Визначення положення точки в просторі
Отже, положення якої-небудь точки в просторі може бути визначене тільки по відношенню до будь-яких інших точок. Та точка, відносно якої розглядається становище інших точок, називається точкою відліку. Ми так само застосовується і інше найменування точки відліку - точка спостереження. Зазвичай з точкою відліку (або з точкою спостереження) пов'язують будь-яку систему координат, яку і називають системою відліку. У вибраній системі відліку положення КОЖНІЙ точки визначається ТРЬОМА координатами.
Права декартова (або прямокутна) система координат
Ця система координат являє собою три взаємно перпендикулярних спрямованих прямих, яких називають також осями координат, що перетинаються в одній точці (початку координат). Точка початку координат зазвичай позначається буквою О.
Осі координат носять назви:
1. Вісь абсцис - позначається як OX;
2. Вісь ординат - позначається як OY;
3. Вісь аплікат - позначається як OZ
SHAPE \ * MERGEFORMAT
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Тепер пояснимо, чому ця система координат називається правою. Давайте подивимося на площину XOY з позитивного напрямку осі OZ, наприклад з точки А, як це показано на малюнку.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Припустимо, що ми починаємо повертати вісь OX навколо точки О. Так ось - права система координат має таку властивість, що, якщо дивитися на площину XOY з будь-якої точки позитивної півосі OZ (у нас - це точка А), то, при повороті осі OX на 90 проти годинникової стрілки, її позитивний напрямок співпаде з позитивним напрямом осі OY.
Таке рішення було прийнято в науковому світі, нам же залишається приймати це так, як воно є.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Отже, після того, як ми визначилися з системою відліку (у нашому випадку - правої декартової системою координат), положення будь-якої точки описується через значення її координат або іншими словами - через величини проекцій цієї точки на осі координат.
Записується це так: A (x, y, z), де x, y, z - і є координати точки А.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Прямокутну систему координат можна уявити собі, як лінії перетину трьох взаємно перпендикулярних площин.
Слід зауважити, що орієнтувати прямокутну систему координат у просторі можна як завгодно, при цьому треба виконати тільки одну умову - початок координат має збігатися з центром відліку (або точкою спостереження).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Сферична система координат
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Положення точки в просторі можна описати і іншим способом. Припустимо, що ми вибрали область простору, в якому розташовується точка відліку Про (або точка спостереження), і ще нам відома відстань від точки відліку до деякої точки А. З'єднаємо ці дві точки прямої ОА. Ця пряма називається радіус-вектором і позначається, як r. Всі крапки, що мають одне і теж значення радіус-вектора, лежать на сфері, центр якої знаходиться в точці відліку (або точки спостереження), а радіус цієї сфери дорівнює, відповідно радіус-вектора.
Таким чином, нам стає очевидним, що знання величини радіус-вектора не дає нам однозначної відповіді про становище цікавить нас точки. Потрібні ще ДВІ координати, адже для однозначного визначення місцеположення точки кількість координат має дорівнювати ТРЬОХ.
Далі ми поступимо таким чином - побудуємо дві взаємно перпендикулярні площини, які, природно, дадуть лінію перетину, і ця лінія буде нескінченною, бо як і самі площині нічим не обмежені. Задамо на цій лінії точку і позначимо її, ну наприклад, як точка О1. А тепер сумісний цю точку О1 з центром сфери - точкою О і подивимося, що виходить?
А виходить дуже цікава картина:
· Як одна, так і інша площині будуть центральними площинами.
· Перетин цих площин з поверхнею сфери позначать великі кола
· Один з цих кіл - довільно, ми назвемо екватора, тоді інше коло буде називатися головних меридіанів.
· Лінія перетину двох площин однозначно визначить напрямок ЛІНІЇ Головна Меридіан.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Точки перетину лінії головного меридіана з поверхнею сфери позначимо, як М1 та М2
Далі ми поступаємо таким чином:
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Через центр сфери точку О в площині головного меридіана проведемо пряму, перпендикулярну лінії головного меридіана. Ця пряма носить назву ПОЛЯРНА ОСЬ.
Полярна вісь перетне поверхню сфери в двох точках, які називаються полюсами СФЕРИ. Позначимо ці точки, як Р1 і Р2.
Визначення координат точки в просторі
Тепер розглянемо процес визначення координат точки в просторі, а так само дамо найменування цим координатах. Для повноти картини, при визначенні положення точки, зазначимо основні напрямки, від яких проводиться відлік координат, а так само позитивний напрямок при відліку.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
1. Задаємо положення в просторі точки відліку (або точки спостереження). Позначимо цю точку буквою О.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
2. Будуємо сферу, радіус якої дорівнює довжині радіус-вектора точки А. (Радіус-вектор точки А - це відстань між точками О і А). Центр сфери розташовується в точці відліку О.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
3. Задаємо положення в просторі площини екватора, а відповідно площині Головна Меридіан. Слід нагадати, що ці площини взаємно перпендикулярні і є центральними.
4. Перетин цих площин з поверхнею сфери визначає нам положення кола екватора, кола головного меридіана, а так само напрям лінії головного меридіана і полярної осі.
5. Визначаємо положення полюсів полярної осі і полюсів лінії головного меридіана. (Полюса полярної осі - точки перетинання полярної осі з поверхнею сфери. Полюса лінії головного меридіана - це точки перетину лінії головного меридіана з поверхнею сфери).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
6. Через точку А і полярну вісь будуємо площину, яку назвемо площиною меридіана точки А. При перетині цій площині з поверхнею сфери вийде велике коло, який ми назвемо Меридіані точки А.
7. Меридіан точки А перетне коло Екватор в деякій точці, яку ми позначимо, як Е1
8. Положення точки Е1 на екваторіальному колі визначається довжиною дуги, укладеної між точками М1 і Е1. Відлік ведеться ПРОТИ годинникової стрілки. Дуга екваторіального кола, укладена між точками М1 і Е1 називається довгота точки А. Довгота позначається літерою .
Підведемо проміжний підсумок. На даний момент нам відомі ДВІ з ТРЬОХ координат, що описують положення точки А в просторі - це радіус-вектор (r) і довгота (). Тепер ми будемо визначати третю координату. Ця координата визначається положенням точки А на її меридіані. Але ось становище початкової точки, від якої відбувається відлік, однозначно не визначено: ми можемо починати відлік як від полюса сфери (точка Р1), так і від точки Е1, тобто від точки перетину ліній меридіана точки А і екватора (або іншими словами - від лінії екватора).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
У першому випадку, положення точки А на меридіані називають полярним Відстань (позначається як р) і визначається довжиною дуги, укладеної між точкою Р1 (або точкою полюса сфери) і точкою А. Відлік ведеться уздовж лінії меридіана від точки Р1 до точки А.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
У другому випадку, коли відлік ведеться від лінії екватора, положення точки А на лінії меридіана називається широтах (позначається як і визначається довжиною дуги, укладеної між точкою Е1 і точкою А.
Отже, положення якої-небудь точки в просторі може бути визначене тільки по відношенню до будь-яких інших точок. Та точка, відносно якої розглядається становище інших точок, називається точкою відліку. Ми так само застосовується і інше найменування точки відліку - точка спостереження. Зазвичай з точкою відліку (або з точкою спостереження) пов'язують будь-яку систему координат, яку і називають системою відліку. У вибраній системі відліку положення КОЖНІЙ точки визначається ТРЬОМА координатами.
Права декартова (або прямокутна) система координат
Ця система координат являє собою три взаємно перпендикулярних спрямованих прямих, яких називають також осями координат, що перетинаються в одній точці (початку координат). Точка початку координат зазвичай позначається буквою О.
Осі координат носять назви:
1. Вісь абсцис - позначається як OX;
2. Вісь ординат - позначається як OY;
3. Вісь аплікат - позначається як OZ
SHAPE \ * MERGEFORMAT
X |
Y |
Z |
O |
SHAPE \ * MERGEFORMAT
X |
Y |
Z |
А |
O |
Тепер пояснимо, чому ця система координат називається правою. Давайте подивимося на площину XOY з позитивного напрямку осі OZ, наприклад з точки А, як це показано на малюнку.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
X |
Y |
Z |
А |
O |
Припустимо, що ми починаємо повертати вісь OX навколо точки О. Так ось - права система координат має таку властивість, що, якщо дивитися на площину XOY з будь-якої точки позитивної півосі OZ (у нас - це точка А), то, при повороті осі OX на 90 проти годинникової стрілки, її позитивний напрямок співпаде з позитивним напрямом осі OY.
Таке рішення було прийнято в науковому світі, нам же залишається приймати це так, як воно є.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
X |
Y |
Z |
А (x, y, z) |
O |
x |
y |
z |
Отже, після того, як ми визначилися з системою відліку (у нашому випадку - правої декартової системою координат), положення будь-якої точки описується через значення її координат або іншими словами - через величини проекцій цієї точки на осі координат.
Записується це так: A (x, y, z), де x, y, z - і є координати точки А.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Прямокутну систему координат можна уявити собі, як лінії перетину трьох взаємно перпендикулярних площин.
Слід зауважити, що орієнтувати прямокутну систему координат у просторі можна як завгодно, при цьому треба виконати тільки одну умову - початок координат має збігатися з центром відліку (або точкою спостереження).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
x |
y |
z |
x |
y |
z |
x |
y |
z |
Сферична система координат
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Про |
А |
r |
Положення точки в просторі можна описати і іншим способом. Припустимо, що ми вибрали область простору, в якому розташовується точка відліку Про (або точка спостереження), і ще нам відома відстань від точки відліку до деякої точки А. З'єднаємо ці дві точки прямої ОА. Ця пряма називається радіус-вектором і позначається, як r. Всі крапки, що мають одне і теж значення радіус-вектора, лежать на сфері, центр якої знаходиться в точці відліку (або точки спостереження), а радіус цієї сфери дорівнює, відповідно радіус-вектора.
Таким чином, нам стає очевидним, що знання величини радіус-вектора не дає нам однозначної відповіді про становище цікавить нас точки. Потрібні ще ДВІ координати, адже для однозначного визначення місцеположення точки кількість координат має дорівнювати ТРЬОХ.
Далі ми поступимо таким чином - побудуємо дві взаємно перпендикулярні площини, які, природно, дадуть лінію перетину, і ця лінія буде нескінченною, бо як і самі площині нічим не обмежені. Задамо на цій лінії точку і позначимо її, ну наприклад, як точка О1. А тепер сумісний цю точку О1 з центром сфери - точкою О і подивимося, що виходить?
Про |
Про |
О1 |
О1 |
А виходить дуже цікава картина:
· Як одна, так і інша площині будуть центральними площинами.
· Перетин цих площин з поверхнею сфери позначать великі кола
· Один з цих кіл - довільно, ми назвемо екватора, тоді інше коло буде називатися головних меридіанів.
· Лінія перетину двох площин однозначно визначить напрямок ЛІНІЇ Головна Меридіан.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
М1 |
М2 |
Головний Меридіан |
Екватор |
Лінія головний меридіан |
Точки перетину лінії головного меридіана з поверхнею сфери позначимо, як М1 та М2
Далі ми поступаємо таким чином:
SHAPE \ * MERGEFORMAT
М1 |
М2 |
Полярна Вісь |
Р1 |
Р2 |
Через центр сфери точку О в площині головного меридіана проведемо пряму, перпендикулярну лінії головного меридіана. Ця пряма носить назву ПОЛЯРНА ОСЬ.
Полярна вісь перетне поверхню сфери в двох точках, які називаються полюсами СФЕРИ. Позначимо ці точки, як Р1 і Р2.
Визначення координат точки в просторі
Тепер розглянемо процес визначення координат точки в просторі, а так само дамо найменування цим координатах. Для повноти картини, при визначенні положення точки, зазначимо основні напрямки, від яких проводиться відлік координат, а так само позитивний напрямок при відліку.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Про |
А |
1. Задаємо положення в просторі точки відліку (або точки спостереження). Позначимо цю точку буквою О.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Про |
А |
2. Будуємо сферу, радіус якої дорівнює довжині радіус-вектора точки А. (Радіус-вектор точки А - це відстань між точками О і А). Центр сфери розташовується в точці відліку О.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Про |
А |
М1 |
М2 |
Р1 |
Р2 |
3. Задаємо положення в просторі площини екватора, а відповідно площині Головна Меридіан. Слід нагадати, що ці площини взаємно перпендикулярні і є центральними.
4. Перетин цих площин з поверхнею сфери визначає нам положення кола екватора, кола головного меридіана, а так само напрям лінії головного меридіана і полярної осі.
5. Визначаємо положення полюсів полярної осі і полюсів лінії головного меридіана. (Полюса полярної осі - точки перетинання полярної осі з поверхнею сфери. Полюса лінії головного меридіана - це точки перетину лінії головного меридіана з поверхнею сфери).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Про |
А |
М1 |
М2 |
Р1 |
Р2 |
Е1 |
Довгота |
6. Через точку А і полярну вісь будуємо площину, яку назвемо площиною меридіана точки А. При перетині цій площині з поверхнею сфери вийде велике коло, який ми назвемо Меридіані точки А.
7. Меридіан точки А перетне коло Екватор в деякій точці, яку ми позначимо, як Е1
8. Положення точки Е1 на екваторіальному колі визначається довжиною дуги, укладеної між точками М1 і Е1. Відлік ведеться ПРОТИ годинникової стрілки. Дуга екваторіального кола, укладена між точками М1 і Е1 називається довгота точки А. Довгота позначається літерою .
Підведемо проміжний підсумок. На даний момент нам відомі ДВІ з ТРЬОХ координат, що описують положення точки А в просторі - це радіус-вектор (r) і довгота (). Тепер ми будемо визначати третю координату. Ця координата визначається положенням точки А на її меридіані. Але ось становище початкової точки, від якої відбувається відлік, однозначно не визначено: ми можемо починати відлік як від полюса сфери (точка Р1), так і від точки Е1, тобто від точки перетину ліній меридіана точки А і екватора (або іншими словами - від лінії екватора).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Про |
А |
М1 |
М2 |
Р1 |
Р2 |
Е1 |
Довгота |
Полярне відстань |
У першому випадку, положення точки А на меридіані називають полярним Відстань (позначається як р) і визначається довжиною дуги, укладеної між точкою Р1 (або точкою полюса сфери) і точкою А. Відлік ведеться уздовж лінії меридіана від точки Р1 до точки А.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Про |
А |
М1 |
М2 |
Р1 |
Р2 |
Е1 |
Довгота |
Широта |
У другому випадку, коли відлік ведеться від лінії екватора, положення точки А на лінії меридіана називається широтах (позначається як і визначається довжиною дуги, укладеної між точкою Е1 і точкою А.
Тепер ми можемо остаточно сказати, що положення точки А в сферичній системі координат визначається через:
· Довжину радіуса сфери (r),
· Довжину дуги довготи (),
· Довжину дуги полярного відстані (р)
У цьому випадку координати точки А запишуться таким чином: А (r, , p)
Якщо користуватися іншою системою відліку, то положення точки А в сферичній системі координат визначається через:
· Довжину радіуса сфери (r),
· Довжину дуги довготи (),
· Довжину дуги широти ()
У цьому випадку координати точки А запишуться таким чином: А (r, , )
Способи вимірювання дуг
Виникає питання - як же нам виміряти ці дуги? Самий простий і природний спосіб - це провести безпосереднє вимірювання довжин дуг гнучкою лінійкою, і це можливо, якщо розміри сфери можна порівняти з розмірами людини. Але як вчинити, якщо ця умова не здійснимо?
У цьому випадку ми вдамося до вимірювання ВІДНОСНОЇ довжини дуги. За еталон ж ми приймемо довжину кола, частиною якої є цікавить нас дуга. Як це можна зробити?
Нам відомо, що довжина кола пропорційна її радіусу. Аналітично це твердження запишеться як:
Природно, що довжина дуги так само буде пропорційна радіусу окружності:
Розглянемо співвідношення:
Як ми бачимо, це співвідношення вже НЕ ЗАЛЕЖИТЬ від радіусу кола.
Тепер згадаємо ВИЗНАЧЕННЯ окружності. Окружність - це геометричне місце точок площини, рівновіддалених від однієї її точки (центру). Відрізок прямої, що з'єднує центр кола з однією з її точок називається радіусом окружності.
З визначення, дане для окружності, виходить, що ВСІ радіуси однієї і тієї ж кола ДОРІВНЮЮТЬ між собою.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Якщо ми проведемо ДВА радіусу, то в нас вийде кут, який носить назву ЦЕНТРАЛЬНОГО кута. Як ми бачимо, центральний кут спирається на дугу кола. Очевидно, що довжина дуги, описуваної кінцем радіуса, пропорційна величині відповідного центрального кута.
Якщо радіус опише один оборот, то довжина дуги буде дорівнює довжині кола.
Розглянемо ще раз співвідношення
Таким чином, у нас виходить, що відносна довжина дуги чисельно дорівнює величині центрального кута, що спирається на цю дугу.
Тепер ми можемо зробити наступні висновки:
1. В одній і тій же окружності довжини дуг можна вимірювати кутовий заходом.
2. Відносні довжини дуг, що належать різним колах, будуть рівні, якщо рівні центральні кути, що спираються на ці дуги.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
У Вас, мій дорогий читачу, виникає закономірне питання - до чого це настільки довге і нудне пояснення? Але згадаємо визначення, дане нами Небесної сфері. З цього визначення випливає, що всі небесні тіла розташовуються на поверхні Небесної сфери, тобто, так виходить, що радіус-вектори всіх небесних об'єктів - однаково. А звідси випливає, що положення небесних об'єктів на Небесну сферу можна ОДНОЗНАЧНО визначити не трьома, а ДВОМА координатами - це, в загальному випадку:
· Довгота ( ) і широта ( ). [A ( )] або
· Довгота ( ) і полярне відстань ( ). [A ( )]
причому, ці координати вимірюються центральними кутами між відповідними напрямами та вимірюються кутовий заходом.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Величина довготи ( ) відповідає величині центрального кута між ЛІНІЄЮ Головна Меридіан
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Величина полярного відстані ( ) відповідає величині центрального кута між полярною віссю
· Довжину радіуса сфери (r),
· Довжину дуги довготи (),
· Довжину дуги полярного відстані (р)
У цьому випадку координати точки А запишуться таким чином: А (r, , p)
Якщо користуватися іншою системою відліку, то положення точки А в сферичній системі координат визначається через:
· Довжину радіуса сфери (r),
· Довжину дуги довготи (),
· Довжину дуги широти ()
У цьому випадку координати точки А запишуться таким чином: А (r, , )
Способи вимірювання дуг
Виникає питання - як же нам виміряти ці дуги? Самий простий і природний спосіб - це провести безпосереднє вимірювання довжин дуг гнучкою лінійкою, і це можливо, якщо розміри сфери можна порівняти з розмірами людини. Але як вчинити, якщо ця умова не здійснимо?
У цьому випадку ми вдамося до вимірювання ВІДНОСНОЇ довжини дуги. За еталон ж ми приймемо довжину кола, частиною якої є цікавить нас дуга. Як це можна зробити?
Нам відомо, що довжина кола пропорційна її радіусу. Аналітично це твердження запишеться як:
Природно, що довжина дуги так само буде пропорційна радіусу окружності:
Розглянемо співвідношення:
Як ми бачимо, це співвідношення вже НЕ ЗАЛЕЖИТЬ від радіусу кола.
Тепер згадаємо ВИЗНАЧЕННЯ окружності. Окружність - це геометричне місце точок площини, рівновіддалених від однієї її точки (центру). Відрізок прямої, що з'єднує центр кола з однією з її точок називається радіусом окружності.
З визначення, дане для окружності, виходить, що ВСІ радіуси однієї і тієї ж кола ДОРІВНЮЮТЬ між собою.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
a |
D |
Якщо ми проведемо ДВА радіусу, то в нас вийде кут, який носить назву ЦЕНТРАЛЬНОГО кута. Як ми бачимо, центральний кут спирається на дугу кола. Очевидно, що довжина дуги, описуваної кінцем радіуса, пропорційна величині відповідного центрального кута.
Якщо радіус опише один оборот, то довжина дуги буде дорівнює довжині кола.
Розглянемо ще раз співвідношення
Таким чином, у нас виходить, що відносна довжина дуги чисельно дорівнює величині центрального кута, що спирається на цю дугу.
Тепер ми можемо зробити наступні висновки:
1. В одній і тій же окружності довжини дуг можна вимірювати кутовий заходом.
2. Відносні довжини дуг, що належать різним колах, будуть рівні, якщо рівні центральні кути, що спираються на ці дуги.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
a |
a |
D |
D |
У Вас, мій дорогий читачу, виникає закономірне питання - до чого це настільки довге і нудне пояснення? Але згадаємо визначення, дане нами Небесної сфері. З цього визначення випливає, що всі небесні тіла розташовуються на поверхні Небесної сфери, тобто, так виходить, що радіус-вектори всіх небесних об'єктів - однаково. А звідси випливає, що положення небесних об'єктів на Небесну сферу можна ОДНОЗНАЧНО визначити не трьома, а ДВОМА координатами - це, в загальному випадку:
· Довгота ( ) і широта ( ). [A ( )] або
· Довгота ( ) і полярне відстань ( ). [A ( )]
причому, ці координати вимірюються центральними кутами між відповідними напрямами та вимірюються кутовий заходом.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Про |
А |
М1 |
Р1 |
Р2 |
Е1 |
Довгота |
Величина довготи ( ) відповідає величині центрального кута між ЛІНІЄЮ Головна Меридіан
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Про |
А |
М1 |
Р1 |
Р2 |
Е1 |
Полярне відстань |
Величина полярного відстані ( ) відповідає величині центрального кута між полярною віссю