ЕЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
Лекція 2-2
План лекції
1. Ефект Холла
2. Закон повного струму для магнітного поля у вакуумі.
3. Магнітний потік. Теорема Остроградського-Ґаусса.
4. Робота при переміщенні провідника зі струмом у магнітному полі.
1.Ефект Холла
У 1879 р. Е. Холл здійснив такий експеримент. Він пропускав електричний струм через золоту пластинку у вигляді паралелепіпеда і вимірював різницю потенціалів між точками CіDна верхній і нижній гранях (рис. 1).
Ці точки лежать у одному і тому поперечному перерізі пластинки.
Колипластинку зі струмом Холл помістив в однорідне магнітне поле, лінії магнітної індукції якого перпендикулярні до бічних граней пластинки, то було встановлено, що виникає різниця потенціалів
і вона прямопропорційна силі струму , магнітній індукції поля і обернено пропорційна ширині b пластинки, тобто
,де
- коефіцієнт пропорційності і названий сталою Холла. Явище, яке експериментально виявив Холл, дістало назву ефект Холла.Наступні дослідження показали, що ефект Холла спостерігається в усіх провідниках і напівпровідниках. Зміна напрямку струму або напрямку магнітного поля на протилежний викликає зміну різниці потенціалів .
Розглянемо, як можна пояснити ефект Холла. Помістимо металеву пластинку зі струмом густиною
в магнітне поле з індукцією 
, лінії індукції якого перпендикулярні до . На електрони діє сила Лоренца, яка напрямлена вниз і дорівнює: 
. Тому на нижній границі пластинки збиратиметься нескомпенсований негативний заряд і вона заряджатиметься негативно, а на верхній границі пластинки виникатиме нестача негативних зарядів і вона заряджатиметься позитивно. Внаслідок цього між краями пластинки виникає додаткове поперечне електричне поле, напрямлене зверху вниз. Розглянемо момент динамічної рівноваги, коли сили 
і 
, з якими діють на електрони магнітне поле та холлівське електричне поле, стануть рівними (ця рівність настає вже через 
с після замикання кола):
, 
, звідси
.Невідому швидкість
напрямленого руху виразимо через густину струму j: , 
.Тоді
.Помножимо ліву частину виразу на ab, а праву на S:
.Оскільки
, а 
, то
.Порівнюючи цей вираз для з виразом, який отриманий на основі експерименту, отримуємо що стала Холла обернено пропорційна до добутку заряду електрона e на їх концентрацію n:
.За виміряними значеннями сталої Холла можна:
1) визначити концентрацію носіїв струму, якщо характер провідності і заряд носіїв струму відомі, а саме
.Так, для одновалентних металів виявилося, що концентрація електронів провідності збігається з концентрацією атомів.
Оскільки за електронною теорією питому електропровідність речовини обчислюють за формулою
,де
- рухливість носіїв заряду, то
, і 
,тобто добуток
визначає рухливість носіїв заряду.2) зробити висновок про природу провідності напівпровідників, оскільки знак сталої Холла збігається із знаком заряду q носіїв струму. При електронній провідності
, а при дірковій 
. Якщо в напівпровіднику водночас існують обидва типи провідності, то за знаком можна судити про те, який з них переважає.3) оцінити величину
середньої довжини вільного пробігу електронів:
,де
- питома електропровідність провідника, 
- середня швидкість теплового руху електронів у провіднику. Виявилось, що середня довжина вільного пробігу електронів
м, що на два порядки перевищує міжвузлові відстані в металі.2. Закон повного струму для магнітного поля у вакуумі. Вихровий характер магнітного поля.
Введемо циркуляцію вектора магнітної індукції. Циркуляцією вектора
по замкненому контуру називається інтеграл
,де
– вектор елемента довжини контуру, напрямлений вздовж обходу контуру, 
– проекція вектора на дотичну до контуру, 
– кут між векторами і .Розглянемо магнітне поле нескіченного прямолінійного провідника зі струмом І, що знаходиться у вакуумі (рис. 2).
Лінії магнітної індукції цього поля є кола, площини яких перпендикулярні до провідника, а центри лежать на осі провідника. Знайдемо циркуляцію вектора
вздовж кола радіуса r. У всіх точках кола вектор числово дорівнює 
і напрямлений по дотичній до кола, тому 
(α=0).Тоді
.Звідси можна зробити два висновки:
Магнітне поле прямолінійного струму – вихрове поле, бо циркуляція вектора
вздовж ліній індукції не дорівнює 0; Циркуляція вектора
магнітної індукції поля прямолінійного струму однакова вздовж будь-якої лінії індукції і дорівнює 
.Цю формулу можна використати до замкненого контуру L довільної форми, який охоплює нескінченно довгий прямолінійний провідник зі струмом І.
Надалі використовуватимемо таке правило знаків струмів: позитивним вважається струм, напрямок якого зв’язаний з напрямком обходу по контуру правилом свердлика; струм протилежного напрямку вважається негативним.
На практиці магнітне поле, переважно, створюється кількома провідниками, по яких проходять струми
, 
, 
тощо. На основі принципу суперпозиції магнітна індукція результуючого поля дорівнює
.Тоді
.Кожен з інтегралів, що стоїть під знаком суми, дорівнює або
, якщо струм охоплюється контуром, або 0, якщо струм не охоплюється контуром. Отже,
,де n – кількість провідників зі струмами, що охоплюються контуром L довільної форми. Кожний струм враховується стільки разів, скільки разів він охоплюється
контуром.
Наприклад, для системи струмів, зображених на рис. 3, а алгебраїчна сума струмів
.Рівняння
є математичним виразом закону повного струму для струмів провідності:циркуляція вектора
по довільному замкненому контуру дорівнює добутку магнітної сталої 
на алгебраїчну суму струмів, що охоплюються цим контуром.Отриманий вираз закону повного струму справедливий лише для магнітного поля у вакуумі, оскільки для поля у речовині слід враховувати молекулярні струми.
3. Магнітне поле тороїда і довгого соленоїда
Закон повного струму
можна використати для розрахунку магнітних полів тороїда і довгого соленоїда.
Тороїдом називають кільцеву котушку, витки якої намотано на осердя, що має форму тора (рис.4,а). Лінії магнітної індукції поля тороїда повинні мати форму кіл, центри яких лежать на прямій, що проходить через центр тороїда і перпендикулярна до площини рисунка.
Циркуляція вектора
вздовж кола радіусом r дорівнює (рис.4,б):
.Позначимо кількість витків обмотки тороїда N, а струм у ній - І.
Магнітне поле цілком локалізується всередині об’єму тороїда
. Коло радіусом r, яке лежить всередині тороїда, охоплює N провідників, струми в яких дорівнюють І і однаково напрямлені. Тому
.Отже,
і 
.Магнітна індукція поля всередині тороїда зменшується зі збільшенням відстані від його центра:
,
,де d – діаметр тора.
Індукція на основній лінії тороїда
дорівнює
,де n – кількість витків на одиницю довжини середньої лінії тороїда.
Розглянемо магнітну індукцію поля всередині соленоїда (рис. 5) – циліндричної котушки, яка складається з великої кількості витків, рівномірно намотаних на загальне осердя. Розглянемо соленоїд завдовжки l, що мaє N витків, по якому тече струм.
Циркуляція вектора
вздовж контуру у вигляді прямокутника ACDF, в якому сторона СD дуже віддалена від соленоїда і який охоплює всі Nвитків соленоїда, дорівнює 
.Інтеграл вздовж контуру ACDF можна подати у вигляді чотирьох інтегралів:
.Магнітне поле соленоїда практично локалізовано в його об’ємі і на великій відстані від соленоїда магнітна індукція поля дорівнюватиме нулю:
,А також
,тому що
. Тоді
.Вектори магнітної індукції в усіх точках всередині довгого соленоїда однакові, тобто числово рівні і мають однакові напрямки. Таке магнітне поле називається однорідним. Крім того, напрямок вектора індукції та переміщення збігаються, тому
. Отже,
.В результаті магнітна індукція поля всередині соленоїда у вакуумі дорівнює:
,де
– число витків на одиницю довжини соленоїда.4. Магнітний потік. Теорема Остроградського-Ґаусса
Потоком вектора магнітної індукції (магнітним потоком) через поверхню площею
dS називається скалярна фізична величина, яка дорівнює добутку проекції
вектора на напрямок нормалі 
до площни dS і величини цієї площадки:
,де
- проекція вектора на напрямок нормалі до площадки dS ( - кут між векторами і ) (рис. 5), 
– вектор, модуль якого дорівнює dS, а напрямок збігається з нормаллю до площадки dS.
може бути як позитивним, так і негативним залежно від знаку cos (визначається вибором позитивного напрямку нормалі ). Потік вектора магнітної індукції
через довільну поверхню S дорівнює
.Для однорідного поля і плоскої поверхні, розміщеної перпендикулярно до вектора
, 
і 
.Розрахуємо потік вектора
через переріз соленоїда. Всередині соленоїда індукція однорідного поля у вакуумі дорівнює
.Магнітний потік через один виток соленоїда площею S:
.Повний магнітний потік через соленоїд, який називається потокозчепленням
, дорівнює:
.В електродинаміці доводиться теорема Остроградського-Гаусса для магнітного поля у вакуумі: магнітний потік крізь довільну замкнену поверхню дорівнює нулю:
.Ця теорема є наслідком того, що лінії індукції будь-якого магнітного поля є замкненими кривими.
Покажемо справедливість теореми Остроградського-Гауса на простому прикладі. Розглянемо магнітне поле нескінченно довгого прямолінійного провідника зі струмом І. За замкнену поверхню S візьмемо поверхню прямого колового циліндра, вісь якого збігається з віссю провідника.
Лінії індукції магнітного поля прямолінійного струму є концентричними колами, центри яких лежать на осі провідника, а площини перпендикулярні до нього. Тому лінії індукції не перетинають ні бічної поверхні циліндра, ні його основ. Отже, в будь-якій точці поверхні циліндра проекція вектора
на напрямок нормалі до поверхні 
і 
.5. Робота при переміщенні провідника і контуру зі струмом у магнітному полі
На провідник зі струмом у магнітному полі діє сила Ампера. Якщо провідник не закріплено, то під впливом сили Ампера він переміщуватиметься у магнітному полі.
Обчислимо роботу dA, виконану силою Ампера при переміщенні елемента dl провідника зі струмом І у магнітному полі (рис.6).
Елемент провідника переміщується в напрямку сили
, яка діє на нього на відстані dx. Робота dА дорівнює
.За законом Ампера
.Тоді
.Сила
і переміщення 
напрямлені перпендикулярно до елемента провідника . Добуток 
– площа поверхні, яка описана елементом провідника dl при його переміщенні на dx.З рис. 6 видно, що
– проекція вектора на напрямок нормалі до площини dS.Добуток
– магнітний потік крізь поверхню dS. Тоді
.Вважаючи силу струму сталою і, інтегруючи цей вираз, отримаємо
.Робота, яку виконує сила Ампера при переміщенні в магнітному полі провідника, струм в якому постійний, дорівнює добутку сили струму на величину магнітного потоку крізь поверхню, яку описує провідник під час свого руху.
Знайдемо вираз для роботи, яку виконують сили Ампера при переміщенні в магнітному полі замкненого контура, по якому проходить постійний струм І.
Нехай внаслідок нескінченно малого переміщення контур С зайняв положення
(рис.7).
.Робота, яку виконує сила Ампера при переміщенні в магнітному полі замкненого контура, по якому проходить постійний струм, дорівнює добутку сили струму на зміну магнітного потоку крізь поверхню, обмежену контуром.
Розглянемо кілька прикладів.
1. Замкнений жорсткий
провідник поступально переміщується в магнітному полі так, що його площина залишається перпендикулярно до вектора 
. При цьому робота А, яка виконана при переміщені провідника з деякого початкового в кінцеве положення, дорівнює
.Оскільки вектор
перпендикулярний до площини замкненого провідника, то 
, 
,де
– площа поверхні, яка охоплена провідником. Тоді
,де
– магнітний момент струму Якщо поле однорідне, тобто
, то 
.2.Виймання замкненого провідника з струмом з магнітного поля. Якщо через контур, що охоплений замкненим струмом І, проходив магнітний потік
, то при вийманні провідника зміна магнітного потоку дорівнюватиме 
.Тоді
.3.Повертання замкненого провідника зі струмом в однорідному магнітному полі. Розглянемо провідник у вигляді кільця площею
. Припустимо, що спочатку площина контуру провідника перпендикулярна до вектора магнітної індукції і через контур проходить максимальний магнітний потік 
. Якщо повернути провідник навколо діаметра кільця на кут 
, то площина контуру розміститься паралельно вектору і жодна з них не пронизуватиме його. Отже, 
, 
. Тоді
.При повертанні рамки на кут
її кінцеве і початкове положення відрізнятимуться лише напрямком вектора відносно вектора магнітного моменту контуру 
і , 
. Тоді 
.