| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 25
Ім'я файлу: Завдання до лабораторних робіт.docx Розширення: docxРозмір: 3648кб.Дата: 19.02.2022скачати МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
Національний університет “Львівська політехніка”
МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ ДОСЛІДЖЕННЯ ОПЕРАЦІЙ Методичні вказівки до виконання циклу лабораторних робіт для студентів спеціальності 122 «Комп'ютерні науки», денної та заочної форм навчання
Львів – 2021
Математичні методи дослідження операцій: Методичні вказівки до виконання циклу лабораторних робіт для студентів спеціальності 122 «Комп'ютерні науки», денної та заочної форм навчання / Укл. Марікуца У.Б. – Львів.: НУ «Львівська політехніка», 2021. – 119 c.
Затверджено на засіданні кафедри Систем автоматизованого проектування.
Протокол № _1_ від _27.09.2021 р.
Укладачі:
Марікуца Уляна Богданівна, канд. техн. наук
Відповідальний редактор:
П.В. Тимощук
Рецензент:
Т.І. Мандзак, к.ф.-м.н., доц.
ЗМІСТ
ВСТУП 3
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 1. Багатокритеріальний вибір. Визначення оптимальних альтернатив за Парето та Слейтером 5
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 2. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ ЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ СИМПЛЕКС-МЕТОДОМ 16
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 3. Прийняття рішень в умовах повної інформації. Задача про упакування в контейнери 44
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 4. Прийняття рішень в умовах ризику 57
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 5. Прийняття рішень в задачах розпізнавання образів 68
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 6. Теорія статистичних рішень «ігри з природою». 96
ДОДАТОК А 112
ДОДАТОК Б 117
ДОДАТОК В 119
ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ 120
ВСТУП Дисципліна «Математичні методи дослідження операцій» відноситься до циклу математичної, природничо-наукової підготовки; базується на знанні дисциплін «Теорія ймовірностей і математична статистика» та «Методи оптимізації» і використовується при вивченні дисциплін «Методи та засоби штучного інтелекту» та «Моделювання складних систем», а також в рамках магістерської підготовки.
Метою дисципліни є систематизоване викладання сучасного математичного апарату прийняття рішень в складних системах та набуття студентами необхідних знань в цій галузі та практичних навичок у розробці моделей, а також розв’язання практичних задач прийняття рішень в умовах невизначеності та ризику.
Завдання вивчення дисципліни полягає у формуванні системи наступних знань та умінь:
Знання:
знання принципів і правил формалізації економічних ситуацій, здатність застосовувати математичні методи обґрунтування та прийняття управлінських і технічних рішень у різних ситуаціях; ґрунтовна математична підготовка та знання теоретичних, методичних і алгоритмічних основ інформаційних технологій для їх використання під час розв’язання прикладних і наукових завдань в області інформаційних систем і технологій.
Уміння:
підготовленість до розроблення нових математичних методів, ефективних алгоритмів і методів реалізації функцій інформаційних систем і технологій в прикладних областях, зокрема під час розробки методів і систем штучного інтелекту; уміння застосовувати математичні методи обґрунтування та прийняття управлінських і технічних рішень, адекватних умовам, в яких функціонують об’єкти інформатизації.
Лабораторні роботи орієнтовані на студентів-бакалаврів, що навчаються за спеціальністю 122 «Комп'ютерні науки». Роботи мають дослідницький характер. Для полегшення підготування студентів до лабораторних робіт у методичних вказівках наведено необхідні довідникові дані і матеріали. Бажано також, щоб лабораторні роботи стимулювали подальше поглиблене вивчення студентами теоретичного матеріалу [2-4;7-10] та сприяли оволодінню українською науково-технічною термінологією [3;7;9;10].
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 1. Багатокритеріальний вибір. Визначення оптимальних альтернатив за Парето та Слейтером 1 Мета роботи Ознайомитись з поняттями оптимальності за Парето та за Слейтером при багатокритеріальному виборі [1-3;6;7].
2 Короткі теоретичні відомості Задачу вибору, яка включає множину можливих рішень X та векторний критерій f, зазвичай називають багатокритеріальною задачею або задачею багатокритеріальної оптимізації. Позначимо множину рішень, що обираються, як . Ця множина представляє собою рішення задачі вибору і до неї може входити будь-яка підмножина множини можливих рішень Х.
Постановка задачі багатокритеріального вибору включає:
1) множину можливих рішень Х;
2) векторний критерій f;
3) відношення переваги .
В загальному випадку векторний критерій має вигляд:
| (1.1)
|
де – числові функції, які визначені на множині можливих рішень Х. Задача багатокритеріального вибору складається у знаходженні множини рішень, що обираються, з врахуванням відношення переваги на основі заданого векторного критерію f, який відображає набір цілей особи, що приймає рішення (ОПР).
Розглянемо випадок, коли ОПР повинен обрати одно з двох можливих рішень або . Для цих рішень має місце один і тільки один з наступних трьох випадків:
1) – ОПР віддає перевагу першому рішенню ( );
2) – ОПР віддає перевагу другому рішенню ( );
3) не виконується ані , ані – ОПР не може надати переваги жодному рішенню.
Варіант, коли виконуються обидва випадки: та , не можливий внаслідок асиметричності відношення переваги .
Для першого випадку говорять, що рішення домінує рішення по відношенню , або що рішення доміноване . Для другого випадку говорять, що рішення домінує рішення по відношенню , або що рішення доміноване . Для третього випадку кажуть, що рішення та непорівнянні по відношенню .
Нехай задана множина можливих рішень Х, векторний критерій f та відношення переваги . Припустимо, що для деякого можливого рішення виконується умова . За визначенням відношення переваги це означає, що із пари ОПР обере рішення . Тобто в термінах множини рішень, що обираються, це буде виглядати як:
Якщо рішення не обирається із пари , це значить, що є рішення ( ), яке краще за нього ( ). Розумно припустити, що на всій множині можливих рішень Х рішення також не буде обране, оскільки є принаймні одне рішення краще за нього. Таким чином, сформулюємо у вигляді аксіоми вимогу до поведінки ОПР:
Аксіома 1. (Аксіома виключення рішень, що домінуються)
Для будь-якої пари допустимих рішень , для яких має місце відношення , виконується .
|
Незважаючи на очевидну «розумність» цієї аксіоми, не слід вважати, що вона виконується у будь-якому випадку при виборі рішень.
Розглянемо, наприклад, таку задачу вибору з трьох претендентів на два робочих місця за умови, що обидва робочі місця обов’язково повинні бути заповнені. Нехай в процесі порівняння претендентів з’ясувалося, що перший переважає другого та третього, а другий переважає третього. Вочевидь, що обрані будуть перший ( ) та другий ( ) претенденти, хоча і виконується умова [1].
Цю задачу можливо розглядати як дві в сенсі вибору одного претендента на першу посаду з трьох можливих, а потім на другу посаду з виключенням з множини претендентів (можливих рішень) першого претендента.
Якщо задано декілька критеріїв оптимальності, то для кожного з них необхідно визначити напрямок зацікавленості ОПР. Тут і надалі будемо вважати, що ОПР зацікавлений в отриманні максимальних значень всіх компонентів векторного критерію f. Таким чином, сформулюємо «Аксіому Парето»:
Аксіома Парето. Для всіх пар можливих рішень , для яких має місце нерівність , виконується співвідношення .
| Запис означає виконання покомпонентних нерівностей для всіх j=1(1)m, причому . Це означає, що компоненти першого вектора не менші за відповідні компоненти другого вектора , і принаймні одна компонента першого вектора суворо більша за відповідну компоненту другого.
Визначення 1. Рішення називається оптимальним за Парето (парето-оптимальним), якщо не існує такого можливого вирішення , для якого має місце нерівність . Всі парето-оптимальні рішення утворюють множину Парето, що позначається .
|
У відповідності до «Визначення 1»:
Тобто, парето-оптимальне рішення – це таке можливе рішення, яке не може бути покращене (збільшене) по жодному з наявних критеріїв без погіршення (зменшення) по будь-якому хоча б одному іншому критерію. Рішення, що входять до множини Парето, також називають парето-ефективними.
Принцип Еджворта-Парето. Якщо ОПР веде себе «розумно» (тобто виконуються умови «Аксіоми 1» та «Аксіоми Парето»), то рішення, що їм обираються, обов’язково повинні бути парето-оптимальними .
|
Домінування рішення над за Парето позначається як , або , або .
В багатьох випадках пошук парето-оптимальних рішень є вкрай трудомісткою задачею. Тому введемо поняття «слабкого» парето-оптимального рішення або рішення, оптимального за Слейтером.
Визначення 2. Рішення називається оптимальним за Слейтером, якщо не існує такого можливого вирішення , для якого має місце нерівність . Всі оптимальні рішення за Слейтером утворюють множину Слейтера, що позначається .
|
Запис означає виконання покомпонентних нерівностей для всіх j=1(1)m, причому . Це означає, що компоненти першого вектора суворо більші за відповідні компоненти другого вектора .
Домінування рішення над за Слейтером позначається як , або , або .
Хоча рішення, оптимальні за Слейтером, менш цікаві за оптимальні за Парето, але в багатьох випадках при вирішенні задач багатокритеріальної оптимізації отримуються саме такі рішення.
Як при пошуку парето-оптимальних рішень, так і при пошуку рішень, оптимальних за Слейтером, необхідно враховувати узгодженість побажань ОПР. Тобто, ОПР зацікавлений в отриманні максимальних значень всіх компонентів векторного критерію f.
Геометрична інтерпретація принципу Еджворта-Парето наведена на рис. 1.1.
Рисунок 1.1 – Відношення між множинами допустимих, оптимальних за Слейтером, парето-оптимальних та обираємих рішень
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 25
скачати
|