Математичне моделювання та оптимізація інформаційних процесів
Місією вивчення дисципліни «Математичне моделювання та оптимізація
інформаційних процесів» студентами магістратури спеціальності
122
Комп’ютерні науки є надання їм знань і навичок, необхідних для побудови і дослідження математичних моделей складних інформаційних процесів, що мають місце в природних, технічних, екологічних, соціально-економічних та організаційних системах, навчання студентів, загальним підходам та методам математичного моделювання т оптимізації реальних систем та процесів.
Мета вивчення дисципліни «Математичне моделювання та оптимізація
інформаційних процесів» - виробити навики системного мислення у студентів та підготувати їх до рішення практичних задач аналізу та моделювання певної предметної області.
Змістовий модуль 1. Оптимізаційні та імітаційні математичні моделі.
Властивості, галузі застосування.
Тема 1. Структурна та параметрична ідентифікація та аналіз математичних моделей складних інформаційних систем і процесів. Аналітичні та імітаційні моделі. Детерміновані та стохастичні моделі.
Математичне моделювання є одним із основних сучасних методів дослідження (рис. 1.1). Загалом під моделюванням розуміють процес дослідження реальної системи, який включає побудову моделі, її аналіз і розв’язання та перенесення одержаних результатів на реальну систему.
Модель можна визначити як об’єкт, що в деяких відношеннях збігається з прототипом і є засобом опису, пояснення та/або прогнозування його поведінки.
Під математичною моделлю реальної системи (процесу) розуміється сукупність співвідношень (формул, рівнянь, нерівностей, логічних умов, операторів тощо), які визначають характеристики станів системи залежно від її параметрів, зовнішніх умов (вхідних сигналів, впливів), початкових умов та часу.
Загалом, за визначенням
В.М. Глушкова
, математична модель – це множина символічних математичних об’єктів і співвідношень між ними.
Розробка рекомендацій щодо удосконалення управління інформаційним процесом
Рис. 1.1 – Етапи розробки методики оптимального функціонування реальної системи і впровадження результатів
Інформаційні процеси – це послідовна зміна стану та (або) уявлення про
інформацію в результаті дій, які з нею можна виконувати.
Такими діями є – створення, збирання, зберігання, обробка, відображення, передавання, розповсюдження, використання, захист, знищення інформації. Під час інформаційного процесу дані перетворюються з одного виду в інший за допомогою певних методів.
Інформаційні процеси відбуваються при передачі інформації від джерела до приймача за допомогою каналу передачі.
Дослідження реального процесу, системи, явища, щоб з'ясувати, що потрібнозробити
Постановка задачі
Побудова математичної моделі процесу, який досліджується економіко-математичної моделі
Розв’язання за допомогою чисельних методів
Розв’язання за допомогою аналітичних методів
Аналіз розв’язків та визначення типу поведінки
Іншими словами, інформаційні процеси – це сукупність послідовних операцій (реєстрація, передача, накопичення, зберігання, оброблення, видача
інформації), дій і зв'язків з обміну інформацією, що здійснюються в системі комунікацій.
Взагалі, операцією називається будь-яка цілеспрямована дія. Отже, дослідження інформаційного процесу як сукупності операцій
це дослідження цілеспрямованих дій.
Досліджувати інформаційні процеси можна по-різному: просто обговорювати, як вирішувати проблеми, що виникають у процесі реалізації операції; або супроводжувати свої думки розрахунками, використовуючи математичні моделі тих або інших фрагментів операції.
Другий шлях є більш ефективним, а при оптимізації перебігу складних
інформаційних процесів – єдино можливим.
У залежності від того, якою мірою при дослідженні інформаційних процесів враховується час, розрізняють три види аналізу: статичний, порівняльної
статики і динамічний.
При статичному аналізі визначаються значення ендогенних параметрів
(керованих змінних) процесу на деякий момент часу. Таким чином,при статичному аналізі дослідника не турбує питання про час.
Якщо модель дозволяє визначити значення ендогенних параметрів у різні моменти часу, але при цьому не описується процес переходу від одного стану до
іншого, то це модель порівняльної статики.
У ході динамічного аналізу інформаційний процес досліджується за умови, що екзогенні (некеровані) параметри та ендогенні змінні розглядаються як функції від часу: y(t), P(t). Отже, динамічний аналіз вивчає розвиток процесів у часі. Це вивчення дає відповідь на важливе питання: яке буде стан процесу в наступний момент часу, з огляду на стан у даний момент часу?
У будь-якому випадку на першому етапі будь-якого дослідження
інформаційного процесу мають вивчатися взаємозв’язки між ендогенними та
екзогенними параметрами процесу в рамках побудови дескриптивної
(імітаційної ) моделі.
Однак застосовуються також оптимізаційні моделі для пошуку оптимального стану, якщо це потрібно для виконання поставлених перед дослідником задач, тобто моделі, які крім опису основних властивостей процесу містять деяку функцію мети функціонування.
Дослідження динаміки інформаційного процесу, тобто певного скінченого часового ряду спостережень за його розвитком, дозволяє не тільки визначити перспективи і можливі сценарії подальшого розвитку, але також розробити комплекс адаптивних впливів, виявити можливі резерви і скорегувати політику, яка має бути реалізована в управлінні реальним процесом.
Інструментальні засоби дослідження поведінки динамічних систем і процесів пропонують кілька математичних теорій, зокрема математична статистика, економетрія, прогнозування. Ця група дисциплін вивчає процеси та системи, ґрунтуючись на тому, що їх поведінка є суттєво стохастичною.
Стохастичний підхід припускає вивчення процесу в цілому як результат взаємодії стійких тенденцій і випадкових подій, що розвиваються за своїми законами.
На відміну від цього підходу знаного поширення набув підхід, при якому вважається, що інформаційні процеси за певних умов демонструють розвиток за деякими сталими (детермінованими) закономірностями, котрі є механізмом утворення поведінки. Для моделювання інформаційних процесів на основі такої концепції застосовуються різницеві, диференціальні, функціональні, інтегральні рівняння різних порядків і їх системи.
Характеристика конструктивних інструментальних засобів математичного
моделювання
Повертаючись до подання інформаційного процесу як сукупності операцій, зауважимо, що основою дослідження будь-якої операції, в тому числі операції з
(імітаційної ) моделі.
Однак застосовуються також оптимізаційні моделі для пошуку оптимального стану, якщо це потрібно для виконання поставлених перед дослідником задач, тобто моделі, які крім опису основних властивостей процесу містять деяку функцію мети функціонування.
Дослідження динаміки інформаційного процесу, тобто певного скінченого часового ряду спостережень за його розвитком, дозволяє не тільки визначити перспективи і можливі сценарії подальшого розвитку, але також розробити комплекс адаптивних впливів, виявити можливі резерви і скорегувати політику, яка має бути реалізована в управлінні реальним процесом.
Інструментальні засоби дослідження поведінки динамічних систем і процесів пропонують кілька математичних теорій, зокрема математична статистика, економетрія, прогнозування. Ця група дисциплін вивчає процеси та системи, ґрунтуючись на тому, що їх поведінка є суттєво стохастичною.
Стохастичний підхід припускає вивчення процесу в цілому як результат взаємодії стійких тенденцій і випадкових подій, що розвиваються за своїми законами.
На відміну від цього підходу знаного поширення набув підхід, при якому вважається, що інформаційні процеси за певних умов демонструють розвиток за деякими сталими (детермінованими) закономірностями, котрі є механізмом утворення поведінки. Для моделювання інформаційних процесів на основі такої концепції застосовуються різницеві, диференціальні, функціональні, інтегральні рівняння різних порядків і їх системи.
Характеристика конструктивних інструментальних засобів математичного
моделювання
Повертаючись до подання інформаційного процесу як сукупності операцій, зауважимо, що основою дослідження будь-якої операції, в тому числі операції з
опрацювання інформації, є її математична модель, що відбиває взаємозв'язки різних факторів і осіб, які беруть участь в операції.
Найпростішим видом операції є така. Нехай є сторона, в інтересах якої проводиться операція.
Сама операція ототожнюється з вибором стратегії х, що належить множині припустимих стратегій Х.
Нехай є також критерій ефективності f(x), що визначає, наскільки задовільно виконана операція.
Потрібно вибрати таку стратегію з множини припустимих стратегій Х, щоб критерій ефективності виконання операції f(x) приймав екстремальне значення.
Формально задача може бути записана у вигляді: extr f(x); x
X.
(1.1)
Якщо Х
Е
n
, де Е
n
n-вимірний евклідів простір, то задача (1.1) є задачею математичного програмування.
У приведеній операції відсутні невизначеності, і ефективність визначається вибором стратегії сторони, яка бере участь в операції.
Математичне програмування є одним з основних інструментів математичного моделювання. Роль математичного програмування полягає в знаходженні надійних методів розв’язування відповідних математичних задач
(моделей).
Об’єктом математичного програмування є задачі на визначення екстремальних значень деяких параметрів. Дійсно, кожна велика система та процес функціонують заради досягнення певної мети.
В ідеальному випадку ступінь досягнення цієї мети і вся сукупність операцій, що відбуваються в системі для цього, мають кількісну міру, тобто можуть бути описані математично. Деякі з таких кількісних характеристик, позначимо їх через c
k
, можуть бути незмінними
це так звані екзогенні параметри задачі.
Найпростішим видом операції є така. Нехай є сторона, в інтересах якої проводиться операція.
Сама операція ототожнюється з вибором стратегії х, що належить множині припустимих стратегій Х.
Нехай є також критерій ефективності f(x), що визначає, наскільки задовільно виконана операція.
Потрібно вибрати таку стратегію з множини припустимих стратегій Х, щоб критерій ефективності виконання операції f(x) приймав екстремальне значення.
Формально задача може бути записана у вигляді: extr f(x); x
X.
(1.1)
Якщо Х
Е
n
, де Е
n
n-вимірний евклідів простір, то задача (1.1) є задачею математичного програмування.
У приведеній операції відсутні невизначеності, і ефективність визначається вибором стратегії сторони, яка бере участь в операції.
Математичне програмування є одним з основних інструментів математичного моделювання. Роль математичного програмування полягає в знаходженні надійних методів розв’язування відповідних математичних задач
(моделей).
Об’єктом математичного програмування є задачі на визначення екстремальних значень деяких параметрів. Дійсно, кожна велика система та процес функціонують заради досягнення певної мети.
В ідеальному випадку ступінь досягнення цієї мети і вся сукупність операцій, що відбуваються в системі для цього, мають кількісну міру, тобто можуть бути описані математично. Деякі з таких кількісних характеристик, позначимо їх через c
k
, можуть бути незмінними
це так звані екзогенні параметри задачі.
Інші мають характер змінних величин, детермінованих чи випадкових.
Незалежні змінні завжди поділяють на дві групи:
1) х j
(j=1,2,...,n)
керовані змінні, значення яких можна змінювати у деякому
інтервалі;
2) y i
(i=1,2,...,m)
некеровані змінні, значення яких не залежать від волі людей і визначаються комплексом зовнішніх умов або параметрами системи; їх можна вважати змінними параметрами задачі і розглядати як підгрупу в даній групі всіх параметрів.
Функціональна залежність між величиною F, якою вимірюється ступінь досягнення мети функціонування, і незалежними змінними та параметрами процесу(системи), що розглядається:
F=f(х j
, y i
, c k
, t)
(1.1) називається цільовою функцією, або функцією ефективності,.
Задача полягає в тому, щоб вибрати такі значення керованих змінних х j
, які б надавали функції ефективності екстремальне значення, тобто слід знайти
F*=
j x
extr f(х j
, y i
, c k
, t).
(1.2)
Однак, можливості вибору керованих змінних практично завжди обмежені.
Ці обмеження залежать насамперед від зовнішніх щодо системи умов, а також і від параметрів самого процесу. Усі ці обмеження в ідеальному випадку задаються системою математичних рівностей та нерівностей такого типу: g
r
(х j
, y i
, a k
, t)
0, (r=1,2,...,R).
(1.3)
Система (1.3) називається системою обмежень, або системою умов задачі.
Вирази (1.2) та (1.3) і складають математичну модель процессу (системи, явища), що досліджується.
При створенні математичної моделі необхідно дотримуватися загального правила: врахувати все істотне, суттєве в реальному явищі чи процесі, які досліджуються, і нехтувати всім другорядним, неістотним.
Всякий набір змінних (х
1
, х
2
,..., х n
), що задовольняє систему обмежень (1.3), називається планом. Очевидно, кожний такий план зумовлює певний спосіб, стратегію, програму дій його реалізації, певне рішення щодо реалізації стосовно роботи системи. Саме з словом “програма” (дій) і пов’язана назва «математичне програмування».
Сукупність усіх розв’язків системи (1.3), тобто множина всіх планів, утворює область існування планів або область визначення задачі математичного програмування.
План, що надає функції ефективності екстремального значення, називається оптимальним. Оптимальний план і є розв’язком задачі математичного програмування (1.1), (1.3).
Зокрема, може бути, що система (1.3) має лише один єдиний розв’язок. У такому випадку, очевидно, не виникає задачі вибору оптимального плану, тобто задачі математичного програмування як такої, немає, оскільки може бути реалізований єдиний спосіб дій, що визначається єдиним алгебраїчним розв’язком системи (1.3).
1.1 Класифікація задач математичного програмування
У залежності від властивостей критерію ефективності (функції мети) і обмежень математичне програмування можна розглядати як ряд самостійних дисциплін, що займаються вивченням і розробкою методів розв’язання визначених класів задач.
Насамперед задачі математичного програмування поділяються на задачі лінійного і нелінійного програмування. Якщо функція мети й обмеження лінійні, то відповідна задача є задачею лінійного програмування. Якщо хоча б одна з цих
функцій нелінійна, то задача відноситься до класу задач нелінійного програмування.
Найбільш вивченим розділом математичного програмування є лінійне програмування. Для розв’язання задач лінійного програмування розроблений цілий ряд ефективних методів і алгоритмів.
Серед задач нелінійного програмування найбільш глибоко вивчені задачі опуклого програмування. Це задачі, у результаті розв’язання яких визначається мінімум опуклої (або максимум увігнутої) функції, заданої на опуклій замкнутій множині.
У свою чергу, серед задач опуклого програмування більш докладно досліджені задачі квадратичного програмування. У результаті розв’язання визначається максимум (або мінімум) квадратичної функції за умови, що її змінні задовольняють деяку систему лінійних нерівностей або рівностей.
Окремими класами задач математичного програмування є задачі цілочисельного, параметричного і дрібно-лінійного програмування.
У задачах цілочисельного програмування невідомі можуть приймати тільки цілочисельні значення.
У задачах параметричного програмування цільова функція і/або функції, що визначають область можливих змін змінних, залежать від деяких параметрів.
У задачах дрібно-лінійного програмування цільова функція являє собою відношення двох лінійних функцій, а функції, що визначають область можливих змін змінних, також лінійні.
Виділяють окремі класи задач стохастичного програмування і динамічного програмування. Якщо в цільовій функції або у функціях, що визначають область можливих змін змінних, утримуються випадкові величини, то така задача відноситься до задач стохастичного програмування.
Задача, процес визначення розв’язку якої є багатоетапним, відноситься до класу задач динамічного програмування.
Найбільш вивченим розділом математичного програмування є лінійне програмування. Для розв’язання задач лінійного програмування розроблений цілий ряд ефективних методів і алгоритмів.
Серед задач нелінійного програмування найбільш глибоко вивчені задачі опуклого програмування. Це задачі, у результаті розв’язання яких визначається мінімум опуклої (або максимум увігнутої) функції, заданої на опуклій замкнутій множині.
У свою чергу, серед задач опуклого програмування більш докладно досліджені задачі квадратичного програмування. У результаті розв’язання визначається максимум (або мінімум) квадратичної функції за умови, що її змінні задовольняють деяку систему лінійних нерівностей або рівностей.
Окремими класами задач математичного програмування є задачі цілочисельного, параметричного і дрібно-лінійного програмування.
У задачах цілочисельного програмування невідомі можуть приймати тільки цілочисельні значення.
У задачах параметричного програмування цільова функція і/або функції, що визначають область можливих змін змінних, залежать від деяких параметрів.
У задачах дрібно-лінійного програмування цільова функція являє собою відношення двох лінійних функцій, а функції, що визначають область можливих змін змінних, також лінійні.
Виділяють окремі класи задач стохастичного програмування і динамічного програмування. Якщо в цільовій функції або у функціях, що визначають область можливих змін змінних, утримуються випадкові величини, то така задача відноситься до задач стохастичного програмування.
Задача, процес визначення розв’язку якої є багатоетапним, відноситься до класу задач динамічного програмування.
1.2 Оптимізаційні моделі та інтуїція дослідника
У різних галузях науки математичне моделювання є безперечним робочим
інструментом. Подальший розвиток багатьох дисциплін без неї просто неможливий. Разом з тим більшість практиків вважають, що суху теорію потрібно скоріше забути, тому що вона не придатна для грубої дійсності, і що кращий вчитель
досвід. Така оцінка математичних теорій і моделей ігнорує той факт, що навіть найкращий управлінець мислить моделями, оскільки постійно може тримати в полі зору лише деякі й сильно агреговані взаємозв'язки реальності, яка його оточує.
Навіть багаторічний практичний досвід і підприємницьке чуття можуть виявитися недостатніми в умовах безперервної економічної динаміки, що висуває все нові вимоги.
Оптимізаційні математичні моделі націлені на максимізацію прибутку
(ефективності) або мінімізації витрат (ресурсів). Вони побудовані таким чином, щоб можна було використовувати оптимізаційний алгоритм і одержати оптимальну практичну рекомендацію. Їхній недолік полягає в змушеному спрощенні дійсності, оскільки визначення параметрів моделі повинне бути орієнтоване на забезпечення можливості реалізації рішень. Проте оптимізаційні моделі в порівнянні з інтуїтивними умоглядними моделями практиків мають значні переваги:
не допускають логічних помилок, тому що можуть бути математично перевірені на наявність порушень логіки;
є безкомпромісними й не містять нічого зайвого, зводять проблему до
її суті й сприяють вираженню основних взаємозв'язків цілей і засобів.
Математичні моделі забезпечують систематичне осмислення проблем і дозволяють одночасно враховувати всі або найбільш важливі фактори, що впливають на прийняття управлінського рішення.
1.3 Контрольні запитання
1. Знайдіть в тексті всі виділені терміни та надайте їх визначення.
2. Поясніть різницю між керованими та некерованими змінними.
3. Назовіть основні складові математичної моделі.
4. Наведіть класифікацію задач математичного програмування.
5. Якою є основна мета обчислювального експерименту в математичному моделюванні?
6. У чому різниця між екзогенними та ендогенними змінними?
7. Які види аналізу застосовуються при дослідженні інформаційних процесів
8. Назвіть відмінності у застосуванні детермінованого та стохастичного підходу при моделюванні складних інформаційних процесів.
9. Надайте характеристику математичного апарату, що застосовується при моделюванні інформаційних процесів?
10. Наведіть приклад лінійної функції.
11. Наведіть приклад нелінійної функції.
12. Що таке випадкова величина?
Завдання для самостійної роботи
1. Сформулюйте основну задачу науки
2. Визначте економічний, геометричний та фізичний смисл першої та другої похідної функції однієї змінної. Складіть таблиці перших похідних та первісних основних функцій.
3. Випишіть основні типи звичайних диференційних рівнянь першого порядку та основні правила інтегрування диференційних рівнянь.