Конспект лекцій для студентів механіко-математичного факультету 2

2
УДК 519.61(075.8)
ББК 22.161.68я73
П58
Р е ц е н з е н т и : д-р фіз.-мат. наук, проф. А. А. Глущенко, д-р фіз.-мат. наук, проф. С. І. Ляшко
Рекомендовано до друку вченою радою
механіко-математичного факультету
(протокол № 11 від 01 липня 2011 року)
Попов В. В.
П58
Методи обчислень : конспект лекцій для студентів механіко- математичного факультету / В. В. Попов. – К. : Видавничо- поліграфічний центр "Київський університет", 2012. – 303 с.
ISBN 978-966-439-526-4
Викладено сучасні інструментальні можливості розв'язування мате- матичних задач у числовому й аналітичному вигляді. Містить усі розділи наближених обчислень – від числових методів у алгебрі до числових ме- тодів у математичній фізиці.
Для студентів механіко-математичного факультету.
УДК 519.61(075.8)
ББК 22.161.68я73
ISBN 978-966-439-526-4
© Попов В. В., 2012
© Київський національний університет імені Тараса Шевченка,
ВПЦ "Київський університет", 2012

3
Зміст
Від автора......................................................................................
Вступ ..............................................................................................
Похибки.........................................................................................
Системи лінійних алгебраїчних рівнянь................................
Прямі методи ................................................................................................
Метод виключення Гаусса................................................................
Метод оптимального виключення ...................................................
Метод факторизації ...........................................................................
Метод квадратного кореня................................................................
Метод прогонки .................................................................................
Ітераційні методи.........................................................................................
Метод простої ітерації.......................................................................
Метод Зейделя....................................................................................
Урахування похибок заокруглення........................................................
Міра обумовленості...........................................................................
Ітераційне покращення наближеного розв'язку..............................
Регуляризація СЛАР..........................................................................
Алгебраїчна проблема власних значень.................................
Повна проблема власних значень...........................................................
Метод обертань..................................................................................
Часткова проблема власних значень.....................................................
Ітераційно-степеневий метод ...........................................................
Нелінійні рівняння......................................................................
Одновимірні рівняння................................................................................
Метод Ньютона..................................................................................
Модифікований метод Ньютона ......................................................
Метод січних ......................................................................................
Метод дихотомії.................................................................................
Метод хорд .........................................................................................
Метод простої ітерації.......................................................................
Система рівнянь ..........................................................................................
Метод Ньютона..................................................................................
Метод простої ітерації.......................................................................

4
Наближення функцій..................................................................
Системи Чебишова......................................................................................
Узагальнена теорема Ролля ..............................................................
Достатні умови систем Чебишова....................................................
Існування та єдиність розв'язку задачі інтерполювання................
Приклади систем Чебишова .............................................................
Інтерполяційні многочлени......................................................................
Інтерполяційний многочлен у формі Лагранжа .............................
Інтерполяційний многочлен у формі поділених різниць...............
Інтерполяційні многочлени у формі скінченних різниць..............
Збіжність інтерполяційних многочленів .........................................
Інтерполяційні сплайни.............................................................................
Побудова інтерполяційних кубічних сплайнів...............................
Екстремальна властивість інтерполяційних кубічних сплайнів..........................................................................................................
Збіжність інтерполяційних сплайнів ...............................................
Числове диференціювання ........................................................
Побудова формул числового диференціювання .................................
Використання інтерполяційних функцій ........................................
Метод невизначених коефіцієнтів ...................................................
Некоректність задачі числового диференціювання...........................
Числове інтегрування ................................................................
Квадратурні формули ................................................................................
Інтерполяційні квадратурні формули з
фіксованими вузлами ..........................................................................................
Побудова квадратурних формул ......................................................
Приклади побудови квадратурних формул.....................................
Квадратурні формули Ньютона–Котеса..........................................
Оцінка похибки квадратурних формул Ньютона–Котеса .............
Узагальнені інтерполяційні квадратурні формули ...........................
Узагальнена квадратурна формула трапецій ..................................
Узагальнена квадратурна формула Сімпсона.................................
Інтерполяційні квадратурні формули найвищого
алгебраїчного степеня точності ........................................................................
Теорема про квадратурні формули найвищого алгебраїчного степеня точності ............................................................................................
Похибка квадратурних формул найвищого алгебраїчного степеня точності ............................................................................................
Побудова квадратурних формул найвищого алгебраїчного степеня точності ............................................................................................
Квадратурні формули типу Гаусса ..................................................

5
Наближене розв'язування звичайних диференціальних
рівнянь ...............................................................................................
Початкова задача ........................................................................................
Метод послідовних наближень ........................................................
Степеневий метод ..............................................................................
Методи типу Рунге–Кутта ................................................................
Методи типу Адамса .........................................................................
Крайова задача.............................................................................................
Метод редукції до задачі Коші.........................................................
Проекційні методи.............................................................................
Варіаційні методи ..............................................................................
Метод скінченних різниць ................................................................
Числове розв'язування диференціальних рівнянь із час-
тинними похідними..........................................................................
Метод скінченних ріниць для ДРЧП .....................................................
Побудова РС із використанням формул числового диференціювання ..........................................................................................
Побудова РС інтегро-диференціальним методом
(методом балансу).........................................................................................
Побудова РС методом невизначених коефіцієнтів ........................
Дискретизація крайових умов методом фіктивної точки ..............
Дискретизація крайових умов методом підвищення порядку апроксимації ..................................................................................................
Рівномірна стійкість за початковими даними ............................................................................................................
Апроксимація РС ...............................................................................
Ознаки стійкості РС...........................................................................
Способи дослідження стійкості РС..................................................
Параболічні рівняння.................................................................................
Одновимірні рівняння .......................................................................
Багатовимірні рівняння .....................................................................
Поздовж-поперечна схема ................................................................
Локально-одновимірна схема ...........................................................
Еліптичні рівняння.....................................................................................
Гіперболічні рівняння................................................................................
Одновимірні рівняння .......................................................................
Багатовимірні рівняння .....................................................................
Числове розв'язування інтегральних рівнянь ......................
Числове розв'язування коректних інтегральних рівнянь ...............
Метод квадратур ................................................................................

6
Методи заміни шуканої функції.......................................................
Метод заміни ядра виродженим.......................................................
Метод послідовних наближень ........................................................
Регуляризація інтегральних рівнянь, стабілізатор Тихонова.........
Основи методу граничних інтегральних рівнянь ................
Основні співвідношення теорії потенціалу ..........................................
Ньютонів потенціал...........................................................................
Потенціал простого шару..................................................................
Потенціал подвійного шару..............................................................
Поведінка потенціалу простого шару та його нормальної похідної при перетинанні шару ...................................................................
Поведінка потенціалу подвійного шару при перетинанні шару...
Потенціали простого і подвійного шару у двовимірному просторі та їх зв'язок з інтегралом типу Коші ...........................................
Інтегральні формули..........................................................................
Метод потенціалу................................................................................
Метод граничних інтегральних рівнянь для задач теорії
потенціалу...............................................................................................................
Метод граничних інтегральних рівнянь для крайових задач
аналітичних функцій комплексної змінної ...................................................
Метод граничних інтегральних рівнянь для крайових задач
узагальнених аналітичних функцій комплексної змінної.........................
Метод граничних інтегральних рівнянь і
апроксимація розв'язку ......................................................................................
Приклад використання методу граничних
інтегральних рівнянь ..........................................................................................
Мішана задача для гармонічної функції на півплощині................
Особливості числової реалізації МГІР
Основи методу скінченних елементів .....................................
Одновимірні крайові задачі......................................................................
Список літератури

7
ВІД АВТОРА
Дисципліна "Методи обчислень" викладається на механіко- математичному факультеті студентам IV курсу і вміщує всі розділи наближених обчислень – від числових методів у алгебрі до число- вих методів у математичній фізиці. Сучасні інструментальні мож- ливості розв'язування математичних задач в числовому та аналітич- ному вигляді значно перевершують свої аналоги, скажімо, 25-річної
"давнини". Користувачі пакетів Mathlab, Maple, Mathematica, SPSS тощо можуть достатньо успішно розв'язувати прикладні математи- чні задачі. Але "чорні ящики" цих пакетів напаковані конкретними алгоритмами, зміст яких часто прихований. Звичайно, користувач цих прогресивних пакетів має розумітися у вибраних процедурах
(хоча б за їх назвою). Знання методів обчислень дозволяють корис- тувачам критично ставитися до пакетів обчислень: якісно вибирати ті чи інші процедури, або, навпаки, – навіть відмовлятися від них у спеціальних випадках. Тут доречна думка англійського філософа
Роджера Бекона "… той, хто не знає математики, не може знати
ніякої іншої науки…". Крім того, яскраві ідеї методів обчислень за- слуговують на окрему увагу творчої особи.
Лекційний матеріал згруповано за темами, кожній із яких при- свячено певну кількість занять. Нумерація формул проста й поно- влюється з кожною темою. Нумерація таблиць і рисунків непере- рвна. Список літератури – загальний для всіх тем, але на початку тем дано посилання на конкретні бібліографічні джерела з цього загального списку. Завдання для самостійної роботи студентів су- проводжуються значком ". Початок і кінець розв'язування при- кладів позначаються символами □ і ■ відповідно.
Автор вдячний студентам, які уважно слухали лекції, ставили ці- каві питання, створювали та аналізували свої контрприклади, що без сумніву позитивно вплинуло на методологічний характер лекцій.
Особливо вдячний автор професору А. А. Глущенку, який завжди уважно ставився до методології викладання предмета і дав багато корисних порад.
Автор сподівається, що запропоновані лекції принесуть ко- ристь студентам, викладачам та спеціалістам.

8
Вступ
Дисципліна "Методи обчислень" закумулювала в собі алго- ритми побудови наближених розв'язків різних математичних задач сучасної математики: алгебри, математичного аналізу, диференціальних та інтегральних рівнянь тощо. Ці наближені розв'язки отримуються, як правило, у вигляді певних числових масивів, або у певному чисельно-аналітичному вигляді. Зви- чайно, виникають суттєві питання щодо якості наближених розв'язків: наскільки вони відрізняються від шуканих точних розв'язків, які фактори впливають на покращення (погіршення) очікуваного наближеного результату та, врешті-решт, як вико- нувати обчислення безпосередньо.
Методи обчислень мають довгу історію, яку можна умовно розбити на три етапи. Перший етап – до епохи Відродження – пов'язаний із необхідністю обчислень характеристик простих геометричних об'єктів (відстані, кути, площі, об'єми тощо), роз- рахунків простих механічних пристроїв та систем, обчислень в астрономії. На цьому етапі особливо помітні відкриття Архімеда
(287–212 р. до н.е.). Відомо, що саме він знайшов відрізок число- вої осі, у якому міститься число
π, надав йому прості у практич- ному використанні межі інтервалу (
71 10 3
;
7 1
3
). Відносна похибка запропонованого Архімедом наближеного значення
7 1
3
числа
π з цього відрізка становить усього 0,04 % . Вражає своєю точніс- тю досягнення давньогрецького філософа Гіпарха: 365 днів
5 годин 55 хвилин – така за його обчисленнями тривалість року на Землі. Ці дані відрізняються від сучасних лише на 0,001 %!
Серед відомих алгоритмів – алгоритм Евкліда щодо визначення

9
найбільшого спільного дільника натуральних чисел: віднімати від більшого менше із двох чисел доти, доки вони не зрівняються.
Другий
етап суттєво менший за розміром: від епохи Відро- дження до середини ХХ століття. Але за кожним іменем матема- тиків того періоду – значна кількість видатних досягнень! Серед них Ньютон, Ейлер, Лагранж, Гаусс, Левер'є, Адамс, Бубнов, Га- льоркін, Крилов та ін. І цей список видатних імен далеко не по- вний. Їхні дослідження стали вагомим внеском в обчислювальну математику. Саме у другому періоді з'явився математичний аналіз, диференціальні рівняння, що привело до можливості втілення но- вих інженерних проектів через розрахунки з високою точністю.
Третій
етап – від середини ХХ століття до нашого часу. Це етап постановки та розв'язування нелінійних задач, що відпові- дають складним математичним моделям процесів природи і технологій. Характерна риса цього етапу – систематичне вико- ристання комп'ютерів.
Об'єднує всі етапи так званий головний метод наближених
обчислень
, який можна описати на прикладі розв'язування де- якого операторного рівняння
f
Lu
=
, (1) де u – шуканий елемент множини U; f – елемент множини F, оператор L: U
→F. Припустимо, що рівняння (1) має єдиний розв'язок
*
u
. Розглянемо деяке операторне рівняння
f
u
L