МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ
ЧЕРНІГІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
НАВЧАЛЬНО – НАУКОВИЙ ІНСТИТУТ БУДІВНИЦТВА
КАФЕДРА ГЕОДЕЗІЇ, КАРТОГРАФІЇ ТА ЗЕМЛЕУСТРОЮ
ЗВІТ
ПРО ВИКОНАННЯ РОЗРАХУНКОВО-ГРАФІЧНОЇ РОБОТИ
З ДИСЦИПЛІНИ : МАТЕМАТИЧНА ОБРОБКА ГЕОДЕЗИЧНИХ ВИМІРІВ
Виконала:
Студент групи ГЗ-211
Фесенко А.Р.
Перевірив:д.т.н., професор
Сахно Є. Ю.
Чернігів 2024
Зміст
Випадкові елементарні похибки ……………………………...……….3
Властивості випадкових похибок…………………………………..….4
Завдання до розрахунково-графічної роботи ………………………...5
Порядок дій роботи…………………………………………………….5
Виконання розрахунково-графічної роботи …………………….…...6
Висновок ……………………………………………………………….11
Список літератури……………………………………………………...12
Випадкові елементарні похибки
Випадкові елементарні похибки породжуються не істотними, а другорядними випадковими зв'язками між чинниками вимірів, за певних умов вимірів.
Вони можуть з'являтися в процесі вимірів, а можуть і не з'явитися, можуть бути великими або малими, позитивними або негативними. Величина і знак цих похибок має випадковий характер, а їх розподіл підпорядкований законам теорії ймовірності. Випадкові похибки не можуть бути виключені з окремого результату вимірювання. Їх вплив на результати вимірів можна лише послабити, підвищуючи кваліфікацію виконавця, вдосконалюючи вимірювальні прилади і методику вимірів, виконуючи вимірювання за сприятливіших умов. Вплив випадкових похибок можна також послабити належною математичною обробкою результатів вимірів. Сумарний вплив елементарних систематичних похибок утворює систематичну похибку θ результату вимірювання, а сумарний вплив елементарних випадкових похибок – випадкову похибку ∆ результату вимірів.
На практиці при здійсненні геодезичних вимірів систематичні і випадкові похибки виникають спільно, тому їх поділ у процесі обробки результатів вимірів є надзвичайно важким. Більше того, в деяких випадках похибки, випадкові за походженням, за певних умов стають систематичними.
Приклад 1.1. Похибки вимірювання висот точок знімальної мережі, отриманих з геометричного або тригонометричного нівелювання, за своєю природою є випадковими. Проте при тахеометричній або мензульній зйомці у конкретній ситуації дана похибка постійна за величиною і знаком, а тому увійде до висот рейкових пікетів як систематична.
Властивості випадкових похибокРозглядаючи властивості випадкових похибок, матимемо на увазі не їх індивідуальні властивості, а найбільш загальні інтегральні властивості, які мають достатньо великі сукупності цих похибок.
У теорії похибок виділяють чотири такі властивості.
Властивість обмеженості. За певних умов вимірів випадкова похибка за абсолютною величиною не може перевищити певну відому межу. Ця межа називається граничною похибкою.
Властивість компенсації. Якщо ряд вимірів однієї або декількох величин здійснюється в одних і тих же умовах, то сума випадкових похибок, що ділиться на їх кількість, при необмеженому збільшенні ряду вимірів в границі наближається до нуля.
Властивість незалежності. Якщо здійснюється два ряди вимірів з випадковими похибками: 1) ∆'1, ∆'2,…, ∆'n і 2) ∆''1, ∆''2,…, ∆''n, то сума попарних добутків цих похибок, що ділиться на кількість цих добутків, при необмеженому зростанні кількості вимірів в границі наближається до нуля.
Ця властивість не є всеохоплюючою. У геодезичній практиці зустрічаються не часто, але зустрічаються залежні випадкові похибки.
Властивість розсіювання. Якщо ряд вимірів здійснюється за одних і тих же умов, то для випадкових похибок має місце межа
Величина σ називається стандартом. Квадрат стандарту σ2 називають дисперсією, а величину
де с – довільне позитивне число називають вагою.
Із співвідношень виходить: ряди вимірів, виконані з більшою точністю, мають менший стандарт та дисперсію і більшу вагу.
Завдання роботиРеально існуючі випадкові похибки вимірювань підлягають нормальному закону розподілу. Але не всякі похибки вимірювань бувають випадковими. Тому виникає необхідність дослідження рядів похибок вимірювань на випадковість. Необхідно дослідити ряд похибок на випадковість, перевіривши нульову гіпотезу Н0 про їх нормальний закон розподілу.
Порядок дій
1. Перевірити необхідні умови випадковості, шляхом перевірки виконання співвідношень.
Співвідношення (1) і (2) є тільки необхідними, але не достатніми умовами випадковості. Якщо вони не виконуються, подальші дослідження можна не проводити, тобто наведений ряд похибок не є випадковим.
3. Якщо співвідношення (1) і (2) виконуються, необхідно побудувати інтервальний статистичний ряд розподілу похибок вимірювань та відповідний йому дискретний статистичний ряд.
4. За даними побудованих рядів обчислити оцінки параметрів нормального розподілу, а саме середнє вибіркове і вибіркову дисперсію.
5. Знайти всі значення функції густини нормального розподілу за даними дискретного статистичного ряду і на їх основі побудувати криву розподілу та гістограму відносних частот на одному графіку.
6. Із використанням критерію Пірсона Х2 перевірити справедливість сформульованої нульової гіпотези Н0, якщо альтернативною гіпотезою Н1 буде логічне заперечення нульової гіпотези, тобто досліджуваний ряд похибок вимірювань не підлягає нормальному закону розподілу.Виконання роботи
Задано ряд істинних похибок результатів вимірювань деякої величини -7, -6, -20, -2, 16, -7, -9, 2, 4, -7, -9, 2, 4, -7, -5, -3, 10, 5, -3, 3, 4, -8, 12, 6, -9, 5, 3, -2, -8, 9, 7, -4, 10, -16, 15, -8, 6, -7, -3, 4, -5, 9, -12, 14, 11, -6, 2, -13, -8, 11, 16, -14, -7, 1, 6. Потрібно визначити, чи є наведені похибки випадковими, чи носять інший характер.
Спочатку обчислюємо середню квадратичну похибку за формулою
m =
Знаходимо середню похибку
Будуємо абсолютний варіаційний ряд наведених похибок, тобто послідовність даних похибок, розміщених в порядку зростання за їх абсолютною величиною: 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 16, 16, 16, 20.
З побудованого ряду отримуємо ймовірну похибку, тобто таке значення
абсолютного варіаційного ряду, яке ділить його на дві рівні за обсягом частини
Перевіряємо виконання необхідних умов випадковості (1) і (2), тобто
7.5 ≠ 6.93; 7.00 ≠ 5.78.
Дані умови є необхідними і, як видно з результатів обчислень, вони не виконуються. Тобто наведений ряд похибок не є випадковим. Але на даному прикладі покажемо як проводити подальші дослідження на випадковість, тобто перевірку достатніх умов випадковості.
Обчислюємо граничну похибку
∆гр= 3m = 3 ∙ 8.66 =25.98
яку не перевищують похибки з наведеного ряду, та середнє арифметичне похибок
яке для випадкових похибок повинно дорівнювати нулюЗнаходимо кількість
та довжину h інтервалів за формулою Стерджеса = 1 + 3.322 ∙ lg ; = 1 + 1.322 ∙ lg 55 ≈ 7 .
Будуємо інтервальний статистичний ряд розподілу похибок
| [∆i;∆i+1) | [-20;-14.9) | [-14.9;-9.8) | [-9.8;-4.7) | [-4.7;0.4) | [0.4;5.5) | [5.5;10.6) | [10.6; 16] |
 | -17.5 | -12.4 | -7.3 | -2.2 | 3.0 | 8.1 | 13.3 |
 | 2 | 3 | 16 | 6 | 13 | 7 | 8 |
 | 0.04 | 0.05 | 0.30 | 0.10 | 0.24 | 0.13 | 0.15 |
Таблиця 1 – Інтервальний статистичний ряд розподілу похибок
За даними інтервального статистичного ряду розподілу похибок обчислюємо середнє вибіркове
, вибіркову дисперсію S2 та вибіркове середнє квадратичне відхилення S.
306,25
0,04+153,76
,10+9×0,24+65,61×0,13+176,89×0,15= 
Знаходимо нормуючі аргументи
функції густини нормального розподілу та за таблицею (додаток В)знаходимо її значення. Результати заносимо до табл. 2
Таблиця 2 – Нормуючі аргументи та значення функції густини розподілу
| | -17.5 | -12.4 | -7.3 | -2.2 | 3.0 | 8.1 | 13.3 |
 | -2.01 | -1.45 | -0.86 | -0.26 | 0.35 | 0.94 | 1.55 |
| f ( ) | 0.0529 | 0.1394 | 0.2756 | 0.3857 | 0.3752 | 0.2565 | 0.1200 |
Будуємо на одному графіку гістограму відносних частот та криву функції густини нормального розподілу (рис. 1).
0,30
0,24
0,15
0,13
0,10
0,05
0,04
-20 -14,9 -9,8 -4,7 0,4 5,5 10,6 16
Перевіряємо нульову гіпотезу Н0, яка твердить, що наведений
емпіричний розподіл є нормальним. Альтернативною гіпотезою Н1 буде
заперечення нульової гіпотези Н0, тобто даний емпіричний розподіл не є
нормальним.
Для перевірки нульової гіпотези Н0 використовуємо критерій Пірсона
Де
– ймовірність потрапляння значення істинної похибки на і-й інтервал;
- функція Лапласа (додаток Г), 
Спочатку обчислюємо значення
, ймовірності 
p1 = Ф0(z2) – Ф0(z1) = – Ф0(1.741) + Ф0(2.335) = –0.4591 + 0.4904 = 0.0313;
p2 = Ф0(z3) – Ф0(z2) = – Ф0(1.147) + Ф0(1.741) = –0.3749 + 0.4591 = 0.0842;
p3 = Ф0(z4) – Ф0(z3) = – Ф0(0.552) + Ф0(1.147) = –0.2088 + 0.3749 = 0.1661;
p4 = Ф0(z5) – Ф0(z4) = – Ф0(0.051) + Ф0(0.552) = –0.0199 + 0.2088 = 0.1889;
p5 = Ф0(z6) – Ф0(z5) = Ф0(0.637) + Ф0(0.051) = 0.2389 + 0.0199 = 0.2588;
p6 = Ф0(z7) – Ф0(z6) = Ф0(1.231) – Ф0( 0.637) = 0.3907 – 0.2389 = 0.1518;
p7 = Ф0(z8) – Ф0(z7) = Ф0(1.860) – Ф0(1.231) = 0.4696 – 0.3907 = 0.0789;
np1 = 55 ∙ 0.0313 = 2; np2 = 55 ∙ 0.0842 = 5; np3 = 55 ∙ 0.1661= 9;np4 = 55 ∙ 0.1889= 10; np5 = 55 ∙ 0.2588= 14; np6 = 55 ∙ 0.1518= 8;
np7 = 55 ∙ 0.0789= 4;
Знаходимо емпіричне значення критерію
за формулою
Задавши рівень значущості α = 0.05 та визначивши кількість ступенів
довільності
= 7 – 3 = 4, за таблицею критичних точок розподілу (додаток Д) знаходимо точку правобічної критичної області
= (0.05; 4) = 9.488.Оскільки
= < 
, то нульова гіпотеза Н0 про нормальний розподілпохибок результатів вимірювань відхиляється і на цьому завершується
перевірка достатніх умов випадковості.
Висновки розрахунково-графічної роботиПісля виконання розрахунково-графічної роботи засвоєно методики дослідження рядів похибок на випадковість. Також було зроблено аналіз рядів похибок на випадковість, перевіривши нульову гіпотезу Н0 про їх нормальний закон розподілу, за даними побудованих рядів обчислено оцінки параметрів нормального розподілу, а саме середнє вибіркове і вибіркову дисперсію, знайдено всі значення функції густини нормального розподілу за даними дискретного статистичного ряду і на їх основі побудувано криву розподілу та гістограму відносних частот на одному графіку.
Оскільки
= < , то нульова гіпотеза Н0 про нормальний розподілпохибок результатів вимірювань відхиляється і на цьому завершується
перевірка достатніх умов випадковості.
Використана літератураМетешкін К. О. Математична обробка геодезичних вимірів : навч. посібник / К. О. Метешкін, Д. В. Шаульський ; Харків. нац. акад. міськ. госп-ва. – Харків : ХНАМГ, 2012. – 176 с.
2 Кемниц Ю.В. Теорія похибок вимірювань. – М.: Недра, 2022 – 176с.
3. Зазуляк П.М., Гавриш В.І. та ін. Основи математичного опрацювання геодезичних вимірювань.– Львів: Видавництво «Растр-7», 2021 – 408 с.
4. Метешкін К. О. Практикум з математичної обробки геодезичних вимірів : навч. посібник / К. О. Метешкін, Д. В. Шаульський ; Харків. нац. ун-т міськ. госп-ва ім. О. М. Бекетова. – Харків : ХНУМГ, 2014. – 100 с.
5. Конспект лекцій з дисципліни «Математична обробка геодезичних вимірів». Т.О., Ковальов М.В., Бодак Є.В. – К.: Видавничий центр НУБіП України, 2020. – 54с
6. . Воронков О. О. Теорія імовірностей і математична статистика : навч.
посіб. / О. О. Воронков, А. Е. Ачкасов, В. Т. Плакіда. – Харків : ХНАМГ, 2008. –249 с
7. Математична обробка геодезичних вимірів : дистанційний курс
[Електронний ресурс] / К. О. Метешкін, О. О. Воронков ; Харків. нац. ун-т міськ. госп-ва ім. О. М. Бекетова. – Режим доступу : https://dl.kname.edu.ua/course/view.php?id=219.
8. Войтенко С.П. Математична обробка геодезичних вимірів. Метод найменших квадратів. Навч. посібник. – К.: КНУБА, 2019. – 236 с.
9. Метешкін, К.О. Математична обробка геодезичних вимірів: навч. посібник / К.О. Метешкін, Д.В. Шаульський; Харк. нац. акад. міськ. госп-ва. – Х.: ХНАМГ, 2022. –177 с
10. Опря А.Т. Математична статистика. / А.Т. Опря – К.: Колос, 2021.–208с.