Ім'я файлу: Otchyot_po_laboratornoy_rabote_6_Реуцой_Д.docx
Розширення: docx
Розмір: 867кб.
Дата: 07.05.2023
скачати
Розширення: docx
Розмір: 867кб.
Дата: 07.05.2023
скачати
Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого
Институт металлургии, машиностроения и транспорта
Высшая школа машиностроения
Отчёт
по лабораторной работе № 6
Дисциплина: Вычислительная математика
Тема: Решение ОДУ первого порядка методами Эйлера и Рунге-Кутты
Вариант №10
10Студент гр. 3331501/90001 Даниил Реуцой
Преподаватель Н.А. Солодилова
«__»_________2020 г.
Санкт-Петербург
2020 г.
Цель работы
Цель работы – изучить численные методы Эйлера и Рунге-Кутты для решения задачи Коши для ОДУ первого порядка. Сравнить полученные приближенные решения с точными решениями и исследовать погрешности получаемых решений на конце промежутка.
Задание
Решить ОДУ первого порядка на промежутке
, разбив его на 10 интервалов:1. Методами Эйлера и сравнить с точным решением. Для каждого метода найти требуемое количество интервалов разбиения промежутка для обеспечения относительной погрешности решения на конце промежутка не более
. Для каждого метода проделать вручную первые три шага интегрирования. 2. Методом Рунге-Кутты и сравнить с точным решением. Найти относительную погрешность на конце промежутка. При заданном шаге по методу Рунге найти оценку ошибки решения.
3. С помощью встроенных функций MathCAD.
Таблица 1 – вариант задания:
| Вариант | Функция | Точное решение |  |  | |
 |  |  |  |  |  |
Ход работы
Расчеты в MathCAD
Рисунок 1 – Решение заданного ОДУ методом Эйлера.
Рисунок 2 – Нахождение числа промежутков для достижения требуемой точности.
Рисунок 3 – Решение заданного ОДУ 1-м модифицированным методом Эйлера и подбор необходимого числа промежутков.
Рисунок 4 – Решение заданного ОДУ 2-м модифицированным методом Эйлера и подбор необходимого числа промежутков.
Рисунок 5 – Решение заданного ОДУ методом Рунге-Кутты.
Рисунок 6 – Расчет ошибки интегрирования по методу Рунге.
Рисунок 7 – Решение ОДУ встроенной функцией Odesolve.
Рисунок 8 – Решение ОДУ заданной функцией rkfixed.
Ручные расчеты
Рисунок 9 – Три шага методом Эйлера.
Рисунок 10 – Три шага первым модифицированным методом Эйлера.
Рисунок 11 – Три шага вторым модифицированным методом Эйлера (с пересчетом).
Выводы по работе
Мы изучили численные методы Эйлера и Рунге-Кутты для решения задачи Коши для ОДУ первого порядка, а также сравнили полученные приближенные решения с точными решениями и исследовали погрешности получаемых решений на конце промежутка.
Приближенное нахождение решений дифференциальных уравнений необходимо, когда переменные в данном уравнении разделить невозможно или когда получается неберущийся интеграл. Методы приближенных вычислений позволяет с высокой точностью сымитировать функцию, являющуюся решением данного ОДУ на некотором промежутке.
Метод Эйлера довольно прост, однако у него есть и существенный недостаток – слишком большая погрешность, которая к тому же и имеет свойство увеличиваться. Модификации метода Эйлера скрадывают большую часть данного недостатка. С ростом количества промежутков уменьшается и погрешность вычислений, однако их невозможно увеличивать бесконечно, так как существует такая вещь, как, например, ограниченность вычислительных мощностей.
В случаях, когда необходимо получить большую точность в сравнительно короткие сроки, будет гораздо практичнее использовать метод Рунге-Кутты, так как он предполагает гораздо более быстрое приближение к искомому результату, чем метод Эйлера.
Таким образом, мы сами вольны выбирать необходимый метод, основываясь на собственных умозаключениях о том, подходит он в данной ситуации или нет.