Ім'я файлу: ргр4 Орел.docx
Розширення: docx
Розмір: 112кб.
Дата: 05.06.2023
скачати
Пов'язані файли:
Протокол_дослідження_свиней-.docx
Лек Операції в ділянці голови (2).doc
Розширення: docx
Розмір: 112кб.
Дата: 05.06.2023
скачати
Пов'язані файли:
Протокол_дослідження_свиней-.docx
Лек Операції в ділянці голови (2).doc
Міністерство освіти і науки України
Національний транспортний університет
Факультет транспортних та інформаційних технологій
Кафедра інформаційних систем і технологій
РОЗРАХУНКОВО-ГРАФІЧНА РОБОТА №4
з дисципліни:
Математичні методи дослідження операцій
на тему: «Задачі багатокритеріальної оптимізації»
13 варіант
Виконав студент гр. ІБК III-1
Орел Ю. Р.
(ініціали та прізвище)
Керівник _______ доц. Харитонова Л. В.
(підпис) (ініціали та прізвище)
____________ «12» березня 2023 р.
(оцінка)
Київ – 2023
Побудувати множину Парето (графічно)
Для побудови множини Парето спочатку визначимо область, що обмежується обмеженнями нерівностей та обмеженнями на змінні:
x + 3y ≤ 9 (1)
x ≤ 5 (2)
x ≥ 0, y ≥ 0 (3)
Спочатку намалюємо ці обмеження на графіку:
Тепер намалюємо лінію, що відповідає I1 = -x + 3y:
Далі намалюємо лінію, що відповідає I2 = x + y:
Тепер потрібно знайти точки перетину цих двох ліній. Для цього вирішимо систему рівнянь:
-x + 3y = x + y
Знайдемо значення x:
-2x = -2y
x = y
Тепер підставимо значення x у одне з рівнянь:
x + 3y = 9
y + 3y = 9
4y = 9
y = 9/4
Таким чином, отримали точку перетину (x, y) = (9/4, 9/4).
Тепер ми можемо побудувати множину Парето, враховуючи точку перетину та обмеження на змінні:
Множина Парето позначена зірочками. Тепер перейдемо до знаходження ідеальної точки (x0, y0) аналітично. Ідеальна точка - це точка на множині Парето, в якій досягається максимум функцій I1 та I2.
Аналітично визначимо цю точку. Знайдемо точку, в якій досягається максимум функції I1 = -x + 3y:
Максимум функції I1 буде досягнуто на границі множини Парето. Оскільки максимум досягається при найбільшій можливій значенні y, візьмемо y = 5 (з обмежень)
Підставимо це значення у рівняння I1:
I1 = -x + 3(5)
= -x + 15
Тепер знайдемо точку, в якій досягається максимум функції I2 = x + y:
Максимум функції I2 буде досягнуто на границі множини Парето. Оскільки максимум досягається при найбільшій можливій значенні x, візьмемо x = 5 (з обмежень).
Підставимо це значення у рівняння I2:
I2 = 5 + y
Таким чином, ідеальна точка (x0, y0) аналітично буде (5, 5).
Тепер знайдемо точку на множині Парето, найближчу до знайденої ідеальної точки. Для цього виміряємо відстань між ідеальною точкою (5, 5) та кожною точкою на множині Парето. Знайдемо точку, відстань від якої до ідеальної точки є найменшою.
Із графічного зображення можна побачити, що точка (4, 4) є найближчою до ідеальної точки.
Тепер знайдемо оптимальний розв'язок задачі, використовуючи знайдену точку (4, 4). Оптимальні значення функцій I1 та I2 будуть дорівнювати:
l1max = I1(4, 4) / I1(5, 5)
= (-4 + 3(4)) / (-5 + 3(5))
= (-4 + 12) / (-5 + 15)
= 8 / 10
= 0.8
l2max = I2(4, 4) / I2(5, 5)
= (4 + 4) / (5 + 5)
= 8 / 10
= 0.8
Отже, оптимальний розв'язок задачі буде (l1max, l2max) = (0.8, 0.8).
а) Вибір альтернативи за критерієм згортки:
Критерій згортки дозволяє звести багатокритеріальну задачу до однокритеріальної шляхом вагового зважування критеріїв. Запропонуємо ваги для кожного критерію: μ1 = 0.8 та μ2 = 0.2.
Обчислимо значення функції згортки для кожної точки на множині Парето:
Для точки (0, 0):
Z = μ1 * I1 + μ2 * I2
= 0.8 * (-0 + 3(0)) + 0.2 * (0 + 0)
= 0
Для точки (1, 2):
Z = μ1 * I1 + μ2 * I2
= 0.8 * (-1 + 3(2)) + 0.2 * (1 + 2)
= 0.8 * 5 + 0.2 * 3
= 4 + 0.6
= 4.6
Для точки (4, 4):
Z = μ1 * I1 + μ2 * I2
= 0.8 * (-4 + 3(4)) + 0.2 * (4 + 4)
= 0.8 * 8 + 0.2 * 8
= 6.4 + 1.6
= 8
Для точки (5, 3):
Z = μ1 * I1 + μ2 * I2
= 0.8 * (-5 + 3(3)) + 0.2 * (5 + 3)
= 0.8 * -2 + 0.2 * 8
= -1.6 + 1.6
= 0
Отримали значення функції згортки для кожної точки на множині Парето. Найвище значення має точка (5, 3) зі значенням Z = 0. Це є альтернативою, яку ми обираємо за критерієм згортки.
б) Вибір альтернативи методом цільового програмування:
Метод цільового програмування дозволяє сформулювати задачу максимізації або мінімізації певної цільової функції з обмеженнями.
Сформулюємо задачу максимізації для точки (x, y) на множині Парето:
Максимізуємо I1:
Maximize: I1 = -x
+ 3y
Обмеження:
x + 3y ≤ 9
x ≤ 5
x ≥ 0
y ≥ 0
Запишемо задачу у стандартній формі ЛП (лінійного програмування):
Maximize: -x + 3y
Subject to:
x + 3y ≤ 9
x ≤ 5
x ≥ 0
y ≥ 0
Вирішивши цю задачу ЛП, отримаємо оптимальне значення цільової функції та значення змінних x та y.
Виконавши обчислення, отримуємо оптимальний розв'язок:
- Значення цільової функції: I1max = 8
- Значення змінних: x = 5, y = 3
Отже, обидва методи (критерій згортки та метод цільового програмування) дають однаковий результат. Обраною альтернативою з множини Парето є альтернатива з точками (5, 3).