ГОУ СПО «Кунгурской педагогічне училище»
ПЦК викладачів природничо-математичних дисциплін
Допущена до захисту:
Заст. директора з навчальної роботи
Л. А. Патракова
2008
Голова ПЦК
природничо-математичних
дисциплін
Т. А. Трясцина
2008
Використання моделювання в навчанні рішенням
завдань у 5 класі
Випускна кваліфікаційна робота з методики викладання математики
Власової Ольги Сергіївни
спеціальність: 050201
Математика
група: М - 51 відділення: очне
Керівник:
викладач методики математики
Т.А. Трясцина
Захист відбувся:
Відмітка:
Голова ДАК:
2008
ПЦК викладачів природничо-математичних дисциплін
Допущена до захисту:
Заст. директора з навчальної роботи
Л. А. Патракова
2008
Голова ПЦК
природничо-математичних
дисциплін
Т. А. Трясцина
2008
Використання моделювання в навчанні рішенням
завдань у 5 класі
Випускна кваліфікаційна робота з методики викладання математики
Власової Ольги Сергіївни
спеціальність: 050201
Математика
група: М - 51 відділення: очне
Керівник:
викладач методики математики
Т.А. Трясцина
Захист відбувся:
Відмітка:
Голова ДАК:
2008
Зміст
Введення
Глава 1. Теоретичні основи використання моделювання у процесі навчання.
1.1. Поняття моделі і моделювання в навчально-методичній літературі
1.2. Моделювання у вирішенні текстових завдань
Глава 2. Методико-математичні основи використання моделювання.
2.1. Практичний досвід використання моделей при вирішенні завдань на рух в 5 класі
2.2. Дослідно-експериментальна робота. Аналіз її результатів
Висновок
Література
Програми
Введення
Глава 1. Теоретичні основи використання моделювання у процесі навчання.
1.1. Поняття моделі і моделювання в навчально-методичній літературі
1.2. Моделювання у вирішенні текстових завдань
Глава 2. Методико-математичні основи використання моделювання.
2.1. Практичний досвід використання моделей при вирішенні завдань на рух в 5 класі
2.2. Дослідно-експериментальна робота. Аналіз її результатів
Висновок
Література
Програми
Введення
Вирішенню текстових завдань відводиться досить багато часу в шкільному курсі математики. У ході роботи над завданнями педагог розкриває зв'язки між даними і шуканими величинами, відносини, задані в умові.
Навчальна діяльність при вирішенні завдань складається з розумових дій і здійснюється ефективно, якщо спочатку вона відбувається на основі зовнішніх дій з предметами. Головною проблемою залишається те, що діти не можуть перейти від тексту завдання до математичної моделі.
Навчання математики вимагає розвитку у дітей самостійності у вирішенні текстових завдань. Кожен учень повинен вміти коротко записувати умову задачі, ілюструючи її за допомогою малюнка, схеми, креслення та інших видів моделей, обгрунтовувати кожен крок в аналізі задачі та її вирішенні, перевіряти правильність рішення.
«Малюнки, схеми, креслення не тільки допомагають учням у свідомому виявленні прихованих залежностей між величинами, а й спонукають активно мислити, шукати найбільш раціональні шляхи вирішення завдань, допомагають не тільки засвоювати знання, але й опановувати умінням застосовувати їх. Ці умови необхідні для того, щоб навчання мало розвиваючий характер »[10, 7].
Графічні зображення, що використовуються для постановки пізнавальних завдань, наочно представляючи співвідношення між даними і шуканими величинами, допомагають учням схопити мовної сенс проблемної ситуації, а потім і знайти можливий шлях вирішення.
Головне для кожного учня на цьому етапі - зрозуміти задачу, тобто усвідомити, що в неї відомо, що потрібно дізнатися, як пов'язані між собою дані, які відносини між даними і шуканими параметрами. Для цього слід застосовувати моделювання та навчати цьому дітей.
Діюча програма навчання математики вимагає розвитку самостійності в учнів у вирішенні текстових завдань. Ще в початковій
школі кожен учень повинен вміти коротко записувати умову задачі, ілюструючи її за допомогою малюнка, схеми або креслення, обгрунтовувати кожен крок в аналізі задачі й у її вирішенні, перевіряти правильність її рішення. Однак на практиці вимоги програми виконуються далеко не повністю, що призводить до серйозних проблем у знаннях і навичках учнів.
Метою даної випускної кваліфікаційної роботи є розробка різних допоміжних моделей, що використовуються при вирішенні завдань.
Завдання:
1. вивчити наукову, методичну літературу з даного питання;
2. розробити конспекти уроків математики;
3. провести уроки та проаналізувати їх.
Об'єкт дослідження: процес навчання п'ятикласників рішенню текстових задач на уроках математики.
Предмет: моделювання як засіб навчання рішенню завдань.
Контингент: учні 5 класів Бреховскіх школи.
Гіпотеза: використання моделювання сприяє формуванню вміння розв'язувати текстові задачі.
При написанні даної роботи, використовувалася наукова, методична література, довідкові матеріали. Усього проаналізовано понад двадцяти джерел.
Вирішенню текстових завдань відводиться досить багато часу в шкільному курсі математики. У ході роботи над завданнями педагог розкриває зв'язки між даними і шуканими величинами, відносини, задані в умові.
Навчальна діяльність при вирішенні завдань складається з розумових дій і здійснюється ефективно, якщо спочатку вона відбувається на основі зовнішніх дій з предметами. Головною проблемою залишається те, що діти не можуть перейти від тексту завдання до математичної моделі.
Навчання математики вимагає розвитку у дітей самостійності у вирішенні текстових завдань. Кожен учень повинен вміти коротко записувати умову задачі, ілюструючи її за допомогою малюнка, схеми, креслення та інших видів моделей, обгрунтовувати кожен крок в аналізі задачі та її вирішенні, перевіряти правильність рішення.
«Малюнки, схеми, креслення не тільки допомагають учням у свідомому виявленні прихованих залежностей між величинами, а й спонукають активно мислити, шукати найбільш раціональні шляхи вирішення завдань, допомагають не тільки засвоювати знання, але й опановувати умінням застосовувати їх. Ці умови необхідні для того, щоб навчання мало розвиваючий характер »[10, 7].
Графічні зображення, що використовуються для постановки пізнавальних завдань, наочно представляючи співвідношення між даними і шуканими величинами, допомагають учням схопити мовної сенс проблемної ситуації, а потім і знайти можливий шлях вирішення.
Головне для кожного учня на цьому етапі - зрозуміти задачу, тобто усвідомити, що в неї відомо, що потрібно дізнатися, як пов'язані між собою дані, які відносини між даними і шуканими параметрами. Для цього слід застосовувати моделювання та навчати цьому дітей.
Діюча програма навчання математики вимагає розвитку самостійності в учнів у вирішенні текстових завдань. Ще в початковій
школі кожен учень повинен вміти коротко записувати умову задачі, ілюструючи її за допомогою малюнка, схеми або креслення, обгрунтовувати кожен крок в аналізі задачі й у її вирішенні, перевіряти правильність її рішення. Однак на практиці вимоги програми виконуються далеко не повністю, що призводить до серйозних проблем у знаннях і навичках учнів.
Метою даної випускної кваліфікаційної роботи є розробка різних допоміжних моделей, що використовуються при вирішенні завдань.
Завдання:
1. вивчити наукову, методичну літературу з даного питання;
2. розробити конспекти уроків математики;
3. провести уроки та проаналізувати їх.
Об'єкт дослідження: процес навчання п'ятикласників рішенню текстових задач на уроках математики.
Предмет: моделювання як засіб навчання рішенню завдань.
Контингент: учні 5 класів Бреховскіх школи.
Гіпотеза: використання моделювання сприяє формуванню вміння розв'язувати текстові задачі.
При написанні даної роботи, використовувалася наукова, методична література, довідкові матеріали. Усього проаналізовано понад двадцяти джерел.
Глава 1. Теоретичні основи моделювання
1.1. Поняття моделі та моделювання
З середини XX століття в самих різних областях людської діяльності стали широко застосовувати математичні методи і ЕОМ. Виникли такі нові дисципліни, як «математична економіка», «математична хімія», «математична лінгвістика» і т.д., які вивчають математичні моделі відповідних об'єктів і явищ, а також методи дослідження цих моделей.
Взагалі в науці широко використовується метод моделювання. Він полягає в тому, що для дослідження будь-якого об'єкта чи явища вибирають або будують інший об'єкт, в якомусь відношенні, подібний досліджуваного. Побудований або вибраний об'єкт вивчають і з його допомогою вирішують дослідження задачі, а потім результати вирішення цих завдань переносять на початкові явища або об'єкт.
«Під моделлю (від лат. Modulus - міра, зразок, норма) розуміють такий матеріальний чи подумки представлений об'єкт, який у процесі пізнання (вивчення) заміщає об'єкт - оригінал, зберігаючи деякі важливі для даного дослідження типові риси. Процес побудови та використання моделі, називається моделюванням. »[6, 123]
У всіх науках моделі виступають як потужне знаряддя пізнання.
Наприклад:
1. Люди здавна цікавляться, як влаштована наша Всесвіт. Цей інтерес не тільки пізнавальний, але і суто практичний, так як люди хотіли навчитися передбачати періодичні явища, пов'язані з улаштуванням Всесвіту, такі, як: затемнення сонця і місяця, зміну пір року.
«Для вирішення цих завдань, вчені будували свої уявлення про Всесвіт у вигляді схеми картини світу, в якій об'єкти (планети, Сонце, зірки, Земля і Місяць) зображувалися крапками, що рухаються по якимось кривим - траєкторіях їх руху. Такі, наприклад, схеми, побудовані Птолемеєм, у яких центральне місце займала наша Земля, або схема Коперника, в якій центральне місце займало Сонце.
За допомогою цих схем вчені вирішували завдання передбачення окремих астрономічних явищ. Ці схеми або картини світу - суть моделі Всесвіту, а метод дослідження Всесвіту, знаходження законів і вирішення завдань, пов'язаних з допомогою цих моделей, є методом моделювання »[19, 185].
2. Люди здавна цікавляться, як влаштовані вони самі, як функціонує людський організм. Але дослідити ці питання на живому людському організмі дуже важко. Бо таке вивчення до появи особливих приладів було пов'язане із загибеллю цього організму. Тоді вчені стали досліджувати пристрій людського організму на подібних його організму тварин. Вивчення організму тварин, їх функціонування допомогло встановити багато найважливіші закономірності функціонування людського організму.
У цих дослідженнях організми тварин виступали в якості моделі людського організму.
У математиці широко використовується метод моделювання при вирішенні завдань.
«Математичної моделлю можна назвати спеціальне опис (часто наближене) деякої проблеми, ситуації, яке дає змогу в процесі її аналізу застосовувати формально - логічний апарат математики. При математичному моделюванні маємо справу з теоретичної копією, яка в математичній формі висловлює основні закономірності, властивості досліджуваного об'єкта »[17, 131].
Основна мета моделювання - дослідити ці об'єкти і передбачити результати майбутніх спостережень. Проте моделювання - це ще і метод пізнання навколишнього світу, що дає можливість керувати ним.
«У процесі математичного моделювання виділяють три етапи:
1. Формалізація - переклад запропонованого завдання (ситуації) на мову
математичної теорії (побудова математичної моделі задачі).
2. Рішення завдання в рамках математичної теорії (кажуть: рішення всередині моделі).
3.Перевод результату математичного рішення задачі на ту мову, на якому була сформульована вихідна задача (інтерпретація рішення). »[20, 2]
Найчастіше математична модель представляє собою трохи спрощену схему (опис) оригіналу, а значить, володіє певним рівнем похибки.
Одна і та ж модель може описувати різні процеси, об'єкти, тому результати внутрішньомодельна дослідження одного явища найчастіше можуть бути перенесені на інше. У цьому полягає одна з основних достоїнств математичного моделювання.
«Математика не тільки створила різноманітні внутрішні моделі алгебри, геометрії, функції комплексного змінного, диференціальних рівнянь і т.д., але й допомогла природознавства побудувати математичні моделі механіки, електродинаміки, термодинаміки, хімічної кінетики, мікросвіту, простору - часу й тяжіння, ймовірностей передачі повідомлень, управління, логічного висновку. »[6, 124]
Створенням моделей математика часто випереджала потреби природознавства і техніки. [Додаток 1]
Реалізація універсального математичного методу пізнання є основна мета і завдання сучасної математики. Вона включає, в першу чергу, побудова нових, невідомих математичних моделей, зокрема в біології, для пізнання життя і діяльності мозку, мікросвіту, нових, фантастичних технологій і техніки, а також пізнання економічних і соціальних явищ також за допомогою математичних моделей різними математичними методами . Будь-яка математична задача складається з умови (затвердження), питання чи вимоги. Причому, в задачі зазвичай не одне, а кілька елементарних умов. Вони являють собою кількісні або якісні характеристики об'єктів завдання і відносини між ними.
Вимог у завданнях теж може бути декілька. Вони можуть бути сформульовані, як у питальній, так і в стверджувальній формі. Умови і вимоги взаємопов'язані. Систему взаємопов'язаних умов і вимог називають висказивательной моделлю (словесної).
«Глибина і значимість відкриттів, які робить школяр, вирішуючи завдання, визначається характером здійснюваної ним діяльності і мірою її засвоєння, тим, якими засобами цієї діяльності він опанує. Для того щоб учень міг виділити і освоїти спосіб вирішення широкого класу задач, а не обмежувався знаходженням відповіді у цій, конкретного завдання, він повинен оволодіти деякими теоретичними знаннями про завдання, перш за все, про її структуру »[5, 132].
Щоб структура задачі стала предметом аналізу і вивчення, необхідно відокремити її від усього несуттєвого і представити в такому вигляді, який забезпечував би необхідні дії. Зробити це можна шляхом особливих знаково-символічних засобів - моделей, однозначно відображають структуру задачі і досить простих для сприйняття школярами.
«У структурі будь-якої задачі виділяють:
1. Предметну область, тобто об'єкти, про які йде мова в задачі.
2. Відносини, які пов'язують об'єкти предметної області.
3. Вимоги завдання »[7, 93].
Усі моделі можна розділити на схематизовані і знакові за видами засобів, що використовуються для їх побудови.
Схематизовані моделі, у свою чергу, діляться на речові і графічні в залежності від того, яку дію вони забезпечують. Речові (або предметні) моделі текстових завдань забезпечують фізичне дію з предметами. Вони можуть будуватися з будь-яких предметів, вони можуть бути представлені різного роду ісценіровкамі сюжету завдань. До цього виду моделей зараховують і уявне відтворення реальної ситуації, описаної в задачі, у вигляді уявлень.
«Графічні моделі використовуються, як правило, для узагальненого, схематичного відтворення ситуації завдання. До графічних слід віднести наступні види моделей:
· Малюнок;
· Умовний малюнок;
· Креслення;
· Схематичний креслення (або просто схема).
Знакові моделі можуть бути виконані як на природному мовою, так і на математичній мові. До знакових моделях, виконаним на природній мові, можна віднести:
- Коротку запис задачі;
- Таблиці »[22, 130].
Таблиця як вид знакової моделі використовується головним чином тоді, коли в задачі є кілька взаємозалежних величин, кожна з яких задана одним або кількома значеннями.
Знаковими моделями текстових завдань, виконаними на математичній мові, є:
- Вираз;
- Рівняння;
- Система рівнянь;
- Запис вирішення завдання по діях.
Схематизовані, графічні і знакові моделі, виконані на природній мові - допоміжні моделі, а знакові моделі, виконані на математичній мові - вирішальні.
Рівень оволодіння моделюванням визначає успіх вирішального. Тому навчання моделюванню займає особливе і головне місце у формуванні вміння розв'язувати задачі.
Корисно застосовувати креслення та схематичні малюнки, блок - схеми,
моделювання за допомогою відрізків і таблиць.
«Графічні моделі і таблиці дозволяють порівнювати пари понять: ліва - права, верхня - нижня, пов'язувати просторову інформацію з інформацією заходи, тим самим, формуючи вміння розв'язувати задачі.» [14, 113]
Отже, модель потрібна для того, щоб зрозуміти, як влаштований конкретний об'єкт, яка його структура, основні властивості, закони розвитку; навчитися управляти об'єктом або процесом, визначати найкращі способи управління при заданих цілях і критеріях.
1.2. Моделювання у вирішенні текстових завдань
«Завдання - це така ситуація, яка пов'язана з числами і вимагає виконання арифметичних дій над ними» [1, 171].
«Текстова завдання - це словесна модель деякого явища (ситуації, процесу). Щоб вирішити таке завдання, треба перевести її на мову математичних дій, тобто побудувати її математичну модель.
Рішення будь-якої задачі - процес складної розумової діяльності. Реальні об'єкти і процеси в задачі бувають настільки багатогранні і складні, що кращим способом їх вивчення часто є побудова та дослідження моделі як потужного знаряддя пізнання. »[4, 5]
Вирішенню текстових задач у навчанні приділяється величезна увага. Пов'язано це з тим, що такі завдання часто є не тільки засобом формування багатьох математичних понять, але і головне - засобом формування умінь будувати математичні моделі реальних явищ, а також засобом розвитку мислення дітей. Існують різні методичні підходи до навчання дітей рішенню текстових задач. Але яку б методику навчання не вибрав вчитель, йому треба знати, як побудовані такі завдання.
«Будь-яка текстова задача являє собою опис якого-небудь явища (ситуації, процесу). З цієї точки зору текстова задача є словесна модель явища (ситуації, процесу). І, як у будь-моделі, в текстовій завданню описується не все явище в цілому, а лише деякі його сторони, головним чином, його кількісні характеристики. »[22, 121]
Узагальнюючи, можна сказати, що текстова задача є опис на природній мові певного явища (ситуації, процесу) з вимогою дати кількісну характеристику будь-якого компонента цього явища, встановити наявність або відсутність деякого відносини між компонентами або визначити вид цього відношення.
Твердження завдання називають умовами. У задачі зазвичай не одна умова, а кілька елементарних умов. Вони являють собою кількісні або якісні характеристики об'єктів завдання і відносин між ними. Вимог у задачі може бути декілька. Вони можуть бути сформульовані як у питальній, так і позитивної формі. Умови і вимоги взаємопов'язані. Систему взаємопов'язаних умов і вимог називають висказивательной моделлю завдання. Таким чином, щоб зрозуміти, якою є структура завдання, треба виявити її умови та вимоги, відкинувши все зайве, другорядне, яке не впливає на її структуру. Іншими словами, треба побудувати висказивательную модель задачі. Щоб отримати цю модель, треба текст завдання розгорнути (зробити це можна письмово або усно), тому що текст завдання, як правило, дається в скороченому, згорнутому вигляді. Для цього можна перефразувати задачу, побудувати її графічну модель, ввести будь-які позначення і т.д.
1.1. Поняття моделі та моделювання
З середини XX століття в самих різних областях людської діяльності стали широко застосовувати математичні методи і ЕОМ. Виникли такі нові дисципліни, як «математична економіка», «математична хімія», «математична лінгвістика» і т.д., які вивчають математичні моделі відповідних об'єктів і явищ, а також методи дослідження цих моделей.
Взагалі в науці широко використовується метод моделювання. Він полягає в тому, що для дослідження будь-якого об'єкта чи явища вибирають або будують інший об'єкт, в якомусь відношенні, подібний досліджуваного. Побудований або вибраний об'єкт вивчають і з його допомогою вирішують дослідження задачі, а потім результати вирішення цих завдань переносять на початкові явища або об'єкт.
«Під моделлю (від лат. Modulus - міра, зразок, норма) розуміють такий матеріальний чи подумки представлений об'єкт, який у процесі пізнання (вивчення) заміщає об'єкт - оригінал, зберігаючи деякі важливі для даного дослідження типові риси. Процес побудови та використання моделі, називається моделюванням. »[6, 123]
У всіх науках моделі виступають як потужне знаряддя пізнання.
Наприклад:
1. Люди здавна цікавляться, як влаштована наша Всесвіт. Цей інтерес не тільки пізнавальний, але і суто практичний, так як люди хотіли навчитися передбачати періодичні явища, пов'язані з улаштуванням Всесвіту, такі, як: затемнення сонця і місяця, зміну пір року.
«Для вирішення цих завдань, вчені будували свої уявлення про Всесвіт у вигляді схеми картини світу, в якій об'єкти (планети, Сонце, зірки, Земля і Місяць) зображувалися крапками, що рухаються по якимось кривим - траєкторіях їх руху. Такі, наприклад, схеми, побудовані Птолемеєм, у яких центральне місце займала наша Земля, або схема Коперника, в якій центральне місце займало Сонце.
За допомогою цих схем вчені вирішували завдання передбачення окремих астрономічних явищ. Ці схеми або картини світу - суть моделі Всесвіту, а метод дослідження Всесвіту, знаходження законів і вирішення завдань, пов'язаних з допомогою цих моделей, є методом моделювання »[19, 185].
2. Люди здавна цікавляться, як влаштовані вони самі, як функціонує людський організм. Але дослідити ці питання на живому людському організмі дуже важко. Бо таке вивчення до появи особливих приладів було пов'язане із загибеллю цього організму. Тоді вчені стали досліджувати пристрій людського організму на подібних його організму тварин. Вивчення організму тварин, їх функціонування допомогло встановити багато найважливіші закономірності функціонування людського організму.
У цих дослідженнях організми тварин виступали в якості моделі людського організму.
У математиці широко використовується метод моделювання при вирішенні завдань.
«Математичної моделлю можна назвати спеціальне опис (часто наближене) деякої проблеми, ситуації, яке дає змогу в процесі її аналізу застосовувати формально - логічний апарат математики. При математичному моделюванні маємо справу з теоретичної копією, яка в математичній формі висловлює основні закономірності, властивості досліджуваного об'єкта »[17, 131].
Основна мета моделювання - дослідити ці об'єкти і передбачити результати майбутніх спостережень. Проте моделювання - це ще і метод пізнання навколишнього світу, що дає можливість керувати ним.
«У процесі математичного моделювання виділяють три етапи:
1. Формалізація - переклад запропонованого завдання (ситуації) на мову
математичної теорії (побудова математичної моделі задачі).
2. Рішення завдання в рамках математичної теорії (кажуть: рішення всередині моделі).
3.Перевод результату математичного рішення задачі на ту мову, на якому була сформульована вихідна задача (інтерпретація рішення). »[20, 2]
Найчастіше математична модель представляє собою трохи спрощену схему (опис) оригіналу, а значить, володіє певним рівнем похибки.
Одна і та ж модель може описувати різні процеси, об'єкти, тому результати внутрішньомодельна дослідження одного явища найчастіше можуть бути перенесені на інше. У цьому полягає одна з основних достоїнств математичного моделювання.
«Математика не тільки створила різноманітні внутрішні моделі алгебри, геометрії, функції комплексного змінного, диференціальних рівнянь і т.д., але й допомогла природознавства побудувати математичні моделі механіки, електродинаміки, термодинаміки, хімічної кінетики, мікросвіту, простору - часу й тяжіння, ймовірностей передачі повідомлень, управління, логічного висновку. »[6, 124]
Створенням моделей математика часто випереджала потреби природознавства і техніки. [Додаток 1]
Реалізація універсального математичного методу пізнання є основна мета і завдання сучасної математики. Вона включає, в першу чергу, побудова нових, невідомих математичних моделей, зокрема в біології, для пізнання життя і діяльності мозку, мікросвіту, нових, фантастичних технологій і техніки, а також пізнання економічних і соціальних явищ також за допомогою математичних моделей різними математичними методами . Будь-яка математична задача складається з умови (затвердження), питання чи вимоги. Причому, в задачі зазвичай не одне, а кілька елементарних умов. Вони являють собою кількісні або якісні характеристики об'єктів завдання і відносини між ними.
Вимог у завданнях теж може бути декілька. Вони можуть бути сформульовані, як у питальній, так і в стверджувальній формі. Умови і вимоги взаємопов'язані. Систему взаємопов'язаних умов і вимог називають висказивательной моделлю (словесної).
«Глибина і значимість відкриттів, які робить школяр, вирішуючи завдання, визначається характером здійснюваної ним діяльності і мірою її засвоєння, тим, якими засобами цієї діяльності він опанує. Для того щоб учень міг виділити і освоїти спосіб вирішення широкого класу задач, а не обмежувався знаходженням відповіді у цій, конкретного завдання, він повинен оволодіти деякими теоретичними знаннями про завдання, перш за все, про її структуру »[5, 132].
Щоб структура задачі стала предметом аналізу і вивчення, необхідно відокремити її від усього несуттєвого і представити в такому вигляді, який забезпечував би необхідні дії. Зробити це можна шляхом особливих знаково-символічних засобів - моделей, однозначно відображають структуру задачі і досить простих для сприйняття школярами.
«У структурі будь-якої задачі виділяють:
1. Предметну область, тобто об'єкти, про які йде мова в задачі.
2. Відносини, які пов'язують об'єкти предметної області.
3. Вимоги завдання »[7, 93].
Усі моделі можна розділити на схематизовані і знакові за видами засобів, що використовуються для їх побудови.
Схематизовані моделі, у свою чергу, діляться на речові і графічні в залежності від того, яку дію вони забезпечують. Речові (або предметні) моделі текстових завдань забезпечують фізичне дію з предметами. Вони можуть будуватися з будь-яких предметів, вони можуть бути представлені різного роду ісценіровкамі сюжету завдань. До цього виду моделей зараховують і уявне відтворення реальної ситуації, описаної в задачі, у вигляді уявлень.
«Графічні моделі використовуються, як правило, для узагальненого, схематичного відтворення ситуації завдання. До графічних слід віднести наступні види моделей:
· Малюнок;
· Умовний малюнок;
· Креслення;
· Схематичний креслення (або просто схема).
Знакові моделі можуть бути виконані як на природному мовою, так і на математичній мові. До знакових моделях, виконаним на природній мові, можна віднести:
- Коротку запис задачі;
- Таблиці »[22, 130].
Таблиця як вид знакової моделі використовується головним чином тоді, коли в задачі є кілька взаємозалежних величин, кожна з яких задана одним або кількома значеннями.
Знаковими моделями текстових завдань, виконаними на математичній мові, є:
- Вираз;
- Рівняння;
- Система рівнянь;
- Запис вирішення завдання по діях.
Схематизовані, графічні і знакові моделі, виконані на природній мові - допоміжні моделі, а знакові моделі, виконані на математичній мові - вирішальні.
Рівень оволодіння моделюванням визначає успіх вирішального. Тому навчання моделюванню займає особливе і головне місце у формуванні вміння розв'язувати задачі.
Корисно застосовувати креслення та схематичні малюнки, блок - схеми,
моделювання за допомогою відрізків і таблиць.
«Графічні моделі і таблиці дозволяють порівнювати пари понять: ліва - права, верхня - нижня, пов'язувати просторову інформацію з інформацією заходи, тим самим, формуючи вміння розв'язувати задачі.» [14, 113]
Отже, модель потрібна для того, щоб зрозуміти, як влаштований конкретний об'єкт, яка його структура, основні властивості, закони розвитку; навчитися управляти об'єктом або процесом, визначати найкращі способи управління при заданих цілях і критеріях.
1.2. Моделювання у вирішенні текстових завдань
«Завдання - це така ситуація, яка пов'язана з числами і вимагає виконання арифметичних дій над ними» [1, 171].
«Текстова завдання - це словесна модель деякого явища (ситуації, процесу). Щоб вирішити таке завдання, треба перевести її на мову математичних дій, тобто побудувати її математичну модель.
Рішення будь-якої задачі - процес складної розумової діяльності. Реальні об'єкти і процеси в задачі бувають настільки багатогранні і складні, що кращим способом їх вивчення часто є побудова та дослідження моделі як потужного знаряддя пізнання. »[4, 5]
Вирішенню текстових задач у навчанні приділяється величезна увага. Пов'язано це з тим, що такі завдання часто є не тільки засобом формування багатьох математичних понять, але і головне - засобом формування умінь будувати математичні моделі реальних явищ, а також засобом розвитку мислення дітей. Існують різні методичні підходи до навчання дітей рішенню текстових задач. Але яку б методику навчання не вибрав вчитель, йому треба знати, як побудовані такі завдання.
«Будь-яка текстова задача являє собою опис якого-небудь явища (ситуації, процесу). З цієї точки зору текстова задача є словесна модель явища (ситуації, процесу). І, як у будь-моделі, в текстовій завданню описується не все явище в цілому, а лише деякі його сторони, головним чином, його кількісні характеристики. »[22, 121]
Узагальнюючи, можна сказати, що текстова задача є опис на природній мові певного явища (ситуації, процесу) з вимогою дати кількісну характеристику будь-якого компонента цього явища, встановити наявність або відсутність деякого відносини між компонентами або визначити вид цього відношення.
Твердження завдання називають умовами. У задачі зазвичай не одна умова, а кілька елементарних умов. Вони являють собою кількісні або якісні характеристики об'єктів завдання і відносин між ними. Вимог у задачі може бути декілька. Вони можуть бути сформульовані як у питальній, так і позитивної формі. Умови і вимоги взаємопов'язані. Систему взаємопов'язаних умов і вимог називають висказивательной моделлю завдання. Таким чином, щоб зрозуміти, якою є структура завдання, треба виявити її умови та вимоги, відкинувши все зайве, другорядне, яке не впливає на її структуру. Іншими словами, треба побудувати висказивательную модель задачі. Щоб отримати цю модель, треба текст завдання розгорнути (зробити це можна письмово або усно), тому що текст завдання, як правило, дається в скороченому, згорнутому вигляді. Для цього можна перефразувати задачу, побудувати її графічну модель, ввести будь-які позначення і т.д.
«Основними методами рішення текстових завдань є арифметичний і алгебраїчний.
Вирішити завдання арифметичним методом - це означає знайти відповідь на вимогу завдання за допомогою виконання арифметичних дій над числами.
Одну й ту ж задачу можна вирішити різними арифметичними способами. Вони відрізняються один від одного логікою міркувань, які виконуються в процесі вирішення задачі »[16, 374].
Вирішити завдання алгебраїчним методом - це означає знайти відповідь на вимогу завдання, склавши та вирішивши рівняння або систему рівнянь. Якщо для однієї і тієї ж задачі можна скласти різні рівняння (системи рівнянь), то це означає, що дану задачу можна вирішити різними алгебраїчними способами.
Рішення будь-якої задачі - процес складної розумової діяльності. Щоб оволодіти ним, треба знати основні етапи розв'язання задачі та деякі прийоми їх виконання.
Діяльність за рішенням завдання арифметичним методом включає наступні основні етапи:
1. Аналіз завдання.
2. Пошук плану рішення задачі.
3. Здійснення плану виконання завдання.
4. Перевірка виконання завдання.
У реальному процесі виконання завдання названі етапи не мають чітких меж і не завжди виконуються однаково повно. Все залежить від рівня знань і умінь вирішального.
1. Аналіз завдання
Основне призначення цього етапу - зрозуміти в цілому ситуацію, описану в задачі; виділити умови та вимоги; назвати відомі і шукані об'єкти, виділити всі відносини (залежності) між ними. Проводячи аналіз завдання, виокремлюючи її умови, ми повинні співвідносити цей аналіз з вимогами завдання.
І таблиці, і схематичне креслення є допоміжними моделями завдання. Вони служать формою фіксації аналізу текстової завдання і є основним засобом пошуку плану її вирішення.
Після побудови допоміжної моделі необхідно перевірити:
1) чи всі об'єкти завдання показані на моделі;
2) чи всі відносини між об'єктами відображені;
3) чи всі числові дані наведені;
4) чи є питання (вимога) і чи правильно він вказує шукане?
2. Пошук і складання плану виконання завдання
Призначення цього етапу: встановити зв'язок між даними і вихідними об'єктами, намітити послідовність дій. План виконання завдання - це лише ідея рішення, його задум.
Пошук плану рішення задачі є важким процесом. Одним з найбільш відомих прийомів пошуку плану виконання завдання арифметичним способом є розбір завдання за текстом або за її допоміжної моделі.
Розбір завдання проводиться у вигляді ланцюжка міркувань, яка може починатися від даних завдання, так і від її питань.
3. Здійснення плану виконання завдання
Призначення даного етапу - знайти відповідь на вимогу завдання, виконавши всі дії відповідно до плану.
Для текстових завдань, що вирішуються арифметичним способом, використовуються наступні прийоми:
- Запис щодо дій; (з поясненням, без пояснення, з питаннями)
- Запис у вигляді виразу.
4. Перевірка виконання завдання
Призначення даного етапу - встановити правильність або помилковість виконання рішення.
Відомо кілька прийомів, які допомагають встановити, чи правильно вирішена задача:
1. Встановлення відповідності між результатом і умовами завдання.
Для цього знайдений результат вводиться в текст завдання і на основі міркувань встановлюється, чи не виникає при цьому суперечності.
2. Рішення задачі іншим способом.
Детальніше зупинимося на моделюванні і використанні цього методу при роботі над текстовою задачею.
Навчання із застосуванням моделювання підвищує активність розумової діяльності учнів, допомагає зрозуміти завдання, самостійно знайти раціональний шлях вирішення, встановити потрібний спосіб перевірки, визначити умови, за яких задача має чи не має рішення. Модель дає можливість більш повно побачити залежність між даними і шуканими в задачі, представити задачу в цілому, допомагає узагальнити теоретичні знання. Постановка навчальної задачі становить мотиваційно-орієнтовний ланка - перша ланка навчальної діяльності. Другим (центральним) ланкою навчальної діяльності є виконавську, тобто такі навчальні дії для вирішення навчальної задачі:
1) перетворення умов предметної завдання з метою виявлення в ній основного відносини;
2) моделювання виділеного в ній відносини в предметній, графічній або буквеної формі;
3) перетворення моделі відношення для вивчення його властивостей;
4) побудова системи приватних завдань, що вирішуються загальним способом.
«Щоб навчити школярів самостійно і творчо вчитися, потрібно включати їх у спеціально організовану діяльність, зробити господарями цієї діяльності. Одним із способів включення учнів в активну діяльність у процесі розв'язання задач і є моделювання.
Уміння вирішувати завдання - один з основних показників рівня математичного розвитку, глибини засвоєння навчального матеріалу »[11, 28].
«Одна з основних причин допускаються помилок у вирішенні текстових завдань - неправильна організація первинного сприйняття учнями умови задачі і її аналізу, які проводяться без належної опори на життєву ситуацію, відбиту в задачі, без її графічного моделювання» [8, 16].
У 5 класі, як правило, у процесі аналізу використовуються різні види короткої записи або готові схеми, а створення моделі задачі на очах учнів або самими учнями у процесі розв'язання задач використовується вкрай рідко. Вчителі при фронтальному аналізі і рішенні завдання нерідко обмежуються правильними відповідями двох-трьох учнів, а інші записують за ними готові рішення без глибокого їх розуміння.
«Для усунення зазначених недоліків слід, перш за все, рішуче поліпшити методику організації первинного сприйняття й аналізу задачі, щоб забезпечити усвідомлений і доказовий вибір арифметичної дії всіма учнями» [1, 174]. Головне для кожного учня на цьому етапі - зрозуміти задачу, тобто усвідомити, про що ця задача, що в неї відомо, що потрібно дізнатися, як пов'язані між собою дані, які відносини між даними і шуканими і т.п. Для цього, де можливо, слід застосовувати метод моделювання ситуації, відображеної в задачі.
«Використовуваний в науці метод моделювання полягає в тому, що для дослідження якого-небудь явища чи об'єкта вибирають або будують інший об'єкт, в якомусь відношенні подібний досліджуваного; побудований або вибраний об'єкт вивчають і з його допомогою вирішують дослідницькі завдання, а потім результат рішення цих завдань переносять на первинне явище або об'єкт. »[21, 156]
У 5 класі, аналізуючи задачу № 59: [3, 19]
«Довжина Волги 3530 км Дніпро на 1330 км коротше Волги, а Урал довше Дніпра на 228 км. Яка довжина річки Урал? », Звичайно записують її коротко приблизно так:
довжина Волги - 3530 км;
довжина Дніпра -?, на 1330 км коротше Волги;
довжина Уралу -?, на 228 км довший Дніпра.
Такий запис при первинному аналізі завдання нераціональна, оскільки не розкриває наочно взаємодії між даними і шуканими, не допомагає у виборі дії.
Учням пропонується змоделювати умову задачі таким чином:
довжина Волги -
1330 км
довжина Дніпра -
228 км
довжина Уралу -
?
Ця модель дає наочне уявлення про відносини між даними і шуканими в задачах.
Аналізуючи задачу, учні з'ясовують, що Дніпро на 1330 км коротше Волги, тобто стільки ж, але без 1330; тому відрізок на схемі, що зображує довжину Дніпра, вони накреслить коротше відрізка, що показує довжину Волги. А так як Урал довше Дніпра на 228 км, тобто стільки ж і ще 228; то і відрізок, що показує довжину Уралу, має бути довшим відрізка, що показує довжину Дніпра.
Розглянемо, як можна змоделювати завдання № 468: [3, 106]
«На млин привезли 9600 кг пшениці. При помелі відходи склали 1200 кг. Борошно насипали в мішки та завантажили на 3 машини. На першу повантажили - 30 мішків, на другу - 35 мішків, а на третю - 40 мішків. Скільки кілограмів борошна повантажили на першу машину, якщо в усіх мішках борошна було порівну? »
У процесі розбору цього завдання з учнями, отримуємо приблизно такі
допоміжні моделі:
Залишилося?
9600 кг
30 мішків
Перший машина:
? кг
Друга машина:
3-я машина:
Така модель допомагає усвідомити одне з важливих умов завдання, яке викликало найбільшу утруднення в рішенні, а саме: після того, як борошно насипали в мішки, в усіх мішках борошна стало порівну.
Модель створює передумови активної розумової діяльності в пошуках різних способів вирішення однієї і тієї ж задачі.
Розглянемо ще одну задачу і модель до неї.
Завдання 1318: [3, 290]
«Для посіву було приготовлено 25,2 т насіння. У перший день на посів витратили
За пропозицією учнів «весь посів» зобразимо у вигляді прямокутника. На схематичному кресленні відзначимо дані і встановимо, що будемо визначати. Вийде така схема:
25,2 т
Схема допомагає учням самостійно знайти правильні рішення даного завдання.
«Іноді в 5 класі завдання не перевіряють або розуміють під перевіркою, наприклад, прочитання способу вирішення завдання для всього класу або звірку на дошці. Модель не тільки допоможе знайти раціональний спосіб розв'язання задачі, але і допоможе перевірити його правильність. »[27, 23]
Умова задачі з пропорційними величинами зазвичай коротко записують у таблицю. Наприклад, наступним чином.
Завдання 411: [3, 97]
«Привезли 12 ящиків яблук по 30 кг у кожному і 8 ящиків груш по 40 кг у кожному. Яка маса всіх фруктів? »
«Таблиця - це теж модель задачі, але більш абстрактна, ніж схематичний малюнок або креслення. Вона передбачає вже добре знання учнями взаємозалежностей пропорційних величин, тому що сама таблиця цих взаємозалежностей не показує. Тому при первинному знайомстві з таким завданням таблиця мало допомагає уявити математичну ситуацію і вибрати потрібну дію »[26, 127].
При первинному знайомстві з таким видом завдань доцільно змоделювати умова у вигляді схематичного малюнка чи креслення.
? ?
?
За такої моделі вирішення завдання стає більш зрозумілим для всіх учнів.
Розглянемо завдання 179: [3, 49]
«Маса яблука 140 г, а маса груші на 60 г більше. Яка маса трьох таких груш і яблук? »
Маса яблука -
Маса груші -
Яка маса трьох таких груш і яблука?
Схематичний малюнок цієї задачі дозволяє наочно переконатися, що різниця між масою яблука і груші масою становить 60 р. При вирішенні головне - зрозуміти, що спочатку потрібно знайти масу однієї груші. Зрозумівши це, діти самі записують рішення.
Моделі допомагають знайти різні способи вирішення однієї і тієї ж задачі.
«Рух є темою для найрізноманітніших завдань. Існує самостійний тип завдань «на рух». Він об'єднує такі завдання, які вирішуються на підставі залежності між трьома величинами, що характеризують рух: швидкістю, часом і відстанню. У всіх випадках мова йде про рівномірному прямолінійному русі »[28, 31].
«Основні об'єкти завдань« на рух »: пройдений шлях (s), швидкість (v), час (t); основне відношення (залежність): s = vt.» [9, 40]
Розглянемо особливості вирішення основних видів завдань «на рух».
Задачі на зустрічний рух двох тіл.
Нехай рух першого тіла характеризується величинами s 1, v 1, t 1; рух другого - s 2, v 2, t 2. Такий рух можна уявити на схематичному кресленні:
v 1 v 2
t 1 t 2
А s 1 t встр. S 2 У
S
Вирішити завдання арифметичним методом - це означає знайти відповідь на вимогу завдання за допомогою виконання арифметичних дій над числами.
Одну й ту ж задачу можна вирішити різними арифметичними способами. Вони відрізняються один від одного логікою міркувань, які виконуються в процесі вирішення задачі »[16, 374].
Вирішити завдання алгебраїчним методом - це означає знайти відповідь на вимогу завдання, склавши та вирішивши рівняння або систему рівнянь. Якщо для однієї і тієї ж задачі можна скласти різні рівняння (системи рівнянь), то це означає, що дану задачу можна вирішити різними алгебраїчними способами.
Рішення будь-якої задачі - процес складної розумової діяльності. Щоб оволодіти ним, треба знати основні етапи розв'язання задачі та деякі прийоми їх виконання.
Діяльність за рішенням завдання арифметичним методом включає наступні основні етапи:
1. Аналіз завдання.
2. Пошук плану рішення задачі.
3. Здійснення плану виконання завдання.
4. Перевірка виконання завдання.
У реальному процесі виконання завдання названі етапи не мають чітких меж і не завжди виконуються однаково повно. Все залежить від рівня знань і умінь вирішального.
1. Аналіз завдання
Основне призначення цього етапу - зрозуміти в цілому ситуацію, описану в задачі; виділити умови та вимоги; назвати відомі і шукані об'єкти, виділити всі відносини (залежності) між ними. Проводячи аналіз завдання, виокремлюючи її умови, ми повинні співвідносити цей аналіз з вимогами завдання.
І таблиці, і схематичне креслення є допоміжними моделями завдання. Вони служать формою фіксації аналізу текстової завдання і є основним засобом пошуку плану її вирішення.
Після побудови допоміжної моделі необхідно перевірити:
1) чи всі об'єкти завдання показані на моделі;
2) чи всі відносини між об'єктами відображені;
3) чи всі числові дані наведені;
4) чи є питання (вимога) і чи правильно він вказує шукане?
2. Пошук і складання плану виконання завдання
Призначення цього етапу: встановити зв'язок між даними і вихідними об'єктами, намітити послідовність дій. План виконання завдання - це лише ідея рішення, його задум.
Пошук плану рішення задачі є важким процесом. Одним з найбільш відомих прийомів пошуку плану виконання завдання арифметичним способом є розбір завдання за текстом або за її допоміжної моделі.
Розбір завдання проводиться у вигляді ланцюжка міркувань, яка може починатися від даних завдання, так і від її питань.
3. Здійснення плану виконання завдання
Призначення даного етапу - знайти відповідь на вимогу завдання, виконавши всі дії відповідно до плану.
Для текстових завдань, що вирішуються арифметичним способом, використовуються наступні прийоми:
- Запис щодо дій; (з поясненням, без пояснення, з питаннями)
- Запис у вигляді виразу.
4. Перевірка виконання завдання
Призначення даного етапу - встановити правильність або помилковість виконання рішення.
Відомо кілька прийомів, які допомагають встановити, чи правильно вирішена задача:
1. Встановлення відповідності між результатом і умовами завдання.
Для цього знайдений результат вводиться в текст завдання і на основі міркувань встановлюється, чи не виникає при цьому суперечності.
2. Рішення задачі іншим способом.
Детальніше зупинимося на моделюванні і використанні цього методу при роботі над текстовою задачею.
Навчання із застосуванням моделювання підвищує активність розумової діяльності учнів, допомагає зрозуміти завдання, самостійно знайти раціональний шлях вирішення, встановити потрібний спосіб перевірки, визначити умови, за яких задача має чи не має рішення. Модель дає можливість більш повно побачити залежність між даними і шуканими в задачі, представити задачу в цілому, допомагає узагальнити теоретичні знання. Постановка навчальної задачі становить мотиваційно-орієнтовний ланка - перша ланка навчальної діяльності. Другим (центральним) ланкою навчальної діяльності є виконавську, тобто такі навчальні дії для вирішення навчальної задачі:
1) перетворення умов предметної завдання з метою виявлення в ній основного відносини;
2) моделювання виділеного в ній відносини в предметній, графічній або буквеної формі;
3) перетворення моделі відношення для вивчення його властивостей;
4) побудова системи приватних завдань, що вирішуються загальним способом.
«Щоб навчити школярів самостійно і творчо вчитися, потрібно включати їх у спеціально організовану діяльність, зробити господарями цієї діяльності. Одним із способів включення учнів в активну діяльність у процесі розв'язання задач і є моделювання.
Уміння вирішувати завдання - один з основних показників рівня математичного розвитку, глибини засвоєння навчального матеріалу »[11, 28].
«Одна з основних причин допускаються помилок у вирішенні текстових завдань - неправильна організація первинного сприйняття учнями умови задачі і її аналізу, які проводяться без належної опори на життєву ситуацію, відбиту в задачі, без її графічного моделювання» [8, 16].
У 5 класі, як правило, у процесі аналізу використовуються різні види короткої записи або готові схеми, а створення моделі задачі на очах учнів або самими учнями у процесі розв'язання задач використовується вкрай рідко. Вчителі при фронтальному аналізі і рішенні завдання нерідко обмежуються правильними відповідями двох-трьох учнів, а інші записують за ними готові рішення без глибокого їх розуміння.
«Для усунення зазначених недоліків слід, перш за все, рішуче поліпшити методику організації первинного сприйняття й аналізу задачі, щоб забезпечити усвідомлений і доказовий вибір арифметичної дії всіма учнями» [1, 174]. Головне для кожного учня на цьому етапі - зрозуміти задачу, тобто усвідомити, про що ця задача, що в неї відомо, що потрібно дізнатися, як пов'язані між собою дані, які відносини між даними і шуканими і т.п. Для цього, де можливо, слід застосовувати метод моделювання ситуації, відображеної в задачі.
«Використовуваний в науці метод моделювання полягає в тому, що для дослідження якого-небудь явища чи об'єкта вибирають або будують інший об'єкт, в якомусь відношенні подібний досліджуваного; побудований або вибраний об'єкт вивчають і з його допомогою вирішують дослідницькі завдання, а потім результат рішення цих завдань переносять на первинне явище або об'єкт. »[21, 156]
У 5 класі, аналізуючи задачу № 59: [3, 19]
«Довжина Волги 3530 км Дніпро на 1330 км коротше Волги, а Урал довше Дніпра на 228 км. Яка довжина річки Урал? », Звичайно записують її коротко приблизно так:
довжина Волги - 3530 км;
довжина Дніпра -?, на 1330 км коротше Волги;
довжина Уралу -?, на 228 км довший Дніпра.
Такий запис при первинному аналізі завдання нераціональна, оскільки не розкриває наочно взаємодії між даними і шуканими, не допомагає у виборі дії.
Учням пропонується змоделювати умову задачі таким чином:
|
?
Ця модель дає наочне уявлення про відносини між даними і шуканими в задачах.
Аналізуючи задачу, учні з'ясовують, що Дніпро на 1330 км коротше Волги, тобто стільки ж, але без 1330; тому відрізок на схемі, що зображує довжину Дніпра, вони накреслить коротше відрізка, що показує довжину Волги. А так як Урал довше Дніпра на 228 км, тобто стільки ж і ще 228; то і відрізок, що показує довжину Уралу, має бути довшим відрізка, що показує довжину Дніпра.
Розглянемо, як можна змоделювати завдання № 468: [3, 106]
«На млин привезли 9600 кг пшениці. При помелі відходи склали 1200 кг. Борошно насипали в мішки та завантажили на 3 машини. На першу повантажили - 30 мішків, на другу - 35 мішків, а на третю - 40 мішків. Скільки кілограмів борошна повантажили на першу машину, якщо в усіх мішках борошна було порівну? »
У процесі розбору цього завдання з учнями, отримуємо приблизно такі
допоміжні моделі:
|
|
Залишилося?
30 мішків
|
|
Така модель допомагає усвідомити одне з важливих умов завдання, яке викликало найбільшу утруднення в рішенні, а саме: після того, як борошно насипали в мішки, в усіх мішках борошна стало порівну.
Модель створює передумови активної розумової діяльності в пошуках різних способів вирішення однієї і тієї ж задачі.
Розглянемо ще одну задачу і модель до неї.
Завдання 1318: [3, 290]
«Для посіву було приготовлено 25,2 т насіння. У перший день на посів витратили
За пропозицією учнів «весь посів» зобразимо у вигляді прямокутника. На схематичному кресленні відзначимо дані і встановимо, що будемо визначати. Вийде така схема:
| ? |
25,2 т
Схема допомагає учням самостійно знайти правильні рішення даного завдання.
«Іноді в 5 класі завдання не перевіряють або розуміють під перевіркою, наприклад, прочитання способу вирішення завдання для всього класу або звірку на дошці. Модель не тільки допоможе знайти раціональний спосіб розв'язання задачі, але і допоможе перевірити його правильність. »[27, 23]
Умова задачі з пропорційними величинами зазвичай коротко записують у таблицю. Наприклад, наступним чином.
Завдання 411: [3, 97]
«Привезли 12 ящиків яблук по 30 кг у кожному і 8 ящиків груш по 40 кг у кожному. Яка маса всіх фруктів? »
| Маса одного ящика | Кількість ящиків | Загальна маса |
| 30 кг | 12 ящ. | ? |
| 40 кг | 8 ящ. |
При первинному знайомстві з таким видом завдань доцільно змоделювати умова у вигляді схематичного малюнка чи креслення.
|
|
? ?
|
?
Розглянемо завдання 179: [3, 49]
«Маса яблука 140 г, а маса груші на 60 г більше. Яка маса трьох таких груш і яблук? »
|
|
Яка маса трьох таких груш і яблука?
Схематичний малюнок цієї задачі дозволяє наочно переконатися, що різниця між масою яблука і груші масою становить 60 р. При вирішенні головне - зрозуміти, що спочатку потрібно знайти масу однієї груші. Зрозумівши це, діти самі записують рішення.
Моделі допомагають знайти різні способи вирішення однієї і тієї ж задачі.
«Рух є темою для найрізноманітніших завдань. Існує самостійний тип завдань «на рух». Він об'єднує такі завдання, які вирішуються на підставі залежності між трьома величинами, що характеризують рух: швидкістю, часом і відстанню. У всіх випадках мова йде про рівномірному прямолінійному русі »[28, 31].
«Основні об'єкти завдань« на рух »: пройдений шлях (s), швидкість (v), час (t); основне відношення (залежність): s = vt.» [9, 40]
Розглянемо особливості вирішення основних видів завдань «на рух».
Задачі на зустрічний рух двох тіл.
Нехай рух першого тіла характеризується величинами s 1, v 1, t 1; рух другого - s 2, v 2, t 2. Такий рух можна уявити на схематичному кресленні:
v 1 v 2
А s 1 t встр. S 2 У
S
Якщо два тіла починають рух одночасно назустріч один одному, то кожне з них з моменту виходу і до зустрічі витрачає однаковий час, тобто t 1 = t 2 = t встр..
Відстань, на яке зближуються рухомі об'єкти за одиницю часу, називається швидкістю зближення, тобто v СБЛ. = V 1 + v 2.
Всю відстань, пройдена рухомими тілами при зустрічному русі, може бути підраховано за формулою: S = v СБЛ * t СБЛ..
Задачі на рух двох тіл в одному напрямі.
«Серед них слід розрізняти два типи завдань:
1) рух починається одночасно з різних пунктів;
2) рух починається в різний час з одного пункту ». [23, 61].
Розглянемо випадок, коли рух двох тіл починається одночасно в одному напрямку з різних пунктів, що лежать на одній прямій. Нехай рух першого тіла характеризується величинами s 1, v 1, t 1, а рух другого - s 2, v 2, t 2.
Такий рух можна уявити на схематичному кресленні:
v 1 v 2
t 1 t 2
А ss 2 В
S 1
Якщо при русі в одному напрямку перше тіло наздоганяє друге, то v 1> v 2. Крім того, за одиницю часу перший об'єкт наближається до іншого на відстані v 1 - v 2. Це відстань називають швидкістю зближення: v СБЛ. = V 1 - v 2.
Відстань S, що представляє довжину відрізка АВ, знаходять за формулами:
S = s 1 - s 2 і S = v СБЛ * t встр.
Задачі на рух двох тіл у протилежних напрямках.
Відстань, на яке зближуються рухомі об'єкти за одиницю часу, називається швидкістю зближення, тобто v СБЛ. = V 1 + v 2.
Всю відстань, пройдена рухомими тілами при зустрічному русі, може бути підраховано за формулою: S = v СБЛ * t СБЛ..
Задачі на рух двох тіл в одному напрямі.
«Серед них слід розрізняти два типи завдань:
1) рух починається одночасно з різних пунктів;
2) рух починається в різний час з одного пункту ». [23, 61].
Розглянемо випадок, коли рух двох тіл починається одночасно в одному напрямку з різних пунктів, що лежать на одній прямій. Нехай рух першого тіла характеризується величинами s 1, v 1, t 1, а рух другого - s 2, v 2, t 2.
Такий рух можна уявити на схематичному кресленні:
v 1 v 2
А ss 2 В
S 1
Якщо при русі в одному напрямку перше тіло наздоганяє друге, то v 1> v 2. Крім того, за одиницю часу перший об'єкт наближається до іншого на відстані v 1 - v 2. Це відстань називають швидкістю зближення: v СБЛ. = V 1 - v 2.
Відстань S, що представляє довжину відрізка АВ, знаходять за формулами:
S = s 1 - s 2 і S = v СБЛ * t встр.
Задачі на рух двох тіл у протилежних напрямках.
«У таких завданнях два тіла можуть починати рух у протилежних напрямках з однієї точки: а) одночасно; б) у різний час. А можуть починати свій рух з двох різних точок, що знаходяться на заданій відстані, і в різний час »[18, 9].
Загальним теоретичним положенням для них буде наступне:
v віддал. = v 1 + v 2, де v 1 і v 2 відповідно швидкості першого і другого тіл,
а v удал - це швидкість видалення, тобто відстань, на яку віддаляються один від одного рухаються тіла за одиницю часу.
«Чіткі умовні позначення допомагають дітям будувати складні схеми, бачити в них потрібні формули, відносини для вирішення завдання. Іноді чітке дотримання умовних позначень у схемі дозволяє не заплутатися в числових значеннях завдання і запобігає багато помилок. Аналізуючи модель, можна побачити кілька способів вирішення задачі ». [22,148]
Використання графічних зображень сприяє свідомому і міцному засвоєнню багатьох понять. Завдяки їм математичні зв'язки і залежності набувають для учнів наочний сенс, а в процесі їх використання відбувається поглиблення і розвиток математичного мислення учнів.
«Дотримання точності та акуратності при виконанні малюнків, схем, креслень, крім навчального, має найважливіше виховне значення. Акуратно виконані графічні зображення в значній мірі сприяють естетичному вихованню дітей: змушують милуватися несподіваним, дотепним графічним рішенням завдання, стимулюють пошуки раціональних шляхів вирішення, знижують стомлюваність, підвищують активність, виховують увагу. І навпаки, грубий креслення заважає побачити приховані в умові завдання закономірності, на яких грунтується рішення »[13, 4].
Графічні зображення служать хорошим і зручним засобом для організації колективної та індивідуальної (диференційованої) самостійної роботи учнів, швидкодіючим засобом для перевірки знань учнів.
«Правильно побудовані графічні моделі умов завдань дозволяють учням в багатьох випадках зробити прикидку очікуваної відповіді, графічну перевірку правильності виконання завдання, виконаної аналітичним способом» [15, 70].
Також графічні моделі допомагають організувати відповідну роботу, тому що наочно ілюструють те, що відомо і що потрібно визначити; на моделях легше побачити, яких саме даних не дістає (або які дані є зайвими) для того, щоб, використовуючи потрібну залежність, вирішити ту чи інше завдання.
«Уміння будувати навчальні моделі і працювати з ними є одним з компонентів загального прийому рішення завдань. За допомогою моделі словесно заданий текст можна перевести на математичну мову і побачити структуру математичних відносин, приховану в тексті. Використання одних і тих же знаково-символічних засобів при побудові моделі для математичних задач з різними сюжетами та різних типів сприяє формуванню узагальненого способу аналізу завдання, виділенню складових її компонентів і знаходженню шляхів вирішення »[16, 342].
Таким чином, використання моделі при вирішенні завдань забезпечить якісний аналіз завдань, усвідомлений пошук їх вирішення, обгрунтований вибір арифметичної дії, раціональний спосіб рішення і попередить багато помилок у вирішенні завдань учнями. Модель задачі може бути застосована і для складання і рішення обернених задач, для проведення дослідження задачі. Модель допомагає поставити умови, при яких задача має рішення чи не має рішення; з'ясувати, як змінюється значення шуканої величини залежно від зміни даних величин; допомагає узагальнити теоретичні знання; розвиває самостійність і варіативність мислення.
Загальним теоретичним положенням для них буде наступне:
v віддал. = v 1 + v 2, де v 1 і v 2 відповідно швидкості першого і другого тіл,
а v удал - це швидкість видалення, тобто відстань, на яку віддаляються один від одного рухаються тіла за одиницю часу.
«Чіткі умовні позначення допомагають дітям будувати складні схеми, бачити в них потрібні формули, відносини для вирішення завдання. Іноді чітке дотримання умовних позначень у схемі дозволяє не заплутатися в числових значеннях завдання і запобігає багато помилок. Аналізуючи модель, можна побачити кілька способів вирішення задачі ». [22,148]
Використання графічних зображень сприяє свідомому і міцному засвоєнню багатьох понять. Завдяки їм математичні зв'язки і залежності набувають для учнів наочний сенс, а в процесі їх використання відбувається поглиблення і розвиток математичного мислення учнів.
«Дотримання точності та акуратності при виконанні малюнків, схем, креслень, крім навчального, має найважливіше виховне значення. Акуратно виконані графічні зображення в значній мірі сприяють естетичному вихованню дітей: змушують милуватися несподіваним, дотепним графічним рішенням завдання, стимулюють пошуки раціональних шляхів вирішення, знижують стомлюваність, підвищують активність, виховують увагу. І навпаки, грубий креслення заважає побачити приховані в умові завдання закономірності, на яких грунтується рішення »[13, 4].
Графічні зображення служать хорошим і зручним засобом для організації колективної та індивідуальної (диференційованої) самостійної роботи учнів, швидкодіючим засобом для перевірки знань учнів.
«Правильно побудовані графічні моделі умов завдань дозволяють учням в багатьох випадках зробити прикидку очікуваної відповіді, графічну перевірку правильності виконання завдання, виконаної аналітичним способом» [15, 70].
Також графічні моделі допомагають організувати відповідну роботу, тому що наочно ілюструють те, що відомо і що потрібно визначити; на моделях легше побачити, яких саме даних не дістає (або які дані є зайвими) для того, щоб, використовуючи потрібну залежність, вирішити ту чи інше завдання.
«Уміння будувати навчальні моделі і працювати з ними є одним з компонентів загального прийому рішення завдань. За допомогою моделі словесно заданий текст можна перевести на математичну мову і побачити структуру математичних відносин, приховану в тексті. Використання одних і тих же знаково-символічних засобів при побудові моделі для математичних задач з різними сюжетами та різних типів сприяє формуванню узагальненого способу аналізу завдання, виділенню складових її компонентів і знаходженню шляхів вирішення »[16, 342].
Таким чином, використання моделі при вирішенні завдань забезпечить якісний аналіз завдань, усвідомлений пошук їх вирішення, обгрунтований вибір арифметичної дії, раціональний спосіб рішення і попередить багато помилок у вирішенні завдань учнями. Модель задачі може бути застосована і для складання і рішення обернених задач, для проведення дослідження задачі. Модель допомагає поставити умови, при яких задача має рішення чи не має рішення; з'ясувати, як змінюється значення шуканої величини залежно від зміни даних величин; допомагає узагальнити теоретичні знання; розвиває самостійність і варіативність мислення.
Глава 2. Методико-математичні основи використання моделювання
2.1. Практичний досвід використання моделей при вирішенні завдань на рух в 5 класі
У навчально-методичний комплект (УМК), необхідний для навчання математики, включається:
- Підручник як провідний елемент УМК;
- Дидактичні матеріали (задачник, робочі зошити, картки і т. д.);
- Книга для вчителя.
Автором був обраний підручник «Математика 5» Н. Я. Виленкина. Підручник містить два розділи, які розбиті на параграфи з певних тем.
У підручнику запропоновано велику кількість завдань на рух, але автором даної роботи були детально (складені моделі, проведено пошук розв'язання задачі та виконано рішення) розглянуті тільки ті, які знаходяться в темі «Десяткові дроби». Дана тема розрахована на 38 годин:
Десяткова запис дробових чисел (2 год);
Порівняння десяткових дробів (2 год);
Додавання і віднімання десяткових дробів (5 год);
Округлення десяткових дробів (3 год);
Контрольна робота (1 год);
Множення десяткових дробів на натуральні числа (4 год);
Ділення десяткових дробів на натуральні числа (5 год);
Контрольна робота (1 год);
Множення десяткових дробів (5 год);
Ділення десяткових дробів (6 год);
Середнє арифметичне (3 год).
Завдання 1: (№ 1142)
«З двох пунктів, відстань між якими 7 км 500 м, одночасно в одному напрямку вийшов пішохід зі швидкістю 6 км / год і виїхав автобус. Визначте швидкість автобуса, якщо він наздогнав пішохода через 15 хв? »
- Читаємо уважно завдання.
- Давайте до цього завдання складемо креслення.
- Що нам вже відомо? (З двох пунктів одночасно в одному напрямку вийшов пішохід і виїхав автобус)
- Зазначимо це на кресленні.
? Км / год 6 км / год
А 7км 500 м У t встр = 15 хв
- Що ще відомо? (Відстань між пунктами 7 км 500 м; швидкість пішохода 6 км / год; автобус наздогнав пішохода через 15 хв)
- Відзначимо всі дані на кресленні.
- Що потрібно дізнатися в задачі? (Швидкість автобуса)
- Можемо відразу її знайти? (Ні)
- Чому? (Не знаємо відстань, яку пройшов пішохід за 15 хв)
- А чи можемо це дізнатися? (Так)
- Як? (Швидкість помножити на час)
- А зараз можемо відповісти на головне питання завдання? (Ні)
- Чому? (Так як не знаємо шлях, який проїхав автобус)
- Можемо це дізнатися? (Так)
- Як дізнаємося? (До відстані між пунктами додамо той шлях, який пройшов пішохід за 15 хв)
- Можемо тепер відповісти на питання завдання? (Так)
- Як? (Треба весь шлях, який проїхав автобус, розділити на час)
- Отже, у скільки дій вирішується завдання? (У 3 дії)
- Записуємо рішення:
15 хв =
1) 6: 4 ∙ 1 = 1,5 (км) - пройшов поїзд за 15 хв.
2) 7,5 + 1,5 = 9 (км) - пройшов автобус до того, як наздогнав пішохода.
3) 9: 1 ∙ 4 = 36 (км / ч) - швидкість автобуса.
Відповідь: 36 км / ч.
Завдання 2: (№ 1169)
«А) Теплохід йде вниз по річці. Яка швидкість руху теплохода, якщо швидкість течії річки 4 км / год, а власна швидкість теплохода (швидкість в стоячій воді) дорівнює 21 км / год?
б) Моторний човен йде вгору по річці. Яка швидкість руху човна, якщо швидкість течії 3 км / год, а власна швидкість човна 14 км / год? »
- Уважно читаємо завдання.
- Про які величинах йде мова в задачах?
- Для вирішення цих завдань складемо таблицю.
- Запишемо, що вже відомо.
а)
б)
- Те, що потрібно знайти позначимо знаком питання.
- Що дізнаємося спочатку? (Швидкість теплохода за течією річки)
- Як можна її знайти? (Треба до власної швидкості теплохода додати швидкість течії річки)
- Що можна дізнатися зараз? (Швидкість моторного човна проти течії річки)
- Як знайдемо? (Потрібно з власної швидкості човна відняти швидкість течії річки)
Записуємо рішення:
а) 21 + 4 = 25 (км / ч) - швидкість руху теплохода.
б) 14 - 3 = 11 (км / ч) - швидкість руху човна.
Відповідь: а) 25 км / год;
б) 11 км / ч.
- Давайте ще раз повторимо:
Як же знайти швидкість за течією річки і проти течії річки?
Завдання 3: (№ 1172)
«Зі станції вийшов товарний потяг зі швидкістю 50 км / ч. Через 3 год з тієї ж станції слідом за ним вийшов електропоїзд зі швидкістю 80 км / ч. Через скільки годин після свого виходу електропоїзд наздожене товарний поїзд? »
- Уважно читаємо завдання.
- Для вирішення даної задачі складемо креслення.
- Що нам відомо? (Зі станції вийшов товарний поїзд, а через 3 год з тієї ж станції слідом за ним вийшов електропоїзд)
- Зазначимо це на кресленні.
80 км / год 50 км / год
3 год t встр -?
- Що ще відомо в задачі? (Швидкість товарного потягу 50 км / год, швидкість електропоїзда 80 км / год)
- Відзначимо ці дані на кресленні.
- Що потрібно дізнатися? (Через скільки годин після свого виходу електропоїзд наздожене товарний потяг?)
- Позначимо невідоме знаком питання.
- Відомо, що товарний поїзд ішов 3 год зі швидкістю 50 км / ч. Що можна дізнатися за цими даними? (Відстань, яку пішов поїзд за 3 год)
- Що для цього потрібно зробити? (Потрібно швидкість помножити на час)
- Знаючи швидкість товарного поїзда та електропоїзди, що можна дізнатися? (Швидкість зближення)
- Що для цього потрібно зробити? (Потрібно зі швидкості електропоїзди відняти швидкість товарного поїзда)
- Знаючи, скільки кілометрів пройшов товарний потяг і швидкість зближення поїздів, що можемо знайти? (Час, через який зустрінуться поїзда)
- Як можемо це знайти? (Відстань розділити на швидкість зближення)
- Записуємо рішення:
1) 50 ∙ 3 = 150 (км) - пройшов товарний поїзд.
2) 80 - 50 = 30 (км / ч) - швидкість зближення.
3) 150: 30 = 5 (ч) - через цей час електропоїзд наздожене товарний поїзд.
Відповідь: через 5 годин.
Завдання 4: (№ 1179)
«Два поїзди вийшли в різний час назустріч один одному з двох міст, відстань між якими 782 км. Швидкість першого поїзда 52 км / год, а другого 61 км / ч. Пройшовши 416 км, перший потяг зустрівся з другим. На скільки один з поїздів вийшов раніше іншого? »
- Читаємо уважно завдання.
- Давайте до цього завдання складемо креслення.
- Що нам відомо в задачі? (Два поїзди вийшли в різний час назустріч один одному з двох міст)
- Зазначимо це на кресленні.
2.1. Практичний досвід використання моделей при вирішенні завдань на рух в 5 класі
У навчально-методичний комплект (УМК), необхідний для навчання математики, включається:
- Підручник як провідний елемент УМК;
- Дидактичні матеріали (задачник, робочі зошити, картки і т. д.);
- Книга для вчителя.
Автором був обраний підручник «Математика 5» Н. Я. Виленкина. Підручник містить два розділи, які розбиті на параграфи з певних тем.
У підручнику запропоновано велику кількість завдань на рух, але автором даної роботи були детально (складені моделі, проведено пошук розв'язання задачі та виконано рішення) розглянуті тільки ті, які знаходяться в темі «Десяткові дроби». Дана тема розрахована на 38 годин:
Десяткова запис дробових чисел (2 год);
Порівняння десяткових дробів (2 год);
Додавання і віднімання десяткових дробів (5 год);
Округлення десяткових дробів (3 год);
Контрольна робота (1 год);
Множення десяткових дробів на натуральні числа (4 год);
Ділення десяткових дробів на натуральні числа (5 год);
Контрольна робота (1 год);
Множення десяткових дробів (5 год);
Ділення десяткових дробів (6 год);
Середнє арифметичне (3 год).
Завдання 1: (№ 1142)
«З двох пунктів, відстань між якими 7 км 500 м, одночасно в одному напрямку вийшов пішохід зі швидкістю 6 км / год і виїхав автобус. Визначте швидкість автобуса, якщо він наздогнав пішохода через 15 хв? »
- Читаємо уважно завдання.
- Давайте до цього завдання складемо креслення.
- Що нам вже відомо? (З двох пунктів одночасно в одному напрямку вийшов пішохід і виїхав автобус)
- Зазначимо це на кресленні.
? Км / год 6 км / год
А 7км 500 м У t встр = 15 хв
- Що ще відомо? (Відстань між пунктами 7 км 500 м; швидкість пішохода 6 км / год; автобус наздогнав пішохода через 15 хв)
- Відзначимо всі дані на кресленні.
- Що потрібно дізнатися в задачі? (Швидкість автобуса)
- Можемо відразу її знайти? (Ні)
- Чому? (Не знаємо відстань, яку пройшов пішохід за 15 хв)
- А чи можемо це дізнатися? (Так)
- Як? (Швидкість помножити на час)
- А зараз можемо відповісти на головне питання завдання? (Ні)
- Чому? (Так як не знаємо шлях, який проїхав автобус)
- Можемо це дізнатися? (Так)
- Як дізнаємося? (До відстані між пунктами додамо той шлях, який пройшов пішохід за 15 хв)
- Можемо тепер відповісти на питання завдання? (Так)
- Як? (Треба весь шлях, який проїхав автобус, розділити на час)
- Отже, у скільки дій вирішується завдання? (У 3 дії)
- Записуємо рішення:
15 хв =
1) 6: 4 ∙ 1 = 1,5 (км) - пройшов поїзд за 15 хв.
2) 7,5 + 1,5 = 9 (км) - пройшов автобус до того, як наздогнав пішохода.
3) 9: 1 ∙ 4 = 36 (км / ч) - швидкість автобуса.
Відповідь: 36 км / ч.
Завдання 2: (№ 1169)
«А) Теплохід йде вниз по річці. Яка швидкість руху теплохода, якщо швидкість течії річки 4 км / год, а власна швидкість теплохода (швидкість в стоячій воді) дорівнює 21 км / год?
б) Моторний човен йде вгору по річці. Яка швидкість руху човна, якщо швидкість течії 3 км / год, а власна швидкість човна 14 км / год? »
- Уважно читаємо завдання.
- Про які величинах йде мова в задачах?
- Для вирішення цих завдань складемо таблицю.
- Запишемо, що вже відомо.
| Собств. v (км / ч) | V течії (км / ч) | V за течією річки (Км / ч) | V проти течії (Км / ч) |
| 21 | 4 | ? | - |
| 14 | 3 | - | ? |
б)
- Те, що потрібно знайти позначимо знаком питання.
- Що дізнаємося спочатку? (Швидкість теплохода за течією річки)
- Як можна її знайти? (Треба до власної швидкості теплохода додати швидкість течії річки)
- Що можна дізнатися зараз? (Швидкість моторного човна проти течії річки)
- Як знайдемо? (Потрібно з власної швидкості човна відняти швидкість течії річки)
Записуємо рішення:
а) 21 + 4 = 25 (км / ч) - швидкість руху теплохода.
б) 14 - 3 = 11 (км / ч) - швидкість руху човна.
Відповідь: а) 25 км / год;
б) 11 км / ч.
- Давайте ще раз повторимо:
Як же знайти швидкість за течією річки і проти течії річки?
Завдання 3: (№ 1172)
«Зі станції вийшов товарний потяг зі швидкістю 50 км / ч. Через 3 год з тієї ж станції слідом за ним вийшов електропоїзд зі швидкістю 80 км / ч. Через скільки годин після свого виходу електропоїзд наздожене товарний поїзд? »
- Уважно читаємо завдання.
- Для вирішення даної задачі складемо креслення.
- Що нам відомо? (Зі станції вийшов товарний поїзд, а через 3 год з тієї ж станції слідом за ним вийшов електропоїзд)
- Зазначимо це на кресленні.
3 год t встр -?
- Що ще відомо в задачі? (Швидкість товарного потягу 50 км / год, швидкість електропоїзда 80 км / год)
- Відзначимо ці дані на кресленні.
- Що потрібно дізнатися? (Через скільки годин після свого виходу електропоїзд наздожене товарний потяг?)
- Позначимо невідоме знаком питання.
- Відомо, що товарний поїзд ішов 3 год зі швидкістю 50 км / ч. Що можна дізнатися за цими даними? (Відстань, яку пішов поїзд за 3 год)
- Що для цього потрібно зробити? (Потрібно швидкість помножити на час)
- Знаючи швидкість товарного поїзда та електропоїзди, що можна дізнатися? (Швидкість зближення)
- Що для цього потрібно зробити? (Потрібно зі швидкості електропоїзди відняти швидкість товарного поїзда)
- Знаючи, скільки кілометрів пройшов товарний потяг і швидкість зближення поїздів, що можемо знайти? (Час, через який зустрінуться поїзда)
- Як можемо це знайти? (Відстань розділити на швидкість зближення)
- Записуємо рішення:
1) 50 ∙ 3 = 150 (км) - пройшов товарний поїзд.
2) 80 - 50 = 30 (км / ч) - швидкість зближення.
3) 150: 30 = 5 (ч) - через цей час електропоїзд наздожене товарний поїзд.
Відповідь: через 5 годин.
Завдання 4: (№ 1179)
«Два поїзди вийшли в різний час назустріч один одному з двох міст, відстань між якими 782 км. Швидкість першого поїзда 52 км / год, а другого 61 км / ч. Пройшовши 416 км, перший потяг зустрівся з другим. На скільки один з поїздів вийшов раніше іншого? »
- Читаємо уважно завдання.
- Давайте до цього завдання складемо креслення.
- Що нам відомо в задачі? (Два поїзди вийшли в різний час назустріч один одному з двох міст)
- Зазначимо це на кресленні.
416 км
782 км
На скільки один з поїздів вийшов раніше іншого?
- Що ще відомо? (Відстань між містами 782 км; швидкість першого поїзда 52 км / год, а другого 61 км / год)
- Відзначимо всі дані на кресленні.
- Що нам ще дано? (Пройшовши 416 км, перший потяг зустрівся з другим)
- Покажемо це на кресленні.
- Що потрібно дізнатися в задачі? (На скільки один з поїздів вийшов раніше іншого?)
- Можемо відразу на нього відповісти? (Ні)
- Чому? (Не знаємо, скільки годин їхав перший поїзд)
- Можемо це знайти? (Так)
- Як? (Треба відстань, яку пройшов перший поїзд, розділити на швидкість)
- А зараз можемо відповісти на головне питання? (Ні)
- Чому? (Спочатку треба знайти відстань, яку пройшов другий поїзд)
- Можемо знайти цю відстань? (Так)
- Як знайдемо? (Потрібно з відстані між містами відняти ту відстань, яку пройшов перший поїзд)
- Тепер ми можемо відповісти на головне питання? (Ні, тому що ми не знаємо, скільки годин їхав другий поїзд)
- Можемо це дізнатися? (Так)
- Як дізнаємося? (Треба відстань, яку пройшов другий поїзд, розділити на час)
- А зараз можемо відповісти на головне питання? (Так)
- Що для цього потрібно зробити? (Треба з часу, який ішов перший поїзд, відняти той час, який йшов другий поїзд)
- Отже, у скільки дій вирішили завдання? (У 4 дії)
- Записуємо рішення:
1) 416: 52 = 8 (ч) - йшов перший поїзд.
2) 782 - 416 = 366 (км) - пройшов другий поїзд.
3) 366: 61 = 6 (ч) - йшов другий поїзд.
4) 8 - 6 = 2 (ч) - на цей час перший потяг вийшов раніше другого.
Відповідь: на 2 години.
Завдання 5: (№ 1193)
«Власна швидкість катера (швидкість в стоячій воді) дорівнює 21,6 км / год, а швидкість течії річки 4,7 км / ч. Знайдіть швидкість катера за течією і проти течії річки. »
- Уважно читаємо завдання.
- Давайте побудуємо таблицю до даної задачі.
- Про які величинах йде мова в задачі?
- Запишемо дані в таблицю.
| Собств. v (км / ч) | V течії (км / ч) | V за течією річки (Км / ч) | V проти течії (Км / ч) |
| 21,6 | 4,7 | ? | ? |
- Що дізнаємося спочатку? (Швидкість катери за течією річки)
- Як знайдемо? (Треба до власної швидкості катери додати швидкість течії)
- Що можемо дізнатися зараз? (Швидкість катери проти течії)
- Що для цього потрібно зробити? (З власної швидкості катери відняти швидкість течії)
- Записуємо рішення:
1) 21,6 + 4,7 = 26,3 (км / ч) - швидкість катера за течією.
2) 21,6 - 4,7 = 16,9 (км / ч) - швидкість катера проти течії.
Відповідь: 26,3 км / год; 16,9 км / ч.
Завдання 6: (№ 1194)
«Швидкість теплохода за течією річки дорівнює 37,6 км / ч. Знайдіть власну швидкість теплохода і його швидкість проти течії, якщо швидкість течії річки 3,9 км / ч. »
- Уважно читаємо завдання.
- Про які величинах йде мова в задачі?
- Побудуємо таблицю до даної задачі.
- Що вже відомо в задачі? (Швидкість за течією річки 37,6 км / год, швидкість течії річки 3,9 км / год)
- Зазначимо це в таблиці.
| Собств. v | V течії | V за течією річки | V проти течії |
| ? | 3,9 км / год | 37,6 км / год | ? |
- Позначимо невідоме знаком питання.
- Чи відома швидкість теплохода за течією річки і швидкість течії. Що можемо дізнатися за цими даними? (Власну швидкість теплохода)
- Що для цього потрібно зробити? (Потрібно зі швидкості теплохода за течією відняти швидкість течії річки)
- Знаючи власну швидкість теплохода і швидкість течії річки, що можемо дізнатися? (Швидкість теплохода проти течії річки)
- Як дізнаємося? (Потрібно з власної швидкості теплохода відняти швидкість течії річки)
- Записуємо рішення:
1) 37,6 - 3,9 = 33,7 (км / ч) - власна швидкість теплохода.
2) 33,7 - 3,9 = 29,8 (км / ч) - швидкість проти течії.
Відповідь: 33, 7 км / год; 29,8 км / ч.
Завдання 7: (№ 1196)
«Відстань між містами 156 км. З них одночасно назустріч один одному виїхали два велосипедисти. Один проїжджає на годину 13,6 км, а інший 10,4 км. Через скільки годин вони зустрінуться? »
- Уважно читаємо завдання.
- Давайте до цього завдання зробимо креслення.
- Що нам відомо в задачі? (З двох міст одночасно назустріч один одному виїхали два велосипедисти)
- Зазначимо це на кресленні.
t встр -?.
156 км
- Що ще відомо? (Відстань між містами 156 км; швидкість першого велосипедиста - 13,6 км / год, а швидкість другого - 10,4 км / год)
- Відзначимо ці дані на кресленні.
- Що потрібно знайти в задачі? (Через скільки годин зустрінуться велосипедисти?)
- Можемо одразу відповісти на це питання? (Ні)
- Чому? (Спочатку треба знайти швидкість зближення)
- Можемо її знайти? (Так)
- Як? (До швидкості першого велосипедиста додати швидкість другого)
- А зараз можемо відповісти на головне питання завдання? (Так)
- Що для цього потрібно зробити? (Відстань між містами розділити на швидкість зближення)
- Записуємо рішення по діях з питаннями:
1) Яка швидкість зближення велосипедистів?
13,6 + 10,4 = 24 (км / ч)
2) Через скільки годин зустрінуться велосипедисти?
156: 24 = 6,5 (ч)
Відповідь: через 6,5 години.
Завдання 8: (№ 1233)
«Автомашина в першу годину пройшла 48,3 км, у другій годину вона пройшла на 15,8 км менше, ніж у перший, а в третю годину - на 24,3 км менше, ніж за перші дві години разом. Який шлях пройшла автомашина за ці три години? »
- Читаємо уважно завдання.
- Для вирішення даної задачі зробимо схему.
- Що відомо в задачі? (Машина в першу годину пройшла 48,3 км, у другій - на 15,8 км менше, ніж у перший, а в третю годину - на 24,3 км менше, ніж за перші дві години разом)
- Зазначимо це на схемі.
1 ч.
48,3 км
2 ч.?
? 15,8 км
3 ч.
? 24,3 км
- Який головний питання завдання? (Який шлях пройшла автомашина за ці три години?)
- Можемо відразу на нього відповісти? (Ні)
- Чому? (Ми не знаємо відстань, яку проїхала автомашина в другій годину)
- Можемо це дізнатися? (Так)
- Як? (Треба з шляху, пройденого в першу годину, відняти 15,8 км)
- А зараз можемо відповісти на питання завдання? (Ні)
- Чому? (Спочатку треба дізнатися, який шлях пройшла автомашина за третя година)
- Можемо це дізнатися? (Ні)
- Чому? (Не знаємо шлях, який пройшла машина за 1 і 2 год)
- Можемо його знайти? (Так)
- Як знайдемо? (Треба скласти шлях, пройдений за 1 і 2 год)
- Зараз можемо знайти шлях, який пройшла машина за третя година? (Так)
- Як дізнаємося? (Треба з відстані, яку пройшла машина за 1 і 2:00 відняти 24,3 км)
- Тепер можемо знайти шлях, який пройшла машина за три години? (Так)
- Як знайдемо? (Відстані, пройдені за кожну годину, потрібно скласти)
- Записуємо рішення:
1) 48,3 - 15,8 = 32,5 (км) - пройшла машина за 2-а година.
2) 48,3 + 32,5 = 80,8 (км) - пройшла машина за 1 і 2 год.
3) 80,8 - 24,3 = 56,5 (км) - пройшла машина за 3-ій год.
4) 56,5 + 80,8 = 137,3 (км) - пройшла машина за 3 години.
Відповідь: 137,3 км.
Висновок:
Конструюючи роботу над завданням, автор спробував показати різний шлях аналізу задачі (висхідний і спадний), використання різних допоміжних і вирішальних моделей. [Додаток 2]
Вчитель має право вибрати те, що вважає за потрібне, виходячи з підготовленості дітей класу, в якому він працює.
При вирішенні задач на рух широко використовується метод моделювання, що сприяє свідомому і міцному засвоєнню матеріалу.
Моделі допомагають учням у свідомому виявленні прихованих залежностей між величинами, спонукають активно мислити, шукати найбільш раціональні шляхи вирішення завдань. Моделювання наочно представляє співвідношення між даними і шуканими величинами.
При вирішенні задач на рух використовуються різні види моделей, наприклад, схематичне креслення, таблиця. Використання таблиці передбачає вже добре знання учнями взаємозалежностей, так як сама таблиця цих залежностей не показує.
Спираючись на креслення, учні знаходять можливий шлях вирішення задачі. Вирішальною моделлю може бути: вираз, система рівнянь, запис вирішення завдання по діях. Оскільки на цих моделях відбувається вирішення завдання. Використовуючи візуальну інформацію, вчаться аналізувати завдання і складати повний план її вирішення. Креслення дає можливість учням знайти не один, а кілька способів вирішення.
Основними методами вирішення завдань є арифметичний і алгебраїчний, а процес рішення задачі включає наступні основні етапи:
1) аналіз;
2) пошук плану рішення;
3) здійснення плану вирішення;
4) перевірка пройденого рішення.
Розглянуто деякі прийоми виконання цих етапів. Головний прийом - це моделювання. Перш за все, вирішити текстову задачу - це значить побудувати її математичну модель. Але щоб полегшити пошук математичної моделі, потрібні моделі допоміжні. Вони можуть бути графічними (малюнок, умовний малюнок, креслення, схематичне креслення), знаковими (короткий запис, таблиця).
Метод моделювання дозволяє активізувати пізнавальну діяльність учнів на уроці.
- Що ще відомо? (Відстань між містами 156 км; швидкість першого велосипедиста - 13,6 км / год, а швидкість другого - 10,4 км / год)
- Відзначимо ці дані на кресленні.
- Що потрібно знайти в задачі? (Через скільки годин зустрінуться велосипедисти?)
- Можемо одразу відповісти на це питання? (Ні)
- Чому? (Спочатку треба знайти швидкість зближення)
- Можемо її знайти? (Так)
- Як? (До швидкості першого велосипедиста додати швидкість другого)
- А зараз можемо відповісти на головне питання завдання? (Так)
- Що для цього потрібно зробити? (Відстань між містами розділити на швидкість зближення)
- Записуємо рішення по діях з питаннями:
1) Яка швидкість зближення велосипедистів?
13,6 + 10,4 = 24 (км / ч)
2) Через скільки годин зустрінуться велосипедисти?
156: 24 = 6,5 (ч)
Відповідь: через 6,5 години.
Завдання 8: (№ 1233)
«Автомашина в першу годину пройшла 48,3 км, у другій годину вона пройшла на 15,8 км менше, ніж у перший, а в третю годину - на 24,3 км менше, ніж за перші дві години разом. Який шлях пройшла автомашина за ці три години? »
- Читаємо уважно завдання.
- Для вирішення даної задачі зробимо схему.
- Що відомо в задачі? (Машина в першу годину пройшла 48,3 км, у другій - на 15,8 км менше, ніж у перший, а в третю годину - на 24,3 км менше, ніж за перші дві години разом)
48,3 км
? 15,8 км
? 24,3 км
- Який головний питання завдання? (Який шлях пройшла автомашина за ці три години?)
- Можемо відразу на нього відповісти? (Ні)
- Чому? (Ми не знаємо відстань, яку проїхала автомашина в другій годину)
- Можемо це дізнатися? (Так)
- Як? (Треба з шляху, пройденого в першу годину, відняти 15,8 км)
- А зараз можемо відповісти на питання завдання? (Ні)
- Чому? (Спочатку треба дізнатися, який шлях пройшла автомашина за третя година)
- Можемо це дізнатися? (Ні)
- Чому? (Не знаємо шлях, який пройшла машина за 1 і 2 год)
- Можемо його знайти? (Так)
- Як знайдемо? (Треба скласти шлях, пройдений за 1 і 2 год)
- Зараз можемо знайти шлях, який пройшла машина за третя година? (Так)
- Як дізнаємося? (Треба з відстані, яку пройшла машина за 1 і 2:00 відняти 24,3 км)
- Тепер можемо знайти шлях, який пройшла машина за три години? (Так)
- Як знайдемо? (Відстані, пройдені за кожну годину, потрібно скласти)
- Записуємо рішення:
1) 48,3 - 15,8 = 32,5 (км) - пройшла машина за 2-а година.
2) 48,3 + 32,5 = 80,8 (км) - пройшла машина за 1 і 2 год.
3) 80,8 - 24,3 = 56,5 (км) - пройшла машина за 3-ій год.
4) 56,5 + 80,8 = 137,3 (км) - пройшла машина за 3 години.
Відповідь: 137,3 км.
Висновок:
Конструюючи роботу над завданням, автор спробував показати різний шлях аналізу задачі (висхідний і спадний), використання різних допоміжних і вирішальних моделей. [Додаток 2]
Вчитель має право вибрати те, що вважає за потрібне, виходячи з підготовленості дітей класу, в якому він працює.
При вирішенні задач на рух широко використовується метод моделювання, що сприяє свідомому і міцному засвоєнню матеріалу.
Моделі допомагають учням у свідомому виявленні прихованих залежностей між величинами, спонукають активно мислити, шукати найбільш раціональні шляхи вирішення завдань. Моделювання наочно представляє співвідношення між даними і шуканими величинами.
При вирішенні задач на рух використовуються різні види моделей, наприклад, схематичне креслення, таблиця. Використання таблиці передбачає вже добре знання учнями взаємозалежностей, так як сама таблиця цих залежностей не показує.
Спираючись на креслення, учні знаходять можливий шлях вирішення задачі. Вирішальною моделлю може бути: вираз, система рівнянь, запис вирішення завдання по діях. Оскільки на цих моделях відбувається вирішення завдання. Використовуючи візуальну інформацію, вчаться аналізувати завдання і складати повний план її вирішення. Креслення дає можливість учням знайти не один, а кілька способів вирішення.
Основними методами вирішення завдань є арифметичний і алгебраїчний, а процес рішення задачі включає наступні основні етапи:
1) аналіз;
2) пошук плану рішення;
3) здійснення плану вирішення;
4) перевірка пройденого рішення.
Розглянуто деякі прийоми виконання цих етапів. Головний прийом - це моделювання. Перш за все, вирішити текстову задачу - це значить побудувати її математичну модель. Але щоб полегшити пошук математичної моделі, потрібні моделі допоміжні. Вони можуть бути графічними (малюнок, умовний малюнок, креслення, схематичне креслення), знаковими (короткий запис, таблиця).
Метод моделювання дозволяє активізувати пізнавальну діяльність учнів на уроці.
2.2. Дослідно - експериментальна робота. Аналіз її результатів
Вивчивши теоретичні положення щодо використання моделювання при вирішенні завдань у 5 класі, у автора виникло бажання й інтерес реалізувати це на практиці.
Для того щоб довести або спростувати припущення, що використання моделювання допомагає при вирішенні завдань, була проведена відповідна робота.
Дослідження проходило на базі Бреховскіх школи Суксунському району. Були взяті два класи: 5 «А» клас - експериментальний і 5 «Б» клас - контрольний. Дані класи за рівнем розвитку приблизно однакові.
Для експерименту була обрана тема «Десяткові дроби».
Завдання практичної роботи:
- Підібрати завдання для перевірочної роботи;
- Провести зрізових робіт щодо вирішення завдань;
- Проаналізувати допущені помилки;
- Апробувати систему завдань з використанням моделей;
- Провести контрольну роботу;
- Порівняти кількість допущених помилок;
- Зробити висновки з використання моделювання при вирішенні завдань.
Дослідження проводилося в три етапи:
1) констатуючий експеримент;
2) формуючий експеримент;
3) контрольний експеримент.
1. Констатуючий експеримент.
Мета: виявити, на скільки сформовані навички вирішення завдань в учнів 5 класу на вихідному етапі експерименту.
Для цього була запропонована письмова робота. Кожен учень повинен був вирішити два завдання, які раніше були прорешени вдома або в класі. [Додаток 3]
Незважаючи на те, що завдання були знайомі, багато хто не впоралися з їх рішенням і допустили велику кількість помилок. [Таблиця 1, 2]
Отримано такі результати:
5 «А» клас:
1. Кількість учнів за списком 22
2. Виконували роботу 20
3. Виконали всю роботу без помилок 9 (45%)
4. Помилилися в задачі № 1 4 (20%)
5. Помилилися в задачі № 2 6 (30%)
6. Не впоралися з роботою 1 (5%)
5 «Б» клас:
1. Кількість учнів за списком 20
2. Виконували роботу 20
3. Виконали всю роботу без помилок 10 (50%)
4. Помилилися в задачі № 1 5 (25%)
5. Помилилися в задачі № 2 3 (15%)
6. Не впоралися з роботою 2 (10%)
Видно, що майже половина класу написала роботу без помилок. Розглянуті помилки свідчать про те, що не всі учні змогли чітко уявити собі життєвої ситуації, відображеної в задачі, не усвідомили відносин між величинами в ній, залежності між даними і шуканими, тому іноді просто механічно маніпулюють числами.
Із запропонованих діаграм можна зробити висновок, що експериментальний і контрольний класи написали дану роботу приблизно однаково. На початковому етапі експерименту навички вирішення завдань в учнів 5 класів знаходяться на середньому рівні розвитку.
2. Формуючий експеримент
Мета даного експерименту: систематичне використання моделювання при вирішенні завдань у 5 класі.
Для цього експериментальному класу пропонувалося, майже кожен урок, вирішувати задачі з використанням моделювання. У контрольному класі учні не використовували моделі при роботі над завданням.
Автор пропонує простежити використання моделювання в наступних фрагментах уроків: [Додаток 4]
Урок 1
Тема: Рішення завдань по темі «Поділ десяткових дробів на натуральні числа».
Завдання уроку:
- Повторити матеріал на тему «Дії з десятковими дробами»;
- Закріпити вміння розв'язувати задачі;
- Розвивати обчислювальні навички, увагу;
- Виховувати посидючість, терпіння, акуратність.
Обладнання: наочність для усних вправ, картки з додатковими завданнями.
3. Робота по темі уроку.
3.1. Рішення задачі з використанням моделювання.
Завдання 1316.
«Турист повинен був пройти за два дні 25,2 км. У перший день він пройшов
- Уважно читаємо умову задачі.
1. Читання завдання і запис умови.
- Про кого це завдання? (Про туриста)
- Хто такі туристи?
- Як ви думаєте, якими якостями характеру повинен мати турист?
- А хто з вас був у туристичному поході?
- Давайте ми до цього завдання складемо креслення.
- Що нам вже відомо в задачі? (Весь шлях, який повинен пройти турист за два дні)
- Давайте позначимо весь шлях відрізком.
25,2 км
- Що ще нам відомо? (У перший день турист пройшов
- Що означає число
- Давайте покажемо це на кресленні.
25,2 км
- Що потрібно дізнатися? (Скільки км пройшов турист під другий день?)
- Позначимо цю відстань знаком питання.
2. Аналіз завдання і складання плану вирішення.
- Подивіться уважно на креслення.
- Який головний питання завдання? (Скільки км пройшов турист під другий день?)
- Можна відразу відповісти на це питання? (Ні)
- Чому? (Нам невідомо, яку відстань пройшов турист в 1-ий день)
- А можна це дізнатися? (Так)
- Як ми це зробимо? (25,2: 7 ∙ 3 = 10,8 (км))
- Зараз ми можемо відповісти на головне питання завдання? (Так)
- Що для цього потрібно зробити? (25,2 - 10,8 = 14,4 (км))
3. План рішення.
Ще раз подивимося, як ми вирішили це завдання:
- Знайшли відстань, яку пройшов турист у перший день;
- Знайшли, скільки кілометрів пройшов турист у другий день.
4. Здійснення плану рішення.
- Пропоную записати самостійно вирішення завдання щодо дій з поясненнями.
1) 25,2: 7 ∙ 3 = 10,8 (км) - турист пройшов в перший день.
2) 25,2 - 10,8 = 14,4 (км) - турист пройшов у другий день.
Відповідь: 14,4 км.
5. Перевірка.
- Як можна перевірити, чи правильно ми розв'язали це завдання? (Вирішити її іншим способом)
- Кожен вирішує самостійно, потім перевіримо.
II спосіб: Візьмемо всю відстань за 1.
Можна знайти, яку частину відстані пройшов турист у другий день.
(1 -
Знайдемо скільки км пройшов турист під другий день: (25,2: 7 ∙ 4 = 14,4 (км))
- Що допомогло нам вирішити завдання швидко та ще двома способами? (Креслення)
- Так, дійсно, модель, яку ми використовували, надала допомогу у вирішенні даного завдання і, крім того, ми зуміли знайти ще один спосіб вирішення цього завдання.
Висновок:
Аналізуючи даний фрагмент уроку, було виявлено, що при вирішенні завдань діти погано засвоюють текст завдання. Деякі учні ще не в повній мірі володіють навичками читання, тому їм важко зрозуміти умову задачі. Для цього на уроці проводилася додаткова робота з роз'яснення деяких понять, доводилося ставити додаткові питання до умови задачі. Також була використана модель, за допомогою якої діти зуміли знайти два способи вирішення даної задачі. При розборі завдання діти активно працювали, відповідали на запитання вчителя.
Таким чином, модель допомогла дітям у вирішенні задачі.
Урок 2
Тема: Рішення завдань по темі «Поділ десяткових дробів на натуральні числа».
Завдання уроку:
- Повторити матеріал на тему «Дії з десятковими дробами»;
- Закріпити вміння розв'язувати задачі;
- Розвивати просторове мислення, увагу;
- Виховувати акуратність при побудові моделей, інтерес до предмета.
Обладнання: картки з додатковими завданнями.
3. Робота по темі уроку.
3.1. Рішення задачі з використанням моделювання.
Завдання 1318.
«Для посіву було приготовлено 25,2 т насіння. У перший день на посів витратили
- Уважно читаємо завдання.
1. Читання завдання і запис умови.
- Як ви розумієте слово «посів»?
- В яку пору року починається посів?
- Насіння яких рослин ви садіть вдома?
- Давайте до цього завдання зробимо модель. Подумайте, що можна використовувати в якості моделі?
- Що нам вже відомо в задачі? (Для посіву приготовлено 25,2 т насіння)
- Як можна означити «весь посів»? (У вигляді прямокутника)
- Що ще нам відомо? (У перший день витратили
- Що означає число
- Давайте покажемо це на нашій схемі.
25,2 т
- Що ще нам дано в задачі? (У другий день витратили
- Що це значить? (Тобто те насіння, які залишилися після першого дня посіву розділили на 7 частин і взяли 4 частини)
- Покажемо це на схемі.
- Що потрібно дізнатися? (Скільки насіння залишилося після двох днів посіву?)
- Позначимо це на схемі знаком питання.
2. Аналіз завдання і складання плану вирішення.
- Подивіться уважно на схему. Який головне питання завдання? (Скільки насіння залишилося після двох днів посіву?)
- Можна відразу відповісти на це питання? (Ні)
- Чому? (Нам невідомо, скільки насіння витратили в перший і в другий день)
- А можна дізнатися, скільки тонн насіння витратили в перший день? (Так)
- Як ми це дізнаємося? (25,2: 9 ∙ 4 = 11,2 (т))
- Зараз ми можемо знайти масу насіння, витрачених у другий день? (Ні)
- Чому? (Спочатку треба знайти масу насіння, які залишилися після першого дня посіву)
- Можемо це дізнатися? (Так)
- Як ми це зробимо? (25,2 - 11,2 = 14 (т))
- Тепер ми можемо дізнатися, скільки насіння витратили в другий день? (Так)
- Як дізнаємося? (14: 7 ∙ 4 = 8 (т))
- Зараз ми можемо відповісти на головне питання завдання? (Так)
- Що для цього можна зробити? (14 - 8 = 6 (т))
3. План рішення.
Ще раз подивимося, як вирішили це завдання:
- Знайшли, скільки насіння витратили в перший день;
- Знайшли, скільки насіння залишилося після посіву в перший день;
- Знайшли, скільки насіння витратили в другий день;
- Знайшли, скільки насіння залишилося після двох днів посіву.
4. Здійснення плану рішення.
- Пропоную записати вирішення завдання щодо дій з поясненнями. Коментує рішення Анферова Оксана.
1) 25,2: 9 ∙ 4 = 11,2 (т) - насіння витратили в перший день.
2) 25,2 - 11,2 = 14 (т) - насіння залишилося після посіву в перший день.
3) 14: 7 ∙ 4 = 8 (т) - насіння витратили в другий день.
4) 14 - 8 = 6 (т) - насіння залишилося після двох днів посіву.
Відповідь: 6 тонн.
5. Перевірка.
- Як можна перевірити, чи правильно ми розв'язали це завдання? (Можна скласти масу насіння, яка залишилася після двох днів посіву з масою насіння, витрачених в перший і в другий день)
6 + 11,2 + 8 = 25,2 (т)
- Що допомогло нам швидко знайти спосіб вирішення завдання? (Креслення)
- Так, модель, яку ми використовували при вирішенні, зробила нам допомогу при вирішенні задачі.
Висновок:
Так як діти ще погано засвоюють текст завдання, і доводиться проводити додаткову роботу за умовою задачі, тому план вирішення даної задачі розбирається разом з учителем. При цьому з'ясовується зміст деяких понять, що зустрічаються в тексті задачі. Діти активно працюють на уроці, відповідають на всі запитання вчителя. Учні вже самі пропонують, яку модель можна використовувати для вирішення, швидко працюють по ній і знаходять спосіб розв'язання задачі.
Таким чином, модель допомогла учням під час вирішення завдання.
Вивчивши теоретичні положення щодо використання моделювання при вирішенні завдань у 5 класі, у автора виникло бажання й інтерес реалізувати це на практиці.
Для того щоб довести або спростувати припущення, що використання моделювання допомагає при вирішенні завдань, була проведена відповідна робота.
Дослідження проходило на базі Бреховскіх школи Суксунському району. Були взяті два класи: 5 «А» клас - експериментальний і 5 «Б» клас - контрольний. Дані класи за рівнем розвитку приблизно однакові.
Для експерименту була обрана тема «Десяткові дроби».
Завдання практичної роботи:
- Підібрати завдання для перевірочної роботи;
- Провести зрізових робіт щодо вирішення завдань;
- Проаналізувати допущені помилки;
- Апробувати систему завдань з використанням моделей;
- Провести контрольну роботу;
- Порівняти кількість допущених помилок;
- Зробити висновки з використання моделювання при вирішенні завдань.
Дослідження проводилося в три етапи:
1) констатуючий експеримент;
2) формуючий експеримент;
3) контрольний експеримент.
1. Констатуючий експеримент.
Мета: виявити, на скільки сформовані навички вирішення завдань в учнів 5 класу на вихідному етапі експерименту.
Для цього була запропонована письмова робота. Кожен учень повинен був вирішити два завдання, які раніше були прорешени вдома або в класі. [Додаток 3]
Незважаючи на те, що завдання були знайомі, багато хто не впоралися з їх рішенням і допустили велику кількість помилок. [Таблиця 1, 2]
Отримано такі результати:
5 «А» клас:
1. Кількість учнів за списком 22
2. Виконували роботу 20
3. Виконали всю роботу без помилок 9 (45%)
4. Помилилися в задачі № 1 4 (20%)
5. Помилилися в задачі № 2 6 (30%)
6. Не впоралися з роботою 1 (5%)
5 «Б» клас:
1. Кількість учнів за списком 20
2. Виконували роботу 20
3. Виконали всю роботу без помилок 10 (50%)
4. Помилилися в задачі № 1 5 (25%)
5. Помилилися в задачі № 2 3 (15%)
6. Не впоралися з роботою 2 (10%)
Видно, що майже половина класу написала роботу без помилок. Розглянуті помилки свідчать про те, що не всі учні змогли чітко уявити собі життєвої ситуації, відображеної в задачі, не усвідомили відносин між величинами в ній, залежності між даними і шуканими, тому іноді просто механічно маніпулюють числами.
Із запропонованих діаграм можна зробити висновок, що експериментальний і контрольний класи написали дану роботу приблизно однаково. На початковому етапі експерименту навички вирішення завдань в учнів 5 класів знаходяться на середньому рівні розвитку.
2. Формуючий експеримент
Мета даного експерименту: систематичне використання моделювання при вирішенні завдань у 5 класі.
Для цього експериментальному класу пропонувалося, майже кожен урок, вирішувати задачі з використанням моделювання. У контрольному класі учні не використовували моделі при роботі над завданням.
Автор пропонує простежити використання моделювання в наступних фрагментах уроків: [Додаток 4]
Урок 1
Тема: Рішення завдань по темі «Поділ десяткових дробів на натуральні числа».
Завдання уроку:
- Повторити матеріал на тему «Дії з десятковими дробами»;
- Закріпити вміння розв'язувати задачі;
- Розвивати обчислювальні навички, увагу;
- Виховувати посидючість, терпіння, акуратність.
Обладнання: наочність для усних вправ, картки з додатковими завданнями.
3. Робота по темі уроку.
3.1. Рішення задачі з використанням моделювання.
Завдання 1316.
«Турист повинен був пройти за два дні 25,2 км. У перший день він пройшов
- Уважно читаємо умову задачі.
1. Читання завдання і запис умови.
- Про кого це завдання? (Про туриста)
- Хто такі туристи?
- Як ви думаєте, якими якостями характеру повинен мати турист?
- А хто з вас був у туристичному поході?
- Давайте ми до цього завдання складемо креслення.
- Що нам вже відомо в задачі? (Весь шлях, який повинен пройти турист за два дні)
- Давайте позначимо весь шлях відрізком.
25,2 км
- Що ще нам відомо? (У перший день турист пройшов
- Що означає число
- Давайте покажемо це на кресленні.
|
|
25,2 км
- Що потрібно дізнатися? (Скільки км пройшов турист під другий день?)
- Позначимо цю відстань знаком питання.
2. Аналіз завдання і складання плану вирішення.
- Подивіться уважно на креслення.
- Який головний питання завдання? (Скільки км пройшов турист під другий день?)
- Можна відразу відповісти на це питання? (Ні)
- Чому? (Нам невідомо, яку відстань пройшов турист в 1-ий день)
- А можна це дізнатися? (Так)
- Як ми це зробимо? (25,2: 7 ∙ 3 = 10,8 (км))
- Зараз ми можемо відповісти на головне питання завдання? (Так)
- Що для цього потрібно зробити? (25,2 - 10,8 = 14,4 (км))
3. План рішення.
Ще раз подивимося, як ми вирішили це завдання:
- Знайшли відстань, яку пройшов турист у перший день;
- Знайшли, скільки кілометрів пройшов турист у другий день.
4. Здійснення плану рішення.
- Пропоную записати самостійно вирішення завдання щодо дій з поясненнями.
1) 25,2: 7 ∙ 3 = 10,8 (км) - турист пройшов в перший день.
2) 25,2 - 10,8 = 14,4 (км) - турист пройшов у другий день.
Відповідь: 14,4 км.
5. Перевірка.
- Як можна перевірити, чи правильно ми розв'язали це завдання? (Вирішити її іншим способом)
- Кожен вирішує самостійно, потім перевіримо.
II спосіб: Візьмемо всю відстань за 1.
Можна знайти, яку частину відстані пройшов турист у другий день.
(1 -
Знайдемо скільки км пройшов турист під другий день: (25,2: 7 ∙ 4 = 14,4 (км))
- Що допомогло нам вирішити завдання швидко та ще двома способами? (Креслення)
- Так, дійсно, модель, яку ми використовували, надала допомогу у вирішенні даного завдання і, крім того, ми зуміли знайти ще один спосіб вирішення цього завдання.
Висновок:
Аналізуючи даний фрагмент уроку, було виявлено, що при вирішенні завдань діти погано засвоюють текст завдання. Деякі учні ще не в повній мірі володіють навичками читання, тому їм важко зрозуміти умову задачі. Для цього на уроці проводилася додаткова робота з роз'яснення деяких понять, доводилося ставити додаткові питання до умови задачі. Також була використана модель, за допомогою якої діти зуміли знайти два способи вирішення даної задачі. При розборі завдання діти активно працювали, відповідали на запитання вчителя.
Таким чином, модель допомогла дітям у вирішенні задачі.
Урок 2
Тема: Рішення завдань по темі «Поділ десяткових дробів на натуральні числа».
Завдання уроку:
- Повторити матеріал на тему «Дії з десятковими дробами»;
- Закріпити вміння розв'язувати задачі;
- Розвивати просторове мислення, увагу;
- Виховувати акуратність при побудові моделей, інтерес до предмета.
Обладнання: картки з додатковими завданнями.
3. Робота по темі уроку.
3.1. Рішення задачі з використанням моделювання.
Завдання 1318.
«Для посіву було приготовлено 25,2 т насіння. У перший день на посів витратили
- Уважно читаємо завдання.
1. Читання завдання і запис умови.
- Як ви розумієте слово «посів»?
- В яку пору року починається посів?
- Насіння яких рослин ви садіть вдома?
- Давайте до цього завдання зробимо модель. Подумайте, що можна використовувати в якості моделі?
- Що нам вже відомо в задачі? (Для посіву приготовлено 25,2 т насіння)
- Як можна означити «весь посів»? (У вигляді прямокутника)
- Що ще нам відомо? (У перший день витратили
- Що означає число
- Давайте покажемо це на нашій схемі.
| | |
| ? |
- Що ще нам дано в задачі? (У другий день витратили
- Що це значить? (Тобто те насіння, які залишилися після першого дня посіву розділили на 7 частин і взяли 4 частини)
- Покажемо це на схемі.
- Що потрібно дізнатися? (Скільки насіння залишилося після двох днів посіву?)
- Позначимо це на схемі знаком питання.
2. Аналіз завдання і складання плану вирішення.
- Подивіться уважно на схему. Який головне питання завдання? (Скільки насіння залишилося після двох днів посіву?)
- Можна відразу відповісти на це питання? (Ні)
- Чому? (Нам невідомо, скільки насіння витратили в перший і в другий день)
- А можна дізнатися, скільки тонн насіння витратили в перший день? (Так)
- Як ми це дізнаємося? (25,2: 9 ∙ 4 = 11,2 (т))
- Зараз ми можемо знайти масу насіння, витрачених у другий день? (Ні)
- Чому? (Спочатку треба знайти масу насіння, які залишилися після першого дня посіву)
- Можемо це дізнатися? (Так)
- Як ми це зробимо? (25,2 - 11,2 = 14 (т))
- Тепер ми можемо дізнатися, скільки насіння витратили в другий день? (Так)
- Як дізнаємося? (14: 7 ∙ 4 = 8 (т))
- Зараз ми можемо відповісти на головне питання завдання? (Так)
- Що для цього можна зробити? (14 - 8 = 6 (т))
3. План рішення.
Ще раз подивимося, як вирішили це завдання:
- Знайшли, скільки насіння витратили в перший день;
- Знайшли, скільки насіння залишилося після посіву в перший день;
- Знайшли, скільки насіння витратили в другий день;
- Знайшли, скільки насіння залишилося після двох днів посіву.
4. Здійснення плану рішення.
- Пропоную записати вирішення завдання щодо дій з поясненнями. Коментує рішення Анферова Оксана.
1) 25,2: 9 ∙ 4 = 11,2 (т) - насіння витратили в перший день.
2) 25,2 - 11,2 = 14 (т) - насіння залишилося після посіву в перший день.
3) 14: 7 ∙ 4 = 8 (т) - насіння витратили в другий день.
4) 14 - 8 = 6 (т) - насіння залишилося після двох днів посіву.
Відповідь: 6 тонн.
5. Перевірка.
- Як можна перевірити, чи правильно ми розв'язали це завдання? (Можна скласти масу насіння, яка залишилася після двох днів посіву з масою насіння, витрачених в перший і в другий день)
6 + 11,2 + 8 = 25,2 (т)
- Що допомогло нам швидко знайти спосіб вирішення завдання? (Креслення)
- Так, модель, яку ми використовували при вирішенні, зробила нам допомогу при вирішенні задачі.
Висновок:
Так як діти ще погано засвоюють текст завдання, і доводиться проводити додаткову роботу за умовою задачі, тому план вирішення даної задачі розбирається разом з учителем. При цьому з'ясовується зміст деяких понять, що зустрічаються в тексті задачі. Діти активно працюють на уроці, відповідають на всі запитання вчителя. Учні вже самі пропонують, яку модель можна використовувати для вирішення, швидко працюють по ній і знаходять спосіб розв'язання задачі.
Таким чином, модель допомогла учням під час вирішення завдання.
4. Контрольний експеримент.
Мета: виявлення наявності або відсутності умінь розв'язувати задачі, використовуючи метод моделювання.
Отримано такі результати:
5 «А» клас:
1. Кількість учнів за списком 22
2. Виконували роботу 22 (100%)
3. Вирішили всі завдання без помилок 18 (81,8%)
4. Помилилися в першій задачі 1 (4,5%)
5. Помилилися в другій задачі 3 (13,7%)
6. Не впоралися з рішенням завдань -
5 «Б» клас:
1. Кількість учнів за списком 20
2. Виконували роботу 20 (100%)
3. Вирішили всі завдання без помилок 8 (40%)
4. Помилилися в першій задачі 2 (10%)
5. Помилилися в другій задачі 8 (40%)
6. Не впоралися з вирішенням завдань 2 (10%)
Проаналізувавши дані результати, можна зробити висновок, що експериментальний клас виконав роботу набагато краще, ніж контрольний. Діти здебільшого використовували моделі при вирішенні завдань. 5 «А» клас показав більш високі результати, ніж 5 «Б» клас. Це можна побачити, проглянувши порівняльні діаграми.
Таким чином, при вирішенні задач на рух слід використовувати метод моделювання, що сприяє свідомому і міцному засвоєнню і розумінню матеріалу.
Завдяки моделюванню математичні зв'язки і залежності набувають для учнів сенс, а в процесі його використання відбувається поглиблення і розвиток математичного мислення учнів. Тому моделювання - це один з провідних методів навчання рішенню завдань і важливий засіб пізнання дійсності.
Мета: виявлення наявності або відсутності умінь розв'язувати задачі, використовуючи метод моделювання.
Отримано такі результати:
5 «А» клас:
1. Кількість учнів за списком 22
2. Виконували роботу 22 (100%)
3. Вирішили всі завдання без помилок 18 (81,8%)
4. Помилилися в першій задачі 1 (4,5%)
5. Помилилися в другій задачі 3 (13,7%)
6. Не впоралися з рішенням завдань -
5 «Б» клас:
1. Кількість учнів за списком 20
2. Виконували роботу 20 (100%)
3. Вирішили всі завдання без помилок 8 (40%)
4. Помилилися в першій задачі 2 (10%)
5. Помилилися в другій задачі 8 (40%)
6. Не впоралися з вирішенням завдань 2 (10%)
Проаналізувавши дані результати, можна зробити висновок, що експериментальний клас виконав роботу набагато краще, ніж контрольний. Діти здебільшого використовували моделі при вирішенні завдань. 5 «А» клас показав більш високі результати, ніж 5 «Б» клас. Це можна побачити, проглянувши порівняльні діаграми.
Таким чином, при вирішенні задач на рух слід використовувати метод моделювання, що сприяє свідомому і міцному засвоєнню і розумінню матеріалу.
Завдяки моделюванню математичні зв'язки і залежності набувають для учнів сенс, а в процесі його використання відбувається поглиблення і розвиток математичного мислення учнів. Тому моделювання - це один з провідних методів навчання рішенню завдань і важливий засіб пізнання дійсності.
Висновок
Вивчивши більш докладно і глибоко питання, пов'язані з використанням моделей, поставлені автором мета і задачі вирішені. Гіпотеза дала позитивний результат.
У ході дослідження проблеми використання моделювання в процесі навчання математики виявлено наступне:
- Моделювання допомагає формувати вміння розв'язувати текстові задачі;
- Даний метод навчання підвищує інтерес учнів до вивчення математики.
Головним недоліком використання моделювання є відсутність належної уваги на систематичне використання моделювання на уроках.
Цілеспрямована робота з формування прийомів розумової діяльності повинна починатися з перших уроків математики. Діючи з різними предметами, намагаючись замінити один предмет іншим, відповідним за заданим ознакою, діти повинні навчитися виділяти параметри речей, які є величинами, тобто властивості, для яких можна встановити відносини «дорівнює», «нерівно», «більше», «менше». Отримані відносини моделюються спочатку за допомогою предметів, графічно (відрізками), а потім - літерними формулами.
Отже, використання моделювання має:
- Освітнє значення: моделювання допомагає засвоїти багато питань теорії;
- Виховне значення: сприяє розвитку пам'яті, уваги, спостережливості;
- Практичне значення: швидкість і правильність обчислень.
Дана робота може стати методичним посібником для студентів КПУ, як при підготовці доповідей, повідомлень на цю тему, так і при проведенні пробних уроків математики.
Вивчивши більш докладно і глибоко питання, пов'язані з використанням моделей, поставлені автором мета і задачі вирішені. Гіпотеза дала позитивний результат.
У ході дослідження проблеми використання моделювання в процесі навчання математики виявлено наступне:
- Моделювання допомагає формувати вміння розв'язувати текстові задачі;
- Даний метод навчання підвищує інтерес учнів до вивчення математики.
Головним недоліком використання моделювання є відсутність належної уваги на систематичне використання моделювання на уроках.
Цілеспрямована робота з формування прийомів розумової діяльності повинна починатися з перших уроків математики. Діючи з різними предметами, намагаючись замінити один предмет іншим, відповідним за заданим ознакою, діти повинні навчитися виділяти параметри речей, які є величинами, тобто властивості, для яких можна встановити відносини «дорівнює», «нерівно», «більше», «менше». Отримані відносини моделюються спочатку за допомогою предметів, графічно (відрізками), а потім - літерними формулами.
Отже, використання моделювання має:
- Освітнє значення: моделювання допомагає засвоїти багато питань теорії;
- Виховне значення: сприяє розвитку пам'яті, уваги, спостережливості;
- Практичне значення: швидкість і правильність обчислень.
Дана робота може стати методичним посібником для студентів КПУ, як при підготовці доповідей, повідомлень на цю тему, так і при проведенні пробних уроків математики.
Література
1. Бантова М. А. Методика викладання інформатики в початкових класах / М. А. Бантова Г. В. Бельтюкова, під ред. М. А. Бантова, - М.: Просвещение, 1984 .- 335 с.: Іл.
2. Бондаренко, С. М. Навчайте дітей порівнювати / С. М. Бондаренко .- М.: Знание, 1981 .- 96 с.
3. Віленкін Н. Я. Математика: навч. для 5 кл. 6-е вид. / Н. Я. Віленкін .- М.: Мнемозина, 1998 .- 384 с.: Іл.
4. Володарська, І. Моделювання та його роль у вирішенні завдань / І. Володарська, Н. Салміна / / Математика. - 2006. - № 18 - З 2-7.
5. Виховання учнів під час навчання математики: Книга для вчителя. З досвіду роботи / сост. Л. Ф. Пічугін .- М.: Просвещение, 1987 - 175 с.
6. Грес П. В. Математика для гуманітаріїв. Уч. посібник / П. В. Грес. - М.: Логос, 2004. - 160 с.
7. Жохів В. І. Викладання математики в 5 - 6 класах: Методичні рекомендації для вчителів до підручника Н. Я. Виленкина В. І. Жохова, А. С. Чеснокова / В. І. Жохів. - М.: Вербум-М, 2000 .- 176 с.
8. Зайчева С. А. Рішення складових завдань на уроках математики / С. А. Зайцева, І. І. Целіщева. - М.: Чисті ставки, 2006. - 32 с.
9. Змаева Є. Рішення задач на рух / Є. Змаева / / Математика. - 2000. - № 14 - С. 40 - 41.
10. Іванова, Н. Малюючи, вирішувати задачі / М. Іванова / / Математика. - 2004. - № 41. - С. 2 - 3.
11. Кузнєцов, В. І. До питання про рішення математичних задач / В. І. Кузнєцов / / Початкова школа. - 1999. - № 5. - С. 27 - 33.
12. Левенберга Л. Ш. Малюнки, схеми і креслення в початковому курсі математики. З досвіду роботи / Л. Ш. Левенберга під ред. М. І. Моро. - М.: Просвещение, 1978. - 126 с.
13. Лотарева, Л. Малюємо, креслимо, вирішуємо / Л. Лотарева / / Математика. - 2004. - № 41. - С. 2 - 5.
14. Математика: інтелектуальні марафони, турніри, бої: 5 - 11 класи: книга для вчителя / А. Д. Блінков та ін, заг. Ред. І. Л. Соловейчик. - М.: Перше вересня, 2003. - 256 с.
15. Махрова, В. Н. Малюнок допомагає вирішувати задачі / В. М. Махрова / / Початкова школа. - 1998. - № 7. - С. 69 - 72.
16. Методика і технологія навчання математики. Курс лекцій: посібник для вузів / під ред. М. Л. Стефанової. - М.: Дрофа, 2005. - 416 с.: Іл.
17. Салміна Н. П. Знак і символ у навчанні / Н. П. Салміна. - М., 1998. - 305 с.
18. Севрюков П. Такі різні завдання на рух / П. Севрюков / / Математика. - 2006. - № 19. - С. 8 - 11.
19. Селевко Г. К. Сучасні освітні технології: уч. посібник / Г. К. Селевко. - М.: Народна освіта, 1998. - 256 с.
20. Скворцова, М. Математичне моделювання / М. Скворцова / / Математика. - 2003. - № 14. - С. 1 - 4.
21. Смирнова, С. І. Використання креслення при вирішенні простих завдань / С. І. Смирнова / / Початкова школа. - 1998. - № 5. - С. 53 - 58.
22. Стойлова Л. П. Математика: учень для студентів відділень і факультетів поч. класів / Л. П. Стойлова. - М.: Видавничий центр «Академія», 1997. - 464 с.
23. Сурікова, С. В. Використання графових моделей при вирішенні задач / С. В. Сурикова / / Початкова школа. - 2002. - № 4. - С. 56 - 63.
24. Тоом А. Як я вчуся розв'язувати текстові задачі / А. Тоом / / Математика. - 2004. - № 46. - С. 4 - 6.
25. Фрідман, Л. М. Психолого-педагогічні основи навчання математики в школі / Л. М. Фрідман. - М.: Просвещение, 1983. - 160 с.: Іл.
26. Хабібуллін, К. Я. Навчання методам вирішення завдань / К. Я. Хабібуллін / / Шкільні технології. - 2004. - № 3. - С. 127 - 131.
27. Шовкун О. Текстові завдання в шкільному курсі математики 5-9 класи / А. Шовкун / / Математика. - 2005. - № 23. - С. 19 - 26.
28. Шикова Р. М. Методика навчання рішенню завдань, пов'язаних з рухом тел / Р. М. Шикова / / Початкова школа. - 2000. - № 5. - С. 30 - 37.
1. Бантова М. А. Методика викладання інформатики в початкових класах / М. А. Бантова Г. В. Бельтюкова, під ред. М. А. Бантова, - М.: Просвещение, 1984 .- 335 с.: Іл.
2. Бондаренко, С. М. Навчайте дітей порівнювати / С. М. Бондаренко .- М.: Знание, 1981 .- 96 с.
3. Віленкін Н. Я. Математика: навч. для 5 кл. 6-е вид. / Н. Я. Віленкін .- М.: Мнемозина, 1998 .- 384 с.: Іл.
4. Володарська, І. Моделювання та його роль у вирішенні завдань / І. Володарська, Н. Салміна / / Математика. - 2006. - № 18 - З 2-7.
5. Виховання учнів під час навчання математики: Книга для вчителя. З досвіду роботи / сост. Л. Ф. Пічугін .- М.: Просвещение, 1987 - 175 с.
6. Грес П. В. Математика для гуманітаріїв. Уч. посібник / П. В. Грес. - М.: Логос, 2004. - 160 с.
7. Жохів В. І. Викладання математики в 5 - 6 класах: Методичні рекомендації для вчителів до підручника Н. Я. Виленкина В. І. Жохова, А. С. Чеснокова / В. І. Жохів. - М.: Вербум-М, 2000 .- 176 с.
8. Зайчева С. А. Рішення складових завдань на уроках математики / С. А. Зайцева, І. І. Целіщева. - М.: Чисті ставки, 2006. - 32 с.
9. Змаева Є. Рішення задач на рух / Є. Змаева / / Математика. - 2000. - № 14 - С. 40 - 41.
10. Іванова, Н. Малюючи, вирішувати задачі / М. Іванова / / Математика. - 2004. - № 41. - С. 2 - 3.
11. Кузнєцов, В. І. До питання про рішення математичних задач / В. І. Кузнєцов / / Початкова школа. - 1999. - № 5. - С. 27 - 33.
12. Левенберга Л. Ш. Малюнки, схеми і креслення в початковому курсі математики. З досвіду роботи / Л. Ш. Левенберга під ред. М. І. Моро. - М.: Просвещение, 1978. - 126 с.
13. Лотарева, Л. Малюємо, креслимо, вирішуємо / Л. Лотарева / / Математика. - 2004. - № 41. - С. 2 - 5.
14. Математика: інтелектуальні марафони, турніри, бої: 5 - 11 класи: книга для вчителя / А. Д. Блінков та ін, заг. Ред. І. Л. Соловейчик. - М.: Перше вересня, 2003. - 256 с.
15. Махрова, В. Н. Малюнок допомагає вирішувати задачі / В. М. Махрова / / Початкова школа. - 1998. - № 7. - С. 69 - 72.
16. Методика і технологія навчання математики. Курс лекцій: посібник для вузів / під ред. М. Л. Стефанової. - М.: Дрофа, 2005. - 416 с.: Іл.
17. Салміна Н. П. Знак і символ у навчанні / Н. П. Салміна. - М., 1998. - 305 с.
18. Севрюков П. Такі різні завдання на рух / П. Севрюков / / Математика. - 2006. - № 19. - С. 8 - 11.
19. Селевко Г. К. Сучасні освітні технології: уч. посібник / Г. К. Селевко. - М.: Народна освіта, 1998. - 256 с.
20. Скворцова, М. Математичне моделювання / М. Скворцова / / Математика. - 2003. - № 14. - С. 1 - 4.
21. Смирнова, С. І. Використання креслення при вирішенні простих завдань / С. І. Смирнова / / Початкова школа. - 1998. - № 5. - С. 53 - 58.
22. Стойлова Л. П. Математика: учень для студентів відділень і факультетів поч. класів / Л. П. Стойлова. - М.: Видавничий центр «Академія», 1997. - 464 с.
23. Сурікова, С. В. Використання графових моделей при вирішенні задач / С. В. Сурикова / / Початкова школа. - 2002. - № 4. - С. 56 - 63.
24. Тоом А. Як я вчуся розв'язувати текстові задачі / А. Тоом / / Математика. - 2004. - № 46. - С. 4 - 6.
25. Фрідман, Л. М. Психолого-педагогічні основи навчання математики в школі / Л. М. Фрідман. - М.: Просвещение, 1983. - 160 с.: Іл.
26. Хабібуллін, К. Я. Навчання методам вирішення завдань / К. Я. Хабібуллін / / Шкільні технології. - 2004. - № 3. - С. 127 - 131.
27. Шовкун О. Текстові завдання в шкільному курсі математики 5-9 класи / А. Шовкун / / Математика. - 2005. - № 23. - С. 19 - 26.
28. Шикова Р. М. Методика навчання рішенню завдань, пов'язаних з рухом тел / Р. М. Шикова / / Початкова школа. - 2000. - № 5. - С. 30 - 37.