Міністерство освіти і науки України
ОДЕСЬКА НАЦІОНАЛЬНА МОРСЬКА АКАДЕМІЯ
Кафедра ТАУ та ОТ
Курсова робота:
АНАЛІЗ І РОЗРАХУНОК АВТОМАТИЧНИХ СИСТЕМ
Виконав:
курсант 3131 групи
ФЕМ і РЕ
Перевірив:
Поповський А.Ю.
Номер залікової книжки:
Одеса - 2006
Рис.1
Критерій: Найквіста
Введення
Одним з найважливіших елементів процесу розрахунку і настройки лінійних систем автоматики є вміння аналізувати їх властивості за відомою структурною схемою. Знати властивості системи - це означає знати поводження системи в статичному режимі, в перехідних процесах, а також у режимі вимушених коливань. Це необхідно для перевірки того - чи задовольняє тестуєма система заданим технологічним вимогам, потрібно чи коригуючий вплив і якого виду і т.д.
Тому метою виконання розрахунків є:
знаходження по заданій структурній схемі і відомим виразами для передавальних функцій динамічних ланок передавальної функції замкнутої САУ;
дослідження стійкості системи;
проведення частотного аналізу системи;
розрахунок перехідних процесів в системі.
Перетворення структурної схеми:
Послідовно спростимо задану структурну схему шляхом об'єднання ланок і введення додаткових ланок, дублюючих дію основних.
Для визначення передавальної функції САУ W (s) використовуємо такі правила знаходження передавальних функцій з'єднань ланок:
послідовне з'єднання - ,
паралельне з'єднання - ,
зворотний зв'язок - .
Рис.2
1. Перетворимо структурну схему, перенісши вузол між третім суматором і ланкою W 3 назад через динамічне ланку з передатною функцією W 3. При цьому додасться ланку з передатною функцією 1 / W 3. Тому структурна схема системи може бути представлена у вигляді, зображеному на Рис.3
W2
1/W3
W5 W1 W3
W4
Рис. 3
2. Далі перетворимо структурну схему: позбудемося від другого суматора при цьому до сумматору 3 паралельно підключаються послідовно з'єднані передавальні ланки значеннями відповідно 1 / W 3; W 1 і W 4; W 1. При цьому структурна схема набуває вигляд, зображений на Рис.4
W2
W5 W1 W3
W1 1/W3
W1 W4
Рис.4
При цьому значення передавальної функції розімкнутої системи буде представлено у вигляді:
W раз = 1.1
3. Спростимо отриману структурну схему шляхом перетворення передавальних функцій, послідовно і паралельно з'єднаних передатних ланок. При цьому структурна схема набуде вигляду зображений на Рис.5
W2
W5 W1 W3
W1 (1/W3 + W4)
Рис. 5
4. Далі в структурній схемі за правилами складання передавальних ланок, складемо паралельно з'єднані ланки W 2 і W 1, а також послідовно з'єднані передавальні ланки W 3 і W 1 (1 / W 3 + W 4). Змінена схема має вигляд, зображений на Рис.6
W5 W1 + W2
Рис. 6
5. Об'єднаймо послідовно з'єднані передавальні ланки, використовуючи нескладні алгебраїчні перетворення отримаємо значення для передавальної функції ланки. При цьому схема буде мати вигляд, зображений на Рис.7
Рис.7
Остаточно на передавальної функції замкнутої системи з урахуванням зворотного зв'язку отримаємо:
1.2
Зробимо виконання відповідних спрощень отриманого алгебраїчного виразу (приведення до спільного знаменника, перемножування многочленів і приведення подібних). аналіз виконаємо з використанням можливостей блоку аналітичних (символьних) перетворень пакета комп'ютерної математики Mathcad.
Дослідження стійкості системи:
Відповідно до завдання, при дослідженні стійкості роботи системи, знайдемо граничне значення коефіцієнта посилення k, яке забезпечує виведення системи на кордон коливальної стійкості. Цей розрахунок виконаємо з використанням графоаналітичний частотних критеріїв Найквіста. Нижче наводяться обчислення виконані в рамках пакету MathCAD.
1. Спочатку за передавальними функціями окремих ланок і формулі (1.1) для передавальної функції замкнутої системи отримано в явному вигляді вираз (2.2), яка послідовно приведено до дробово-раціональної формі відносини двох поліномів. Найвищий порядок ступеня знаменника (шостий) визначає порядок системи.
2. Проведемо аналіз асимптотичної поведінки перехідної функції. Отримані в результаті аналізу значення дозволяють зробити висновок, що перехідний процес викликаний ступінчастим зміною сигналу збурення (навантаження), а розглянута система має астатизмом.
3. Необхідна умова стійкості призводить до обмеження значення коефіцієнта посилення , Яке і так є очевидним, оскільки коефіцієнт посилення за своїм змістом є позитивним. Перевірка достатньої умови стійкості вимагає застосування критеріїв стійкості. Для знаходження критичного значення коефіцієнта посилення застосуємо критерій Найквіста.
При використанні критерію Найквіста спочатку отримано вираз для передатної функції розімкнутої системи, виконано заміну змінних і в блоці розв'язок визначено за якої умови годограф Найквіста проходить через критичну точку (-1, j 0). Ця умова відповідає критичного значення коефіцієнта підсилення. У висновку побудовані графіки годографів Найквіста для різних значень коефіцієнтів підсилення і видно, що для k = 3.134 графік проходить через критичну точку на дійсній осі (-1, j 0). Відповідний документ MathCAD наведено нижче.
Отримання виразів для замкнутої САУ та аналіз властивостей системи:
Рис.7 Годограф Найквіста
Додатково перевіримо отриманий результат, провівши моделювання перехідного процесу в пакеті MATLAB - SIMULINK. Це дозволить додатково перевірити правильність перетворення структурної схеми. Набрана структурна схема системи і результат побудови перехідного процесу представлені на рис. Як видно з малюнка граничне значення варійованої коефіцієнта посилення визначено вірно, оскільки вихідний сигнал являє собою незгасаючі гармонійні коливання.
Рис.8 Структурна схема системи
Рис.9 результат моделювання перехідного процесу
Частотний аналіз системи
У цьому розділі розглянута методика побудови та аналізу частотних характеристик системи в рамках пакета комп'ютерної математики MathCAD.
Для побудови частотних характеристик системи, що характеризують перетворення гармонійного сигналу в ній, тобто дозволяють дослідити систему в режимі вимушених коливань перейдемо до комплексної частотної характеристики (КЧХ) системи:
.
АЧХ системи визначається модулем КЧХ а фазочастотная характеристика - її аргументом. Комплексне уявлення про частотні характеристики системи може дати поведінка годографа КЧХ - амплітудно-фазова характеристика системи. Оцінку частотних критеріїв якості системи слід виконати на основі графіка її АЧХ.
Розрахунок і аналіз частотних характеристик системи зробимо для трьох значень параметра k:
1. Спочатку визначимо вирази для АЧХ замкнутої системи та побудуємо їх графіки. З графіків видно, що в міру наближення значення коефіцієнта передачі до критичного значення резонансний пік стає все більш яскраво вираженим (більш високим і вузьким). Перший випадок (тонка лінія) резонансний пік спостерігається на частоті ω 1 = 1,78 с-1, другий випадок (пунктир) - на частоті ω 2 = 1,65 с-1, а в третьому випадку-на частоті ω 2 = 1 , 46 с-1. у третьому випадку коливання відсутні. Основна смуга пропускання системи обмежена зверху частотою 1,1 с-1. Скрипт документа частотного аналізу системи наведено нижче.
2. Для отримання інформації про фазовий зрушення в системі побудуємо графіки її ФЧХ або, що більш наочно, графіки годографа КЧХ на комплексній площині. Видно, що на малих частотах система забезпечує позитивний фазовий зсув, який у асимптотики великих частот прагне до значення (-1,5 π).
Обчислення приведені в наступному фрагмента MathCAD документа.
Рис. 10. Графіки АЧХ
Рис. 10а Графік КЧХ
Рис.11 Графік ФЧХ
Розрахунок перехідних процесів у системі
У цьому розділі розглянуто методи розрахунку перехідної функції САУ з подальшим аналізом якості системи за характером перехідної функції.
Для побудови функції перехідного процесу, тобто аналізу реакції системи на вхідний вплив у вигляді ступінчастої функції Хевісайда можуть бути використані різні методи.
Якщо відома передатна функція замкнутої системи, то перехідну функцію h (t) можна розрахувати, розв'язавши систему диференціальних рівнянь. При цьому форма рівнянь визначається знаменником передавальної функції, а початкові умови обчислюються за допомогою співвідношень, складених з коефіцієнтів чисельника її. Недоліком цього методу складність обчислення початкових умов.
Якщо відома структурна схема системи і вирази для передавальних функцій ланок, то перехідний процес можна розрахувати, складаючи диференціальні рівняння, що описують динаміку кожної ланки окремо.
Для розрахунку перехідних процесів при відомій передавальної функції замкнутої системи був використаний метод зворотного перетворення Фур'є, що передбачає розрахунок на основі речової частотної характеристики
:
.
Невласний інтеграл сходиться, оскільки асимптотично ВЧХ U (w) ® 0 при w ® . Для прискорення розрахунків звичайно обрізають верхню межу інтеграла за граничним значенням частоти ω е, отриманому з аналізу форми АЧХ замкнутої системи. Однак цей, досить зручний, метод придатний для розрахунку перехідних процесів тільки в стійких лінійних системах і відрізняється невисокою швидкістю збіжності.
Після складання структурної схеми моделі перед запуском обчислювальної процедури підібрали параметри інтегрування системи рівнянь (час процесу і крок інтегрування).
Після побудови графіка перехідного процесу слід визначили параметри, що характеризують якість перехідного процесу: час регулювання (час входження регульованої величини в 5% трубку значень, щодо сталого значення), динамічний занедбаність і коливальність. З рис.13 видно, що:
час регулювання складає - в першому випадку-порядку 80,8 с, у другому випадку - близько 10,7 с, а в третьому - близько 4,2 с;
максимальний динамічний занедбаність - у першому випадку дорівнює 1,6, у другому - 1,55, а в третьому - 1,52;
коливальність - у першому випадку дорівнює 93%, у другому-53%, а в третьому -25%
Рис.12 Структурна схема, складена в пакеті візуальногомо делірованія
Simulink, для розрахунків перехідних процесів у досліджуваній системі.
Рис.13. Результат моделювання перехідних процесів для значень варійованої коефіцієнта передачі k: 1 - 2.507; 2 - 1.567, 3 - 0.313
Висновок
У даній розрахунково-графічної роботи нами була знайдена за заданою структурній схемі і відомим виразами для передавальних функцій динамічних ланок передатна функція замкнутої САУ. У пакетах програм MATHCAD і MATHLAB ми провели дослідження стійкості системи (система виявилася стійкою); провели частотний аналіз системи (побудували графіки АЧХ, ФЧХ і КЧХ). Потім був проведений розрахунок перехідних процесів у системі, після чого промоделювали перехідний процес для значень варійованої коефіцієнта передачі k.