ПІВДЕННОУКРАЇНСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМ. К. Д. УШИНСЬКОГО
РЕФЕРАТ
на тему:
«Історія виникнення диференціального і інтегрального числень»
Виконала: студентка 4-го курсу, група МФ
Греченко Тетяна Сергіївна
Перевірив: старший викладач кафедри
вищої математики і статистики
Калюжний-Вербовецький Дмитро Семенович
Одеса 2022
Зміст
Вступ
Історія
Стародавні часи
Середньовіччя
Сучасні часи
Розвиток диференціального числення
Застосування
Висновок
Список використанної літератури
Вступ
Диференціальне та інтегральне числення ( англ. Calculus, від лат. Calculus, дослівно «невеликий камінчик» - такий, що в рахівницях, який використовується для підрахунку) – є розділом математики, що вивчає збіжності послідовностей і рядів, неперервні дійсні функції й диференціальне та інтегральне числення дійсних функцій однієї змінної. Традиційно в інших країнах курс «числення» є вступом до математичного аналізу та інших курсів, які використовують диференціальне й інтегральне числення.
Диференціальне та інтегральне числення вивчає змінні, як геометрія вивчає форми, а алгебра — операції та їх застосування для розв'язання рівнянь. Його широко застосовують у науці, економіці й інженерії, до того ж використовують під час розв'язання багатьох задач, для яких однієї алгебри недостатньо.
Історично склалося так, що диференціальне та інтегральне числення називали «численням нескінченно малих». Прикладами інших відомих числень є: числення висловлювань, варіаційне числення, лямбда-числення тощо.
1.Історія
Сучасна теорія диференціального числення була розроблена в 17-му столітті в Європі Ісааком Ньютоном і Готфрідом Вільгельмом Лейбніцем (незалежно один від одного, і публікували це вперше приблизно в однаковий час), але елементи цієї теорії з'явилися ще в стародавній Греції, потім в Китаї і Середньому Сході, і згодом знов у середньовічній Європі і Індії.
1.1.Стародавні часи.
В стародавньому періоді історії з'явилися деякі ідеї, які згодом привели до появи інтегрального числення, але ці ідеї не розвинулися у точну і систематизовану теорію. Розрахунок об'єму і площі, що є однією із задач інтегрального числення, було знайдено у одному з єгипетських математичних папірусів (13-ї династії, близько 1820 р. до н.е.), але наведені формули є простими інструкціями, без описання методу, і в ньому бракує деяких основних компонент. В епоху давньогрецьких математиків, Евдокс (близько 408–355 р. до н.е.) використовував метод вичерпування, що є попередником поняття границі, для розрахунку площ і об'ємів, а Архімед (близько 287–212 до н.е.) розвинув цю ідею далі[en], і заснував методи евристики, які нагадують методи інтегрального числення. Метод вичерпування згодом незалежно від того було відкрито в Китаї математиком Лю Хуей у 3-му столітті н.е. для того, щоб знайти площу кола. В 5-му столітті н.е., Цзу Генчжи, син Цзу Чунчжи, заснував метод для знаходження об'єму сфери, який згодом назвали принципом Кавальєрі.
1.2. Середньовіччя
У Середньому Сході, Ібн аль-Хайсам (близько 965 – 1040 н.е.) отримав формулу для суми четвертих степенів. Він отримав результат, який би зараз назвали інтегруванням функції, і використав цю отриману формулу для розрахунку об'єму параболоїда. В 14-му столітті, індійські математики створили не строгий метод, що нагадує диференціювання, що застосовувався до деяких тригонометричних функцій. Таким чином, Мадхава із Сангамаграми і Керальська школа з Астрономії і Математики започаткували елементи числення. Повна теорія, яка містить ці компоненти тепер добре відома Західному світу як Ряд Тейлора або наближення нескінченних рядів. Однак, вони не змогли "об'єднати багато з цих різних ідей за допомогою двох загальних тепер понять похідної і інтеграла, показати зв'язок між ними двома, і не змогли перетворити числення у потужній інструмент вирішення задач, який ми маємо сьогодні".
1.3.Сучасні часи
В Європі фундаментальною роботою в цьому напряму був трактат Бонавентура Кавальєрі, який запропонував, що об'єми і площі треба розраховувати як суму об'ємів і площ нескінченно тонких розділених частин. Ідеї були схожими на ідеї Архімеда в праці Метод, але вважають що цей трактат було втрачено в 13-му столітті, і його знову було знайдено на початку 20-го століття, тому Кавальєрі він був не відомим. Робота Кавальєрі спочатку не набула загального визнання, оскільки його метод міг призвести до неправильних результатів, а нескінченно малі які він запропонував спочатку не сприйнли.
Приблизно в той самий час, разом із формальним дослідженням числення нескінченно малих Кавальєрі в Європі розвивалося поняття числення скінченних різниць. П'єр Ферма, стверджуючи що позичив це у Діофанта, запропонував поняття наближеної рівності, що означало рівність до деякої нескінченно малої похибки. Поєднати це змогли Джон Валліс, Ісаак Барроу, і Джеймс Грегорі, які згодом довели другу частину фундаментальної теореми числення близько 1670 р.
Ісаак Ньютон дослідив і використав числення у своїй роботі з законів динаміки і гравітації.
Такі поняття як правило добутку і ланцюгове правило, нотації похідних вищого порядку і ряди Тейлора, і аналітичні функції були запропоновані Ісааком Ньютоном у вигляді ідиосинкратичної нотації, яку Ньютон використовував для вирішення задач математичної фізики. У своїй роботі, Ньютон перефразував свої ідеї так, щоб вони відповідали математичним ідіомам того часу, замінивши розрахунки нескінченномалих еквівалентними геометричними аргументами, які, як вважалося, були поза сумнівами. Він використав методи числення для вирішення задачі руху планет, форми поверхні рідини, яка обертається, сплющеності Землі, переміщення ваги, що рухається по циклоїді, і для багатьох інших задач, що описав у своїй роботі з Начал математики (1687). В іншій роботі, він дослідив розкладання функцій за допомогою рядів, включаючи дробові і ірраціональні степені, і було очевидно, що він зрозумів принципи рядів Тейлора. Він не опублікував ці дослідження, і в той час методи числення нескінченномалих досі піддавалися дискусіям.
Готфрід Вільгельм Лейбніц був першим, хто опублікував свої результати з дослідження методів числення.
Готфрід Вільгельм Лейбніц впорядкував ці ідеї у справжнє числення нескінченномалих, хоча спочатку його звинувачували в плагіаті Ньютона. Тепер його вважають незалежним розробником, що вніс свій вклад в розвиток числення. Його вкладом було те, що він надав чіткий набір правил для роботи із нескінченномалими величинами, що дозволили розраховувати похідні другого і вищих порядків, і сформулював правило добутку і ланцюгове правило, в диференційній і інтегральній формах. На відміну від Ньютона, Лейбніц приділив увагу формалізму, часто витрачаючи на це цілі дні для пошуку правильних позначень для понять.
Сьогодні, обидва Лейбніц і Ньютон відзначені за свій незалежний вклад у започаткуванні числення. Ньютон був першим, хто застосував методи числення до загальної фізики, а Лейбніц розробив більшість нотацій, що використовуються сьогодні. Базовими уявленнями, які сформулювали обидва Ньютон і Лейбніц були правила диференціювання і інтегрування, похідні другого і вищих порядків, і нотації наближення за допомогою поліноміальних рядів. За часів Ньютона фундаментальна теорема числення вже була відома.
Коли Ньютон і Лейбніц опублікували вперше свої результати, відбулася велика суперечка щодо того, хто з математиків заслужив визнання за відкриття. Ньютон отримав свої результати першим (і згодом опублікував у роботі Метод флюксій), але Лейбніц опублікував свою роботу "Nova Methodus pro Maximis et Minimis" раніше за нього. Ньютон звинуватив Лейбніца, що той вкрав його ідеї з його не опублікованих записів, якими Ньютон поділився із декількома членами Лондонського королівського товариства. Ця полеміка розділяла англомовних математиків від математиків континентальної Європи багато років, що завдало шкоди англійській математиці. Уважне вивчення статей Лейбніка і Ньютона показує, що вони прийшли до своїх результатів незалежно, і в них Лейбніц спершу почав із інтегрування, а Ньютон з диференціювання. Однак саме Лейбніц дав цій новій дисципліні її сучасну назву. Ньютон називав це "наукою про флюксії".
Символ f(x) був введений Лейбніцом (1675 р.) Цей знак є зміною латинської букви S(першої букви слова «торба»). Само слово «інтеграл» придумав ще Бернуллі(1690р.) Ймовірно воно пішло від латинського integer, яке переводиться як повертати в колишній стан, відновлювати. Дійсно операція інтегруваання відновлює функцію, диференціюванням якої отримана підінтегральна функція.можлтво походження слова інтеграл інше: слово integer означає цілий.
У ході листування Брнуллі і Лейбніца погодилися з пропозицією Бернуллі. Тоді ж в 1696 р. з’явилася назва нової гілки математики – інтегральне числення (calculus integralis), яке ввів І. Бернуллі. Інші відомі нам терміни, о відносяться до інтегрального числення, з’явилися значно пізніше. Назва, що вживається зараз «первісна функція» замінило раніше «прімітивна функція», який ввів Лагранж(1797р.) Латинське слово primitivus переводиться як «початковий»: F(x) = - початкова( первина, або первісна) для функції f(x), яка виходить з функції F(x) диференціюванням.
У сучасній літературі множина всіх первісних для функції f(x) також називається невизначеним інтегралом. Це поняття виділив Лейбніц, який зазаначив, о всі первісні функції відрізняються на довільну сталу.
Із часів Лейбніца і Ньютона, багато математиків зробили свій внесок в розвиток числення. Одну із перших і більш повних робіт із числення нескінченномалих і інтегрального числення написала Марія Ґаетана Аньєзі в 1748 р..
Методи математичного аналізу активно розвивалися в наступному сторіччі (слід назвати імена Ейлера, що завершив систематичне дослідження інтеграції елементарних функцій і І. Бернуллі). У розвитку інтегрального числення взяли участь також такі вченні математики як М. В. Остроградський(1801-1862 рр.), В. Я. Буняковський (1804-1889 рр.), П. Л. Чебишев (1821-1894 рр.) Принципове значення мали, зокрема, результати Чебишева, який довів, що існують інтеграли, що не виражаються через елементарні функції.
Строгий виклад теорії інтеграла з’явився тільки в минулому столітті. Рішення цієїзадачі пов’язане з іменами О. Коші, одного з найбільших математиків німецького ученого Б. Рімана(1826-1866 рр), французького математика Г. Дарбу (1842 – 1917 рр.). Відовіді на багато питань, повязаних з існуванням площ і обємів фігур було отримано із створенням К. Жорданом (1826-1922 рр.) теорії міри.
Різні узагальнення поняття інтеграла вже на кінці нашого сторіччя були запропоновані французькими математиками А. Лебергом (1875-1941 рр.) і А. Данжуа (1884-1974 рр.) радянським математиком А Я.Хичиним(1894-1959 рр.)
2.Розвиток диференціального числення.
Диференціальне числення – розділ математики, в якому вивчають похідні, диференціали та їх застосування в дослідженні властивостей функцій. Формування диференціального числення повязано з іменами Ісаака Ньютона та Готфріда Лейбніца. Саме вони чітко сформували основні положення та вказали на взаємнообернений характер диференціювання та інтегрування. Створення диференціального числення( разом з інтегральним) відкрило нову епоху у розвитку математики. З цим повязанні такі дисципліни як теорія рядів, теорія диференціальних рівнянь та багато інших. Методи математичного аналізу знайшли використання у всіх розділах математики. Дуже поширилася область застосування математики у природничих науках та техніці.
Диференціальне числення базується на наступних найважливіших поняттях математики, визначення та дослідження яких і складають предмет введення до математичного аналізу: дійсні числа(числова пряма), функція, границя, неперервність. Всі ці поняття отримали сучасне трактування у ході розвитку й обгрунтування диференціального та інтегрального числень. Основна ідея диференціального числення складається у вивченні функції у малому. Точніше диференціальне числення дає апарат для дослідження функцій, поведінка яких у досить малому околі кожної точки близька до поведінки лінійної функції чи многочлена. Таким апаратом слугують центральні поняття диференціального числення: похідна і диференціал.
Відкриттю похідної і основ диференціального числення передували роботи французького математика і юриста П’єра Ферма, який у 1629 році запропонував способи знаходження найбільших і найменших значень функції, проведення дотичних до довільних кривих за допомогою похідної. Цьому сприяли також роботи Рене Декарта, який розробив метод координат і основи аналітичної геометрії. Лише в 1666 році англійський математик і механік Ісаак Ньютон і, дещо пізніше, видатний німецький філософ і математик Готфрід Лейбніц незалежно один від одного відкрили теорію диференцільного числення. Ісаак Ньютон прийшов до поняття похідної, розвязуючи задачі про миттєву швидкість, а Лейбніц – розглядаючи геометричну задачу про проведення дотичної до кривої. Термін «похідна» та його сучасне позначення ввів у 1797 році французький вчений Жозеф Луї Лагранж.визначну роль у розвитку диференціального числення відігравав Леонард Ейлер, який у праці «Диференціальне числення»(1755р.) використовував локальний екстремум, найбільші та найменші значення функції. Він перший почав використовувати грецьку букву дельта для позначення приросту аргумента і приросту функції.
За допомогою диференціального числення було розвязано низку задач теоретичної механіки, фізики, астрономії. Зокрема, використовуючи методи диференціального числення, вчені передбачили повернення комети Галлея, що стало тріумфом науки 18 ст. за допомогою саме цих методів математики у 18 та 19 ст. вивчали різні криві знайшли криву найшвидшого спуску матеріальної точки, навчилися визначати кривизну ліній. І сьогодні поняття похідної знаходить широке застосування в різних сферах науки та техніки
Перший друкований курс диференціального числення вийшов у світ в Парижі в 1696 р. під заголовком «Аналіз нескінченно малих». Його автор Г.Ф.Де Лопиталь. За основу цієї книги він взяв рукопис Йоганна Бернуллі, одного з найближчих співробітників Лейбніца.
3.Застосування
Числення застосовують у кожній області фізичних наук, актуарній математиці, комп'ютерних науках, статистиці, техніці, економіці, бізнесі, медицині, демографії, і інших областях, в яких задачу можна математично змоделювати і необхідно знайти оптимальне рішення. Це дозволяє перейти від (не постійних) швидкостей зміни до загальної зміни чогось і навпаки, і в багатьох прикладах вирішення задач ми знаємо щось одне і намагаємося знайти друге.
Фізика є особливим прикладом використання числення; всі поняття з класичної механіки і електромагнетизма співвідносяться за допомогою числення. Маса об'єкта відомої густини, момент інерції об'єктів, так само як загальна енергія тіла у потенційному полі можна знайти за допомогою числення. Прикладом використання числення в механіці є другий закон Ньютона: в історичному твердженні він напряму використовує термін «зміна руху» із чого випливає вислів Зміна моменту тіла дорівнює результуючій силі, що діє на тіло і має той самий напрям. Що зазвичай представляється сьогодні як Сила = Маса × прискорення, це приводить до диференційного числення, оскільки прискорення є похідною по часу для швидкості або і другою похідною від часу для траєкторії чи просторової позиції. Якщо починати із того, що відомо як прискорюється об'єкт, ми застосовуємо числення аби отримати його шлях.
Теорія електромагнетизму Максвела і загальна теорія відносності Ейнштейна також описуються за допомогою мови диференційного числення. В хімії використовують числення для визначення швидкостей реакції та радіоактивного розпаду. В біології, при побудові моделі динаміки популяції вивчають темпи відтворення і смерті.
Числення можна використовувати разом із іншими математичними дисциплінами. Наприклад, його можна застосовувати разом із лінійною алгеброю для знаходження «найкраще відповідне» лінійне наближення для відомої множини точок у деякій області значень. Або у теорії ймовірностей для знаходження ймовірності неперервної випадкової змінної із заданої функції щільності. В аналітичній геометрії, при вивченні графіків функцій, числення використовують для знаходження точок мінімуму і максимуму, нахилу, увігнутості і точок перегину.
Теорема Гріна, яка задає співвідношення між криволінійним інтегралом по простій замкненій кривій C і подвійним інтегралом по області на площині D, що обмежена кривою C, закладена у принцип дії інструменту відомого як планіметр, який використовують для вимірювання площі пласкої фігури на кресленні. Наприклад, його можна використати для розрахунку площі, яку займає квіткова клумба неправильної форми, або басейн при проектуванні.
Висновок
Виходячи з вищенаведеної інформації можемо зробити висновки, що актуальність диференціальних та інтегральних числень лише набуває своєї популярності. Область застосування значно ширша і виходить далеко за межі предмету математика. Диференціальне та інтегральне числення – це нова ступінь розвитку науки, яка ще досліджується.
Список використаної літератури
Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. Г. Вилейтнер. М.: ГИФМЛ, 1960. – 468 с
Бевз В. Історія математики у фаховій підготовці майбутніх учителів: монографія / В. Бевз. – К. : НПУ імені Драгоманова, 2005. – 360 с
Диференціальне та інтегральне числення : навч. посіб. / С. Банах ; пер. з пол. та ред. П.І. Каленюка, О.М. Рибицької. – Львів : Львівська політехніка, 2017. – 428 с. – ISBN 966-941-110-5.
Диференціальне та інтегральне числення функцій однієї змінної : навч.-метод. посіб. / [О. Я. Мильо та ін.] ; Львів. нац. ун-т ім. Івана Франка. - Львів : ЛНУ ім. І. Франка, 2011. - 267 с. : рис. - ISBN 978-966-613-860-9
Шмигевський М.В. Видатні математики. – Харків: Вид. гр. «Основа», 2004. – 176 с.
Юшкевич А.П. Из истории возникновения математического анализа. – М.: Знание, 1985. – 48 с