1 2 3 Прізвище: Бучкевич Ім`я: Павло Група: КН-210 Варіант: 2Дата захисту: 23.03.2021р. Кафедра: САПР Дисципліна: ММДО Перевірив (ла): Марікуца У. Б. Звіт до лабораторної роботи №1 «Багатокритеріальний вибір. Визначення оптимальних альтернатив за Парето та Слейтером» Мета роботи: ознайомитись з поняттями оптимальності за Парето та за Слейтером при багатокритеріальному виборі [1-3;6;7]. Короткі теоретичні відомостіЗадачу вибору, яка включає множину можливих рішень X та векторний критерій f, зазвичай називають багатокритеріальною задачею або задачею багатокритеріальної оптимізації. Позначимо множину рішень, що обираються, як . Ця множина представляє собою рішення задачі вибору і до неї може входити будь-яка підмножина множини можливих рішень Х. Постановка задачі багатокритеріального вибору включає: 1) множину можливих рішень Х; 2) векторний критерій f; 3) відношення переваги . В загальному випадку векторний критерій має вигляд:
де – числові функції, які визначені на множині можливих рішень Х. Задача багатокритеріального вибору складається у знаходженні множини рішень, що обираються, з врахуванням відношення переваги на основі заданого векторного критерію f, який відображає набір цілей особи, що приймає рішення (ОПР). Розглянемо випадок, коли ОПР повинен обрати одно з двох можливих рішень або . Для цих рішень має місце один і тільки один з наступних трьох випадків: 1) – ОПР віддає перевагу першому рішенню ( ); 2) – ОПР віддає перевагу другому рішенню ( ); 3) не виконується ані , ані – ОПР не може надати переваги жодному рішенню. Варіант, коли виконуються обидва випадки: та , не можливий внаслідок асиметричності відношення переваги . Для першого випадку говорять, що рішення домінує рішення по відношенню , або що рішення доміноване . Для другого випадку говорять, що рішення домінує рішення по відношенню , або що рішення доміноване . Для третього випадку кажуть, що рішення та непорівнянні по відношенню . Нехай задана множина можливих рішень Х, векторний критерій f та відношення переваги . Припустимо, що для деякого можливого рішення виконується умова . За визначенням відношення переваги це означає, що із пари ОПР обере рішення . Тобто в термінах множини рішень, що обираються, це буде виглядати як:
Якщо рішення не обирається із пари , це значить, що є рішення ( ), яке краще за нього ( ). Розумно припустити, що на всій множині можливих рішень Х рішення також не буде обране, оскільки є принаймні одне рішення краще за нього. Таким чином, сформулюємо у вигляді аксіоми вимогу до поведінки ОПР:
Незважаючи на очевидну «розумність» цієї аксіоми, не слід вважати, що вона виконується у будь-якому випадку при виборі рішень. Розглянемо, наприклад, таку задачу вибору з трьох претендентів на два робочих місця за умови, що обидва робочі місця обов’язково повинні бути заповнені. Нехай в процесі порівняння претендентів з’ясувалося, що перший переважає другого та третього, а другий переважає третього. Вочевидь, що обрані будуть перший ( ) та другий ( ) претенденти, хоча і виконується умова [1]. Цю задачу можливо розглядати як дві в сенсі вибору одного претендента на першу посаду з трьох можливих, а потім на другу посаду з виключенням з множини претендентів (можливих рішень) першого претендента. Якщо задано декілька критеріїв оптимальності, то для кожного з них необхідно визначити напрямок зацікавленості ОПР. Тут і надалі будемо вважати, що ОПР зацікавлений в отриманні максимальних значень всіх компонентів векторного критерію f. Таким чином, сформулюємо «Аксіому Парето»:
Запис означає виконання покомпонентних нерівностей для всіх j=1(1)m, причому . Це означає, що компоненти першого вектора не менші за відповідні компоненти другого вектора , і принаймні одна компонента першого вектора суворо більша за відповідну компоненту другого.
У відповідності до «Визначення 1»:
Тобто, парето-оптимальне рішення – це таке можливе рішення, яке не може бути покращене (збільшене) по жодному з наявних критеріїв без погіршення (зменшення) по будь-якому хоча б одному іншому критерію. Рішення, що входять до множини Парето, також називають парето-ефективними.
Домінування рішення над за Парето позначається як , або , або . В багатьох випадках пошук парето-оптимальних рішень є вкрай трудомісткою задачею. Тому введемо поняття «слабкого» парето-оптимального рішення або рішення, оптимального за Слейтером.
Запис означає виконання покомпонентних нерівностей для всіх j=1(1)m, причому . Це означає, що компоненти першого вектора суворо більші за відповідні компоненти другого вектора . Домінування рішення над за Слейтером позначається як , або , або . Хоча рішення, оптимальні за Слейтером, менш цікаві за оптимальні за Парето, але в багатьох випадках при вирішенні задач багатокритеріальної оптимізації отримуються саме такі рішення. Як при пошуку парето-оптимальних рішень, так і при пошуку рішень, оптимальних за Слейтером, необхідно враховувати узгодженість побажань ОПР. Тобто, ОПР зацікавлений в отриманні максимальних значень всіх компонентів векторного критерію f. Геометрична інтерпретація принципу Еджворта-Парето наведена на рис. 1.1. Рисунок 1.1 – Відношення між множинами допустимих, оптимальних за Слейтером, парето-оптимальних та обираємих рішень 1 2 3 |