Ім'я файлу: ЛЕКЦІЯ 2 тот перетв.docx
Розширення: docx
Розмір: 161кб.
Дата: 09.01.2021
скачати
Пов'язані файли:
ЛЕКЦИЯ Нерівність.docx




ЛЕКЦІЯ 2
Тема: Методика вивчення тотожних перетворень в курсі математики середньої школи.

ПЛАН





  1. Етапи вивчення тотожних перетворень згідно сучасних програм з математики. Вимоги до знань і вмінь учнів.

  2. Цілеспрямованість тотожних перетворень.

  3. Методика вивчення тотожних перетворень різних видів:

а) раціональних (цілих і дробових) виразів (8 кл.);

б) ірраціональних виразів (10 кл.)

в) тригонометричних виразів (10 кл.);

г) показникових і логарифмічних виразів (11 кл).

1. Етапи вивчення тотожних перетворень згідно сучасних програм з математики. Вимоги до знань і вмінь учнів.
Значна частина шкільної математики присвячена перетворенням різних виразів, що обумовлено необхідністю розв’язування рівнянь, доведення теорем, знаходження похідної і первісної та ін. Тому забезпечення високої культури виконання тотожних перетворень – важлива проблема навчання математики, яка, на жаль, в школі вирішується незадовільно. Культура виконання тотожних перетворень проявляється не тільки в умінні правильно здійснити перетворення, але й в знаходженні раціонального переходу від заданого виразу до необхідного, у вмінні простежити за зміною області визначення виразу, в швидкості й безпомилковості виконання. Техніка виконання тотожних перетворень базується на ґрунтовних знаннях властивостей операцій і алгоритмів їх виконання.

З найпростішими числовими виразами учні знайомляться ще в початковий школі , знаходять значення виразів, але про визначення понять „вираз”, „значення виразу” мова не йде. Також не дається визначення виразу зі змінною, хоча вони є. (Поняттю „вираз” взагалі в школі не дається строгого означення).

У 5 кл. говорять про спрощення виразів, яке виконується на основі властивостей арифметичних операцій, наприклад:

а+а+а+а=4а (за означенням множення)

(на основі сполучного закону множення)

17х+24х=(17+24)х=41х (використано розподільну властивість множення відносно додавання).

Ні про яке додавання подібних доданків, винесення коефіцієнта, спільного множника в 5 кл. не йдеться.

У 6 кл. апарат тотожних перетворень розширюється у зв’язку з розвитком поняття числа. Тут учні вже фактично виконують зведення многочлена до стандартного виду (зведення подібних членів), але називають це поки що зведенням подібних доданків. В цьому ж класі учні вивчають правила розкриття дужок (перед якими стоїть знак „+” або „-”), вивчається поняття „коефіцієнт”.

Системне вивчення тотожних перетворень починається в 7 кл., коли вводяться строгі математичні означення таких понять, як „тотожність”, „тотожно рівні вирази”, „тотожне перетворення виразів”. Учні 7 кл. повинні зрозуміти, що сутність тотожних перетворень складається в:

  • застосуванні до виразу відомих означень і властивостей тих операцій, які вказані в даному виразі;

  • додаванні до виразу іншого, тотожно рівного нулю;

  • множенні його на вираз, тотожно рівний 1.

В 7 кл. у зв’язку з введенням поняття степеня апарат тотожних перетворень розширюється. Тут виконується зведення одночлена і многочлена до стандартного виду, множення одночлена на многочлен і многочлена на многочлен, розкладання многочлена на множники, вивчаються формули скороченого множення. Отже, в 7 кл. розглядаються цілі раціональні вирази.

У 8 кл. вивчаються тотожні перетворення дробових раціональних виразів, вводиться поняття дробового виразу як виразу, що крім операцій „+”, „-„, „ ” містить ділення на вираз зі змінною. У зв’язку з цим є потреба уточнити зміст поняття тотожності як рівності, що вірна при будь-яких допустимих значеннях змінних, які входять до неї.

Отже, цілі і дробові вирази складають раціональні вирази. Серед раціональних виразів виділяють раціональні дроби – вираз , де А і В – одночлени або многочлени. Коли учні познайомляться з ірраціональними, тригонометричними, логарифмічними виразами, можна буде узагальнити поняття „дріб”. Дробом називається вираз вигляду , де А і В – будь-які числові вирази або вирази зі змінною. Отже, учні повинні розрізняти поняття „дріб” і „дробовий вираз”. Не будь-який дріб є дробовим виразом.

Наприклад, вирази ; є раціональними дробами, але не є дробовими виразами; вирази ; - раціональні дроби і дробові вирази; вирази , - дробові вирази, але не раціональні дроби. Будь-який дробовий раціональний вираз можна перетворити і звести до вигляду раціонального дробу.

У 8 кл. учні стикаються з ірраціональними виразами і мають поки що справу тільки з тими, які містять арифметичні квадратні корені.

Відповідно до сучасної програми 2017 року для 5-9 класів новою змістовою одиницею курсу алгебри 8-го класу є добуток і частка квадратних коренів. Крім того, з 9-го до 8-го класу перенесено вивчення квадратного тричлена, його коренів та розкладання квадратного тричлена на лінійні множники.

У 8 кл. узагальнюється поняття степеня з цілим показником, вивчаються його властивості, що також використовується в тотожних перетвореннях.

В цьому ж класі в курсі геометрії учні вперше зустрічаються з найпростішими тригонометричними виразами і тотожностями.

У 9 кл. виконуються тотожні перетворення, пов’язані з застосуванням формул щодо арифметичної і геометричної прогресій.

В 10-11 кл. розглядаються як алгебраїчні (зокрема ірраціональні), так і трансцендентні вирази (вирази, в яких змінна міститься під знаком трансцендентної функції: тригонометричної або оберненої тригонометричної, показникової, логарифмічної). Розглядається поняття кореня n – го степеня (арифметичного кореня n-го степеня), його властивості, виконуються тотожні перетворення виразів з радікалами.

Загалом, 10 кл. виявляється насиченим тотожними перетвореннями: вивчаються тригонометричні тотожності, узагальнюється поняття степеня з раціональним (і надалі дійсним) показником і застосовуються його властивості.

В 11 кл вивчаються поняття логарифму, основнї логарифмічної тотожность; і властивості логарифмів, що використовуються при виконанні тотожних перетворень показникових і логарифмічних виразів. Лінія тотожних перетворень виразів в 11 кл. розвивається, також, при виконанні перетворень в диференціальному й інтегральному численні.

Вимоги до знань і вмінь учнів під час вивчення виразів та їх перетворень (на рівні стандарту) можна сформулювати так:

  • розрізняти числові і буквені вирази;

  • розуміти зміст понять степеня з натуральним, цілим, раціональним, дійсним показниками; одночлена, многочлена, алгебраїчного (раціонального дробу), цілих і дробових виразів; ірраціонального, логарифмічного, показникового, тригонометричного виразів;

  • знати властивості степенів;

  • уміти зводити до стандартного вигляду одночлени і многочлени;

  • знати формули скороченого множення і вміти застосовувати їх до тотожних перетворень виразів;

  • уміти додавати, віднімати, множити многочлени і розкладати х на множники;

  • уміти скорочувати, додавати, віднімати, множити, ділити раціональні дроби;

  • уміти зводити дробові вирази до вигляду дробу;

  • знати властивості коренів (квадратних, n-го степеня);

  • уміти перетворювати вирази, що містять корені (різних степенів);

  • знати основну логарифмічну тотожність і властивості логарифмів і уміти застосовувати їх до тотожних перетворень показникових і логарифмічних виразів;

  • знати основні тригонометричні тотожності й вміти застосовувати їх до тотожних перетворень виразів.


2. Цілеспрямованість тотожних перетворень.
Учням доволі часто дається загальна характеристика цілеспрямованості тотожних перетворень: представляти складні вирази більш простими. Спрощення виразів зазвичай мотивується зручністю обчислення їх значень.

Наприклад, обчислити , якщо .

Як правило, учні відразу намагаються звести цей одночлен до стандартного виду і потім обчислювати. Однак, виявляється, що в даному випадку легше відразу обчислити: .

Тобто часто учні виконують тотожні перетворення, не перевіряючи, чи необхідні вони для раціоналізації обчислень.

Необхідно звертати увагу учнів на те, що в кожному конкретному випадку метою виконання тотожних перетворень є представлення виразу у вигляді, зручному для раціонального вирішення поставленої задачі.

Наприклад, при знаходженні значення виразу 5,2х+5,2у необхідно виносити спільний множник, враховуючи конкретні значення х і у; якщо, скажімо, х=10, у=0, то немає сенсу виносити його.

Отже, треба привчати учнів керуватися вимогами. Якщо даний вираз не має зручного вигляду для вирішення поставленої задачі, то треба відшукувати такі способи його перетворення, що забезпечують найбільш раціональне розв’язання.

Наприклад, при вирішенні рівняння: ; - невірне перетворення, що призводить до звуження області визначення, в результаті чого можлива втрата коренів; отже, необхідно записати: ; ; Або інший спосіб: ; ; ;

Необхідно також звернути увагу учнів, що вирішення поставленої задачі іноді досягається не спрощенням виразу, а його ускладненням.

Наприклад: позбавитися від ірраціональності в знаменнику:
.
3. Методика вивчення тотожних перетворень різних видів.
Говорячи про тотожні перетворення виразів різних видів слід, перш за все, зауважити, що назва виразу визначається не тим виглядом, до якого його можна звести, а тим, який він має при його завданні – це необхідно пояснити учням. Строгого означення поняття „вираз” в ШКМ не дають (таке означення сформулювати важко). Поняття про вирази формують на конкретних прикладах – учні повинні вміти розрізняти, розпізнавати числові і буквені вирази; щодо окремих видів виразів, то вони вводяться поступово, із вивченням програмового матеріалу.
а) При тотожних перетвореннях цілих раціональних виразів учні повинні засвоїти необхідні алгоритми, більшість з яких вивчається в 7 кл., а в наступних класах поглиблюються і вдосконалюються. Засвоїти ці алгоритми треба добре, оскільки вони є основою наступних видів перетворень. В діючих підручниках ці правила вводяться на прикладах, іноді не виділяються в явному вигляді, що ускладнює їх засвоєння.

Зазвичай, поняття „одночлен” в підручниках вводиться конкретно - індуктивним способом. Основні поняття цієї теми: стандартний вид одночлена, коефіцієнт одночлена, степінь одночлена. Спрощуючи одночлен, застосовуємо переставний і сполучний закони множення і правило множення степенів з однаковою основою: .

Многочленом ми називаємо (алгебраїчну) суму одночленів. Учні повинні засвоїти, що многочлен може містити 1,2,... членів, звідки говорять: одночлен, двочлен, тричлен ... . Треба вирішити з учнями питання, чи є одночлен многочленом. Головним в цій темі є зведення многочлена до стандартного виду і виконання операції додавання, віднімання, множення многочленів. При цьому вивчаються взаємно обернені перетворення: множення одночлена на многочлен і розкладання многочлена на множники способом винесення спільного множника за дужки; множення многочлена на многочлен і розкладання многочлена на множники способом групування.

Зауважимо, що при вивчення тотожних перетворень різних видів доцільним виявляється алгоритмічний підхід. Наприклад, як алгоритмізувати розкладання многочленів на множники способом винесення спільного множника за дужки?
Правило (алгоритм):

1) знайти спільний множник всіх членів многочлена;

2) кожний член многочлена подати у вигляді добутку двох множників, з яких один – спільний;

3) винести спільний множник за дужки, спираючись на розподільний закон множення.
В деяких випадках учителю можуть прийти на допомогу блок-схеми алгоритмів. Наприклад, розглянемо блок-схему алгоритму зведення многочлена до стандартного виду (самостійно подати рисунок блок - схеми):


А – вершина блок-схеми: даний многочлен;

В – логічна умова: чи всі члени многочлена мають стандартний вигляд (якщо так, то йдемо до D, якщо ні – то йдемо до С);

С – оператор: зведення до стандартного вигляду тих членів многочлена, які його не мають;

D – логічна умова: чи є серед членів многочлена подібні;

Е – оператор: зведіть подібні члені многочлена;

F – кінець блок–схеми: отримано многочлен стандартного виду.
Чи потрібно давати в класі блок-схеми? Що дає блок-схема учителю?

  1. Вона показує, яку підготовку повинен мати учень, щоб оволодіти даним алгоритмом. В нашому прикладі: а) вміти виділяти члени многочлена; б) вміти визначити, чи має одночлен стандартний вигляд; в) вміти звести одночлен до стандартного виду; г) вміти виділяти подібні члени многочлена; д) вміти зводити подібні члени многочлена.

Проводячи діагностичну роботу, вчитель запланує, що треба зробити для підготовки учня до вивчення даного алгоритму.

  1. Алгоритм демонструє, як доцільно конструювати систему вправ: спочатку можна піти по лінії ABDEF або ABCDF, а потім по цим двом напрямкам.

  2. Орієнтує вчителя, якими розмірковуваннями повинен супроводжувати учень вирішення для засвоєння алгоритму: наприклад: а) не всі одночлени мають стандартний вид. Приведемо до стандартного виду: 8mn-6ab+ma+5ab ... б) тут є подібні доданки двох видів, підкреслимо їх різними лініями; в) приведемо спочатку першого виду, потім другого; г) це многочлен стандартного виду.

  3. Допомагає скласти картки для вправ слабким учням.


Особливу увагу слід приділити вивченню формул скороченого множення, доведення яких, зазвичай, труднощів не викликає. Натомість вони можуть виникнути у частини учнів під час їх застосування, особливо у зворотному напрямі. Запам'ятовуванню формул і їх застосуванню сприяє вміння учнів дати словесне формулювання формули.
До тотожних перетворень дробово-раціональних виразів, які вивчаються у 8 класі, належать скорочення, додавання, віднімання, множення, піднесення до степеня з натуральним показником, ділення раціональних дробів, а також тотожні перетворення виразів, до складу яких входять цілі і дробові вирази.

Доцільно сформулювати правило знаходження найпростішого спільного знаменника раціональних дробів.

Під час вивчення дій з раціональними дробами також можна залучати аналогію з вивченням звичайних дробів. Однак при цьому треба враховувати, що два дробово-раціональні вирази називаються тотожно рівними, якщо вони мають одну і ту саму область визначення і на ній тотожно рівні.

Основною метою перетворення раціональних виразів, до складу яких входять цілі і дробові вирази, є перетворення їх у дріб, чисельних і знаменник якого є цілими раціональними виразами, наприклад:

Перетворити в раціональний дріб вираз .

=...= ; , .
Методисти пропонують у 8 класі після вивчення тотожних перетворень раціональних виразів і раціональних рівнянь розглянути тему „Степені з цілим показником”, що дасть можливість уникнути багатьох методичних труднощів, зокрема введення і формування кількох різних за формою і застосуванням понять. Хоча в Програмі з математики у рубриці „Державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів” зазначається, що учнів мають формулювати означення „степеня з нульовим показником; степеня з цілим від'ємним показником” слід наголосити учням, що означення степеня з цілим показником поєднує означення чотирьох понять: степінь з натуральним показником, більшим 1; степінь з показником 1; степінь з показником 0 і степінь з цілим від'ємним показником.

б) У курсі алгебри основної школи учні стикаються з ірраціональними виразами, при цьому термін не вживається (хоча його можна ввести для класифікації поняття „вираз із змінною”). У 8 класі тема „Квадратні корені” є допоміжна і пропедевтична. У повному обсязі корені n-го степеня та ірраціональні вирази вивчають у старших класах; у 8 класі ж класі вона вводиться для того, щоб учні засвоїли тему „Квадратні рівняння”. Тут вводяться поняття квадратного й арифметичного квадратного кореня (символ вживається лише для арифметичних коренів), даються відповідні означення, вводяться тотожності , , вивчаються властивості арифметичного квадратного кореня. У зв’язку з цим розглядаються такі тотожні перетворення ірраціональних виразів, як перетворення кореня із добутку, дробу, степеня, множення і ділення коренів, винесення множника з-під знака кореня і внесення множника під знак кореня, звільнення від ірраціональності в знаменнику, зведення подібних доданків, що містять корені.

Вивчення матеріалу, що стосується винесення множника за знак кореня і внесення множника під знак кореня, можна організувати різними способами.

І спосіб.

1. Пояснити обидві операції (винесення множника за знак кореня і внесення множника під знак кореня) для числових виразів.

2. Розв'язати за активної участі школярів кілька прикладів на закріплення вказаних перетворень.

3. Пояснити, як виконують розглянуті перетворення для виразів зі змінними.

4. Сформувати навички у виконанні перетворень виразів, які містять корені.

ІІ спосіб.

  1. Пояснити суть перетворення, що називається винесенням множника за знак кореня для числових і буквених виразів.

  2. Розв'язати за активної участі школярів кілька прикладів для формування навичок виносити множник за знак кореня.

  3. Пояснити суть перетворення, що називається внесенням множника під знак кореня для числових і буквених виразів.

  4. Сформувати навички у виконанні перетворень щодо внесення множника під знак кореня.


Задля свідомого виконання учнями операції звільнення від ірраціональності в знаменнику в сильніших класах бажано попередньо розглянути ще й такі перетворення:

  • розкладання на множники виразів, які містять корені;

  • скорочення дробів, які містять корені.

Зауважимо, що виконання перетворень передбачає використання означення арифметичного квадратного кореня, тому належну увагу слід приділити формуванню суттєвих ознак цього поняття.

На цьому етапі навчання використовується вже не тільки поняття раціонального дробу, а й дробу , де а і b – будь-які вирази, в тому числі такі, що містять корені.

Відзначимо, що ефективність навчання учнів виконанню тотожних перетворень ірраціональних виразів підвищиться за умови алгоритмізації перетворень.
У 10 класі далі вивчатимуться ірраціональні вирази, що містять корені будь-якого степеня і пов’язані з ними степені з раціональними показниками. На цьому етапі вивчення необхідно залучати такий метод розумової діяльності, як аналогію (з поняттям арифметичного квадратного кореня). Послідовність вивчення кореня n-го степеня: введення означення, обговорення області допустимих значень, вивчення властивостей. На цьому етапі навчання символ застосовується до позначення будь-яких коренів, а не лише арифметичних, наприклад . Звертається увага на те, що корінь непарного степеня з від'ємного числа можна виразити через арифметичний корінь: , оскільки і . Взагалі, при будь якому додатному а і непарному n .

Розглядаються випадки парного і непарного показника степеня кореня, основні властивості вводяться для невід’ємних підкореневих виразів. Узагальнення властивостей кореня n -го степеня на обов’язковому рівні відбувається тільки в класах з поглибленим вивченням математики. При цьому найчастіше учні припускаються помилок при внесенні множника під знак кореня і винесенні множника із-під знака кореня.

При узагальненні цих властивостей учні записують правила:

; .
в) Уперше учні зустрічаються з тригонометричними виразами у 8 класі в курсі геометрії, коли вводяться поняття синуса, косинуса, тангенса и котангенса гострого кута прямокутного трикутника. Тут же в геометрії (в 9 кл. за новою програмою 2012 року в темі «Метод координат на площині») учні знайомляться з основними тригонометричними тотожностями: , формулами зведення для гострого кута, потім для кута від 0 до (проте така назва їм ще не дається).

У 10 класі в курсі алгебри і початків аналізу розглядаються тригонометричні функції будь-якого кута; зазначається, що коли йдеться про аргумент тригонометричної функції, то термін “кут” вживають у розумінні величини, а не фігури. Введення в 9 класі в курсі геометрії і повторення в 10 класі в курсі алгебри і початків аналізу поняття радіанної міри кута дає можливість увести поняття тригонометричної функції числового аргументу, що надалі й відбувається.

В 10 класі вивчаються співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу, тригонометричні тотожності: формули зведення, формули додавання, формули подвійного аргументу. Формули перетворення суми і різниці тригонометричних функцій на добуток, формули пониження степеня, формули перетворення добутку тригонометричних функцій на суму, формули половинного аргументу не є обов’язковими для запам'ятовування. Виконання тотожних перетворень тригонометричних виразів готує до подальшого вивчення тригонометричних рівнянь і нерівностей.

Зазначимо, що згідно до програми 2003р., скорочення часу на вивчення тригонометричного матеріалу і перенесення вивчення тотожних перетворень тригонометричних виразів з 9 у 10 клас призвело до невикористання вікових розумових можливостей учнів, спричинило недостатнє усвідомлення й осмислення специфічної тригонометричної інформації та викликало перевантаження і скупченість тригонометричного матеріалу.

Згідно до програми для 12-річної школи 2005 р. розглядання синуса, косинуса, тангенса кутів від 0 до , а також вивчення основних тригонометричних тотожностей і формул зведення перенеслося з 8 класу до 9 класу курсу геометрії в темі «Метод координат на площині». Такий підхід залишився і у програмі 2017 року для 11-річної школи.

Вивченню ж теми „Тригонометричні функції” в 10 класі передує повторення загальних відомостей щодо функцій, їх властивостей та графіків, що певною мірою готує до розглядання тригонометричних функцій числового аргументу. В межах цієї теми вивчаються основні співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу, формули зведення, тригонометричні формули додавання та наслідки з них. Ці відомості є теоретичним підґрунтям для виконання тотожних перетворень тригонометричних виразів.
г) За програмою 2017 року тема „Показникова і логарифмічна функції” вивчається в 11 класі в курсі алгебри і початків аналізу. В межах цієї теми виконуються тотожні перетворення показникових і логарифмічних виразів. В програмі не зазначено окремо вимоги щодо опанування учнями тотожних перетворень показникових і логарифмічних виразів, однак зрозуміло, що сформовані навички та вміння виконання перетворень даного виду необхідні учням задля успішного розв'язання показникових і логарифмічних рівнянь і нерівностей у подальшому.

Відразу після показникової функції вивчаються показникові рівняння, тобто окремо тотожні перетворення показникових виразів фактично не розглядаються. Однак при вирішенні рівнянь і нерівностей необхідно спрощувати показникові вирази, наприклад: розв’язати рівняння: ; нерівність: . Тобто, спрощення показникових виразів відбувається на основі застосування властивостей степенів і виконується безпосередньо для вирішення рівнянь.

Далі вводиться означення логарифма числа, розглядається основна логарифмічна тотожність – математичний запис означення логарифма, доводяться властивості логарифмів. На основі цього теоретичного матеріалу виконуються тотожні перетворення логарифмічних виразів (цьому присвячується окремий час), що є підготовкою до введення логарифмічної функції і розв’язування логарифмічних рівнянь і нерівностей.

Особливу увагу в сильніших класах (або індивідуально для сильніших учнів) слід приділити узагальненню властивостей логарифмів, які, наприклад, в дворівневому підручнику Нєліна Є.П. подані як зауваження (тобто не тільки для класів з поглибленим вивченням математики). Отже:

при ;

при ;

при , де , , .

Таким чином, лінія тотожних перетворень в старших класах розвивається у зв’язку з вивченням тригонометричних, показникової, логарифмічної, степеневої функцій. Формули тригонометрії, показникові і логарифмічні тотожності, тотожності, пов’язані з ірраціональними виразами застосовуються для спрощення виразів, доведення тотожностей, розв’язування рівнянь, нерівностей та їх систем, побудови графіків складених функцій, диференціального та інтегрального числення.

Підсумовуючи, ще раз наголосимо, що для усунення формалізму в засвоєнні навичок і вмінь виконання тотожних перетворень різних виразів треба поряд із введенням основного завдання перетворення (зведення до стандартного вигляду) домагатися усвідомлення учнями того, що у кожному конкретному випадку метою тотожних перетворень є подання виразу у вигляді, зручному для розв’язування поставленої задачі.
Наведемо приклади завдань з діючих підручників, які відображують зміст теми.

  1. Спростіть вираз:

  2. Розкрийте дужки і знайдіть значення виразу:



  1. Розкрийте дужки і зведіть подібні доданки:



  1. Спростіть вираз: .

Розв’язання:







  1. Доведіть тотожність: .

Доведення:



Тотожність доведено.

  1. Доведіть тотожність:  .
    Доведення:





Тотожність доведено.


  1. Довести, що

Доведення: Аргументи доданків являють собою арифметичну прогресію з . Помножимо кожен з доданків на , де d-різниця прогресії.





  1. Доведіть, що .

Доведення: щ.н.д.



  1. Обчисліть значення виразу:



Розв’язання:




  1. Доведіть тотожність:

Доведення:



Тотожність доведено.

  1. Спростіть вираз:

Розв’язання:



Завдання для самостійного опрацювання

  1. Скласти QR - словничок основних понять з їх означеннями, що використовуються в цій темі.

  2. Проаналізувати відмінності вивчення тотожних перетворень у старших класах в залежності від рівнів навчання математики (див. програми)

скачати

© Усі права захищені
написати до нас