ЗМІСТ
СТР.Введення ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 3
- Число як основне поняття математики ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 4
- Натуральні числа ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5
3. Раціональні числа ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... 9
3.1. Дробові числа ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... 9
3.1.1. Про походження дробів ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... 9
3.1.2. Дробу в Стародавньому Єгипті ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 9
3.1.3. Дробу в Древньому Римі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 10
3.1.4. Вавілонські шестидесятеричной дробу ... ... ... ... .. .. 11
3.1.5. Нумерація й дробу в Древній Греції ... ... ... ... .... .. 12
3.1.6. Нумерація і дробу на Русі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 12
3.1.7. Дроби в інших державах давнини ... ... ... ... .. 13
3.1.8. Десяткові дроби ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 14
3.2. Негативні числа ................................................ ............... 16
3.2.1. Негативні числа в Стародавній Азії ... ... ... ... ... ... 16
3.2.2. Розвиток ідеї негативного кількості в Європі .. 17
4. Дійсні числа ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 17
4.1. Ірраціональні числа ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 17
4.2. Алгебраїчні і трансцендентні числа ... ... ... ... ... ... ... 20
5. Комплексні числа ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 20
5.1. Уявні числа ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 20
5.2. Геометричне тлумачення комплексних чисел ... ... ... 22
6. Векторні числа ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 23
7. Матричні числа ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 24
8. Трансфінітної числа ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 24
9. Функції = функціональні числа? ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 25
8.1. Розвиток функціональних чисел ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 26
Висновок ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 27
Література. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 29
«Якщо б не число і його природа, ніщо
існуюче не можна було б осягнути їм
саме по собі, ні в його відносинах до інших
речам. Міць чисел виявляється в усіх
діяннях і помислах людей, в усіх ремес-
лах і в музиці »
Піфагорієць Філолай, 5 ст. до н. е..
Введення
Число розуміється і приймається (багатьма) античними мислителями як перший сутність, що визначає всі різноманітні внутрікосміческіе зв'язку світу, заснованого на мірі і числі, розмірного (симетричного) і гармонічного. Яким же мислителям властивий такий погляд?Серед грецьких мислителів насамперед піфагорійці, а слідом за ними й академіки звертали особливу увагу на роль числа в пізнанні й конституюванні світу: «Числу всі речі подібні», - стверджує Піфагор. Не слід, однак, розуміти це твердження так, як тлумачить його Аристотель, а саме, що всі речі складаються з числа, оскільки число припустиме лише мислити, але не можна шукати серед речей. Як пояснює освічена Теано, «і багато елліни, як мені відомо, думають, ніби Піфагор говорив, що все народжується з числа. Але це вчення викликає подив: яким чином те, що навіть не існує, мислиться породжує? Між тим, він говорив, що все виникає не з числа, а згідно з числом, оскільки в числі - перший порядок, за причетністю якому і в зчисленому речах встановлюється щось перше, друге і т. д. »
Таким чином, число виступає як принцип пізнання і породження, бо дозволяє щось розрізняти, мислити як певне, вносити межу в світ і думка. Тому число - перше з сущого, чисте буття, - як таке воно є щось божественне: «... Природа числа, - говорить Філолай, - пізнавальна, предводітельна і учительна для всіх у всьому незрозумілому і невідомому. У самому справі, нікому не була б зрозуміла жодна з речей - ні в їх відношенні до самих себе, ні в їх відношенні до іншого, якщо б не було числа і його сутності ». Число є чисте ідеальне буття, перший образ потворного Блага і перший прообраз всього існуючого. Тому число - найбільш достовірне і дійсне, перше у всій ієрархії сущого, початок космосу.
Число відіграє провідну роль і в так званому неписаними, або езотеричному, вченні Платона, незафіксованому в текстах самого Платона і дійшов до нас лише в реконструйованому вигляді з окремих свідчень його учнів і послідовників. Згідно з цим вченням, сліди якого ми знаходимо в Аристотеля, його найближчого учня Теофраста і пізньоантичних неоплатоніків, в основі всього лежить одиниця - початок тотожності, принцип форми і невизначена двійця - принцип інакшості, або матерії, якими і породжується вся ієрархія сущого - ейдоси і числа , душі і геометричні об'єкти, фізичні тіла. Принцип числа виявляється тим підгрунтям, на якому спочиває (пізніша) античне світогляд з його загостреним переживанням буття, присутнього в космосі, але не змішаного з ним.
1. Число, як основне поняття математики
Число є одним з основних понять математики. Поняття числа розвивалося в тісному зв'язку з вивченням величин; цей зв'язок зберігається і тепер. У всіх розділах сучасної математики доводиться розглядати різні величини і користуватися числами
Існує велика кількість визначень поняття «число».
Перше наукове визначення числа дав Евклід у своїх «Початки», яке він, очевидно, успадкував від свого співвітчизника Евдокса Книдской (близько 408 - близько 355 рр.. До н. Е..): «Одиниця є те, відповідно до чого кожна з існуючих речей називається одній. Число є безліч, складене з одиниць ». Так визначав поняття числа і російський математик Магніцький у своїй «Арифметиці» (1703 р.).
Ще раніше Евкліда Аристотель дав таке визначення: «Число є безліч, яке вимірюється за допомогою одиниць».
Зі слів грецького філософа Ямвліха, ще Фалес Мілетський - родоначальник грецької стихійно-матеріалістичної філософії - вчив, що «число є система одиниць». Це визначення було відомо і Піфагору.
У своїй «Загальної арифметики» (1707 р) великий англійський фізик, механік, астроном і математик Ісаак Ньютон пише: «Під числом ми подра-зумеваем не стільки безліч одиниць, скільки абстрактне ставлення який-небудь величини до іншої величини такого ж роду, взятої за одиницю. Число буває трьох видів: ціле, дробове і ірраціональне. Ціле число є те, що вимірюється одиницею; дробове - кратної частиною одиниці, ірраціональне - число, не сумірне з одиницею ».
2. Натуральні числа
Вважається, що термін «натуральне число» вперше застосував римський державний діяч, філософ, автор праць з математики та теорії музики Боецій (480 - 524 рр..), Але ще грецький математик Нікомах з Герази говорив про натуральний, тобто природному ряді чисел.
Поняттям «натуральне число» в сучасному його розумінні послідовно користувався видатний французький математик, філософ-просвітитель Даламбер (1717-1783 рр.)..
Початкові уявлення про число з'явилися в епоху кам'яного віку, при переході від простого збирання їжі до її активного виробництва, приблизно 100 століть до н. е.. Числові терміни важко зароджувалися і повільно входили у вжиток. Стародавній людині було далеко до абстрактного мислення, вистачило того, що він придумав числа: «один» і «два». Решта кількості для нього залишалися невизначеними і об'єднувалися в понятті «багато».
Зростало виробництво їжі, додавалися об'єкти, які потрібно враховувати у повсякденному житті, у зв'язку з чим придумувалися нові числа: «три», «чотири» ... Довгий час межею пізнання було число «сім».
Про незрозумілому говорили, що ця книжка «за сімома печатками», знахарки в казках давали хворому «сім вузликів з лікарськими травами, які треба було наполягти на семи водах протягом семи днів і приймати щодня по сім ложок».
Пізнаваний світ ускладнювався, були потрібні нові числа. Так дійшли до нової межі. Їм стало число 40. Позамежні кількості моделювалися величезним на ті часи числом «сорок сороків», рівним 1600.
Пізніше, коли число «сорок» вже перестало бути граничним, воно стало відігравати велику роль у російській метрології як основа системи заходів: пуд мав 40 фунтів, бочка-сороковка - сорок відер і т.д.
Великий інтерес викликає історія числа «шістдесят», яке часто фігурує у вавилонських, перських і грецьких легендах як синонім великого числа. Вавілоняни вважали його Божим числом: шістдесят ліктів у висоту мав золотий ідол з храму вавилонського царя Навуходоносора. Пізніше з тим же самим значенням (незліченна безліч) виникли числа, кратні 60: 300, 360. З часом число 60 у Вавилоні лягло в основу шестидесятеричной системи обчислення, сліди якої збереглися до наших днів при вимірі часу і кутів.
Наступним межею у слов'янського народу було число «тьма», (у древніх греків - міріади), що дорівнює 10 000, а Запределье - «тьма тьмуща», рівне 100 мільйонів. У слов'ян застосовували також і іншу систему числення (так зване «велике число» або «великий рахунок»). У цій системі «тьма» дорівнювала 10 6, «легіон» - 10 12, «леодр» - 10 24, «ворон» - 10 48, «колода» - 10 96, після чого додавали, що більшого числа не існує.
У античному світі далі всіх просунулися Архімед (III ст. До н.е.) в «обчисленні піщинок» - до числа 10, зведеного в ступінь 8х10 16, і Зенон Елейський (IV ст. До н. Е..) У своїх парадокси - до нескінченності ∞.
2.1. Функції натуральних чисел
Натуральні числа мають дві основні функції:
q характеристика кількості предметів;
q характеристика порядку предметів, розміщених в ряд.
Відповідно до цих функцій виникли поняття порядкового числа (перший, другий і т.д.) та кількісного числа (один, два і т.д.).
Довго і важко людство добирався до 1-го рівня узагальнення чисел. Сто століть знадобилося, щоб вибудувати ряд найкоротших натуральних чисел від одиниці до нескінченості: 1, 2, ... ∞. Натуральних тому, що ними позначалися (моделювалися) реальні неподільні об'єкти: люди, тварини, речі ...
2.2. Прості Числа Мерсенна, вчинені числа.
Серед простих чисел особливу роль грають прості числа Мерсенна - числа виду 1) М р = 2 р -1, де р - просте число. Вони називаються простими числами Мерсенна на ім'я французького ченця Мерена Мерсенна (1588-1648), одного з засновників Паризької Академії наук, друга Декарта і Ферма. Так як М 2 = 3, М 3 = 7, М 5 = 31, М 7 = 127, то це - прості числа Мерсенна. Однак, число 2) М 11 = 2047 = 23. 89 простим не є. До 1750 року було знайдено всього 8 простих чисел Мерсенна: М 2, М 3, М 5, М 7, М 13, М 17, М 19, М 31. Те, що М 31 - Просте число, довів у 1750 році Л. Ейлер. У 1876 році французький математик Едуард Люка
встановив, що число
3) М 127 = 170141183460469231731687303715884105727
- Просте. У 1883 р. Сільський священик Пермської губернії І. М. Первушин без всяких обчислювальних приладів довів, що число М 61 = 2305843009213693951 є простим. Пізніше було встановлено, що числа М 89 і М 107 - прості. Використання ЕОМ дозволило в 1952-1964 роках довести, що числа М 521, М 607, М 1279, М 2203, М 2281, М 3217, М 4253, М 4423, М 2689, М 9941, М 11213 - прості. До теперішнього часу відомо вже більше 30 простих чисел Мерсенна, одне з яких М 216091 має 65050 цифр. Великий інтерес до простих чисел Мерсенна викликаний їх тісним зв'язком з досконалими числами.
Натуральне число Р називається досконалим, якщо воно дорівнює сумі всіх своїх дільників крім Р.
Евклід довів, що якщо р і 2 р -1 - прості числа, то число 4) Р р = 2 р-1 (2 р -1) = 2 р-1 М р є досконалим.
Дійсно, дільниками такого числа, включаючи саме це число, є 5) 1,2, ... , 2 р.-1, М р, 2М р, ... , 2 р.-1 М р.
Їх сума S p = (1 +2 + ... +2 р-1) (М р +1) = (2 р -1). 2 р = 2. 2 р-1 М р. Віднімаючи з S саме число Р р, переконуємося, що сума всіх дільників числа Р р дорівнює цього числа, отже Р р - досконале число.
Числа Р 2 = 6 і Р 3 = 28 були відомі ще піфагорійцям. Числа Р 5 = 496 та Р 7 = 8128 знайшов Евклід. Використовуючи інші прості числа Мерсенна і формулу 4, знаходимо такі досконалі числа:
6) Р 13 = 33550336, Р 17 = 8589869056, Р 19 = 137 438 691 328, Р 31 = 2305843008139952128.
Для всіх інших чисел Мерсенна числа Р р мають дуже багато цифр.
До цих пір залишається загадкою, як Мерсенн зміг висловити правильне твердження, що числа Р 17, Р 19, Р 31 є досконалими. Пізніше було виявлено, що майже за сто років до Мерсенна числа Р 17, Р 19 знайшов італійський математик Катальді - професор університетів Флоренції та Болоньї. Вважалося, що божественне провидіння передбачило своїм обранцям правильні значення цих досконалих чисел. Якщо врахувати, що ще піфагорійці вважали першим вчинене число 6 символом душі, що друге вчинене число 28 відповідало числу членів багатьох вчених товариств, що навіть у дванадцятому столітті церква вчила: для порятунку душі достатньо вивчати скоєні числа і тому, хто знайде нове божественне досконале число , уготоване вічне блаженство, то стає зрозумілим винятковий інтерес до цих чисел.
Проте і з математичної точки зору парні досконалі числа по-своєму унікальні. Всі вони - трикутні. Сума величин, зворотних всім ділітелям числа, включаючи саме число, завжди дорівнює двом. Залишок від ділення досконалого числа, крім 6, на 9 дорівнює 1. У двійковій системі досконале число Р р починається р одиницями, потім слідують р-1 нулів. Наприклад:
7) Р 2 = 110, Р 3 = 11100, Р 5 = 111 110 000, Р 7 = 1111111000000 і т.д.
Остання цифра парного досконалого числа або 6, або 8, причому, якщо 8, то їй передує 2.
Леонард Ейлер довів, що всі парні досконалі числа мають вигляд 2 р-1. М р, де М р-просте число Мерсенна. Проте до цих пір не знайдено жодного непарного досконалого числа. Висловлено припущення (Брайен Такхерман, США), що якщо таке число існує, то воно повинно мати не менше 36 знаків.
3. Раціональні числа
3.1. Дробові числа
3.1.1. Про походження дробів
З виникненням уявлень про цілих числах виникали уявлення і про частини одиниці, точніше, про частини цілого конкретного предмета. З появою натурального числа n виникло уявлення про дробу виду 1 / n, яка називається зараз аліквотній, родової чи основний.
Щоб з'ясувати питання про походження дробу, треба зупинитися не на рахунку, а на іншому процесі, який виник із стародавніх часів, - на вимірі. Історично дробу виникли в процесі вимірювання.
В основі будь-якого вимірювання завжди лежить якась величина (довжина, обсяг, вага і т.д.). Потреба у більш точних вимірах призвела до того, що початкові одиниці міри почали дробити на 2, 3 і більше частин. Більш дрібної одиниці заходи, яку отримували як наслідок роздроблення, давали індивідуальне назву, і величини вимірювали вже цієї більш дрібної одиницею.
Так виникали перші конкретні дробу як певні частини якихось певних заходів. Тільки набагато пізніше назвами цих конкретних дробів почали позначати такі ж самі частини інших величин, а потім і абстрактні дробу.
3.1.2. Дроби в Давньому Єгипті
Перша дріб, з якою познайомилися люди, була, напевно, половина. За нею послідували 1 / 4, 1 / 8 ..., потім 1 / 3, 1 / 6 і т.д., тобто найпростіші дробу, частки цілого, звані одиничними або основними дробами. У них чисельник завжди одиниця. Деякі народи старовини і, в першу чергу, єгиптяни висловлювали будь-яку дріб у вигляді суми тільки основних дробів. Лише значно пізніше у греків, потім в індійців та інших народів стали входити у вживання і дробу загального вигляду, звані звичайними, у яких чисельник і знаменник можуть бути будь-якими натуральними числами.
З розшифрованих відомостей на папірусах вчені дізналися, що єгиптяни 4 000 років тому мали десяткову (але не позиційну) систему числення, вміли вирішувати багато завдання, пов'язані з потребами будівництва, торгівлі і військової справи.
Ось як записували єгиптяни свої дробу. Якщо, наприклад, в результаті вимірювання виходило дробове число 3 / 4, то для єгиптян воно уявлялося у вигляді суми одиничних дробів Ѕ + ј.
3.1.3. Дроби в Стародавньому Римі
Римляни користувалися, в основному, тільки конкретними дробами, які заміняли абстрактні частини підрозділами використовуваних заходів. Вони зупинили свою увагу на мірі «ас», який у римлян служив основною одиницею вимірювання маси, а також грошовою одиницею. Асс ділився на дванадцять частин - унцій. З них складали всі дробу зі знаменником 12, тобто 1 / 12, 2 / 12, 3 / 12 ...
Так виникли римські Дванадцяткова дробу, тобто дробу, у яких знаменником завжди було число 12. Замість 1 / 12 римляни говорили «одна унція», 5 / 12 - «п'ять унцій» і т.д. Три унції називалися чвертю, чотири унції - третю, шість унцій - половиною.
Зараз «ас» - аптекарський фунт.
3.1.4. Вавилонські шестидесятеричной дробу
Розкопками, проведеними в ХХ столітті серед руїн стародавніх міст південної частини Дворіччя, виявлено велику кількість клинописних математичних табличок. Вчені, вивчаючи їх, встановили, що за 2000 років до н. е.. у вавілонян математика досягла високого рівня розвитку.
Письмова шістдесяткова нумерація вавілонян комбинировалась їх двох значків: вертикального клина ▼, символу одиницю, і умовного знака ◄, символу десять. У вавилонських клинописних текстах вперше зустрічається позиційна система числення. Вертикальний клин позначав не тільки 1, але і 60, 60 2, 60 3 і т.д. Знака для нуля в позиційній шестидесятеричной системі у вавілонян спочатку не було. Пізніше був введений знак è è, замінює сучасний нуль, для відділення розрядів між собою.
Походження шестидесятеричной системи числення у вавілонян пов'язано, як вважають вчені, з тим, що вавилонська грошова і вагова одиниця виміру підрозділялися в силу історичних умов на 60 рівних частин:
v 1 талант = 60 хв;
v 1 міну = 60 шекель.
Шістдесяті частки були звичні у житті вавілонян. Ось чому вони користувалися шестидесятеричной дробами, що мають знаменником завжди число 60 або його ступеня: 60 2 = 3600, 60 3 = 216 000 і т.д. У цьому відношенні шестидесятеричной дробу можна порівняти з нашими десятковими дробами.
Вавилонська математика справила вплив на грецьку математику. Сліди вавілонської шестидесятеричной системи числення втрималися в сучасній науці при вимірі часу і кутів. До наших днів збереглося поділ години на 60 хв., Хвилини на 60 с, кола на 360 градусів, градуси на 60 хв., Хвилини на 60с.
Вавилоняни зробили цінний внесок у розвиток астрономії. Шістдесяткова дробами користувалися в астрономії науковці всіх народів до XVII століття, називаючи їх астрономічними дробами. На відміну від них, дробу загального вигляду, якими користуємося ми, були названі звичайними.
3.1.5. Нумерація й дробу в Древній Греції
У Древній Греції арифметику - вчення про загальні властивості чисел - відокремлювали від логістики - мистецтва обчислення. Греки вважали, що дроби можна використовувати тільки в логістиці. Тут ми вперше зустрічаємося з загальним поняттям дробу виду m / n. Таким чином, можна вважати, що вперше область натуральних чисел розширилася до області додаткових раціональних чисел у Стародавній Греції не пізніше V століття до н. е.. Греки вільно оперували всіма арифметичними діями з дробами, але числами їх не визнавали.
У Стародавній Греції існували дві системи письмовій нумерації: аттическая і ионийская або алфавітна. Вони були так названі по давньогрецьким областям - Аттіка і Іонія. У аттической системі, названої також геродіановой, більшість числових знаків є першими літерами грецьких відповідних числівників, наприклад, ГЕNTE (Гент або центі) - п'ять, ΔЕКА (дека) - десять і т.д. Цю систему застосовували в Аттиці до I століття н.е., але в інших областях Стародавньої Греції вона була ще раніше замінена більш зручною алфавітної нумерацією, швидко поширилася по всій Греції.
Греки вживали поряд з одиничними, «єгипетськими» дробами і загальні звичайні дроби. Серед різних записів вживалася і така: зверху знаменник, під ним - чисельник дробу. Наприклад, 5 / 3 означало три п'ятих і т.д.
3.1.6. Нумерація і дробу на Русі
Як свідчать стародавні пам'ятники російської історії, наші предки-слов'яни, які перебували в культурному спілкуванні з Візантією, користувалися десятковою алфавітної слов'янської нумерацією, подібної з іонійської. Над буквами-числами ставилося особливий знак, названий титло. Для позначення тисячі застосовувався інший знак, який приставлявся ліворуч від букв.
У російських рукописних арифметика XVII століття дробу називали частками, пізніше «ламаними числами». У старих довідниках знаходимо такі назви дробів на Русі:
| 1 / 2 - половина, полтина | 1 / 3 - третина |
| 1 / 4 - четь | 1 / 6 - пів на третю |
| 1 / 8 - полчеть | 1 / 12-полполтреть |
| 1 / 16 - полполчеть | 1 / 24 - полполполтреть (мала третину) |
| 1 / 32 - полполполчеть (мала четь) | 1 / 5 - п'ятина |
| 1 / 7 - седьмин | 1 / 10 - десятина |
3.1.7. Дроби в інших державах давнину
У китайській «Математики у дев'яти розділах» вже мають місце скорочення дробів і всі дії з дробами.
У індійського математика Брахмагупти ми знаходимо досить розвинену систему дробів. У нього зустрічаються різні дробу: і основні, і похідні з будь-яким чисельником. Чисельник і знаменник записуються так само, як і у нас зараз, але без горизонтальної межі, а просто розміщуються один над іншим.
Араби першими почали відокремлювати рисою чисельник від знаменника.
Леонардо Пізанський вже записує дробу, поміщаючи в разі змішаного числа, ціле число праворуч, але читає так, як прийнято у нас. Йордан Неморарій (XIII ст.) Виконує розподіл дробів з допомогою розподілу чисельника на чисельник і знаменник на знаменник, уподібнюючи поділ множення. Для цього доводиться члени першого дробу доповнювати множниками:
У XV - XVI століттях вчення про дробах набуває вже знайомий нам тепер вигляд і оформляється приблизно в ті самі розділи, які зустрічаються в наших підручниках.
Слід зазначити, що розділ арифметики про дробах довгий час був одним з найбільш важких. Недарма у німців збереглася приказка: «Потрапити в дробу», що означало - зайти в безвихідне становище. Вважалося, що той, хто не знає дробів, не знає і арифметики.
3.1.8. Десяткові дроби
З часом практика вимірювань і обчислень показала, що простіше і зручніше користуватися такими заходами, у яких відношення двох найближчих одиниць довжини було б постійним і дорівнювало б саме десяти - основи нумерації. Цим вимогам відповідає метрична система заходів.
Вона виникла у Франції як один з наслідків буржуазної революції. Нові заходи повинні були задовольняти наступним вимогам:
v основою загальної системи заходів повинна бути одиниця довжини;
v міри довжини, площі, обсягу, місткості і ваги повинні бути пов'язані між собою;
v основну міру довжини слід було вибрати так, щоб вона була постійною «для всіх часів і всіх народів»;
v основою системи заходів необхідно було взяти число, рівне основи системи числення.
У Франції за основну міру довжини взяли одну десятимільйонну частину чверті земного меридіана і назвали її метром (від грецького слова «метрон», що означає «міра»). На підставі вимірів меридіана, зроблених французькими вченими Мешеном і Деламбр, був виготовлений згодом платиновий еталон метра. Число 10 лягло в основу підрозділів метра. Ось чому метрична система заходів, що застосовується нині в більшості країн світу, виявилася тісно пов'язаної з десятковою системою числення і з десятковими дробами.
Однак слід зазначити, що європейці не перші, хто прийшов до необхідності використовувати десяткові дроби в математиці.
Зародження і розвиток десяткових дробів у деяких країнах Азії було тісно пов'язане з метрологією (вченням про заходи). Вже в II столітті до н.е. там існувала десяткова система мір довжини.
Приблизно в III столітті н.е. десятковий рахунок поширився на заходи маси та об'єму. Тоді й було створено поняття про десяткового дробу, що зберегла, проте метрологічну форму.
Наприклад, у Китаї в Х столітті існували такі заходи маси: 1 лан = 10 цянь = 2 жовтня фень = 10 3 чи = 10 4 хао = 10 Травня си = 10 червня хо.
Якщо спочатку десяткові дробу виступали в якості метрологічних, конкретних дробів, тобто десятих, сотих і т.д. частин більш великих заходів, то пізніше вони по суті стали все більше набувати характер абстрактних десяткових дробів. Цілу частину стали відокремлювати від дробової особливим ієрогліфом «дянь» (крапка). Проте в Китаї як у давні, так і в середні століття десяткові дробу не мали повної самостійності, залишаючись в тій чи іншій мірі пов'язаними з метрологією.
Більш повну і систематичну трактування отримують десяткові дробу в працях середньоазіатського вченого ал-Каші в XV столітті. Незалежно від нього, в 80-тих роках XVI століття десяткові дроби були «відкриті» заново в Європі нідерландським математиком Стевіном.
З початку XVII століття починається інтенсивне проникнення десяткових дробів в науку і практику. В Англії в якості знака, що відокремлює цілу частину від дробової, була введена точка. Кома, як і крапка, як роздільник була запропонована в 1617 році математиком Непер.
Розвиток промисловості і торгівлі, науки і техніки вимагали все більше громіздких обчислень, які за допомогою десяткових дробів легше було виконувати. Широке застосування десяткові дробу отримали в XIX столітті після введення тісно пов'язаної з ними метричної системи мір і ваг. Наприклад, в нашій країні в сільському господарстві та промисловості десяткові дроби та їх окремий вид - відсотки - застосовуються набагато частіше, ніж звичайні дроби.
3.2. Негативні числа
Обходитися тільки натуральними числами незручно. Наприклад, ними не можна відняти більше з меншого. Для такого випадку були введені негативні числа: китайцями - у Х ст. до н. е.., індійцями - в VII столітті, європейцями - тільки в XIII столітті.
3.2.1. Негативні числа в Стародавній Азії
Позитивні кількості в китайській математики називали «Ч», негативні - «фу»; їх зображували різними кольорами: «Ч» - червоним, «фу» - чорним. Такий спосіб зображення використовувався в Китаї до середини XII століття, поки Лі Е не запропонував більш зручне позначення негативних чисел - цифри, які зображували негативні числа, перекреслювали рискою навскіс праворуч ліворуч.
У V-VI століттях від'ємні числа з'являються і дуже широко поширюються в індійській математиці. В Індії негативні числа систематично використовували в основному так, як це ми робимо зараз.
Вже у творі видатного індійського математика і астронома Брахмагупти (598 - близько 660 рр..) Ми читаємо: «майно та майно є майно, сума двох боргів є борг; сума майна і нуля є майно; сума двох нулів є нуль ... Борг, який віднімають від нуля, стає майном, а майно - боргом. Якщо потрібно відняти майно від боргу, а борг від майна, то беруть їх суму ».
Негативними числами індійські математики користувалися при вирішенні рівнянь, причому віднімання замінювали додаванням з равнопротівоположним числом.
Разом з негативними числами індійські математики ввели поняття нуль, що дозволило їм створити десяткову систему числення. Але довгий час нуль не визнавали числом, «nullus» по-латині - ніякої, відсутність числа. І лише через X століть, у XVII-му столітті з введенням системи координат нуль стає числом.
3.2.2. Розвиток ідеї негативного кількості в Європі
У Європі до ідеї негативного кількості досить близько підійшов на початку XIII століття Леонардо Пізанський, проте в явному вигляді негативні числа застосував вперше в кінці XV століття французький математик Шюке.
Сучасне позначення позитивних і негативних чисел із знаками «+» і «-» застосував німецький математик Відман, однак ще в ХVI столітті багато математиків (наприклад, Вієт) не визнавали від'ємних чисел.
Натуральні числа, протилежні їм (негативні) числа і нуль називаються цілими числами. Цілі і дробові числа на 2-му рівні узагальнення отримали загальну назву - раціональні числа. Їх називали також відносними, бо кожне з них можна представити відношенням двох цілих чисел. Кожне раціональне число можна представити як нескінченну періодичну десяткову дріб.
За допомогою раціональних чисел можна здійснювати різні вимірювання (наприклад, довжини відрізка при обраній одиниці масштабу) з будь-якою точністю. Тобто сукупність раціональних чисел достатня для задоволення більшості практичних потреб.
4. Дійсні числа
4.1. Ірраціональні числа
Ще в Давньому Єгипті і Вавілоні ХХ століть тому були відомі так звані несумірні відрізки (
Точно не відомо, дослідження яких питань привело до відкриття несумірності. Це могло відбутися:
q в геометричних розрахунках при знаходженні загальної міри сторони і діагоналі квадрата;
q в теорії музики при спробах поділити октаву навпіл, що зводиться до визначення середнього геометричного між 1 і 2;
q в арифметиці при визначенні дробу, квадрат якої дорівнює двом.
Мова йшла про відшукання і дослідженні величини, яку ми тепер позначаємо
Факт існування несумірних відрізків, тим не менш, не гальмував розвиток геометрії в стародавній Греції. Греки розробили теорію відносини відрізків, яка враховувала можливість їх несумірності. Вони вміли порівнювати такі співвідношення за величиною, виконувати над ними арифметичні дії в чисто геометричній формі, інакше кажучи, користуватися такими співвідношеннями як числами.
Індійці розглядали ірраціональні числа як числа нового виду, але допускають над ними такі ж арифметичні дії, як і над раціональними числами. Наприклад, індійський математик Бхаскара знищує ірраціональність у знаменнику, множачи чисельник і знаменник на той же самий ірраціональний множник. У нього ми зустрічаємо вирази:Розвиваючи тригонометрію як самостійну наукову дисципліну, азербайджанський учений XIII століття Насретдін ат-Тусі (1201 - 1274 рр..) Трактує співвідношення несумірних величин як числа: «Кожне з цих співвідношень може бути названо числом, яке вимірюється одиницею як і саме, як один з членів співвідношення позначається іншим з цих членів ». Схожу трактування числа давав і Омар Хайям.
У Європі існування геометричних несумірних величин в середні століття не було оскаржено, але для багатьох ірраціональні числа були лише символами, позбавленими точно певного змісту, тому їх називали «глухими», «недійсними», «фіктивними» і т.д.
Тільки після появи геометрії Декарта (1637 р) почалося застосування ірраціональних, як втім, і від'ємних чисел. Ідеї Декарта призвели до узагальнення поняття про число. Між точками прямої і числами було визначено взаємно однозначна відповідність. У математику була введена змінна величина.
На початку XVIII століття існувало три поняття ірраціонального числа:
q ірраціональне число розглядали як корінь n-го ступеня з цілого або дробового числа, коли результат добування кореня не можна виразити «точно» цілим чи дробовим числом;
q ірраціональне число трактували як межу, до якої його раціональні наближення можуть підійти як завгодно близько;
q число розглядали як відношення однієї величини до іншої величиною того ж самого роду, взятої за одиницю; коли величина непорівнянна з одиницею, число називали ірраціональним.
Пізніше Ейлер, Ламберт показали, що ірраціональні числа можна представити нескінченними непериодическими десятковими дробами (наприклад, π = 3,141592 ...).
Свій подальший розвиток теорія ірраціональних чисел отримала у другій половині XIX століття в працях Дедекінда, Кантора та Вейерштрасе у зв'язку з потребами математичного аналізу.
Раціональні та ірраціональні числа на 3-му рівні узагальнення утворили дійсні числа.
4.2. Алгебраїчні і трансцендентні числа
Дійсні числа іноді поділяють також на алгебраїчні і трансцендентні.
Алгебраїчними називають числа, які є корінням алгебраїчних многочленів з цілими коефіцієнтами, наприклад,
Виділимо характерні особливості розглянутих (натуральних, раціональних, дійсних) чисел: вони моделюють тільки одну властивість - кількість; вони одновимірних і всі зображуються точками на одній прямій, званої координатною віссю.
5. Комплексні числа
5.1. Уявні числа
Ще більш дивними, ніж ірраціональні, виявилися числа нової природи, відкриті італійським вченим Кардано у 1545 році. Він показав, що система рівнянь
Кардано називав такі величини «чисто негативними» і навіть «софистически негативними», вважав їх непотрібними і намагався не вживати.
Довгий час ці числа вважали неможливими, неіснуючими, уявними. Декарт назвав їх уявними, Лейбніц - «виродком зі світу ідей, сутністю, що знаходиться між буттям і небуттям».
Справді, за допомогою таких чисел не можна висловити ні результат вимірювання якої-небудь величини, ні зміна якої-небудь величини.
Уявним числах не було місця на координатній осі. Однак вчені помітили, що якщо взяти дійсне число b на позитивній частині координатної осі і помножити його на
Це був 4-й рівень узагальнення чисел.
Поступово розвивалася техніка операцій над уявними числами. На рубежі XVII і XVII століть була побудована загальна теорія коренів n-них ступенів спочатку з негативних, а потім з будь-яких комплексних чисел, заснована на наступною формулою англійського математика А. Муавра:
За допомогою цієї формули можна було також вивести формули для косинусів і синусів кратних дуг.
Леонард Ейлер вивів в 1748 році чудову формулу:
яка зв'язувала воєдино показову функцію з тригонометричної. За допомогою формули Ейлера можна було зводити число е в будь-яку комплексну ступінь. Цікаво, наприклад, що
Довгий час навіть математики вважали комплексні числа загадковими і користувалися ними тільки для математичних маніпуляцій. Так, швейцарський математик Бернуллі застосовував комплексні числа для вирішення інтегралів. Трохи пізніше з допомогою уявних чисел навчилися висловлювати рішення лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами. Такі рівняння зустрічаються, наприклад, в теорії коливань матеріальної точки в чинять опір середовищі.
5.2. Геометричне тлумачення комплексних чисел
Близько 1800-го року відразу кілька математиків (Вессель, Арган, Гаус) зрозуміли, що комплексними числами можна моделювати векторні величини на площині.
Дійсні числа геометрично зображуються точками числової прямої. Комплексне число A + B · i можна розглядати як пару дійсних чисел (A; B). Тому природно комплексне число зображати точками площини. У прямокутній системі координат комплексне число Z = A + B · i зображується точкою площині координатами (A; B), і ця точка позначається тією самою літерою Z (малюнок 1). Очевидно, що отримується при цьому відповідність є взаємно однозначною. Воно дає можливість інтерпретувати комплексні числа як точки площини, на якій обрана система координат. Така координатна площина називається комплексної площиною. Вісь абсцис називається дійсною віссю, тому що на ній розташовані точки відповідні дійсним числам. Вісь ординат називається уявною віссю - на ній лежать точки, відповідні уявним комплексним числам.
Не менш важливою та зручною є інтерпретація комплексного числа A + B · i як вектора, тобто вектора з початком у точці O (0; 0) і з кінцем в точці М (A; B) (малюнок 2).
Відповідність встановлена між безліччю комплексних чисел, з одного боку, і множинами точок або векторів площини, з іншого, дозволяє комплексні числа точками або векторами.
Вектор
Геометричне тлумачення комплексних чисел дозволило визначити багато понять, пов'язані з функцією комплексного змінного, розширило область їх застосування.
5. Векторні числа
Надалі стали розшукувати якісь тривимірні числа, які моделювали б векторні величини в просторі з його трьома координатними осями.
Бився над цим завданням і ірландський учений Гамільтон. Після 15-ти років роботи в 1843 році Гамільтон придумав таки тривимірні числа a + bi + cj + dk, де i = j = k =
6. Матричні числа
Алгебраїчні операції над векторними величинами створили багатоелементні числові об'єкти, названі за пропозицією Ейнштейна тензорними величинами. Для їх моделювання Артур Келі в 1850 році ввів числа, в яких елементи (більше трьох) записувалися вже квадратними і прямокутними таблицями (матрицями) і розглядалися як єдиний числовий об'єкт.
Векторні числа + тензорні величини породили матричні числа. Це був 6-ий рівень узагальнення чисел.
Виділимо особливість всіх складних (комплексних, векторних, матричних) чисел: вони моделюють відразу дві властивості - кількість і спрямування модельованих величин.
7. Трансфінітної числа
Нарешті, в 1883 році німецький вчений Георг Кантор, мабуть, оцінивши багатовікову історію послідовного узагальнення чисел, в якій натуральні числа були узагальнені раціональними, а ті в свою чергу - дійсними, ті - комплексними, ті - векторними, ті - матричними, створив на цьому матеріалі свою теорію трансфінітної (нескінченних, позамежних) чисел.
Для цього він назвав безліччю всякий набір елементів, який можна зіставити з частиною самого себе, як наприклад, цілі числа зіставляються з парними числами:
Кантор довго аналізував трансфінітної числа і встановив, що вони можуть моделювати або просто кількість (тоді це кількісні, кардинальні трансфінітної числа, наприклад - безліч учнів у класі), або кількість і напрям (тоді це порядкові, ординальні трансфінітної числа, наприклад - той же безліч учнів, але впорядковане за успішність). Але ці властивості (кількість і спрямування) успішно моделюються числа менших рівнів узагальнення. А таблиця чисел підказує закономірність: щоб стати абстрактніше, нові числа повинні моделювати більше, розвиваючись від рівня до рівня або екстенсивно, змінюючись кількісно (наприклад, в обліку моделюючих елементів числами рівнів 1, 2, 3: натуральні + нуль + негативні + ірраціональні; або в обліку модельованих напрямків числами рівнів 3, 4, 5, 6: одновимірно-двовимірні-тривимірні-багатомірні і т.п).
Маріупольський математик С. Ф. Клюйков також вніс свій внесок у визначення поняття числа: «Числа - це математичні моделі реального світу, придумані людиною для його пізнання». Він же вніс у традиційну класифікацію чисел так звані «функціональні числа», маючи на увазі те, що в усьому світі зазвичай іменують функціями.
С. Ф. Клюйков стверджує, що прийняті в усьому світі і представлені в таблиці 1 рівні узагальнення чисел не зовсім повні, вони включає не всі вже відомі числа.
8.1. Розвиток функціональних чисел
1. Показано, що сучасна наука зустрічається з величинами такої складної природи, що для їх вивчення доводиться винаходити все нові види чисел.
2. При введенні нових чисел велике значення мають дві обставини:
v правила дій над ними повинні бути повністю визначені і не вели до протиріч;
v нові системи чисел повинні сприяти або вирішення нових завдань, або вдосконалити вже відомі рішення.
3. До цьому в часу існує сім загальноприйнятих рівнів узагальнення чисел: натуральні, раціональні, дійсні, комплексні, векторні, матричні і трансфінітної числа. Окремими вченими пропонується вважати функції функціональними числами і розширити ступінь узагальнення чисел до дванадцяти рівнів.
Література
1. Клюйков С.Ф. Числа і пізнання світу. - Маріуполь: Поліграфічний центр газети «ІнформМеню». 1997р. - 112 с.
2. Бородін О.І. Історія розвитку поняття про число і системи чисельно. - Київ: "Радянська школа". 1968 р. .- 115 с.
3. Вигодський М.Я. Довідник з елементарної математики. - Москва: Державне видавництво фізико-математичної літератури, 1960 р. - 368 с.
4. Ривкин А.А., Ривкин О.З., Хренов Л.С. Довідник з математики для технікумів. 3-є видання. - Москва, «Вища школа», 1975р. - 554 с.
5. Г. І. Гейзер. Історія математики в школі. Посібник для вчителів. - М.: Просвещение, 1981. - 239 с.
q число розглядали як відношення однієї величини до іншої величиною того ж самого роду, взятої за одиницю; коли величина непорівнянна з одиницею, число називали ірраціональним.
Пізніше Ейлер, Ламберт показали, що ірраціональні числа можна представити нескінченними непериодическими десятковими дробами (наприклад, π = 3,141592 ...).
Свій подальший розвиток теорія ірраціональних чисел отримала у другій половині XIX століття в працях Дедекінда, Кантора та Вейерштрасе у зв'язку з потребами математичного аналізу.
Раціональні та ірраціональні числа на 3-му рівні узагальнення утворили дійсні числа.
4.2. Алгебраїчні і трансцендентні числа
Дійсні числа іноді поділяють також на алгебраїчні і трансцендентні.
Алгебраїчними називають числа, які є корінням алгебраїчних многочленів з цілими коефіцієнтами, наприклад,
Виділимо характерні особливості розглянутих (натуральних, раціональних, дійсних) чисел: вони моделюють тільки одну властивість - кількість; вони одновимірних і всі зображуються точками на одній прямій, званої координатною віссю.
5. Комплексні числа
5.1. Уявні числа
Ще більш дивними, ніж ірраціональні, виявилися числа нової природи, відкриті італійським вченим Кардано у 1545 році. Він показав, що система рівнянь
Кардано називав такі величини «чисто негативними» і навіть «софистически негативними», вважав їх непотрібними і намагався не вживати.
Довгий час ці числа вважали неможливими, неіснуючими, уявними. Декарт назвав їх уявними, Лейбніц - «виродком зі світу ідей, сутністю, що знаходиться між буттям і небуттям».
Справді, за допомогою таких чисел не можна висловити ні результат вимірювання якої-небудь величини, ні зміна якої-небудь величини.
Уявним числах не було місця на координатній осі. Однак вчені помітили, що якщо взяти дійсне число b на позитивній частині координатної осі і помножити його на
Це був 4-й рівень узагальнення чисел.
Поступово розвивалася техніка операцій над уявними числами. На рубежі XVII і XVII століть була побудована загальна теорія коренів n-них ступенів спочатку з негативних, а потім з будь-яких комплексних чисел, заснована на наступною формулою англійського математика А. Муавра:
За допомогою цієї формули можна було також вивести формули для косинусів і синусів кратних дуг.
Леонард Ейлер вивів в 1748 році чудову формулу:
яка зв'язувала воєдино показову функцію з тригонометричної. За допомогою формули Ейлера можна було зводити число е в будь-яку комплексну ступінь. Цікаво, наприклад, що
Довгий час навіть математики вважали комплексні числа загадковими і користувалися ними тільки для математичних маніпуляцій. Так, швейцарський математик Бернуллі застосовував комплексні числа для вирішення інтегралів. Трохи пізніше з допомогою уявних чисел навчилися висловлювати рішення лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами. Такі рівняння зустрічаються, наприклад, в теорії коливань матеріальної точки в чинять опір середовищі.
5.2. Геометричне тлумачення комплексних чисел
Близько 1800-го року відразу кілька математиків (Вессель, Арган, Гаус) зрозуміли, що комплексними числами можна моделювати векторні величини на площині.
SEQ Рисунок \ * ARABIC 1 |
Відповідність встановлена між безліччю комплексних чисел, з одного боку, і множинами точок або векторів площини, з іншого, дозволяє комплексні числа точками або векторами.
Вектор
Геометричне тлумачення комплексних чисел дозволило визначити багато понять, пов'язані з функцією комплексного змінного, розширило область їх застосування.
5. Векторні числа
Надалі стали розшукувати якісь тривимірні числа, які моделювали б векторні величини в просторі з його трьома координатними осями.
Бився над цим завданням і ірландський учений Гамільтон. Після 15-ти років роботи в 1843 році Гамільтон придумав таки тривимірні числа a + bi + cj + dk, де i = j = k =
6. Матричні числа
Алгебраїчні операції над векторними величинами створили багатоелементні числові об'єкти, названі за пропозицією Ейнштейна тензорними величинами. Для їх моделювання Артур Келі в 1850 році ввів числа, в яких елементи (більше трьох) записувалися вже квадратними і прямокутними таблицями (матрицями) і розглядалися як єдиний числовий об'єкт.
Векторні числа + тензорні величини породили матричні числа. Це був 6-ий рівень узагальнення чисел.
Виділимо особливість всіх складних (комплексних, векторних, матричних) чисел: вони моделюють відразу дві властивості - кількість і спрямування модельованих величин.
7. Трансфінітної числа
Нарешті, в 1883 році німецький вчений Георг Кантор, мабуть, оцінивши багатовікову історію послідовного узагальнення чисел, в якій натуральні числа були узагальнені раціональними, а ті в свою чергу - дійсними, ті - комплексними, ті - векторними, ті - матричними, створив на цьому матеріалі свою теорію трансфінітної (нескінченних, позамежних) чисел.
Для цього він назвав безліччю всякий набір елементів, який можна зіставити з частиною самого себе, як наприклад, цілі числа зіставляються з парними числами:
Кантор довго аналізував трансфінітної числа і встановив, що вони можуть моделювати або просто кількість (тоді це кількісні, кардинальні трансфінітної числа, наприклад - безліч учнів у класі), або кількість і напрям (тоді це порядкові, ординальні трансфінітної числа, наприклад - той же безліч учнів, але впорядковане за успішність). Але ці властивості (кількість і спрямування) успішно моделюються числа менших рівнів узагальнення. А таблиця чисел підказує закономірність: щоб стати абстрактніше, нові числа повинні моделювати більше, розвиваючись від рівня до рівня або екстенсивно, змінюючись кількісно (наприклад, в обліку моделюючих елементів числами рівнів 1, 2, 3: натуральні + нуль + негативні + ірраціональні; або в обліку модельованих напрямків числами рівнів 3, 4, 5, 6: одновимірно-двовимірні-тривимірні-багатомірні і т.п).
Маріупольський математик С. Ф. Клюйков також вніс свій внесок у визначення поняття числа: «Числа - це математичні моделі реального світу, придумані людиною для його пізнання». Він же вніс у традиційну класифікацію чисел так звані «функціональні числа», маючи на увазі те, що в усьому світі зазвичай іменують функціями.
С. Ф. Клюйков стверджує, що прийняті в усьому світі і представлені в таблиці 1 рівні узагальнення чисел не зовсім повні, вони включає не всі вже відомі числа.
8.1. Розвиток функціональних чисел
1. Показано, що сучасна наука зустрічається з величинами такої складної природи, що для їх вивчення доводиться винаходити все нові види чисел.
2. При введенні нових чисел велике значення мають дві обставини:
v правила дій над ними повинні бути повністю визначені і не вели до протиріч;
v нові системи чисел повинні сприяти або вирішення нових завдань, або вдосконалити вже відомі рішення.
3. До цьому в часу існує сім загальноприйнятих рівнів узагальнення чисел: натуральні, раціональні, дійсні, комплексні, векторні, матричні і трансфінітної числа. Окремими вченими пропонується вважати функції функціональними числами і розширити ступінь узагальнення чисел до дванадцяти рівнів.
Література
1. Клюйков С.Ф. Числа і пізнання світу. - Маріуполь: Поліграфічний центр газети «ІнформМеню». 1997р. - 112 с.
2. Бородін О.І. Історія розвитку поняття про число і системи чисельно. - Київ: "Радянська школа". 1968 р. .- 115 с.
3. Вигодський М.Я. Довідник з елементарної математики. - Москва: Державне видавництво фізико-математичної літератури, 1960 р. - 368 с.
4. Ривкин А.А., Ривкин О.З., Хренов Л.С. Довідник з математики для технікумів. 3-є видання. - Москва, «Вища школа», 1975р. - 554 с.
5. Г. І. Гейзер. Історія математики в школі. Посібник для вчителів. - М.: Просвещение, 1981. - 239 с.