Розширення поняття числа у шкільному курсі математики

Міністерство освіти Республіки Білорусь
«Гомельський державний університет ім. Ф. Скорини »
Математичний факультет
Кафедра МПМ
Реферат
Розширення поняття числа у шкільному курсі математики
Виконавець:
Студентка групи М-42
Малахова А.Ю.
аучний керівник:
Канд. фіз-мат. наук, доцент
Лебедєва М.Т.
Гомель 2007

Введення

Поняття числа - стрижневе поняття шкільного курсу математики. Лінія розвитку поняття числа будується за принципом розширення множини А до множини В, при якому: 1) А має бути підмножиною множини В; 2) операції над елементами з А ті ж, що і для елементів з В, але зміст тих операцій, які були тільки в багатьох А, незмінним, 3) в множині В повинна бути виконана операція, яка в багатьох А була нездійсненна або не завжди здійсненна; 4) розширення В повинно бути мінімальним з усіх розширень безлічі А.

1. Розширення поняття числа у шкільному курсі математики

Викладання питань пов'язаних з розвитком вчення про число вчитель будує таким чином, щоб зрозуміла була зв'язок понять рівності, сума і твір, з одного боку, і поняття числа, з іншого. Таким чином, для того щоб нові числа були рівноправними, необхідне введення визначення:
поняття рівності та встановлення критерію порівняння нових чисел між собою і з раніше відомими числами;
поняття суми;
поняття твору.
Необхідно показати, що нові числа підлягають всім законам арифметичних дій, встановленим для досліджуваних раніше числах. Доцільність вводяться визначень ілюструють розглядом конкретних прикладів. Кожен етап розвитку числа складається з: 1) мотивування (алгебраїчний або алгебраїчний; наприклад, поява негативних чисел - алгебраїчний, дробових чисел - практичний); 2) підтвердження.
Вивчення арифметики натуральних чисел засноване на наочності. Учні повинні твердо засвоїти, що будь-яке натуральне число може бути зображено точкою на координатному промені, але не будь-якої точці на цьому промені відповідає натуральне число. Цей останній факт готує учнів до розуміння необхідності введення нових чисел. Учні знайомляться з одним із властивостей безлічі натуральних чисел - нескінченністю. При вивченні законів арифметичних дій, для уникнення формалізму необхідно відзначити їх теоретичне значення. Зокрема, комутативними і асоціативний закони множення доцільно пов'язати з геометричним матеріалом (обчисленням площ прямокутників, обсягом прямокутних паралелепіпедів).

2. Введення дробових чисел

Перше розширення поняття числа - введення дробових чисел. Пропедевтика звичайних дробів зводиться до ознайомлення учнів з такими питаннями, як частка одиниці, зображення дробів на координатному промені, правильні і неправильні дроби, основна властивість дробів, подання натурального числа у вигляді дробу. Десятковий дріб розглядається як окремий випадок звичайного дробу, як спосіб запису дробів зі знаменником виду . Учні повинні мати навички читання і запису десяткових дробів, вміння записувати за допомогою коми числа виду , Де . Порівняння дробів засноване на основному властивості звичайного дробу і дозволяє встановити важливу властивість десяткових дробів, що складається в можливості приписування і відкидання нулів праворуч. Вивчення множення і ділення десяткових дробів починається з "простого" випадку множення і ділення дробу на натуральне число. На конкретних прикладах учні переконуються в тому, що і для цих чисел сенс операції зберігається.

3. Введення від'ємних чисел. Визначення властивостей дій над цілими числами

Наступне розширення поняття числа - знайомство учнів з негативними числами. З методичної сторони введення негативних чисел особливих труднощів не представляє, тому що діти часто зустрічаються в житті. Найбільшу трудність у їх вивченні представляє обгрунтування дії над ними.
Введення поняття від'ємного числа вимагає дати визначення:
1) модуля (мотивувати це можна на конкретному завданні) як відстань від точки, що зображає це число, до початкової точки. На підставі такої геометричної інтерпретації пояснюється властивість модуля - він не може бути негативним, інакше кажучи, модуль числа - є число невід'ємне. Дуже часто учні вважають його числом позитивним, це можна пояснити відпрацюванням вчителя цього поняття, тому що дуже рідко поняття відстані зв'язується з початковою точкою (наприклад, на якій відстані знаходиться точка О від початкової точки?).
2) протилежних чисел (Ця інформація базується на понятті симетричних точок).
Порівняння позитивних і негативних чисел ілюструється конкретними прикладами і за допомогою геометричних образів, що дозволяє підготувати учнів до введення відповідних визначень. І так як множина раціональних чисел включає в себе безліч натуральних чисел, то порівняння їх необхідно проводити таким же чином. (Нагадаємо: з двох натуральних чисел більше те з них, яке на координатній прямій правіше і навпаки, якщо числа рівні, то відповідні їм точки збігаються).
У шкільному курсі визначення дії зазвичай дається у вигляді правила. Щодо операції додавання цілих чисел, окремо визначається складання чисел з різними знаками і складання негативних чисел. Для того щоб учнів підвести до визначення дії складання використовуються конкретні задачі на додавання чисел за допомогою координатної прямої.
Множення позитивних і негативних чисел представляє найбільшу трудність. Правило знаків, яке дається в школі, є по суті, своєрідним трактуванням визначення операції множення позитивних і негативних чисел, а твердження, які насправді представляють собою визначення нових понять, не можуть бути доведені!
Існує два шляхи тлумачення правила знаків: 1) попередньо розглядається ряд завдань, вирішення яких вимагає проводити обчислення за формулою виду . ( ). Недолік методу в тому, що: 1) в учнів створюється враження того, що проводиться доказ правила множення, 2) допущена логічна помилка, бо формула правильна для ; 2) догматичний спосіб введення множення, що передбачає формування правила множення, яке потім пояснюється на прикладах і переконує учнів в доцільності введеного визначення.
Всі числа з якими учні ознайомилися, складають нове безліч раціональних чисел. Вводиться визначення раціонального числа, як дробу виду , Де . У цій безлічі здійсненні додавання, віднімання, множення і ділення на число, не рівне нулю. При виконанні дейсвий отримуємо числа того ж мн-ва, тобто це мн-во має властивість замкнутості стосовно дій першого і другого ступеня.
Для складання справедливі: 1) переместительное закон ; 2) сочетательних закон ; 3) є нейтральний елемент ; 4) , Тобто є протилежний елемент.
Для множення справедливі наступні закони: 1) переместительное; 2) розподільний (Учням знайоме поняття алгебраїчної суми, тому немає необхідності говорити окремо про складання і вирахуванні), 3) сочетательних закон; 4) - Нейтральний елемент; 5) , - Зворотний елемент.

4. Введення ірраціонального числа. Методична схема введення дійсного числа

Наступне розширення поняття числа - ірраціональне число. Відповідно до побудовою безлічі дійсних чисел по Дедекінду на безлічі раціональних чисел існують лише три види перетинів: 1) у В немає найбільшого, у В `найменше (розподіл безлічі раціональних чисел за кількістю, наприклад, 2), 2) у В є найбільше, у В `немає найменшого; 3) у В немає найбільшого числа, у В` немає найменшого
Приклад. Доведемо, що у В немає найбільшого числа.
. Покажемо, що можна підібрати таке ціле додатне число n, для якого , Тобто - Довести. Якщо для нерівності знайдеться n, для якого воно справедливе, то буде вірно і таку нерівність: (*) , Тобто число
Так як в безлічі раціональних чисел існує перетин третього типу, то воно не є повним. Це перетин визначає число ірраціональне. З геометричної точки зору цей факт означає, що на координатній прямій є точки, які не відповідають жодним числах з безлічі раціональних чисел: безліч раціональних чисел недоладно.
У школі при введенні ірраціонального числа використовують наступний факт: відомо, що кожному раціональному числу r відповідає єдина точка M (r) прямий l, на якій задані: початок відліку, напрямок і масштаб. При цьому число називається координатою точки M. Чи вірно зворотне твердження? Відповідь ілюструється таким прикладом:
Доведемо, що точка М не відповідає ніякому раціональному числу.
, Що суперечить тому, що - Несократімой дріб визначення раціонального числа).
Ще один спосіб докази ірраціональності числа є побудова послідовних раціональних наближень цього числа по недоліку і з надлишку, які володіють наступними властивостями:
1) кожне число послідовності (2) більше числа послідовності (1) з тим же номером: 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; .... (1)
1,5; 1,42; 1,415; 1,4143; .... (2)
2) послідовність (1) SHAPE \ * MERGEFORMAT ; (2) - SHAPE \ * MERGEFORMAT
3) різниця між членами послідовностей з однаковими номерами необмежено зменшується за абсолютною величиною при збільшенні номери і дорівнює . Геометрично цей факт визначає зближення точок послідовності до .
Інакше кажучи, члени послідовностей (1) і (2) утворюють неперіодичних десяткову дріб.
Методична схема введення дійсного числа:
а) робиться спроба вирішення рівняння , Тобто необхідно довести теорему: не існує ні цілого, ні дробового числа, квадрат якого дорівнював би числа 2
б) так як теорема доведена, то треба показати, що не існує цілого числа, квадрат якого дорівнює 2;
в) паралельно вводиться поняття дійсного числа на геометричній основі, тобто в процесі вимірювання відрізків (відшукання абсциси точки графіка , Ордината якої дорівнює 2). Таке завдання призводить до проблеми вимірювання відрізка іншим, прийнятим за одиницю виміру;
г) вимір відрізка. Сумірні та неспівмірні відрізки. Десяткові наближення довжини відрізка;
д) нескінченні періодичні і неперіодичні дроби;
е) звернення звичайного дробу в нескінченну періодичну і зворотна задача;
ж) ірраціональні числа. Приклади;
з) дійсні числа;
і) порівняння дійсних чисел;
к) операції над дійсними числами.
Слід пам'ятати, що якщо в завданнях для таких висловлювань:
необхідно позбутися від ірраціональності в знаменнику, це означає, що в знаменниках цих дробів знаходяться ірраціональні числа. В цьому учні можуть переконатися, надавши буквах конкретні значення. Алгебраїчні категорії представляють собою абстракції більш високого порядку, а значить, міркування в алгебрі носять більш узагальнений характер, ніж безпосередньо в числових системах.

Висновок

Вивчення арифметики натуральних чисел засноване на наочності. Учні повинні твердо засвоїти, що будь-яке натуральне число може бути зображено точкою на координатному промені, але не будь-якої точці на цьому промені відповідає натуральне число. Цей останній факт готує учнів до розуміння необхідності введення нових чисел. Учні знайомляться з одним із властивостей безлічі натуральних чисел - нескінченністю. При вивченні законів арифметичних дій, для уникнення формалізму необхідно відзначити їх теоретичне значення. Зокрема, комутативними і асоціативний закони множення доцільно пов'язати з геометричним матеріалом (обчисленням площ прямокутників, обсягом прямокутних паралелепіпедів).

Література

1. К.О. Ананченка «Загальна методика викладання математики у школі», Мн., «Унiверсiтецкае», 1997р.
2. Н.М. Рогановскій «Методика викладання в середній школі», Мн., «Вища школа», 1990р.
3. Г. Фройденталь «Математика як педагогічна завдання», М., «Просвещение», 1998р.
4. М.М. «Математична лабораторія», М., «Просвещение», 1997.
5. Ю.М. Колягін «Методика викладання математики в середній школі», М., «Просвещение», 1999р.
6. А.А. Столяр «Логічні проблеми викладання математики», Мн., «Вища школа», 2000р.