Курсова робота
ЗАДАЧІ ПРАКТИЧНОГО ЗМІСТУ В ШКІЛЬНОМУ КУРСІ МАТЕМАТИКИ
ЗМІСТ
Вступ 3
Розділ 1.Теоретичні засади застосування задач практичного змісту на уроках математики. 5
1.1.Психолого-педагогічні аспекти прикладної спрямованості математики. 5
1.2.Прикладні задачі як засіб математичних компетентностей учнів 8
Розділ 2.Методика застосування задач практичного змісту на уроках математики в 9 класах. 13
2.1. Математичне моделювання при розв’язуванні задач 13
2.2. Задачі на відсоткові розрахунки 17
2.3. Абсолютна і відносна похибка наближеного значення числа. Дії над наближеними значеннями чисел 19
2.4. Перші відомості про статистику 23
Висновки 26
Список використаної літератури 28
Вступ
Актуальність проблеми дослідження. У Концепції загальнoї середньoї oсвіти нагoлoшується, що найбільш слабким місцем у загальній підготовці школярів на сьогоднішній день залишається недостатня сформованість вмінь опрацьовувати інформацію, вільно використовувати здобуті знання для розв’язання практичних завдань, аналізу нестандартних ситуацій тощо. З огляду на те, що все це повною мірою має бути врахованим і в організації математичної підготовки в загальноосвітніх навчальних закладах, не можна не брати до уваги загальновизнаний факт: подолання існуючого формалізму у знаннях учнів потребує встановлення правильного співвідношення між теоретичним рівнем навчального матеріалу, розвитком логічного мислення та формуванням в учнів знань й умінь прикладного характеру.
Прикладна спрямованість навчання математики формує в учнів розуміння математики, як методу пізнання та перетворення оточуючого світу, який має розглядатися не тільки областю застосувань математики, а й невичерпним джерелом нових математичних ідей. Навчання математичного моделювання, застосування математичних знань до розв’язування задач прикладного змісту, що виникають поза межами математики і розв’язуються математичними методами, сприяє зміцненню мотивації навчання, системності, дієвості, гнучкості знань, стимулює пізнавальні інтереси учнів.
Важливою стороною проблеми активізації навчально-пізнавальної діяльності є насамперед соціальний аспект. У національній державній програмі «Освіта» (Україна ХХI століття) зазначено, що загальна середня освіта має забезпечувати продовження всебічного розвитку дитини як цілісної особистості її здібностей і обдаровань, збагачення на цій основі інтелектуального потенціалу народу, його духовності та культури, формування громадянина України, здатного до свідомого суспільного вибору.
Об'єкт дослідження:зміст навчально-пізнавального процесуна уроках алгебри в 9 класі.
Предмет дослідження: задачі практичного змісту як засіб формування математичної компетентності учнів .
Завдання:
- проаналізувати стан досліджуваної проблеми у психолого-педагогічній і методичній літературі та в практиці навчання математики;
- визначити роль прикладної спрямованості навчання математики у формуванні математичної компетентності учнів;
- з’ясувати способи реалізації прикладної спрямованості навчання математики;
Мета: на основі вивчення та аналізу психолого-педагогічної та методичної літератури, педагогічного досвіду розглянути зміст навчально-пізнавального процесу на уроках алгебри в 9 класі,показати на прикладах застосування прикладних задач на уроках,як засіб формування математичної компетентності учнів .
Курсова робота складається зі вступу,двох розділів,висновків,списку використаної літератури.Робота викладенана 27 сторінках.Список використаної літератури містить 8 найменувань.
Розділ 1.Теоретичні засади застосування задач практичного змісту на уроках математики.
1.1.Психолого-педагогічні аспекти прикладної спрямованості математики.
Система освіти в нашій країні вступила в період фундаментальних змін, що характеризуються новим розумінням цілей освіти, новими концептуальними підходами до розробки і використання навчальних технологій і т. ін. Тому поставлені перед школою завдання щодо поєднання навчання з подальшою продуктивною працею, підвищення ефективності навчання можуть бути реалізовані за умови зміни ставлення педагогів до навчального процесу, а саме підвищення шкільної математичної освіти за умов посилення її прикладного, практичного та політехнічного спрямування.
Нові суспільні умови та нові завдання освітньої галузі „математика” потребують корекції існуючих шляхів досягнення мети та вирішення зазначеної проблеми шкільного курсу математики. У школі треба раз і назавжди відмовитися від технократичного мислення, коли засоби переважають над метою, коли на учня дивляться як на об’єкт маніпуляцій, який навчають або програмують, а не як на особистість з безліччю ступенів свободи її інтелекту.
Таким чином, актуальність проблеми зумовлена необхідністю у прикладній спрямованості змісту курсу „математика”, а саме з демонстрацією та реалізацією її світоглядних і соціально - педагогічних функцій.
У педагогічних дослідженнях прикладну спрямованість математики розуміють як змістовний та методологічний зв’язок шкільного курсу з практикою, що передбачає формування в учнів умінь, необхідних для розв’язування засобами математики практичних завдань.
Існує необхідність так організовувати вивчення математики, щоб воно було корисним і водночас захоплюючим, цікавим. А це можливо шляхом подолання надмірної абстракції, через розкриття ролі математики в пізнанні навколишнього світу, через інтеграцію з іншими шкільними предметами та формування у такий спосіб цілісного, гармонійного світосприйняття дитини.
Серед цілей вивчення математики можна виділити такі рівноправні
аспекти:
- оволодіння учнями комплексом математичних знань, умінь і навичок, необхідних у повсякденному житті та майбутній трудовій діяльності, достатніх для оволодіння іншими галузями знань і забезпечення неперервної освіти;
- формування в учнів уявлень про ідеї та методи математики та її роль у пізнанні дійсності; наукового світогляду .
Ідеться про реалізацію прикладної спрямованості шкільного курсу математики. Численні науково-методичні публікації свідчать про важливість цього напряму у викладанні математики в школі.
Прикладне спрямування містить уміння учнів засобами математики досліджувати реальні явища, складати математичні моделі задач та зіставляти знайдені результати з реальними.
Практичне спрямування шкільного курсу математики передбачає формування в учнів умінь використовувати набуті знання під час вивчення як власне математики, так і інших дисциплін.
Політехнічне спрямування передбачає використання математичних знань для пояснення виробничих циклів, процесів обслуговування та керування, полегшення вивчення інших предметів (фізики, хімії, креслення, трудового навчання тощо).
Відомо, що ефективним є також навчання, яке в єдності з вихованням забезпечує активізацію мислення учнів і свідоме засвоєння ними системи наукових знань, спонукає у них бажання та потребу в цих знаннях і викликає інтерес до предмета, допомагає розвитку здібностей кожного учня, розвиває вміння та навички застосовувати отримані знання на практиці, а також самостійно здобувати ці знання.
Підвищенню ефективності навчання математики сприяє розв’язування задач практичного змісту. Звернення до прикладів із життя і навколишньої дійсності полегшує вчителю організацію цілеспрямованої навчальної діяльності учнів.
У педагогічній літературі поняття прикладної задачі трактується по- різному, а саме як:
- задача, що потребує перекладу з природної мови на математичну;
- задача, яка близька за формулюванням і методами розв’язування до задач, що виникають на практиці ;
- сюжетна задача, сформульована у вигляді задачі- проблеми.
Прикладна задача повинна задовольняти такі умови:
-питання задачі формулюється так, як воно зазвичай формулюється у житті;
-розв’язок задачі має практичну значимість;
-дані та шукані величини задачі мають бути реальними, узятимиз життя.
Окремі задачі ілюструють запозичений у природи принцип оптимізації трудової діяльності (діставати найбільший ефект з найменшими затратами), інші - розвивають здібності учнів до технічної творчості (геометричні задачі на побудову тощо). Розв’язування прикладних задач сприяє ознайомленню учнів з роботою підприємств і галузей народного господарства, що є умовою орієнтації інтересу учнів до певних професій. Використання прикладних задач дозволяє вдало створювати проблемні ситуації на уроці (наприклад, чому вигідніше будувати одноповерхові будинки з квадратною основою, ніж з основою у вигляді іншого прямокутника з таким самим периметром тощо). Такі задачі стимулюють учнів до здобуття нових знань, збагачують учнів теоретичними знаннями з технічних та інших дисциплін.Математиці властива універсальна застосовність. Однак математика при цьому не може замінити методи й поняття тих конкретних наук, де її застосовують. У цьому сенсі вона має прикладний, підпорядкований характер. А тому доцільно узгодити в часі й за темпами вивчення програму з математики з програмами інших предметів шкільного компонента, що використовують математичний апарат.
Цікавим і перспективним є такий спосіб демонстрації зв’язку математики з іншими науками, як проведення інтегрованих уроків. Вони допомагають знання сучасних учнів зробити ціліснішими, дозволяють позбутися ефекту „клаптикової ковдри”, на них формується науковий світогляд.
Міжпредметні зв’язки - це не тільки „мости” між навчальними предметами, але і засіб побудови цілісної системи навчання на основі спільності змісту знань і методів наукового пізнання.
Методисти давно пов’язують проблему міжпредметних зв’язків з раціональним використанням математичних знань у практичній діяльності людей, оскільки сфера застосування математики постійно розширюється.
Під час добору задач прикладного характеру доцільно дотримуватися певних вимог.
Задача має демонструвати практичне застосування математичних ідей і методів та ілюструвати матеріал, що вивчається на певному уроці, містити відомі або інтуїтивно зрозумілі учням поняття й терміни, а також реальні числові дані, що не ведуть до громіздких обчислень. За таких умов використання прикладної задачі, складеної на матеріалах суміжних предметів, може дати потрібний педагогічний ефект .
Також розв’язування прикладних задач сприяє ознайомленню учнів з роботою підприємств і галузей народного господарства, що є умовою орієнтації інтересу учнів до певних професій. Використання прикладних задач дозволяє вдало створювати проблемні ситуації на уроці. Такі задачі стимулюють учнів до здобуття нових знань. Збагачують учнів теоретичними і практичними знаннями з технічних та інших дисциплін.
1.2.Прикладні задачі як засіб математичних компетентностей учнів
Математична освіта покликана зробити вагомий внесок у формування ключових компетентностей учнів як загальних цінностей, що базуються на знаннях, досвіді, здібностях, набутих завдяки навчанню. Отримані в школі знання та сформовані вміння і навички є, безперечно, важливими, але нині особливої актуальності набуває компетентність учня в різних галузях знань. Саме компетентності більшість міжнародних експертів вважають тими індикаторами, що дають змогу визначити готовність учня-випускника до життя, подальшого особистого розвитку та активної участі в суспільному житті.
З точки зору компетентнісно зорієнтованого підходу до організації навчально-виховного процесу, зміст математичної освіти має бути спрямований на досягнення таких цілей:
інтелектуальний розвиток учнів, формуваня видів мислення, характерних для математичної діяльності і необхідних людині для повноцінного життя у суспільстві;
оволодіння прийомами математичної діяльності, які необхідні у вивченні суміжних предметів для продовження навчання та в практичній діяльності;
формування уявлень про математику як форму опису і метод пізнанння дійсності;
виховання учнів у процесі навчання математики;
формування позитивного ставлення та інтересу до математики.
Викладання математики має відображувати діалектику пізнання дійсності і побудови математичних теорій. Саме практичній і творчій складовій навчальної діяльності приділяють особливу увагу в Державному стандарті.
Математичні компетентності складають основу для формування ключових компетентностей. За визначенням С.А.Ракова, математична компетентність – це спроможність особистості бачити та застосовувати математику в реальному житті, розуміти зміст і метод математичного моделювання, будувати математичну модель, досліджувати її методами математики, інтерпретувати отримані результати, оцінювати похибку обчислень.
До математичних компетентностей відносяться такі:
Процедурна компетентність – уміння розв’язувати типові математичні задачі.
Логічна компетентність – володіння дедуктивним методом доведення та спростування тверджень.
Технологічна компетентність – володіння сучасними математичними пакетами.
Дослідницька компетентність – володіння методами дослідження практичних та прикладних задач математичними методами.
Методологічна компетентність – уміння оцінювати доцільність використання математичних методів для розв’язування практичних та прикладних задач.
Компонентами математичної компетентності, як і будь-якої іншої, є:
мотиваційний – внутрішня мотивація, інтерес;
змістовний – комплекс математичних знань, умінь та навичок;
дійовий – навички навчальної праці (самостійність, самооцінка, самоконтроль).
Щоб підготувати учнів до життя, суспільно-корисної праці, на думку О.Я.Савченко, школа повинна особливу увагу звертати на ті питання програми, з якими можуть зустрічатися її вихованці в житті. В цьому полягають і практичні цілі навчання математики.
Для успішної участі у сучасному суспільному житті особистість повинна володіти певними прийомами математичної діяльності і навичками їх застосувань до розв’язування прикладних задач. У процесі роботи над задачами такого типу здійснюється навчання учнів елементам математичного моделювання; вони не лише засвоюють найважливіші математичні поняття, але й відчувають взаємозв’язок теорії з практикою, усвідомлюють значення та необхідність вивчення теми, формують ключові компетентності..
Формування змістовного компоненту математичної компетентності здійснюється на основі індивідуально-диференційованого підходу. При цьому використовуються різні форми організації навчальної діяльності учнів: індивідуальну, групову, фронтальну, роботу в парах.
Одним із найбільш доступних і перевірених практикою шляхів підвищення ефективності уроку, активізації учнів на уроці являється відповідна організація самостійної навчальної роботи. Вона займає важливе місце на сучасному уроці, тому що учень набуває знань тільки в процесі особистої самостійної діяльності.
Використання прикладних задач на уроках математики сприяє активізації міжпредметних зв’язків.
Прогресивні педагоги різних епох і країн Я.А.Коменський, К.Д.Ушинський, Н.Г.Чернишевський підкреслювали необхідність взаємозв’язку між навчальними предметами для віддзеркалення цілісної картини природи в голові учня, для створення дійсної системи знань і правильного світобачення.
Формуючи дійовий компонент математичної компетентності потрібно створити для учнів оптимальні умови для поступового переходу від дій під керівництвом учителя до самостійних, даючи їм змогу самим шукати шляхи розв’язання пізнавальних та практичних завдань.
Успіх роботи учня значною мірою залежить від його здатності контролювати й оцінювати свої дії. Якщо оцінка оптимальна, то сприяє саморозвитку і самореалізації, низька – гальмує самореалізацію.
Математичні турніри, конкурси, змагання розширюють і поглиблюють здобуті на уроках знання, показують застосування їх на практиці, розвивають мислення, математичні здібності, допомагають ввійти у світ наукових і технічних ідей, сприяють формуванню математичних компетентностейшколярів. Складність вчительської праці полягає в тому, щоб знайти шляхи до кожного учня, створити умови для розвитку здібностей, закладених кожному.
Таким чином, реалізуючи на уроках математики принципи прикладної спрямованості, вчитель досягає:
опанування навичок застосування учнями базових математичних понять у контексті повсякденного життя та в процесі трудової діяльності;
зростання інтересу школярів до вивчення математики і в цілому до навчання;
розвитку духовних цінностей особистості: витонченості логічних міркувань, математичного мислення;
формування гуманістичної системи спілкування між учителем та учнями, перетворення кожної дитини на самостійно мислячу особистість, здатну поважати себе й інших.
Розділ 2.Методика застосування задач практичного змісту на уроках математики в 9 класах.
2.1. Математичне моделювання при розв’язуванні задач
У Законі України "Про загальну середню освіту", Державній національній програмі "Освіта" (Україна ХХІ ст.) визначено напрями розвитку національної системи освіти, спрямовані на підвищення інтелектуального потенціалу нації, виховання творчої особистості, здатної брати активну участь у розбудові української держави .
Значний потенціал для досягнення цієї мети має шкільний курс математики.
З кінця ХІХ століття й дотепер відбувається "математизація" усіх сфер життя, навіть таких, які вважались нематематичними: поетики, лінгвістики, медицини, психології, теорії мистецтва, педагогіки. А спеціальності, пов’язані з економікою, технікою, інформаційними технологіями та інші, потребують від молодого спеціаліста поглибленої математичної підготовки.
У зв’язку з цим важливого значення набула потреба ознайомлення учнів з одним із найважливіших математичних методів наукового дослідження навколишньої дійсності – методом математичного моделювання. У цьому контексті пріоритетне значення мають цілі навчання математики у школі, спрямовані на формування в учнів умінь будувати математичні моделі найпростіших реальних явищ і процесів.
Ураховуючи зазначене вище, вважаємо, що на сучасному етапі розвитку шкільної математичної освіти в умовах особистісно-орієнтованого навчання, рівневої і профільної диференціації проблема навчання учнів розв’язування задач методом математичного моделювання у процесі вивчення математики, зокрема – переформулювання прикладної задачі з природної мови тієї галузі, де вона виникла, мовою математики та створення адекватної математичної моделі, є актуальною і потребує ґрунтовного дослідження
Метод математичного моделювання є сучасним потужним пізнавальним методом та ефективним засобом розв’язування прикладних задач. Він ґрунтується на застосуванні математичної моделі як засобу дослідження реальних об'єктів, процесів чи явищ і полягає у здійсненні певної послідовності етапів. Етапи математичного моделювання за суттю в усіх дослідників схожі й досить широко висвітлені в науковій та навчальній літературі. Для прикладу, В. О. Швець виділяє такі етапи розв’язування прикладної задачі у школі методом математичного моделювання :
Створення математичної моделі – переклад задачі з природної мови тієї галузі, де вона виникла, мовою математики.
Дослідження математичної моделі – розв'язування отриманої математичної задачі.
Інтерпретація розв’язків отриманих результатів, тобто переклад розв'язку математичної задачі з мови математики мовою тієї галузі, де вона виникла.
Для того, щоб переформулювати зміст задачі мовою математики, учням необхідно ретельно вивчити і правильно тлумачити задачу, формалізувати запитання в ній, виразивши шукані величини за допомогою відомих та введених змінних. На цьому етапі в учнів виникають різноманітні за характером проблеми. Іноді вони пов’язані з нерозумінням фізичних, хімічних, економічних термінів, законів, залежностей. Так, далеко не всі чітко усвідомлюють співвідношення між відстанню, швидкістю і часом в умовах рівномірного та нерівномірного руху, між концентрацією речовини і її часткою у сумішах, між обсягом виконаної роботи і продуктивністю праці тощо. Учні відчувають труднощі у визначенні швидкості зближення об’єктів при русі назустріч або в одному напрямку, незначною мірою орієнтуються в русі по колу, затрудняються у виборі розмірності в розв’язуванні задач на спільну роботу. Також у процесі складання математичної моделі учні відволікаються на несуттєві для конкретної задачі властивості об’єктів, на другорядні умови, що не впливають на розв'язок задачі.
Для подолання цих труднощів під час розв’язування задач вчителю доцільно використовувати не тільки математичні моделі задач, а й інші допоміжні моделі (рис. 1).
Під час розв’язування задач прикладного змісту в ході створення математичної моделі доцільно дотримуватися такої послідовності дій:
За допомогою допоміжних моделей виділити взаємозв’язки та істотні властивості об’єктів, що досліджуються в умові задачі.
За допомогою знаково-символічних моделей створити неформальну модель (неформальна модель – це нестрогий опис процесу, у якому пояснюються виділені залежності між об’єктами, але, у той же час, не дано можливості з точністю перевірити ступінь логічного взаємозв'язку його властивостей ).
Засобами математичної мови створити математичну модель прикладної задачі.
Наприклад:
Задача 1. На склад привезли 32 бочки олії і 24 ящики масла. Яка маса однієї бочки олії і одного ящика масла, якщо кожна бочка втричі важча від ящика, а загальна маса привезеного товару становить 3360 кг?
Виділимо співвідношення між об’єктами, які розглядаються в задачі.
2. Опишемо співвідношення між об’єктами.
| | Кількість | Маса однієї | Загальна маса | Разом |
| Масло | 24 ящики | х | х∙24 | 3360 кг |
| Олія | 32 бочки | 3х | 3х∙32 |
3. Складемо рівняння (математична модель задачі): 24х + 96х = 3360.
Задача 2.
У посудину з 24% розчином солі додали 2 кілограми 15% розчину солі. У результаті отримали розчин з концентрацією 20%. Скільки кілограмів 24% розчину солі було в посудині?
Виділимо співвідношення між об’єктами, які розглядаються взадачі.
Опишемо співвідношення між об’єктами.
3. Складемо математичну модель задачі.
Нехай у посудині було х кг розчину концентрацією 24%. Тоді
0,24∙х + 0,12∙2 = 0,2 (х + 2)
Отже, переклад прикладної задачі на математичною мовою проводиться у два прийоми. Спочатку текст задачі частково зберігається і є спільно з елементами математичної мови (знаками дій і знаком рівності) основою для майбутньої математичної моделі. І тільки після цього природна мова повністю замінюється математичною і складається математична модель.
Для організації ефективної навчальної діяльності учнів із розв’язування прикладних задач методом математичного моделювання потрібно використовувати евристичні запитання; абстрагуватись від властивостей об’єкта, несуттєвих для побудови математичної моделі; допомагати учням чітко вказувати на відмінності між об’єктом та його моделлю; формулювати умову і вимогу прикладної задачі мовою математики.
2.2. Задачі на відсоткові розрахунки
Основними задачами на відсотки є:
знаходження відсотка від даного числа;
знаходження числа за його відсотком;
знаходження відсоткового відношення двох чисел;
відсоткові обчислення, які пов'язані з фінансовими операціями.
З першими трьома видами задач учні добре ознайомлені. Розглянемо прикладні задачі четвертого виду. У процесі їх розв'язування використовують спеціальні назви величин:
грошова сума, внесена до ощадного банку, називається початковимкапіталом(сумою);
число, яке показує, на скільки відсотків збільшується (зменшується) початковий капітал за один рік, називається відсотковою таксою;
прибуток, одержаний через рік з початкового капіталу, називається відсотковими грішми, або простими відсотками;
суму початкового капіталу разом з відсотковими грішми називають нарощеним капіталом.
Задача. Щомісячна оплата за радіо становить 4 гри. Абонент прострочив оплату на 25 днів.
Яку суму він має сплатити, якщо за кожний прострочений день нараховується пеня у розмірі 1%?
Розв'язання. Відсоткові гроші становлять:
·1·25 (грн.).Загальна сума (нарощене число) оплати через 25 днів разом з пенею становить: 4 +
= 4 + 1 = 5 (грн.).Розрізняють такі чотири види задач на відсоткові обчислення, пов'язані з фінансовими операціями:
знаходження відсоткових грошей Р;
знаходження відсоткової такси р%;
знаходження часу t;
знаходження початкового капіталу а0.
За означенням відсоткова такса показує, що за один рік відсоткові гроші становлять
початкового капіталу.Звідси маємо, що початковий капітал а0 гривень за рік дає таку величину відсоткових грошей:
·
=
(грн.).За t років відсоткові гроші з того ж капіталу і при тій же відсотковій таксі зростають у t разів. Звідси:
= 
. (1)За формулою простих відсотків можна знайти будь-яку з чотирьох величин за даними значеннями трьох решти.
Зазначимо, що у формулі (1) час t має бути виражений у роках. Якщо ж у задачі час виражений у місяцях і днях, то їх потрібно попередньо перевести в роки.
Замінюючи
через його значення, дістанемо:
= а0 + . (2)Формули (1), (2) є моделями прикладних задач. Користуючись ними, можемо розв’язати будь-яку задачу на прості відсотки.
2.3. Абсолютна і відносна похибка наближеного значення числа. Дії над наближеними значеннями чисел
Для оцінки відхилення наближених чисел від точних використовують такі поняття як абсолютна та відносна похибки.
Абсолютною похибкою наближення називається модуль різниці між точним значенням величини а і її наближеним значенням х, тобто
Приклад
Абсолютна похибка наближення числа
числом 0,44 складає:
Якщо точне число невідоме, то знайти абсолютну похибку неможливо. На практиці вводять оцінку допустимої при даних вимірюваннях чи обчисленнях абсолютної похибки, яку називають межею абсолютної похибки і позначають буквою h. Вважають, що
. Як правило, межу абсолютної похибки встановлюють з практичних міркувань, наприклад, при вимірюваннях за межу абсолютної похибки приймають найменшу поділку приладу.При записі наближених чисел часто використовують поняття вірної та сумнівної цифри.
Цифра
називається вірною, якщо межа абсолютної похибки даного наближення не перевищує одиниці того розряду, в якому записана ця цифра. В іншому випадку цифра називається сумнівною.Наприклад:
в числі
дві цифри вірні, бо похибка 0,04 не перевищує одиниці розряду десятих. Цифри 9 і 7 вірні, оскільки 
<0,1 а цифри 4 і 6 є сумнівні, бо >0,01 .В кінцевому записі наближеного числа зберігають тільки вірні цифри. Так, число
можна записати у вигляді а=9,7: число 
вигляді а =9,746. Якщо в десятковому дробі останні вірні цифри - нулі, то їх залишають в записі числа.Наприклад: якщо а=0,26±0,001, то правильний запис числа є 0,260.
Якщо в цілому числі останні нулі є сумнівними цифрами, їх виключають із запису числа.
Саме тому при роботі з наближеними числами широко використовують стандартну форму запису числа.
Наприклад: в числі а=25000±25 вірними є три перші цифри, а два останні нулі - сумнівні цифри. Запис числа можливий лише у вигляді: 25000± 100 або
.Отже, в десятковому записі наближеного числа остання цифра вказує на точність наближення, тобто межа абсолютної похибки не перевищує одиниці останнього розряду.
В десятковому записі числа значущими цифрами називають всі його вірні цифри починаючи з першої зліва, відмінної від нуля.
При такому підході до запису наближеного числа потрібно вміти заокруглювати числа.
Правила заокруглення чисел:
- Якщо перша цифра, яку відкидаємо є меншою за п'ять, то в останньому розряді, що зберігається цифра не змінюється.
- Якщо перша цифра, яку відкидаємо більша п'яти, то в останньому розряді, що зберігається цифра збільшується на одиницю.
- Якщо перша цифра, яка відкидається п'ять і за нею є ще цифри відмінні від нуля, то в останньому розряді, що зберігається цифра збільшується на одиницю.
- Якщо перша цифра, яка відкидається - п'ять і за нею немає більше ніяких цифр, відмінних від нуля, то останню цифру, що зберігаємо залишаємо без зміни, якщо вона парна і збільшуємо на одиницю, якщо не парна.
Абсолютна похибка не повністю характеризує точність наближення.
Якість (точність) наближення краще характеризується відносною похибкою.
Відносною похибкою
(омега) наближення х величини а називається відношення абсолютної похибки цього наближення до модуля наближеного значення х, тобто 
.Оскільки абсолютна похибка звичайно буває невідома, то на практиці оцінюють модуль відносної похибки деяким числом, яке не менше від цього модуля:
Число Е називається межею відносної похибки.
Межу відносної похибки можна обчислити за формулою:
Звичайно відносна похибка виражається у відсотках.
За допомогою відносної похибки легко встановити точність наближення.
Виконання дій над наближеними числами.
Результат арифметичних дій над наближеними числами є також наближене число.
Необхідно вміти встановити похибки результатів обчислень. Їх знаходять з точним та без точного врахування похибок вихідних даних. Правила знаходження похибок результатів дій з точним врахуванням похибки наведено в таблиці.
Виконання дій без точного врахування похибки.
Точне врахування похибки ускладнює обчислення. Тому, якщо не потрібно враховувати похибки проміжних результатів, можна використовувати більш прості правила.
Додавання і віднімання наближених обчислень рекомендується виконувати так:
а) виділити доданок з найменшим числом вірних десяткових знаків;
б) заокруглити інші доданки так, щоб кожне із них містило на один десятковий знак більше ніж виділене;
в) виконати дії, враховуючи всі збережені десяткові знаки;
г) результати заокруглити і зберегти стільки десяткових знаків, скільки їх є в) наближеному числі із найменшим числом десяткових знаків.
Множення і ділення наближених обчислень рекомендується виконувати так:
а) виділити серед даних чисел, число з найменшого кількістю вірних значущихцифр;
б) заокруглити решту даних так, щоб кожне із них містило на одну значущу цифру більше, ніж у виділеному;
в) виконати дії - зберегти всі значущі цифри;
г) зберігати в результаті стільки значущих цифр, скільки їх має виділене число з найменшою кількістю вірних значущих цифр.
2.4. Перші відомості про статистику
Математичну статистику як один з розділів прикладної математики започаткував швейцарський математик Я. Бернуллі (1654-1705). Значних результатів у цій царині досяг також відомий український математик В. Буняковський (1804-1899). Видатний математик народився в містечку Бар на Вінниччині. Після навчання у Парижі Віктор Буняковський працював професором у Петербурзі. Він автор понад 100 наукових праць, написаних в основному французькою мовою. Був почесним членом всіх університетів Російської імперії, віце-президентом Академії наук, головним експертом уряду з питань статистики і страхування.
Математична статистика– це розділ математики, який присвячений методам збору, обробки, систематизації різних статистичних даних та їх використання для наукових і практичних висновків.
Під статистичними даними розуміють сукупність чисел, які дають кількісну характеристику ознак певних об'єктів та явищ, що нас цікавлять. Статистичні дані отримують в результаті дослідів, спостережень. Першим кроком статистичного дослідження є спостереження, збирання даних, які можуть бути: суцільними і несуцільними.
Спостереження є суцільним,якщо обстежують ознаки всіх одиниць сукупності. Прикладом може бути медичне обстеження населення у зв'язку з епідемією. Спостереження є несуцільним,якщо обстежуються ознаки окремих одиниць сукупності. Найбільш поширеним видом несуцільного спостереження є вибіркове спостереження.Його застосовують тоді, коли в сукупність входить дуже велике число об'єктів або спостереження пов'язане із руйнуванням об'єктів, або воно вимагає великих затрат. У таких випадках зі всієї сукупності вибирають обмежене число об'єктів і вивчають їх. Відібрану для спостереження сукупність об'єктів називають вибірковою сукупністю,або просто вибіркою.
Сукупність всіх об'єктів, над якими проводять спостереження (дослідження), називають генеральною сукупністю.
Кількість об'єктів сукупності (вибіркової або генеральної) називають об'ємом сукупності.
Наприклад, якщо із 800 деталей відібрано для дослідження 80 деталей, то об'єм генеральної сукупності дорівнює 800, а об'єм вибірки п = 80.
Результатом першого етапу статистичного дослідження є не упорядкований набір чисел, записаних дослідником у порядку їх надходження. Наприклад, економіст, аналізуючи тарифні розряди працівників одного із цехів заводу, вибрав документи 20 робітників і виписав з них послідовність чисел, що вказують на тарифні розряди (кваліфікацію робітників): 4, 4, 3, 2, 5, 2, 3, 5, 4, 3, 3, 2, 5, 4, 5, 4, 6, 3, 4, 5. Ці статистичні дані являють собою вибірку, яка піддається обробці.
На другому етапі статистичного дослідження, який називають зведенням,упорядковують і узагальнюють статистичні дані, згруповують їх і на цій основі дають узагальнену характеристику сукупності. У даному прикладі, розмістивши статистичні дані у порядку зростання розряду кваліфікації робітників, дістанемо статистичний ряд із 20 чисел: 2, 2, 2, З, З, З, З, З, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6.
Ці зведені дані про кваліфікацію робітників можна подати у вигляді статистичної таблиці розподілу вибірки. Розглянутий статистичний ряд розділено на 5 груп. Числа
= 2, 
= 3, 
= 4, 
= 5,
= 6 є значеннями ознаки кожної групи робітників. їх називають варіантами. А послідовність варіант 2,3, 4, 5, 6 – варіаційнимрядом. Числа, які показують, скільки разів повторювалося кожне значення ознаки сукупності, називають частотами. Так, частота варіанти дорівнює 3, варіанти х2– 5, варіанти – 6, варіанти х4– 5, варіанти – 1. Відношення частоти до об'єму вибірки називають відносною частотою. Зокрема, у поданому прикладі відносна частота робітників 2-го розряду становить 
= 15%; 3-го розряду – 
= 25% і т.д.Висновки
Прикладна спрямованість навчання математики формує в учнів розуміння математики, як методу пізнання та перетворення оточуючого світу, який має розглядатися не тільки областю застосувань математики, а й невичерпним джерелом нових математичних ідей.
Навчання математичного моделювання, застосування математичних знань до розв’язування задач прикладного змісту, що виникають поза межами математики і розв’язуються математичними методами, сприяє зміцненню мотивації навчання, системності, дієвості, гнучкості знань, стимулює пізнавальні інтереси учнів.
Проблема посилення прикладної спрямованості навчання математики в основній школі, інноваційний характер введеної навчальної практики учнів загальноосвітніх навчальних закладів, відсутність навчально-методичного забезпечення для проведення предметної практики з математики, як комплексної позаурочної форми навчання в умовах запровадження освітніх стандартів та особистісного спрямування шкільної освіти базового рівня й обумовили вибір теми курсової роботи: «Задачі практичного змісту в шкільного курсіматематики».
У педагогічних дослідженнях прикладну спрямованість математики розуміють як змістовний та методологічний зв'язок шкільного курсу з практикою, що передбачає формування в учнів умінь, необхідних для розв’язування засобами математики практичних задач. Поставлені перед школою завдання щодо поєднання навчання з подальшою продуктивною працею, підвищення ефективності навчання можуть бути реалізовані за умови зміни відношення педагогів до навчального процесу.
Рівень і якість шкільної математичної освіти можна поліпшити підсиленням її прикладного, практичного та політехнічного спрямування. Прикладне спрямування включає вміння учнів засобами математики досліджувати реальні явища, складати математичні моделі задач та спів ставляти знайдені результати з реальними. Практичне спрямування шкільного курсу математики передбачає формування в учнів умінь використовувати здобуті знання під час вивчення як самої математики, так і інших дисциплін. Політехнічне спрямування передбачає використання математичних знань для пояснення виробничих циклів, процесів обслуговування та керування, полегшення вивчення інших предметів (фізики, хімії, креслення, трудового навчання тощо).Відомо, що ефективним є також навчання, яке в єдності з вихованням забезпечує активізацію мислення учнів і свідоме засвоєння ними системи наукових знань, спонукає у них бажання та потребу в цих знаннях і викликає інтерес до предмета, допомагає розвитку здібностей кожного учня, розвиває вміння та навички застосовувати отримані знання на практиці, а також самостійно здобувати ці знання. Підвищенню ефективності навчання математики сприяє розв'язування задач практичного змісту. Звернення до прикладів із життя і навколишньої дійсності полегшує вчителю організацію цілеспрямованої навчальної діяльності учнів.
Список використаної літератури
1. Кравчук В.Р., Алгебра: Проб. підруч. для 9 кл./КравчукВ.Р., ПідручнаМ.В.,ЯнченкоГ.М. – Тернопіль: Підручники і посібники, 2003.–256 с.
2. БевзГ.П., Алгебра: Підручник для 7 – 9 кл./БевзГ.П., – Київ.: Освіта, 1996. –303 с.
3. ВознякГ.М.,Прикладні задачі: від теорії до практики./ВознякГ.М. ,ВознякО.М. – Тернопіль: Мандрівець, 2003. –136 с.
4.БевзГ.П. ,Алгебра: Підручник для 9 кл/ БевзГ.П. – Київ: Освіта, 2006. –206 с.
5. КонфоровичА.Г. Реальність і логіка математичних моделей /КонфоровичА.Г. // У світі математики. – 1981 – №12. –С.15-18.
6. ЛитвинН.М. Відсоткові розрахунки /ЛитвинН.М.// Математика. – 2005.– №8. – С.6-7.
7. СлєпканьЗ.І. Методика навчання математики./СлєпканьЗ.І. – К.: Зодіак ЕКО, 2000. – 512 с.
8.ПанченкоЛ.В.. Система прикладних задач як засіб формування вмінь математичного моделювання у майбутніх вчителів математики./ПанченкоЛ.В.// Математика в школі. – 2004. – № 9-10. – С.21-28.