Міністерство освіти Республіки Білорусь
«Гомельський державний університет ім. Ф. Скорини »
Математичний факультет
Кафедра МПМ
Реферат
Розширення поняття числа у шкільному курсі математики Виконавець:
Студентка групи М-42
Малахова А.Ю.
аучний керівник:
Канд. фіз-мат. наук, доцент
Лебедєва М.Т.
Гомель 2007
Введення
Поняття числа - стрижневе
поняття шкільного курсу математики. Лінія розвитку поняття числа будується за принципом розширення
множини А до множини В, при якому: 1) А має бути підмножиною множини В; 2) операції над елементами з А ті ж, що і для елементів з В, але зміст тих операцій, які були тільки в багатьох А, незмінним, 3) в множині В повинна бути виконана
операція, яка в багатьох А була нездійсненна або не завжди здійсненна; 4) розширення В повинно бути мінімальним з усіх розширень безлічі А.
Викладання питань пов'язаних з розвитком вчення про число вчитель будує таким чином, щоб зрозуміла була зв'язок понять рівності, сума і твір, з одного боку, і поняття числа, з іншого. Таким чином, для
того щоб нові числа були рівноправними, необхідне введення визначення:
поняття рівності та встановлення критерію
порівняння нових чисел між собою і з раніше відомими числами;
поняття суми;
поняття твору.
Необхідно показати, що нові числа підлягають всім законам арифметичних дій, встановленим для досліджуваних раніше числах. Доцільність вводяться визначень ілюструють розглядом конкретних прикладів. Кожен етап розвитку числа складається з: 1)
мотивування (алгебраїчний або алгебраїчний; наприклад, поява негативних чисел - алгебраїчний, дробових чисел - практичний); 2)
підтвердження. Вивчення арифметики натуральних чисел засноване на наочності. Учні повинні твердо засвоїти, що будь-яке натуральне число може бути зображено точкою на координатному промені, але не будь-якої точці на цьому промені
відповідає натуральне число. Цей останній факт готує учнів до
розуміння необхідності введення нових чисел. Учні знайомляться з одним із властивостей безлічі натуральних чисел - нескінченністю. При вивченні законів арифметичних дій, для уникнення формалізму необхідно відзначити їх теоретичне значення. Зокрема, комутативними і асоціативний закони множення доцільно пов'язати з
геометричним матеріалом (обчисленням площ прямокутників, обсягом прямокутних паралелепіпедів).
2. Введення дробових чисел
Перше
розширення поняття числа - введення дробових чисел.
Пропедевтика звичайних дробів зводиться до ознайомлення учнів з такими питаннями, як частка одиниці, зображення дробів на координатному промені, правильні і неправильні
дроби, основна властивість дробів, подання натурального числа у вигляді дробу. Десятковий дріб розглядається як окремий
випадок звичайного дробу, як спосіб запису дробів зі знаменником виду
. Учні повинні
мати навички
читання і запису десяткових дробів, вміння записувати за допомогою коми числа виду
, Де
.
Порівняння дробів засноване на основному властивості звичайного дробу і дозволяє
встановити важливу властивість десяткових дробів, що складається в можливості приписування і відкидання нулів праворуч. Вивчення множення і ділення десяткових дробів починається з "простого" випадку множення і ділення дробу на натуральне число. На конкретних прикладах учні переконуються в тому, що і для цих чисел сенс операції зберігається.
3. Введення від'ємних чисел. Визначення властивостей дій над цілими числами
Наступне розширення поняття числа - знайомство учнів з негативними числами. З
методичної сторони введення негативних чисел особливих труднощів не представляє, тому що діти часто зустрічаються в житті. Найбільшу трудність у їх вивченні представляє обгрунтування дії над ними.
Введення поняття від'ємного числа вимагає дати визначення:
1)
модуля (мотивувати це можна на конкретному завданні) як відстань від точки, що зображає це число, до початкової точки. На підставі такої
геометричної інтерпретації пояснюється властивість модуля - він не може бути негативним, інакше кажучи, модуль числа - є число невід'ємне. Дуже часто учні вважають його числом позитивним, це можна пояснити відпрацюванням вчителя цього поняття, тому що дуже рідко поняття відстані зв'язується з початковою точкою (наприклад, на якій відстані знаходиться точка О від початкової точки?).
2)
протилежних чисел (Ця
інформація базується на понятті симетричних точок).
Порівняння позитивних і негативних чисел ілюструється конкретними прикладами і за допомогою
геометричних образів, що дозволяє підготувати учнів до введення
відповідних визначень. І так як множина раціональних чисел включає в себе безліч натуральних чисел, то
порівняння їх необхідно проводити таким же чином. (Нагадаємо: з двох натуральних чисел більше те з них, яке на координатній прямій правіше і навпаки, якщо числа рівні, то
відповідні їм точки збігаються).
У шкільному курсі визначення дії зазвичай дається у вигляді правила. Щодо операції додавання цілих чисел, окремо визначається складання чисел з різними знаками і складання негативних чисел. Для того щоб учнів підвести до визначення дії складання використовуються конкретні задачі на додавання чисел за допомогою координатної прямої.
Множення позитивних і негативних чисел представляє найбільшу трудність. Правило знаків, яке дається в школі, є по суті, своєрідним трактуванням визначення операції множення позитивних і негативних чисел, а твердження, які насправді представляють собою визначення нових понять, не можуть бути доведені!
Існує два шляхи тлумачення правила знаків: 1)
попередньо розглядається ряд завдань, вирішення яких вимагає проводити обчислення за формулою виду . (
). Недолік методу в тому, що: 1) в учнів створюється враження того, що проводиться
доказ правила множення, 2) допущена логічна помилка, бо формула
правильна для
; 2)
догматичний спосіб введення множення, що передбачає формування правила множення, яке потім пояснюється на прикладах і переконує учнів в доцільності введеного визначення.
Всі числа з якими учні ознайомилися, складають нове безліч раціональних чисел. Вводиться визначення раціонального числа, як дробу виду
, Де
. У цій безлічі здійсненні додавання, віднімання, множення і ділення на число, не
рівне нулю. При виконанні дейсвий отримуємо числа того ж мн-ва, тобто це мн-во має властивість замкнутості стосовно дій першого і другого ступеня.
Для складання справедливі: 1) переместительное закон
; 2) сочетательних закон
; 3) є нейтральний елемент
; 4)
, Тобто є протилежний елемент.
Для множення справедливі наступні закони: 1) переместительное; 2) розподільний
(Учням знайоме поняття алгебраїчної суми, тому немає необхідності говорити окремо про складання і вирахуванні), 3) сочетательних закон; 4)
- Нейтральний елемент; 5)
, - Зворотний елемент.
4. Введення ірраціонального числа. Методична схема введення дійсного числа
Наступне розширення поняття числа - ірраціональне число.
Відповідно до побудовою безлічі дійсних чисел по Дедекінду на безлічі раціональних чисел існують лише три види перетинів: 1) у В немає найбільшого, у В `найменше (розподіл безлічі раціональних чисел за кількістю, наприклад, 2), 2) у В є найбільше, у В `немає найменшого; 3) у В немає найбільшого числа, у В` немає найменшого
Приклад.
Доведемо, що у В немає найбільшого числа.
. Покажемо, що можна підібрати таке ціле додатне число n, для якого
, Тобто
- Довести.
Якщо для нерівності
знайдеться n, для якого воно справедливе, то буде вірно і таку нерівність: (*)
, Тобто число
Так як в безлічі раціональних чисел існує перетин третього типу, то воно не є повним. Це перетин визначає число ірраціональне. З геометричної точки зору цей факт означає, що на координатній прямій є точки, які не
відповідають жодним числах з безлічі раціональних чисел: безліч раціональних чисел недоладно.
У школі при введенні ірраціонального числа використовують наступний факт: відомо, що кожному раціональному числу r відповідає єдина точка M (r) прямий l, на якій задані: початок відліку, напрямок і масштаб. При цьому число
називається координатою точки M. Чи вірно зворотне твердження?
Відповідь ілюструється таким прикладом:
Доведемо, що точка М не відповідає ніякому раціональному числу.
, Що
суперечить тому, що
- Несократімой дріб визначення раціонального числа).
Ще один спосіб
докази ірраціональності числа
є побудова послідовних раціональних наближень цього числа по недоліку і з надлишку, які володіють наступними властивостями:
1) кожне число
послідовності (2) більше числа послідовності (1) з тим же номером: 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; .... (1)
1,5; 1,42; 1,415; 1,4143; .... (2)
2) послідовність (1) SHAPE \ * MERGEFORMAT
; (2) - SHAPE \ * MERGEFORMAT
3) різниця між членами
послідовностей з однаковими номерами необмежено зменшується за абсолютною величиною при збільшенні номери і дорівнює
.
Геометрично цей факт визначає зближення точок послідовності до
.
Інакше кажучи, члени послідовностей (1) і (2) утворюють неперіодичних десяткову дріб.
Методична схема введення дійсного числа: а) робиться спроба вирішення рівняння
, Тобто необхідно довести теорему: не існує ні цілого, ні дробового числа, квадрат якого дорівнював би числа 2
б) так як теорема доведена, то треба показати, що не існує цілого числа, квадрат якого дорівнює 2;
в) паралельно вводиться поняття дійсного числа на
геометричній основі, тобто в
процесі вимірювання відрізків (відшукання абсциси точки графіка
, Ордината якої дорівнює 2). Таке завдання призводить до проблеми вимірювання відрізка іншим, прийнятим за одиницю виміру;
г) вимір відрізка. Сумірні та неспівмірні відрізки. Десяткові наближення довжини відрізка;
д) нескінченні періодичні і неперіодичні дроби;
е) звернення звичайного дробу в нескінченну періодичну і зворотна задача;
ж) ірраціональні числа. Приклади;
з) дійсні числа;
і) порівняння дійсних чисел;
к) операції над дійсними числами.
Слід пам'ятати, що якщо в завданнях для таких висловлювань:
необхідно позбутися від ірраціональності в знаменнику, це означає, що в знаменниках цих дробів знаходяться ірраціональні числа. В цьому учні можуть переконатися, надавши буквах конкретні значення. Алгебраїчні категорії представляють собою абстракції більш високого порядку, а значить, міркування в алгебрі носять більш узагальнений
характер, ніж безпосередньо в числових системах.
Висновок
Вивчення арифметики натуральних чисел засноване на наочності. Учні повинні твердо засвоїти, що будь-яке натуральне число може бути зображено точкою на координатному промені, але не будь-якої точці на цьому промені відповідає натуральне число. Цей останній факт готує учнів до розуміння необхідності введення нових чисел. Учні знайомляться з одним із властивостей безлічі натуральних чисел - нескінченністю. При вивченні законів арифметичних дій, для уникнення формалізму необхідно відзначити їх теоретичне значення. Зокрема, комутативними і асоціативний закони множення доцільно пов'язати з геометричним матеріалом (обчисленням площ прямокутників, обсягом прямокутних паралелепіпедів).
Література
1. К.О. Ананченка «Загальна
методика викладання математики у школі», Мн., «Унiверсiтецкае», 1997р.
2. Н.М. Рогановскій «Методика викладання в середній школі», Мн., «Вища школа», 1990р.
3. Г. Фройденталь «Математика як
педагогічна завдання», М., «Просвещение», 1998р.
4. М.М. «Математична лабораторія», М., «Просвещение», 1997.
5. Ю.М. Колягін «Методика викладання математики в середній школі», М., «Просвещение», 1999р.
6. А.А. Столяр «Логічні проблеми викладання математики», Мн., «Вища школа», 2000р.