Ім'я файлу: ЛЕКЦИЯ Нерівність.docx
Розширення: docx
Розмір: 63кб.
Дата: 22.06.2021
Пов'язані файли:
ЛЕКЦІЯ 2 тот перетв.docx

Лекція

Тема: Методика навчання учнів розв’язувати нерівності та їх системи.

План

1. Поняття нерівності.

2.Числові нерівності

3.Нерівності з однією змінною

4.Системи нерівностей

5.Квадратичні нерівності

6.Трансцендентні нерівності.


Нерівність

Зміст поняття «нерівність» іноді розкривають так: «Два числа або два алгебраїчні вирази, сполучені знаком > (більше) або < (менше), утворюють нерівність». Означення це не можна вважати бездоганним, бо, по-перше, кожне число також прийнято вважати виразом, тому слова «два числа або» тут зайві. По-друге, зайве тут і слово «алгебраїчних», бо знаки >,< ставлять і між такими виразами, які не називають алгебраїчними. Наприклад, – це теж нерівність, хоч – не алгебраїчні вирази. По-третє, два вирази, сполучені знаком ≤ або ≥, також утворюють нерівність. Тому краще було б сказати так: «Два вирази, сполучені знаком >,< або ≥, ≤».

Іноді нерівностями називають також відношення типу a≠b. Проте, говорячи в цьому розділі про нерівності, ми не матимемо на увазі таких відношень.

Залежно від того, містить нерівність змінні чи тільки числа, виражені цифрами, її називають нерівністю із змінними або числовою нерівністю. Наприклад, нерівності 2<3, <3 – числові, а 2x<3, нерівності із змінними.

Нерівності із змінними розрізняють подібно до того, як розрізняють два види рівностей: тотожності та рівняння. Ці два види нерівностей розглядають у школі завжди, тільки, на жаль, не завжди для цього використовують відповідні терміни. Тоді як для рівностей є три різних терміни: «рівність», «тотожність», «рівняння», у «теорії нерівностей» цим трьом термінам відповідає один: «нерівність». Ми говоримо «довести нерівність », «розв’язати нерівність », але «довести тотожність (а-1)(а+1)- -1», «розв’язати рівняння +1=7».

Окремий розділ «Нерівності» вивчають у кінці 8 класу. Тут учні ознайомлюються з властивостями числових нерівностей, вчаться розв’язувати нерівності з однією змінною і їх системи, застосовують нерівності до вивчення властивостей функцій і т. ін.

Квадратні, дробно-раціональні та інші нерівності вчаться розв’язувати в старших класах.

2.Числові нерівності

Нагадавши, як порівнювати натуральні, цілі та інші числа, далі восьмикласники вивчають означення: « Число а більше від числа b, якщо різниця a-bчисло додатне; число а менше від числа b,якщо різниця a-bчисло від’ємне». На основі цього загального означення неважко довести основні властивості числових нерівностей:

  1. Якщо і

  2. Якщо

  3. Якщо

якщо

  1. Якщо

  2. Якщо

Для прикладу доведемо першу властивість.

Якщо і , то a-b i b-c - числа від’ємні. Їх сума a-b+b-c-a-c - число від’ємне, а коли a-cчисло від’ємне, то a<c.

Аналогічно можна довести і всі інші властивості числових нерівностей.

Зрозуміло, що не можна обмежитись тільки розглядом абстрактних властивостей і їх доведень. Бажано кожну з них проілюструвати конкретними числовими прикладами, вивести з них важливіші наслідки, зокрема такі:

якщо ;

якщо ;

якщо .

Крім інших тренувальних вправ бажано пропонувати учням довести кілька нерівностей:

.

Розв’язувати їх найпростіше так:



Отже,
3. Нерівності з однією змінною

Нерівності із змінними можна розв’язувати різними способами. Найраціональніший із них – на основі теорем про рівносильність нерівностей. В шкільному підручнику їх формулюють в такій формі:

  1. Якщо з однієї сторони нерівності перенести в другу доданок з протилежним знаком, то дістанемо рівносильну їй нерівність.

  2. Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те саме додатне число, то дістанемо рівносильну їй нерівність.

  3. Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те саме від’ємне число, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний, то дістанемо рівносильну їй нерівність.

Загальні доведення цих теорем для восьмикласників важкі, тому пропонується проілюструвати їх на прикладах.

Зрозуміло, що почати розв’язування нерівностей бажано з найпростіших: . Учні повинні вміти розв’язувати нерівності таких видів без будь-яких роздумів. Оформляти в зошитах і на класній дошці розв’язання складніших вправ можна так.

,

,

,

.
Відповідь можна записати і в формі проміжку: . Принаймні деякі з них бажано ілюструвати на координатній прямій.



-2 - 0 1

4.Системи нерівностей

Після того, як учні навчаться швидко і впевнено розв’язувати лінійні нерівності з однією змінною, треба перейти до вивчення системи таких нерівностей. Почати пояснення можна з конкретного прикладу, хоча б такого.

Нехай треба визначити значення змінної х, які б задовольняли кожну з нерівностей x+1>0 i 6-3x>0. У таких випадках говорять, що треба розв’язати систему двох даних нерівностей



Розв’язавши окремо кожну з нерівностей цієї системи, дістанемо відповідно: х>-1, x<2. Залишилося визначити ті значення х, які одночасно більші -1 і менші 2. Це найкраще зробити за допомогою координаційної прямої. Зобразивши на одній координатній прямій множини цих розв’язків, бачимо, що і перші, і другі нерівності задовольняють всі ті і тільки ті значення х, які більші -1, але менші 2, тобто всі значення xз проміжку (-1;2). Це і є шукана множина розв’язків даної системи нерівностей.




-2 -1 0 1 2
В число вправ доцільно включити і такі системи, множини розвязків яких містять тільки окремі числа або зовсім порожні.

Приклад . Розвяжіть систему



Розв’язання.



Відповідь. Система має один розв’язок: 1,5.

Зауважимо, що у математиці, крім поняття «система нерівності», розглядають і «сукупність нерівностей». Систему нрівностей позначають фігурною дужкою, а сукупність - квадратною. Розв’язати систему нерівностей – це означає знайти значення змінної, які задовольняють кожну нерівність системи; розв’язати сукупність нерівностей – це означає знайти значення змінної, які задовольняють принаймні одну нерівність цієї сукупності. Нерідко поняття сукупності нерівностей чи рівнянь повідомляють учням на факультативних заняттях. На уроках в захальноосвітній школі вводоти ці поняття не треба.
5.Квадратні нерівності

Вивчення даної теми починається з формування знань учнів про зміст поняття «квадратна нерівність» та формування первинних умінь вирізняти квадратні нерівності серед інших нерівностей з однією змінною, тому почати слід з означення та прикладів. Вивчення квадратних нерівностей слідує за вивченням квадратного рівняння, тож учні вже вміють будувати графіки квадратичної функції та на них відмічати нулі функції, якщо вони існують. Тому перехід до розгляду квадратних нерівностей можна здійснити, перейшовши до побудови та вивчення графіка функції у = a + bх + с. Оскільки можливі різні випадки розташування графіка відносно осі абсцис, краще почати з розгляду конкретного прикладу, у якому цей квадратний тричлен має різні коренів

Зміст вправ, запропонованих до розв’язування на уроці, може бути таким:

- знайти розв’язки квадратної нерівності за готовим графіком відповідної квадратичної функції;

- розв’язати за вивченою схемою квадратні нерівності;

- розв’язати нерівності другого степеня, що зводяться до квадратних рівносильними перетвореннями;

- на повторення: дослідити властивості функції за даним графіком.

6.Трансцендентні нерівності.

Специфіка трансцендентних нерівностей. При розгляді різних класів трансцендентних нерівностей необхідно приділяти достатню увагу формуванню досвіду застосування тотожностей для перетворення даних нерівностей. Особливо яскраво це виявляється в тригонометрії, тому при вивченні тригонометричних нерівностей великого значення набувають завдання і системи питань, пов'язані з розпізнаванням застосовності того чи іншого тотожності, можливості приведення рівняння або нерівності до певного виду.

У процесі розв’язування показникових і логарифмічних нерівностей та їх систем корисно систематизувати знання учнів про рівносильністьнерівностей і систем, виділити операції, які можуть порушувати рівносильність. Слід звернути увагу на причини виникнення сторонніх коренів при розв’язуванні нерівностей і в зв’язку з цим на необхідність перевірки знайдених розв’язків, а також на причини втрати коренів . При розв’язання показникових нерівностей грунтується на властивостях показникової функції саме зростання та спадання.

При α>1

При 0<α<1
При розв’язуванні найпростіших тригонометричних нерівностей краще користуватися графіками. Цей шлях практично гарантує уникнення помилок, дозволяючи наочно представити області, в яких нерівність виконується

При розв’язуванні найпростіших логарифмічних нерівностей також треба пам’ятати про те, що властивості логарифмічної функції відрізняються в залежності від основи, меншої або більшої за одиницю. Проте для розв’язування цих нерівностей істотно ще й те, що логарифмічна функція визначена не для усіх х.

Отже, у процесі вивчення розділу учні систематизують, узагальнюють і поглиблюють знання про степені, корені та їх властивості, засвоюють поняття показникової і логарифмічної функції, їх властивості та графіки, навички та вміння виконувати тотожні перетворення виразів показникової і логарифмічної функції, розв’язувати показникові і логарифмічні нерівності та їх системи, здійснювати обчислення числових виразів з логарифмами і степенями.
скачати

© Усі права захищені
написати до нас