожну операцію C _np величиною відповідного кута обертання

E	C n 1	C n 2	C n 3	C n k	C n n
0	1 * 2p / n	2 * 2p / n	3 * 2p / n	k * 2p / n	n * 2p / n

Недоліком такого "подання" є те, що відповідна операція з кутами не є множенням, а являє собою складення з наступним взяттям залишку від цілого кратного 2 p.
Наприклад, 2 * 2 p / 5 +4 * 2 p / 5 = 12 p / 5 = 2 p +2 p / 5.
Але однією з вимог для придатних уявлень є те, щоб вони мали, як і їх операції або звичайне, або матричне множення. Так у прикладі з C _n можна замість значення кута вибрати комплексну координату на одиничному колі.

Е	C n 2	C n 3	C n k	... ....	C n n
ехp (2pi / n)	ехp (2pi / n) 2	ехp (2pi / n) 3	ехp (2pi / n) k	....	ехp (2pi / n) n

Тоді для послідовних перетворень ми будемо мати причому це число буде вже задовільним представником групи. У більш загальному випадку можна було б розглядати три координати X, Y, Z точки на одиничному сфері, і дивитися, що з ними відбувається при різних перетвореннях групи. Якщо операція R групи переводить точку М (X, Y, Z) в положення M ¢ (X ¢, Y ¢, Z ¢), то це перетворення координат може бути записано:

Тоді набору з 9 чисел g _11, g ₁₂ ,..., g ₃₃ можуть бути співставлені операції G в якості її подання. Проте, єдиний шлях ввести для цих чисел прості правила множення - це взяти їх у вигляді матриці:

Так, зокрема, операція відображення в площині s _z, операція ідентичності Е і інверсії I на початку координат будуть мати вигляд:

Послідовне застосування декількох операцій буде описуватися матричним твором вихідних уявлень. Дійсно, нехай перетворення А дає X ¢ = Аx. Наступне перетворення B дає: X ¢ ¢ = BX ¢, або через X: X ¢ ¢ = BA X, X ¢ ¢ = CX, де C = BA. Перетворення з коефіцієнтами C є твором двох перетворень і здійснює таким чином подання операції C = AB.

Зокрема, дзеркально-поворотна вісь четвертого порядку S ₄ ¹ = C4 ¹ * C _n ² може бути представлена ​​матрицею:

Цей же результат можна було отримати, розглядаючи безпосереднє зміна координат при операції s _h і наступної операції C ₄ ^1.
Таблиця 2
Таблиця множення групи C _4v.

E	C 1 квітня	C 3 квітня	C 2 квітня	s x	s y	s d1	s d2
C 3 квітня	E	C 2 квітня	C 1 квітня	s d1	s d2	s y	s x
C 1 квітня	C 2 квітня	E	C 3 квітня	s d2	s d1	s x	s y
C 2 квітня	C 3 квітня	C 1 квітня	E	s y	s x	s d2	s d1
s x	s d1	s d2	s y	E	C 2 квітня	C 1 квітня	C 3 квітня
s y	s d2	s d1	s x	C 2 квітня	E	C 3 квітня	C 1 квітня
s d1	s y	s x	s d2	C 3 квітня	C 1 квітня	E	C 2 квітня
s d2	s x	s y	s d1	C 1 квітня	C 3 квітня	C 2 квітня	E

Таким чином, кожному перетворенню симетрії можна зіставити деяку матрицю. Існує взаємно однозначна відповідність між операціями симетрії і матрицею перетворень простору. Наприклад, для групи C _4v ми можемо побудувати матриці розміром 8х8 наступним чином: подання операції R виходить заміною на одиницю тих елементів у таблиці множення, які відповідають цьому елементу; в інших місцях таблиці елементи слід замінити нулями. Таким чином можуть бути отримані так звані регулярні представлення групи. За допомогою матричного множення можна переконатися, що правила множення цих матриць задовольняють наведеної таблиці множення, і, таким чином, самі перетворення симетрії і матриці регулярного подання утворюють ізоморфні групи.

Можна побудувати для кожного перетворення групи матриці розмірністю 3х3, що визначають перетворення точки тривимірного простору. Для групи C _4v кожному перетворенню симетрії можна зіставити наступні матриці перетворення простору:

Тут наведено матриці перетворення точки на одиничному сфері. Вони задовольняють таблиці множення групи, що легко перевірити. Проте, виникає питання про те, чи можливі інші способи знаходження уявлень. Розглянемо, наприклад, одиничну матрицю (1) і приймемо E = (1); C ₄ ¹ = (1); C ₄ ² = (1); C ₄ ³ = (1) і так далі. Виявляється, що цей набір матриць теж задовольняє таблиці множення групи, тобто початковий вибір був не самим простим. Пошук інших комбінацій матриць першого рангу показує, що є всього чотири таких набору. П'ятий набір включає матриці другого рангу (який складається з двох стовпців і двох рядків), так що це так зване двовимірне представлення.
Таблиця 3
Подання групи C _4v

Надана-ня	E	C 1 квітня	C 2 квітня	C 3 квітня	s x	s y	s d1	s d2
Г (1)	+ (1)	+ (1)	+ (1)	+ (1)	+ (1)	+ (1)	+ (1)	+ (1)
Г (2)	+ (1)	+ (1)	+ (1)	- (1)	- (1)	- (1)	- (1)	- (1)
Г (3)	+ (1)	- (1)	+ (1)	+ (1)	- (1)	- (1)	- (1)	- (1)
Г (4)	+ (1)	(1)	+ (1)	- (1)	+ (1)	- (1)	- (1)	- (1)
Г (5)	1 0 0 1 1 0 0 1	0-1 1 0 0 1 1 0	-1 0 0-1 1 0 0-1	-1 0 0 1 1 0 0-1	0 1 1 0 0-1 1 0	0 1 1 0 0 0 0 0	1 0 0 1 1 січня 1 січня	1 0 0 1 0 1 1 0

Приклад набору матриць 3 * 3 вже був розглянутий. Однак при більш детальному розгляді виявляється, що насправді матриці розбиваються на блоки 2 * 2 і 1 * 1. Видно, що матриці, отримані при розбитті на блоки, є уявленнями груп.
Виникають випадки, коли отримують матриці рангу 4 * 4 або вище, але дослідження всіх цих матриць показує, що їх завжди можна розбити на блоки простіших матриць, які для групи C _4v завжди пов'язані з п'ятьма уявленнями. Ці п'ять наборів матриць, таким чином, мають особливе значення, і їх називають непріводімимі уявленнями. Необхідно зауважити, що такий інтуїтивний метод знаходження уявлень робить ясним їх геометричний сенс, але має серйозні недоліки. Є дуже великий свавілля у виборі чисельної величини, асоційованої з симетричною фігурою і немає простого шляху переконатися, чи всі можливі уявлення знайдені. Так само ми не знаємо, чи є одержані уявлення незалежними чи ні. Ще одне заперечення полягає в тому, що ніякої наочний сенс не може бути приписаний уявленням з матрицями порядки вище третього. У результаті ми повинні вживати інші, більш формальні методи отримання вистав за винятком лише самих простих випадків.

Симетрія потенційної і кінетичної енергій

При розгляді симетрії молекули мова йшла про рівноважної конфігурації, тоді як при вирішенні коливальної завдання особливо цікаво розглянути деформовану молекулу. Деформацію молекули можна представити векторами зміщень атомів з положення рівноваги. Можна використовувати декартові координати зміщення X _i, Y _i, Z _i для кожної молекули (i - номер молекули).
Якщо деформована молекула піддається дії операцій симетрії, що допускаються недеформованою молекулою, то в результаті виходить нова конфігурація, яка відрізняється від початкової, але завжди їй еквівалентною в тому відношенні, що міжатомні відстані та кути залишаються тими ж самими. Тому операції симетрії можна розглядати як операції, при яких змінюються місцями не атоми, а зміщення еквівалентних атомів.
Оскільки потенційна енергія U є лише функцією відстаней між атомами і кутів між зв'язками, вона не змінюється при застосуванні операцій симетрії, які допускаються рівноважними конфігураціями. Це означає, що потенційна енергія молекули в деформованої конфігурації має те ж саме чисельне значення, що і в конфігурації, отриманої при застосуванні будь-якого перетворення симетрії рівноважної конфігурації.
Кінетична енергія має ті ж властивості, оскільки вона визначається величинами dX / dt, dY / dt, dZ / dt, які можна розглядати як компоненти векторів швидкості, і які перетворюються так само як і вектора зсувів. Отже, повна енергія системи V + T є інваріантної щодо всіх перетворень симетрії рівноважної конфігурації.

Подання в просторі 3n координат зміщення молекули

Дії операцій симетрії на деформовану молекулу можна уявити аналітично лінійним перетворенням, що зв'язує нові зміщення X `, Y`, Z `зі старими X, Y, Z. Наприклад, перетворення зміщень атомів в іоні NO <sub>3 з використанням</sub> відображення в площині s <sub>V</sub>
Х <sub>1</sub> ® Х <sub>1</sub> `= 1 / 2 Х ₂ + 3 / 2 Y ₂
Y ₁ ® Y ₁ `= 3 / 2 Х <sub>2</sub> - 1 / 2 Х <sub>2</sub>
Z <sub>1</sub> ® Z <sub>1</sub> `= Z ₁
Х ₂ ® Х ₂ `= 1 / 2 Х <sub>1</sub> + 3 / 2 Y <sub>1</sub>
Y <sub>2</sub> ® Y <sub>2</sub> `= 3 / 2 Х ₁ - 1 / 2 Y ₁
Z ₂ ® Z ₂ `= Z <sub>2</sub>
Х <sub>3</sub> ® Х <sub>3</sub> `= 1 / 2 Х ₃ + ₃ / 2 Y ₃
Y ₃ ® Y ₃ `= 3 / 2 Х <sub>3</sub> - 1 / 2 Y <sub>3</sub>
Z <sub>3</sub> ® Z <sub>3</sub> `= Z ₃
Х ₄ ® Х ₄ `= 1 / 2 Х <sub>4</sub> + 3 / 2 Y <sub>4</sub>
Y <sub>4</sub> ® Y <sub>4</sub> `= 3 / 2 Х ₄ - 1 / 2 Y ₄
Z ₄ ® Z ₄ `= Z ₄
тобто матриця перетворення X ¢ = А * X така:


Потенційна і кінетична енергія є інваріантними по відношенню до даного перетворення. Якщо два такі перетворення являють собою операції симетрії молекули, то їх твір теж має представляти операцію симетрії молекули. Існують також тотожне перетворення, матриця якого має тільки одиниці на головній діагоналі. Оскільки така система лінійних перетворень володіє всіма необхідними властивостями групи, можна сказати, що ці перетворення, також як і самі операції становлять групу.
Група, утворена самими фізичними операціями симетрії і група, утворена лінійними перетвореннями, очевидно, тісно пов'язані між собою - кожен з елементів однієї групи взаємно однозначно відповідає елементу іншої групи. Аналогічно йде справа і з творами елементів. Такі групи ізоморфні, а група лінійних перетворенні (лінійних підстановок) буде здійснювати подання групи операції симетрії. Координати Х _i, Y _i, Z _i, за допомогою яких ці ​​уявлення записуються, називаються базисом подання.
Система координат, в якій були записані перетворення, була вибрана довільно, але подібні результати вийшли б у будь-який інший системі координат. У матриці з'явилися б інші коефіцієнти, але загальні висновки залишилися б справедливими. Дійсно, нехай b _k - нові, а a _i - старі координати, зв'язок між якими дається наступним виразом:
b _k = S а _kj a _j k, j = 1,2,3 ... .3 N
Це перетворення може бути просто поворотом системи на деякий кут. Існує також зворотне перетворення:
a _i = S (а _in) - ¹ b _n i, n = 1,2,3 ... .3 N
Якщо координати зміщень атомів a _i при перетворенні R переходять в координати a _i `і описуються таким перетворенням:
a <sub>k</sub> `= SR _kj a _j k, j = 1,2,3 ... .3 N,
то нові координати b _k `можна отримати:
b <sub>k</sub> `= S а _kj a _j` = S а _ij R _ji a _i = Sa _kj SR _ji (a _in) - ¹ a _n = S (S а _kj R _ji (a _in) - ¹⁾ b _n
Коли два подання відрізняються тільки тим, що базисні координати одного є лінійними комбінаціями координат іншого, кажуть, що уявлення еквівалентні, тобто подання R _ji еквівалентно поданням Sа _ki R _ji (а _in) - ^1. Еквівалентність уявлень може бути встановлена ​​на підставі того, що відповідні подання мають однаковий spur, або характер, тобто величина
c (R) = SR _ii = R ₁₁ + R ₂₂ + R ₃₃ + ... + R _3N3N
постійна для даного перетворення симетрії R. Легко показати, що перетворення, відповідні еквівалентним уявленням мають однакові характери уявлень.
c (R) = S [a _mi R _ik (a _km) - ^1] = R _ik [a _mi (a _km) - ^1] = R _ik d _ki = R _ii = c (R)
Для лінійного перетворення до нових координатах справедливо _(km) - ¹ a _mi = d _ki.
Припустимо, що ми якимось чином знайшли перетворення від декартових координат зміщення X, Y, Z до нормальних координатах Q _i. Відомо, що в цьому випадку координати при перетвореннях симетрії не змішуються, а потенційна і кінетична енергії мають вигляд квадратичної функції:
,
Координати з двома значками виродилися f _k разів. Існує f _k таких коливань з частотою l _i ^{1 / 2.} F _k - ступінь виродження. Якщо тепер ми застосуємо до молекули операцію симетрії R вона не може впливати на фізичний стан молекули, оскільки Т і V є інваріантними щодо будь-якого перетворення групи симетрії молекули.
Тому єдиний ефект, який може зробити це перетворення R на невироджених координату Q _i - це або залишити її незмінною, або змінити знак на зворотний, тобто
RQ _i = cQ _i.
Це ж видно з квадратичної форми V і T. Вироджені змінні Q _{k a} визначаються неоднозначно, вони перемішуються між собою, але ортогональні їх комбінації залишаються нормальними координатами. Умови інваріантності V і T будуть задоволені, якщо R перетворює кожну Q _{k a} в комбінацію всіх координат, відповідних одній і тій же частоті l _k ^{1 / 2.}
RQ _{k a} = Sа _{k a b} Q _{k b (k} = 1,2 ,..., f _k).
Тому уявлення даної операції групи симетрії буде виглядати так:

Т.ч. подання до нормальних координатах буде мати найпростіший вигляд. Взагалі, нова система координат може бути обрана так, що перетворення, що представляє будь-яку операцію симетрії буде виглядати діагональним:
,
тобто всяка координата буде перетворюватися в себе з деяким множником. Але не завжди можна знайти таку систему координат, щоб кожне перетворення групи мала найпростіший вигляд, але не можна одночасно це зробити з усіма перетвореннями R. Проте зазвичай можна знайти таку систему координат, в якій будуть значно спрощені всі перетворення групи. Тоді, очевидно, групи певних координат не будуть змішуватися за будь-яких перетвореннях групи. У такій системі координат подання найбільш прості і називаються вони непріводімимі уявленнями. Для опису непріводімих уявлень ми скористалися концепцією нормальних координат в якості конкретного прикладу. Проте, слід пам'ятати, ця концепція непріводімих уявлень абсолютно не залежить від уявлення про нормальних координатах або проблеми молекулярних коливань. Вона з'являється щоразу, коли система лінійних перетворень має властивості групи.

Отже, якщо є подання у вигляді матриці Г (R) = | а _i |; | а _ik | = 0, то часто можливо знайти перетворення координат таке, що всі матриці будуть мати форму:

Тоді уявлення Г (R) називається приводиться, а Г ^{(1) (R)} і Г ^{(2) (R)} - непріводімимі, якщо їх неможливо далі спростити. H операцій групи можуть діяти на будь-яке число i змінних k _i (молекули з різним числом атомів). Повне уявлення групи по відношенню до цих змінним буде складатися з матриць з i рядками і i стовпцями. Якщо ми напишемо таку матрицю у наведеній формі, деякі з матриць непріводімих уявлень можуть з'явитися більш ніж один раз (деякі можуть не з'явитися зовсім), т.к число i не залежить від групи. Символічно це позначають так:
Г (R) = S n ⁽ⁱ⁾ Г ^{(i) (R),}
де n ⁽ⁱ⁾ дає число разів, яке неприводимого подання Г ^{(i) (R)} міститься у що наводиться Г (R). Можна символічно записати те ж саме для будь-якої операції R групи тобто:
Г = S n ⁽ⁱ⁾ Г ^(i).

Властивості характеру

Задача знаходження всіх уявлень групи є досить громіздкою. Проте, в більшості додатків досить знати лише характери уявлень. Ми сформулюємо без доведення деякі властивості характеру.
1. Якщо для кінцевої групи є r класів, то все може бути тільки r непріводімих уявлень Г ^(1), ... Г ^(r). Характери перетворень одного класу однакові.
2. Клас Е завжди представляється одиничної матрицею. Характери уявлень c ^{(i) (Е)} таким чином рівні порядку подання і є дільником порядку групи.
3. Порядки подання можуть бути отримані зі співвідношення:
[C ^{(1) (E)] 2} + [c ^{(2) (E)] 2} + ... ... [C ^{(r) (E)] 2} = g
де g - порядок групи (число елементів групи).
4. Характери утворюють ортогональну систему:
S c ^{(j) (R)} c ^{(i) (R)} = g d _ji
Взагалі, не тільки характери, а й уявлення ортогональні. Характери c (R) приводяться уявлень даються рівністю:

Це рівність повністю визначає r чисел n ^(j), так як шляхом утворення скалярного твори з c ^{(j) (R),} підсумовування по всіх елементах групи та обліку ортогональності ми маємо:

або при підсумовуванні по класах:

де h _i - число елементів у класі.

Визначення характерів приводиться подання c (r)

Число нормальних координат з даними властивостями симетрії може бути отримано, якщо відомі характери перетворення координат зсуву. Характери можуть бути знайдені безпосередньо з перетворення координат для даної операції симетрії, але краще використовувати інші методи, які дозволяють це зробити простіше. За визначенням c (R) = SR _ii, де R _ii - діагональний елемент перетворення R _ij відповідного операції R. Якщо ця операція R заміняє у рівноважної конфігурації атом 1 на 2, то у деформованій молекулі вона замінює зміщення атома 1 зміщенням атома 2. Отже, нова координата a _i атома 1 виражається через старі координати b _i атома 2, так що всі діагональні елементи матриці перетворення R _ii дорівнюють нулю для всіх i, що відносяться до атома 1.
Т.ч. внесок в характери дають тільки ті атоми, які не змінюють своє рівноважне становище при застосуванні даної операції симетрії R. Для тотожною операції E - це всі атоми, для площини s це всі атоми, що лежать в цій площині і т.д. У загальному випадку для операції обертання C ^z (j) перетворення таке:
x ¢ = x × cosj - y × sinj
y ¢ = x × sinj + y × cosj
z ¢ = z
Відтак кожен атом, що лежить на осі C (j) вносить до характер у вигляді доданка величину 1 +2 cos j Для дзеркального повороту S ^z (j):
x ¢ = x × cosj - y × sinj
y ¢ = x × sinj + y × cosj
z ¢ =- z
Тому внесок у характер для атома, що лежить на перетині осі C (j) і площини s _h буде - 1 +2 cos j. Для всіх інших атомів внесок буде дорівнює нулю. Внесок у характер для всіх інших операцій можна отримати, бо Е = C (0) = C _1; s = S (0) = S _i, I = S (p) = S _2. Типи операцій C (j) і S (j) називають іноді правильними і неправильними операціями.
Таблиця 4. Вклади в характери
Якщо на елементі симетрії C (j) знаходиться U _c атомів, а на елементі S (j) - U _s атомів, то характери повних наведених уявлень будуть:
_c c = U _c (1 +2 cos j) c _s = U _s (-1 +2 cos j)
Вони, проте, відносяться до уявлень в просторі всіх 3N змінних. Щоб отримати характер, відповідний поданням в просторі 3N-6 нормальних координат, потрібно відняти характери, відповідні трансляцій і обертання. Розглянемо трансляції молекули як цілого. N векторів зсуву ядер в цьому випадку еквівалентні результуючою вектору, що діє на центр тяжіння молекули. Три компоненти цього вектора при операції R перетворюються як будь-які інші зсуву. Тому характер трансляції дорівнює 1 +2 cos j для C (j) і - 1 +2 cos j для S (j). Нехай тепер зміщення ядер такі, що вони дають фізичне обертання молекули як цілого. Цей рух можна охарактеризувати за допомогою вектора кутового моменту l, який не полярним вектором, а аксіальним вектором: l = [r, dr]. Три компоненти цього вектора рівні:
l _x = y × dz-z × dy
l _y =- x × dz + z × dx
l _z = x × dy-y × dx
Можна показати, що компоненти вектора l перетвориться при обертанні C ^z (j) наступним чином (хоча б за допомогою простої підстановки):
l _x ¢ = l _x × cos j - l _y × sin j
l _y ¢ = l _x × sin j + l _y × cos j
l _z ¢ = l _z
З іншого боку, вплив S (j) виражається за допомогою рівностей:
l _x ¢ = - l _x × cos j + l _y × sin j
l _y ¢ = - l _x × sin j - l _y × cos j
l _z ¢ = l _z
Характер ротації таким чином дорівнює 1 +2 cos j для C (j) і 1-2cos j для S (j). Тому характер представлення, що відноситься до простору 3N-6 координат дорівнює:
_c c = U _c (1 +2 cos j) - (1 +2 cos j) - (1 +2 cos j) = (U _c -2) (1 +2 cos j)
c _s = U _s (-1 +2 cos j) - (1 +2 cos j) - (1-2cos j) = U _s (-1 +2 cos j)
Щоб проілюструвати сказане, розглянемо молекулу CCl ₃ H, CHCl ₃ [XY ₃ Z], і зробимо класифікацію коливань цьому молекули. Після обчислення характерів наведених уявлень в просторі 3N і 3N-6 координат, необхідно провести розкладання їх на Непріводімие подання за допомогою формули
n ^(j) = 1 / g S h _i c (R) c ^{(j) (R).}
Таблиця 5
Таблиця характерів непріводімих уявлень групи C _3v і класифікація коливань молекули
Можна було б з'ясувати, що для системи координат, коли вісь Z спрямована вздовж C _3, координата z перетвориться за поданням А _1, координати x і y змішані, бо перетворюються за поданням E. Аналогічно l _z відноситься до подання A _2, а l _y і l _x до подання E. Всі ці дані зазвичай містяться в таблицю характерів групи (див. Вільсон, Дешіус, Крос; Герцберг та ін.)

Позначення типів симетрії (непріводімих подань)

Зазвичай прийнято одномірне уявлення позначати А чи В, двовимірне - Е, тривимірне - F. Букви А і B вживаються для того, щоб розрізняти одномірні типи симетричні щодо C _n (в групах D _n). Цифри 1 і 2 внизу означають симетричні та антисиметричних типи по відношенню до осі C ₂ або s _v в групах D _n. У групах, де є центр інверсії I, виділяються подання симетричні та антисиметричних щодо центру інверсії I - значки u і g відповідно. Симетрія і антісімметрія відносно площини s _v позначається одним або двома штрихами.