Міністерство освіти і науки України
Національний університет “Львівська політехніка”
Кафедра інформаційних систем та мереж
ЗВІТ
про виконання лабораторної роботи № 1
“ Математичне моделювання”
з дисципліни “Чисельні методи”
Виконали студенти групи СА-31
Війтович Андрій Володимирович
Лейко Орест Андрійович
Микуш Юрій Миколайович
Прийняв асистент
Андруник Василь Адамович
Львів 2020
Мета роботи: вивчити основні поняття та принципи математичного моделювання.
Завдання до роботи
Перший рівень.
Обрати предметну область та побудувати/обрати математичну модель. Або обрати одну задачу із списку внизу підрозділу 1.5. Дослідити обрану/побудовану модель на можливу похибку
– похибка математичної моделі, що пов’язана із фізичними припущеннями при виборі математичної моделі. Також дослідити на 
– похибка вхідних даних, що породжує неусувну похибку розв’язку.Другий рівень.
Обрати метод для дослідження та аналізу обраної, побудованої моделі. Дослідити метод на можливу похибку
– похибка методу.Третій рівень.
Дослідити на
– похибку обчислень.Хід роботи
Для виконання лабораторної роботи обрали математичну модель роботи копання екскаватора.
Для спрощення побудови математичної моделі приймемо наступні гіпотези:
Продуктивність екскаватора є незмінною;
Сила копання на ковші екскаватора при його заглибленні в масив, масив за формолою[1]
[1]( де S – площа зрізу породи (
), 
– коефіцієнт опору гірської породи копанню (
));На рух ковша витрачається потужність двигуна підйому;
Кінетична енергія наповненого ковша залежить ід двох змінних : довжини стружки(грунту) і швидкості копання;
На рисунку 1 зображено процес копання ковшем;
Рис.1. Процес копання.
Для отримання математичної моделі такого процесу застосуємо принцип дуальності при русі маси в просторі і відповідний математичний апарат у вигляді рівняння Гамільтона-Якобі [2]
[2]І рівняння Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК)[3]
[3]Де Di - дія; mi - рухова маса; Ui - потенціальна енергія; Ri - дисипативна функція; wi - тривимірна перехідна щільність вірогідності координат траєкторії руху маси в просторі.
Рівняння Гамільтона-Якобі може бути замінене еквівалентним рівнянням Лагранжа, що дозволяє перейти до криволінійної системи координат і значно спростити задачу [2]:
[4]де Li=Ti-Ui - функція Лагранжа; qi і q.i - узагальненні координати маси і їх похідні за часом; Qi - Узагальнені рушійні сили; R - сили опору руху.
При побудові математичної моделі ми зустрілись з можливою похибкою – похибка математичної моделі, що пов’язана із фізичними припущеннями при виборі математичної моделі. Такою похибкою може бути коефіцієнт опору породи копанню. Класифікація включає в себе шість категорій 0.025-1.0МПа.
Також виділимо похибку вхідних даних що породжують неусувну похибку розв’язку: а - поточна товщина стружки, м; в - ширина ковша, м; Vk - швидкість копання, м/с.
Методична похибка в даному випадку може виникнути через неправильне вимірювання об’єму наповненого ковша породою, оскільки кожного разу змінюється маса і об’єм породи якою ковш наповнюється.
Похибок обчислень
можна зобразити так: наприклад наповнили кповний ковш землею, а потім висипали на ваги, результат зважування деякого тіла на вагах становив 150 кг. Для визначення похибки зважування була використана еталонна гиря, номінальної маси 150 кг. Її дійсна маса, встановлена під час її калібрування і вказана в свідоцтві про калібрування, рівна 150,00003 кг. При зважуванні вказаної гирі на цих же вагах, за тим же методом і за тих же умов, що і тіла, одержали значення 149,99998 кг. Оскільки результат зважування тіла близький до результату зважування гирі, це розраховане значення похибки можна прийняти за оцінку похибки результату зважування тіла.Висновок: під час виконання цієї лабораторної роботи ми ознайомились з основними поняттями та принципами математичного моделювання, освоїли та застосували їх практично на прикладі роботи копання екскаватора та описали похибки.
Джерела інформації:
Домбровский Н. Г. Землеройные машины / Н. г. Домбровский, С. А. Панкратов. - М.:Госстройиздат, 1961. - 365с.
Беляков П. И. Выемочно-погрузочные машины на карьерах / Ю. И. Беляков. - М.: Недра, 1987. - 268 с.
Крючков А. І. Детерміновані математичні моделі та їх зв'язок при моделюванні геотехнологічних процесів / Крючков А. І. // Вісник НТУУ "КПІ". Серія "Гірництво": Зб. наук. праць. - 2007. - Вип. 15. - С. 59-65
[https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=&ved=2ahUKEwjvi62pparsAhWtAxAIHX9sCesQFjAAegQIAxAC&url=http%3A%2F%2Fmining.kpi.ua%2Farticle%2Fdownload%2F53716%2F49742&usg=AOvVaw02yxl-EgXXMzEQtOqjTL4u] – PDF-файл з матеріалом