Лабораторна робота №15
Визначення декремента згасаючих коливань
Мета роботи. Дослідити основні характеристики згасаючих коливань.
Прилади та матеріали: маятник для отримання згасаючих коливань, міліметрова лінійка, секундомір.
Короткі теоретичні відомості.
У
реальній механічній коливній системі початково надана їй енергія при коливаннях зменшується внаслідок роботи по подоланню сил тертя. З часом максимальне зміщення коливного тіла від положення рівноваги, швидкість та прискорення зменшуються – коливання згасають (рис. 13.1). Такий коливний рух не є періодичним: стани коливної системи не повторюються. Тому при описі згасаючих коливань поняттями амплітуди, періоду і частоти можна користуватися тільки умовно.
Закон зменшення амплітуди залежить від характеру сил тертя. Найбільш простим і разом з тим достатньо поширеним є випадок, коли сила тертя прямо пропорційна швидкості υ:
, (1)де x – зміщення тіла від положення рівноваги; b– додатна константа, що характеризує силу тертя. У цьому випадку динамічне рівняння руху тіла має вигляд:
, (2)де m – маса тіла, -kx – сила, що повертає тіло до положення рівноваги (квазіпружна сила).
Рівняння (2) перепишемо як:
, (3)де
; 
; (
– частота власних коливань системи, що відбуваються без сили тертя). Розв’язок рівняння (3) шукатимемо у комплексній формі:
, (4)де А0 – зміщення у початковий момент часу t= 0, – величина, яку необхідно означити. Підставивши знайдений розв’язок (3) у диференціальне рівняння (4), отримаємо:
. (5)Оскільки множник
, то
. (6)Звідси
, (7)де
. (8)Підставивши (7) у (4), отримаємо
. (9)При великий силі тертя, якщо
, величина є уявною. Тоді величина it є дійсною і у відповідності із (9) зміщення x зменшуватиметься за експоненціальним законом: коливань не буде (рис. 13.2). Якщо тертя є невеликим (
), то величина – дійсна. Тоді 
і співвідношення (9) прийме вигляд 
.Дійсна і уявна частини цього виразу, тобто
та 
, є розв’язками рівняння (3). Лінійна комбінація 
, де с1 і с2 – довільні сталі, також буде розв’язком того ж рівняння.О
скільки функції синус і косинус відрізняються тільки значеннями аргументу, то розв’язок можна виразити тільки через одну із вказаних функцій:
, (10)де A0 та 0 – початкові амплітуда і фаза. Вони не залежать від властивостей системи, а визначаються початковими умовами, при яких почався рух.
Вираз (10) описує згасаючі коливання, для яких величину
(11)умовно називають амплітудою. Із (11) випливає, що з часом амплітуда згасаючих коливань зменшується за експоненціальним законом, причому при збільшенні коефіцієнта згасання коливань прискорюється. Тому величину називають коефіцієнтом згасання.
Циклічна частота згасаючих коливань визначається із співвідношення (8). Вона завжди є меншою частоти власних коливань системи 0.
Величину
(12)умовно називають періодом згасаючих коливань.
, де Т0 – період власних коливань при відсутності тертя.З (11) видно, що за час
(13)амплітуда згасаючих коливань зменшується в е раз. Цей час називають часом згасання (релаксації) коливань.
Ступінь зменшення амплітуди коливань за один період характеризують логарифмічним декрементом згасання . Він визначається як натуральний логарифм відношення двох послідовних амплітуд, розділених проміжком часу, що рівний періоду коливань Т:
, (14)де
– частота згасаючих коливань.Число коливань, здійснених системою за час згасання :
. (15)Тому логарифмічний декремент згасання можна означити як величину, обернену числу коливань, після здійснення яких амплітуда зменшується в е раз. Так, якщо = 0,01, то це означає, що коливання згасають (амплітуда зменшується в е разів) після здійснення 100 коливань.
Фізичною величиною, що характеризує енергетичні втрати системи, яка здійснює згасаючі коливання, є добротність Q: помножене на 2 відношення енергії, запасеної системою, до енергії, що втрачається нею за один період:
. (16)При малих значеннях , коли втрати енергії незначні, 0. У цьому випадку енергія системи рівна
. Тоді із (16) з урахуванням (12) отримаємо
(17)Застосувавши співвідношення (12), (14) і (15), можна отримати зв’язок добротності з іншими характеристиками коливань:
. (18)Із останньої рівності слідує, що добротність рівна числу коливань, здійснених за час згасання, збільшеному в раз. Так, якщо Ne = 100 коливань, то добротність системи Q= 314.
Порядок виконання роботи.
Визначити, які необхідно виконати прямі вимірювання для визначення логарифмічного декремента згасання. Скласти таблицю.
Ввімкнути установку, виміряти час 5 коливань.
Провести вимірювання амплітуд початкової та через n коливань.
Застосовуючи робочі формули
та 
визначити декремент згасання, логарифмічний декремент згасання, коефіцієнт згасання.
Назвати систематичні та випадкові похибки, що можуть бути допущені при вимірюванні.
Виконати обробку результатів експерименту. Зробити висновки.
Таблиця даних, результатів вимірювань та обчислень
| № досліду | φ1, º | φ1, рад | Δφ1, рад | φn, º | φn, рад | Δφn, рад | Т, с | k | Θ | ε |
| 1 | | | | | | | | | | |
| | | | ||||||||
| | | | ||||||||
| сер. знач. | | | | | | | | |||
| 2 | | | | | | | | | | |
| | | | ||||||||
| | | | ||||||||
| сер. знач. | | | | | | | | |||
| 3 | | | | | | | | | | |
| | | | ||||||||
| | | | ||||||||
| сер. знач. | | | | | | | |
Контрольні питання.
Коливні процеси. Гармонічний коливний рух. Числові характеристики гармонічних коливань.
Кінематичні і динамічні рівняння гармонічних коливань. Зміщення точки, швидкість, прискорення, квазіупружна сила.
Згасаючі коливання. Рівняння згасаючих коливань.
Основні характеристики згасаючих коливань, їх фізичний зміст.
Методика дослідження. Принцип будови і дії установки для визначення декремента і коефіцієнта згасання коливань.
Виведення робочих формул.
Література.
Практикум по общей физики. Под ред. В.Ф. Ноздрева. – М.: Просвещение, 1971.
Физический практикум. Под ред. Г.С. Кембровского. – Минск: Университетское, 1986. – С.99-104.
И.В. Савельев. Курс общей физики. Механика. Молекулярная физика. – М.: Наука, 1987.
М.М. Архангельский. Курс физики. Механика. – М., Просвещение, 1975.
Хайкін С.С. Фізичні основи механіки. – К.: Радянська школа, 1966.