Ім'я файлу: СИМЕТРІЯ І ТОЧНІ РОЗВʼЯЗКИ РІВНЯНЬ МАТЕМАТИЧНОЇ.docx
Розширення: docx
Розмір: 19кб.
Дата: 12.07.2023
скачати
Розширення: docx
Розмір: 19кб.
Дата: 12.07.2023
скачати
СИМЕТРІЯ І ТОЧНІ РОЗВʼЯЗКИ РІВНЯНЬ МАТЕМАТИЧНОЇ
ФІЗИКИ
І. Побудувати однопараметричну групу перетворень, яка породжується інфінітезимальним оператором:
1) ∂ ₜ + (t+y)∂ ₓ + (t+x)∂ ᵧ;
Ми можемо побудувати однопараметричну групу перетворень, породжену заданим нескінченно малим оператором, за допомогою методу груп Лі. Метод груп Лі є потужною технікою для знаходження симетрій і точних розв'язків рівнянь математичної фізики.
Припустимо, що група перетворень має вигляд:
x' = X(t, x, y, ε), y' = Y(t, x, y, ε), t' = T(t, x, y, ε)
де ε - параметр групи перетворень, а X, Y, T - гладкі функції від своїх аргументів.
Ми можемо отримати симетрії точок Лі диференціального рівняння в частинних похідних (ДРЧП), пов'язаного з заданим нескінченно малим оператором, знайшовши векторне поле, яке залишає ДРЧП інваріантним. Іншими словами, нам потрібно знайти векторне поле V таке, що
V[u] = λu
де u - розв'язок ЗДР, λ - константа, а [u] позначає дію векторного поля на u.
Використовуючи формулу похідної Лі, ми можемо виразити дію заданого нескінченно малого оператора на функцію u у вигляді
(∂ ₜ + (t+y)∂ ₓ + (t+x)∂ᵧ)[u] = ∂u/∂t + (t+y)∂u/∂x + (t+x)∂u/∂y
Тепер ми можемо використати анзац для групи перетворень та правило ланцюга для обчислення похідної Лі від u під дією V:
V[u] = (∂ₜX + (t+y)∂ₓX + (t+x)∂ᵧX)∂u/∂t + (∂ₓX)∂u/∂x + (∂ᵧX)∂u/∂y
+ (∂ₜY + (t+y)∂ₓY + (t+x)∂ᵧY)∂u/∂x + (∂ₓY)∂u/∂y
+ (∂ₜT + (t+y)∂ₓT + (t+x)∂ᵧT)∂u/∂y
Прирівнявши це до λu та зібравши коефіцієнти ∂u/∂t, ∂u/∂x та ∂u/∂y, отримаємо наступну систему диференціальних рівнянь з частинними похідними:
∂ₜX + (t+y)∂ₓX + (t+x)∂ᵧX = λX
∂ₜY + (t+y)∂ₓY + (t+x)∂ᵧY = λY
∂ₜT + (t+y)∂ₓT + (t+x)∂ᵧT = λT
∂ₓX = λY
∂ᵧX = λT
∂ₓY = 0
∂ᵧY = 0
Розв'язуючи ці рівняння, отримуємо наступну однопараметричну групу перетворень:
x' = x + ε(t+y), y' = y + ε(t+x), t' = t + ε
де ε - параметр групи перетворень.
Ця група перетворень породжує сім'ю розв'язків ЗДР, пов'язаних із заданим нескінченно малим оператором. Щоб отримати явні розв'язки, потрібно розв'язати ЗДР з початковими або граничними умовами за допомогою методу редукції симетрії.
Метод груп Лі є потужним інструментом для знаходження симетрій і точних розв'язків рівнянь математичної фізики. Він дозволяє систематично будувати сім'ї розв'язків ЗДР, використовуючи властивості симетрії рівнянь. Метод редукції симетрії використовується для зведення ЗДР до системи звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР) або до системи диференціальних рівнянь з частинними похідними в меншій кількості змінних. Розв'язки зведеної системи потім перетворюються назад до вихідних змінних за допомогою групи симетрії.
Таким чином, ми побудували однопараметричну групу перетворень, породжену заданим нескінченно малим оператором за допомогою методу груп Лі. Група перетворень породжує сім'ю розв'язків ЗДР, асоційованих із заданим оператором. Явні розв'язки можна отримати за допомогою методу редукції симетрії.
IІ. Знайти максимальну групу симетрії рівняння:
=
-
;Наведене рівняння є двовимірним рівнянням теплопровідності, яке описує дифузію тепла в середовищі. Щоб знайти його максимальну групу симетрії, скористаємося методом симетрії Лі.
Введемо наступні позначення:
u = u(x, y, t)
ξ = ξ(x, y, t) - векторне поле симетрії
Метод симетрії Лі полягає у знаходженні векторного поля ξ, яке залишає диференціальне рівняння інваріантним, тобто перетворює розв'язки рівняння в інші розв'язки цього ж рівняння. Це можна записати так:
ξ-(∂u/∂t) = (∂u/∂t)ξ-u + ξ-(∂u/∂x) + ξ-(∂u/∂y)
де ξ- позначає похідну Лі за векторним полем ξ. Якщо рівняння інваріантне під дією ξ, то ліва частина наведеного вище рівняння дорівнює нулю, і ми отримуємо систему диференціальних рівнянь у частинних похідних для компонент ξ.
Використовуючи цей метод, ми можемо знайти, що група максимальної симетрії двовимірного рівняння теплопровідності складається з таких векторних полів:
ξ₁ = ∂/∂t
ξ₂ = ∂/∂x
ξ₃ = ∂/∂y
ξ₄ = 2t∂/∂t + x∂/∂x + y∂/∂y + 2u∂/∂u
Ці векторні поля породжують алгебру Лі, яка ізоморфна алгебрі Лі евклідової групи у 2 вимірах. Отже, групою максимальної симетрії двовимірного рівняння теплопровідності є евклідова група у 2 вимірах, яка складається з трансляцій за x, y та t, а також поворотів та віддзеркалень площини (x, y).
III. Провести симетрійну редукцію рівнянь, побудувати інваріантні
розв'язки:
= - ;Щоб здійснити симетричну редукцію, ми шукаємо перетворення, яке залишає рівняння інваріантним. Корисним перетворенням для цього рівняння є те, яке зберігає обертальну симетрію. Таке перетворення можна записати так:
x' = x cos(theta) + y sin(theta)
y' = -x sin(theta) + y cos(theta)
де тета - це кут повороту.
Потім ми застосовуємо це перетворення до вихідного рівняння, яке дає:
∂u/∂t = cos(theta)^2 (∂²u/∂x'²) + sin(theta)^2 (∂²u/∂y'²) - 2 sin(theta) cos(theta) (∂²u/∂x'∂y')
Підберемо тета таким чином, щоб член змішаної похідної (∂²u/∂x'∂y') зникав. Цього можна досягти заданням
tan(2 theta) = 0
що дає нам два можливих розв'язки: theta = 0 і theta = pi/2.
Для theta = 0 перетворення набуває вигляду:
x' = x
y' = y
і рівняння зводиться до
∂u/∂t = ∂²u/∂x'² - ∂²u/∂y'²
що збігається з початковим рівнянням.
Для тета = pi/2 перетворення набуває вигляду
x' = -y
y' = x
і рівняння зводиться до
∂u/∂t = ∂²u/∂x'² - ∂²u/∂y'²
що також збігається з початковим рівнянням.
Таким чином, ми знайшли два можливих симетричних зведення для цього рівняння. Для побудови інваріантних розв'язків ми можемо шукати розв'язки, які є інваріантними при цих перетвореннях.
Для першого зведення будь-яка функція від x^2 - y^2 і t, наприклад, u = f(x^2 - y^2, t), є інваріантним розв'язком.
Для другого зведення будь-яка функція від x + i y та x - i y і t, така як u = f(x + i y, x - i y, t), є інваріантним розв'язком.