[
Теорія оболонок
]
Введення. Основні визначення
Конструктивні форми сучасних машин і споруд надзвичайно різноманітні.
Вибір
форми деталі, вузла або споруди визначається багатьма факторами: їх призначенням, умовами
роботи
, технологією виготовлення, вартістю, а також методами розрахунку. Одним з найпоширеніших типів сучасних і перспективних конструкцій є тонкостінні
оболонки.
Тонкі пластини і оболонки знаходять виключно широке застосування в конструкції найрізноманітніших інженерних споруд. З цієї причини створення надійних досконалих конструкцій безпосередньо залежить від рівня розвитку теорії тонких пластин і оболонок.
Тонка оболонка
може бути визначена як
тіло
, обмежене двома криволінійними
поверхнями
, відстань між якими мало в порівнянні з іншими розмірами. Таким чином, для оболонкових конструкцій
характерна
тонкостінні.
До оболонкам відносяться, зокрема, тонкостінні просторові системи, окреслені по криволінійних поверхонь. Оболонки здатні витримувати різноманітні види навантажень і забезпечувати ізоляцію від навколишнього середовища. Їм можна надати обтічну форму і на їх основі отримати відносно легкі конструкції, що має величезне значення в авіакосмічній промисловості
Зниження матеріаломісткості конструкції - важливий фактор для багатьох машин і агрегатів. Вигідно це і в будівельних спорудах. Оболонки дозволяють ефективно вирішувати проблему мінімізації маси.
В даний час оболонки можна бачити всюди. Висотні
будівлі
і телевежі, спортивно-концертні комплекси, криті стадіони і ринки, цистерни та резервуари, трубопроводи і градирні,
літаки
і ракети, надводні та підводні кораблі, автомобілі в істотній частині складаються з оболонок.
Транспортні
конструкції характеризуються не тільки можливістю досягнення високих швидкостей, аеродинамічним досконалістю форм, вантажопідйомністю. Вони втілюють також ідеї оптимальності, економічності, вагової досконалості.
Оболонки як елементи конструкцій відомі давно. Це і паровий котел, і водопровід у стародавньому Римі. З давніх часів відомі ємності для зберігання рідин і зерна, криволінійні склепіння перекриттів у будівництві. Але вирішальну роль в самих різних галузях сучасної техніки оболонки стали грати останні кілька десятиліть.
Термін
"оболонка"
відноситься до числа перевантажених і в нього можна вкладати різний зміст. Далі під оболонками розуміються конструкції, здатні виконувати
силові, експлуатаційні, технологічні,
архітектурні
та естетичні функції.
При математичному моделюванні з
поняттям
оболонки в першу чергу пов'язується уявлення про
геометричній
поверхні
.
У механіці деформівного твердого тіла та будівельної механіки класифікація об'єктів (тел) заснована на особливостях їхньої форми і співвідношенні
характерних
розмірів.
Прийнято розрізняти і виділяти елементи конструкцій, один розмір яких набагато більше двох інших. Це стрижні,
кільця
, арки. Тіла, які мають одного розмір набагато менше за інших, утворюють клас оболонок і пластин.
Основна проблема теорії тонких пружних оболонок полягає у зведенні тривимірної задачі теорії пружності до двовимірної задачі. Таким чином,
розвиток
загальної теорії тонких пружних пластин і оболонок йде по шляху відомості тривимірних рівнянь теорії пружності до двовимірним. Для вирішення цієї проблеми запропоновано велику кількість методів, які за класифікацією С.А. Амбарцумяна можуть бути об'єднані в три групи: метод гіпотез, метод розкладання загальних рівнянь теорії пружності по товщині оболонки і асимптотичний метод. Всі ці методи інтенсивно розвиваються, доповнюючи один одного.
Список позначень
a
1,
a
2
- криволінійні ортогональні координати серединної поверхні S
o
оболонки на лініях головних кривизн; для оболонки обертання a
1
─ поздовжня, a
2-окружна
координати; z ─ координата по нормалі
до S;
А
1,
А
2-коефіцієнти
Ляме; k
1,
k
2-головні
кривизни;
U, V, W - компоненти вектора переміщень довільної точки оболонки;
u, v, w - компоненти вектора переміщень точок поверхні S
o;
q
1,
q
2
- кути повороту нормалі
;
e
jk
- компоненти тензора деформацій;
E
11,
E
22,
E
12
- компоненти тангенціальною деформації на S: розтягування-стиснення за напрямками координат a
1
і a
2
і зрушення;
K
11,
K
22,
K
12
- компоненти згинальної деформації: зміни головних кривизн і кручення;
T
11,
T
22,
S - тангенціальні внутрішні зусилля, приведені до S
o:
зусилля розтягування-стиску і зсуву;
M
11,
M
22,
H - згинальні і крутний моменти;
Q
11,
Q
22
- перерізуючим сили;
q
1,
q
2,
q
3
- компоненти зовнішньої поверхневої навантаження, приведені до S;
E, n - модуль Юнга і коефіцієнти Пуассона матеріалу оболонки;
y
j-уніфіковані
позначення основних незалежних змінних в дозвільних системах звичайних
диференціальних
рівнянь (ОДУ);
f
j
- оператори правих частин канонічних систем ОДУ;
Розглянемо елемент довільної тонкої оболонки, нехай надалі
h - товщина оболонки, яка приймається в подальшому постійною.
Позначимо через R
1,
R
2
- головні радіуси кривизни серединної поверхні оболонки S. R = min {R
1,
R
2}.
Основним
геометричним
параметром оболонки є параметр тонкостінні чи відносна товщина, який визначається відношенням e = h / R.
Прийнята досить умовна класифікація оболонок по її товщині на тонкі, середньої довжини і товсті оболонки.
Будемо вважати оболонку тонкої, якщо її відносна товщина значно менше одиниці. Зазвичай оболонки вважають тонкими при значенні e <1 / 20. Значення 1 / 20 <e <1 / 10
відповідають
оболонці середньої товщини, а e> 1 / 10 - товстої оболонці.
Для незамкнутих оболонок можна задати
характерний
розмір розмір a. Тоді параметр тонкостенностью можна визначити як e = min (h / a, h / R).
Поверхня
оболонки S, рівновіддалених від лицьових поверхонь S
+
і S
-
називається її серединної
поверхнею
.
Криволінійні, ортогональні
системи координат
Правило диференціювання базисних
векторів
криволінійної ортогональної системи координат визначається наступним чином:
e
s, t
= - (H
t, s
/ H
s)
e
t
- d
st
ÑH
t
Ñ =
e
m
(...),
m
/ H
m
Тут H
m -
параметри Ляме координатної системи, що мають вигляд
=
(R, i)
2;
Hi
= ½
r, i
½.
Тут
r, I -
радіус
-
вектор довільної точки тіла оболонки. Зокрема:
e
1,1
= (H
1,1
/ H
1)
e
1
- (H
1,1
/ H
1)
e
1
- (H
1,2 /
H
2)
e
2
- (H
1,3
/ H
3)
e
3
e
1,2
= (H
2,1
/ H
1)
e
2;
e
3,2
= (H
2,3
/ H
3)
e
2;
H
i
(a
1,
a
2,
a
3)
Запишемо умова спільності, яке в прийнятих позначеннях має вигляд:
(E
1,1), 2
=
(e
1,2), 1
(E
1,2), 1
= ((H
2,1
/ H
1)
e
2), 1
= (H
2,1 /
H
1), 1
e
2
+ (H
2,1
/ H
1)
(H
1,2
/ H
2)
e
1;
(E
1,1), 2
= - [(H
1,2 /
H
2)
e
2
+ (H
1,3 /
H
3)
e
3], 2
=
= - (H
1,2
/ H
2), 2
e
2
+ (H
1,2
/ H
2)
((H
2,1
/ H
1)
e
1
+ (H
2,3
/ H
3)
e
3)
-
(H
1,3
/ H
3), 2
e
3
- (H
1,3
/ H
3)
(H
2,3
/ H
3)
e
2
Тоді, прирівнюючи коефіцієнти при базисних
векторах
, отримаємо:
e
1:
(H
2,1
H
1,2)
/ (H
1
H
2)
- (H
2,1
H
1,2)
/ (H
1
H
2)
º 0 - тотожність
e
2:
(H
2,1
/ H
1), 1
+ (H
1,2
/ H
2), 2
+ (H
1,3
× H
2,3)
/
= 0
e
3:
(H
1,2
× H
2,3)
/ (H
2
H
3)
- (H
1,3
/ H
3), 2
= 0
Кругова перестановка
індексів
приводить до шести рівнянь спільності параметрів Ляме.
Деякі відомості з теорії поверхонь
Розглянемо довільну гладку поверхню і систему декартових координат x, y, z.
Нехай
r
=
r
(a
1,
a
2)
- радіус-вектор довільної точки серединної поверхні оболонки. Розглянемо похідні
r
по змінним a
1
і a
2
r,
1
=
r
1;
r,
2
=
r
2
Введемо в розгляд базис
r
1
/ ½
r
1
½ =
e
1
r
2
/ ½
r
2
½ =
e
2
і позначимо ½
r
a
½ =
A a
на серединній поверхні S (
a
3
= 0). У цьому випадку
r
i
= A
i
e
i
Складемо скалярні добутки:
r
a
×
r
b
= G
a b;
G
11
=
; G
22
=
G
12
= G
21
= 0 для ортогональної системи координат
При цьому утворюється тензор другого рангу
= G
a b
r
a
r
b,
який називається першим фундаментальним тензором поверхні.
ds
2
= (d
r)
2
=
(r,
1
da
1
+
r,
2
da
2)
2
=
=
(R
1
da
1
+
r
2
da
2)
2
= G
11
d
+ 2G
12
da
1
da
2
+ C
22
d
=
=
d
+
d
;
Коефіцієнти А
1
і А
2
є коефіцієнтами першого квадратичної форми і називаються параметрами Ляме. Перша квадратична форма визначає так звану внутрішню геометрію поверхні і визначає метрику поверхні. Введемо в розгляд одиничний вектор зовнішньої нормалі до поверхні
N.
Запишемо очевидне співвідношення
N
×
N
= 1 і продиференціюємо його по a
1,
a
2:
2
N
×
N,
i
= 0; очевидно, вектор
N,
I
лежить в дотичній площини до поверхні S і може бути представлений у вигляді розкладання
N,
i
= B
ij
r
j.
При цьому вводиться в розгляд тензор другого рангу
=
B a b
×
r
a
×
r
b,
є другим фундаментальним тензором поверхні, а його компоненти
B a b -
коефіцієнтами другого квадратичної форми поверхні, що визначає зовнішню геометрію поверхні.
У головних осях тензор
може бути записаний у вигляді:
=
= K
1
e
1
e
1
+ k
2
e
2
e
2
k
1
=
1
/ R
1;
k
2
= 1 / R
2
-
головні кривизни
Надалі координатні лінії обираються вздовж головних осей кривизни. Нехай надалі
I
1
= k
1
+ k
2
- перший інваріант (середня кривизна)
I
2
= k
1
× k
2
- другий інваріант (гауссова кривизна)
Спеціальна
система координат
в теорії оболонок
N
=
e
1
'e
2
Для будь-якої точки тіла оболонки:
r
(a
1,
a
2,
a
3)
=
r
(a
1,
a
2)
+ a
3
N
=
(R,
i)
2
=
(r,
i
+ (a
3
N),
i)
2
=
(r
i
+ a
3
B
ij
r
j)
2
(B
12
= B
21
= 0)
=
(R
1
+ a
3
N,
1)
2
= (r
1
+ a
3
× B
11
r
1)
2
=
(1 + a
3
k
1)
2
H
1
= A
1
(1 + a
3
k
1);
H
2
= A
2
(1 + a
3
k
2);
(½ r
i
½ = A
i)
=
N
×
N
= 1 ® H
3
= 1 -
параметри Ляме в спеціальній системі координат
Співвідношення Гауса і Кодацці
Рівняння спільності параметрів Ляме:
(H
2,1
/ H
1), 1
+ (H
1,2
/ H
2), 2
+ (H
1,3
× H
2,3)
/
= 0
(H
1,2
× H
2,3)
/ (H
2
H
3)
- (H
1,3
/ H
3), 2
= 0
У спеціальній системі координат
H
b
= A
b
(1 + a
3
k
b);
H
3
= 1 (b = 1,2)
Розглянемо серединну поверхню a
3
= 0
(A
2,1
/ A
1), 1
+ (A
1,2
/ A
2), 2
+ k
1
A
1
k
2
A
2
= 0 -
співвідношення Гаусса.
A
1,2
k
2
- (A
1
k
1), 2
= 0, (A
1
k
1), 2
= A
1,2
k
2
при заміні індексів отримуємо два співвідношення Кодацці
(A
2
k
2), 1
= A
2,1
k
1
Вектор переміщень
u
=
R
-
r
= u
1
e
1
+ u
2
e
2
+ u
3
e
3
R
- поточна конфігурація
r
- відлікової конфігурація
u,
i
= (u
k
e
k),
i = (u
k),
i
e
k
+ u
k
(e
k),
i
Диференціювання ортов в спеціальній системі координат
e
1,1
= -
e
2
(H
1,2
/ H
2)
-
e
3
(H
1,3
/ H
3)
= -
e
2
1 / (A
2
(1 + a
3
k
2))
× [A
1
(1 + a
3
k
1)], 2
-
e
3
× [A
1
(1 + a
3
k
1)], 3
= -
e
2
1 / (A
2
(1 + a
3
k
2))
[A
1,2
+ a
3
(A
1
k
1), 2]
-
e
3
A
1
k
1
=
= - E
2 (A 1,2
(1 + a
3
k
2))
/ (A
2
(1 + a
3
k
2))
-
e
3
A
1
k
1
=
= -
E
2
(A
1,2 /
A
2)
-
e
3
A
1
k
1;
e
1,2
=
e
2
(H
2,1
/ H
1)
=
e
2
1 / (A
1
(1 + a
3
k
1))
[A
2,1
+ a
3
(A
2
k
2), 1]
=
= E
2 (A 2,1
(1 + a
3
k
1))
/ (A
1
(1 + a
3
k
1))
=
e
2
(A
2,1 /
A
1);
e
1,3
=
e
3 (H 3,1
/ H
1)
= 0 (т.к H
3
= 1)
e
2,1
=
e
1
(A
1,2 /
A
2)
- отримуємо з
e
1,2
заміною (1 «2)
e
2,3
=
e
3 (H 3,2
/ H
2)
= 0
e
3,2
=
e
2 (H 2,3
/ H
3)
=
e
2
A
2
k
2
e
3,1
=
e
1 (H 1,3
/ H
3)
=
e
1
A
1
k
1
e
3,3
= 0 (H
3
= 1)
Подовження, зрушення і повороти елемента суцільного середовища
а) Розглянемо подовження
d
r
- в відлікової конфігурації, d
R
- у поточній конфігурації
d
R
= d
r ×
;
R (
=
E
k
(...),
k
/
H
k)
R
=
r
+
u
(R
+
u)
=
r
+
u
=
u
Розглянемо відносне подовження
(½ d
R
½ - ½ d
r
½) / ½ d
r
½ = e; ½ d
R
½ = dS; ½ d
r
½ = ds;
dS
2
- ds
2
= d
R ×
d
R
- d
r ×
d
r
= d
r ×
×
d
r ×
-
D
r ×
d
r =
=
d
r ×
×
×
d
r
- d
r ×
×
d
r =
d
r (
×
- ×
) × d
r
=
= 2d
r
×
×
d
r;
= 0,5 (
×
-
) - Тензор деформацій Гріна
= 0,5 [(
+
u)
(
+
u
T)
-
] = 0,5 (
u +
u
T
+
u ×
u
T)
d
r
=
e
ds ®
e
= d
r
/ ½ d
r
½ - одиничний вектор
dS
2
- ds
2
= 2ds
2
e
×
e
G
×
e
(DS
2
- ds
2)
/ ds
2
= (dS / ds)
2
- 1 = 2
e
×
e
G
×
e
dS / ds = (1 + 2
e
×
e
G
×
e)
1 / 2;
e
e = (dS - ds) / ds = (1 + 2
e
×
e
G
×
e)
1 / 2
- 1 - подовження
Нехай
e
=
e
1;
= (1 +2
)
1 / 2
- 1 = 1 +
+ ... - 1 =
»E
11
e
= 0,5 (Ñ
u
+ Ñ
u
T)
- лінійний тензор деформацій Коші.
Деформації зсуву
Виділимо два прямолінійних
волокна
, напрям яких визначається одиничними векторами
m
1
і
m
2
d
r
1
=
m
1
ds
1;
d
r
2
=
m
2
ds
2;
ds
i
= ½ d
r
i
½ - довжини елементів волокон до деформацій
Деформації зсуву характеризується зміною кута q
12
cos q
12
- cos Q
12
= (d
r
1
× d
r
2)
/ (ds
1
× ds
2)
- (d
R
1
× d
R
2)
/ (dS
1
× dS
2)
=
=
M
1
×
m
2
- [(d
r
1
×
× d
r
2)
/ ds
1
(1 + e
m1)
ds
2
(1 + e
m2)]
=
=
M
1
×
m
2
-
m
1
×
×
m
2
=
m
1
× (
-
) ×
m
2
= - 2
m
1
×
×
m
2;
Нехай
m
1
=
e
1;
m
2
=
e
2;
m
1
×
m
2
= 0
cos q
12
= 0 0 - cos Q
12
= -2
cos Q
12
= cos (p / 2 - g
12)
= 2
= Sin g
12
= g
12
g
12
- кут зсуву; g
12
»e
12,
якщо g
12
- невеликий
Повороти
Розглянемо
матеріальне
волокно d
r
=
e
ds
w
= (d
r
'd
R)
/ (½ d
r
½ × ½ d
R
½) - вектор повороту матеріального волокна
½
w
½ = sin j
w
- нормаль, щодо якої відбувається поворот
w
= (d
r
'(d
r ×
)) / (D
s
× d
s
(1 +
e
e)) =
e '(e
×
)
=
=
E '[e × (
u)]
=
e 'e
+
e' (e ×
u)
=
e '(e ×
u)
Нехай
e
=
e
t
- базисні вектора t = 1,2,3
w
t
- вектор повороту матеріального волокна t
w
t
=
e
t
'(e
t
×
u)
=
e
t
'(e
t
× u
kj
e
k
e
j)
=
u
= u
kj
e
k
e
j
=
E
t
'(u
kj
d
tk
e
j)
=
e
t'
u
tj
e
j
=
= U
tj 'tjk
e
k
= w
tk
e
k
=
w
t,
де w
tk
= u
tj' tjk
'Tjk
-
символи
Леві-Чівіта, які визначаються:
СЛЧ = 0, якщо серед r, s, t є однакові
= +1, Якщо
індекси
r, s, t - різні ® 123, 231, 312
= -1, Якщо цей порядок порушується
'Rst
=
e
r
× (e
s'
e
t)
w
tk
характеризує
поворот орта t щодо орта k.
Введемо тензор другого рангу
= W
tk
e
t
e
k
- тензор повороту
w
11
= 0; w
12
= u
1j '1j2
= - u
13;
w
13
= u
1j' 1j3
= u
12
w
21
= u
2j '2j1
= u
23;
w
22
= 0; w
23
= - u
21
w
31
= u
3j '3j1
= - u
32;
w
32
= u
3j' 3j2
= u
31;
w
33
= 0;
Визначимо компоненти градієнта вектора переміщень в спеціальній системі координат:
(
=
E
s (...), s
/ H
s;
H
i
= A
i (1
+ a
3
k
i)
i = 1,2 H
3
= 1
"O" - надалі опускаємо
Ñ
u
=
e
s
(u
1
e
1
+ u
2
e
2
+ u
3
e
3), s
/ H
s
=
e
1 (u 1,1 /
H
1)
e
1
+
e
1
(e
1,1
/ H
1)
u
1
+
e
2 (u 1,2 /
H
2)
e
1
+
+
E
2
(e
1,2
/ H
2)
u
1
+
e
3 (u 1,3 /
H
3)
e
1
+
e
3
(e
1,3
/ H
3)
u
1
+
e
1 (u 2,1 /
H
1)
e
2
+
e
1
(e
2,1
/ H
1)
u
2
+
+
E
2 (u 2,2 /
H
2)
e
2
+
e
2
(e
2,2
/ H
2)
u
2
+
e
3 (u 2,3 /
H
3)
e
2
+
e
3
(e
2,3
/ H
3)
u
2
+
e
1 (u 3,1 /
H
1)
e
3
+
+
E
1
(e
3,1
/ H
1)
u
3
+
e
2 (u 3,2 /
H
2)
e
3
+
e
2
(e
3,2
/ H
2)
u
3
+
e
3 (u 3,3 /
H
3)
e
3
Після підстановки виразів e
k, j
(j, k = 1,2,3)
H
i
= A
i
(1 + a
3
k
i)
i = 1,2; H
3
= 1
h / 2 £ a
3
£ h / 2; враховуючи, що h / R
i
"1, тобто оболонка тонка, отримаємо:
u
11
= u
1,1
/ A
1
+ (A
1,2
/ (A
1
A
2))
u
2
+ u
3
k
1
u
12
= u
2,1
/ A
1
- (A
1,2
/ (A
1
A
2))
u
1
u
13
= u
3,1
/ A
1
- u
1
k
1
u
21
= u
1,2
/ A
2
- (A
2,1
/ (A
1
A
2))
u
2
u
22
= u
2,2
/ A
2
+ (A
2,1
/ (A
1
A
2))
u
1
+ u
3
k
2
u
23
= u
3,2
/ A
2
- u
2
k
2
u
31
= u
1,3
u
32
= u
2,3
u
33
= u
3,3
= 0,5 (Ñ
u
+ Ñ
u
T)
Þ e
ii
= u
ii
Для подовжень маємо:
e
11
= u
11;
e
22
= u
22;
e
33
= u
33;
Для деформацій зсуву відповідно:
e
12
= 0,5 (u
12
+ u
21)
= 0,5 [(A
2
/ A
1)
(u
2
/ A
2), 1
+ (A
1
/ A
2)
(u
1
/ A
1), 2]
e
13
= 0,5 (u
13
+ u
31)
= 0,5 (u
3,1
/ A
1
+ u
1,3
- u
1
k
1)
e
23
= 0,5 (u
23
+ u
32)
= 0,5 (u
3,2
/ A
2
+ u
2,3
- u
2
k
2)
Кути повороту визначаються через переміщення наступним чином: w
ii
= 0
w
12
= - u
13
= - u
3,1
/ A
1
+ u
1
k
1
w
21
= u
23
= u
3,2
/ A
2
- u
2
k
2;
w
13
= u
12
w
23
= - u
21
w
31
= - u
32
= - u
2,3;
w
32
= u
31
= u
1,3.
Теорія
малих подовжень і малих квадратів кутів повороту
Розглянемо тензор нелінійних деформацій Гріна:
= 0,5 (Ñ
u
+ Ñ
u
T
+ Ñ
u
× Ñ
u
T)
=
+ 0,5 Ñ
u
× Ñ
u
T
Його нелінійна частина визначається наступним чином:
Ñ
u
× Ñ
u
T
= u
mn
e
m
×
e
n
× u
ij
e
j
e
i
= u
mn
u
ij
d
nj
e
m
×
e
i
=
= U
mn
u
in
e
m
e
i;
Þ e
mi
= e
mi
+ 0,5 u
mn
u
in
Таким чином, компоненти тензора деформацій можна записати у вигляді:
e
11
= e
11
+ 0,5 (
)
e
12
= e
12
+ 0,5 (u
11
u
21
+ u
12
u
22
+ u
13
u
23)
e
13
= e
13
+ 0,5 (u
11
u
31
+ u
12
u
32
+ u
13
u
33)
e
21
= e
21
+ 0,5 (u
21
u
11
+ u
22
u
12
+ u
23
u
13)
e
22
= e
22
+ 0,5 (
)
e
31
= e
31
+ 0,5 (u
31
u
11
+ u
32
u
12
+ u
33
u
13)
e
32
= e
32
+ 0,5 (u
31
u
21
+ u
32
u
22
+ u
33
u
23)
e
33
= e
33
+ 0,5 (
)
e
23
= e
23
+ 0,5 (u
21
u
31
+ u
22
u
32
+ u
23
u
33)
або, підставляючи вирази для кутів повороту:
e
11
= e
11
+ 0,5 (
)
e
22
= e
22
+ 0,5 (
)
e
33
= e
33
+ 0,5 (
)
e
12
= e
12
+ 0,5 (-e
11
w
23
+ e
22
w
13
- w
12
w
21)
e
13
= e
13
+ 0,5 (e
11
w
32
- w
13
w
31
- w
12
w
33)
e
23
= e
23
+ 0,5 (- w
32
w
23-e 22
w
31
+ e
33
w
21)
(U
21
=-w
23;
u
23
= w
21;
u
31
= w
32;
u
12
= w
13;
u
32
=-w
31;
u
31
= w
32;
u
11
= e
11;
u
22
= e
22;
u
33
= e
33)
Введемо наступні припущення:
e
ii
<<1 - деформації розтягування-стиснення
малі
припускаємо, що величини поворотів w
13
<<1; w
23
<<1, а щодо інших величин можна прийняти, що
<<1
w
ij
- кут повороту i-го орта щодо j-го орта. Таким чином з співвідношень (...) слід:
e
11
= e
11
+ 0,5
e
22
= e
22
+ 0,5
e
33
= e
33
+ 0,5 (
)
e
12
= e
12
- 0,5 w
12
w
21
e
13
= e
13
+ 0,5 (e
11
w
32
- w
13
w
31
- w
12
w
33)
e
23
= e
23
+ 0,5 (- w
32
w
23-e 22
w
31
+ e
33
w
21)
Гіпотези Кірхгофа-Лява
Результати, отримані в попередніх параграфах, засновані на
геометричних
і статичних міркуваннях. Проте їх недостатньо для повної побудови теорії оболонок. При виборі співвідношень, що зв'язують компоненти деформацій з переміщеннями і зусилля і моменти з компонентами деформацій доводиться приймати деякі спрощують підходи. Перший полягає в тому, що оболонку розглядають як тривимірне пружне тіло. Рішення
відповідних
рівнянь теорії пружності розшукуються шляхом розкладання всіх величин до лав за ступенями точки оболонки від серединної поверхні. Цей підхід, запропонований в теорії пластин А. Коші, дозволяє при утриманні достатнього числа членів (за умови збіжності рядів) отримати рішення близьке до точного. Цей метод досить громіздкий, тому в більшості випадків йдуть іншим шляхом. У другому підході запропонованому також при побудові теорії пластин Г. Кірхгофа приймаються гіпотези, аналогічні тим, які використовуються в теорії балок:
прямолінійні і нормальні до серединної поверхні волокна недеформованою оболонки залишаються прямолінійними і нормальними до деформованої серединної поверхні і не змінюють своєї довжини;
нормальні напруження на площадках, паралельних майданчикам серединної поверхні, пренебрежимо малі в порівнянні з іншими напругами.
Перша гіпотеза має
геометричний
характер
, друга - статичний.
Теорія
оболонок, заснована на гіпотезах Кірхгофа, була побудована, в основному А. Лявом, тому в теорії оболонок гіпотези 1 і 2 прийнято називати гіпотезами Кірхгофа-Лява. Іноді їх називають гіпотезою жорсткої (недеформованою) нормалі або гіпотезою збереження нормалі.
Гіпотеза 1 використовується тільки для запису залежностей деформації оболонки від переміщень, гіпотеза 2 - для запису залежностей деформацій від напружень. У першому випадку передбачається, що в нормальних перетинах відсутні зрушення e
13
= e
23
= 0, і поперечні деформації e
33
= 0. У другому випадку допускається, що нормальне напруга s
33
незначно впливає на деформації e
11
і e
22,
так що ці деформації виражаються через нормальні напруги s
11,
s
22
і s
33
<<{s
11,
s
12,
s
22}.
Таким чином гіпотезу 1 не можна розуміти в буквальному сенсі, оскільки насправді в оболонках мають місце поперечні зрушення - поперечні або як їх іноді називають перерізуючим сили не рівні нулю.
Гіпотези Кірхгофа-Лява прості і фізичні. Вони дозволяють звести тривимірну задачу визначення напружено-деформованого
стану
оболонки до двовимірної. Дослідження поведінки елемента оболонки в рамках цих гіпотез зводиться до дослідження поведінки її серединної поверхні. Слід зазначити, що
теорія
, побудована на гіпотезах Кірхгофа-Лява, є істотно наближеною. Прийняття цих гіпотез вносить похибка порядку h / R, де h - товщина оболонки, R - мінімальний лінійний розмір серединної поверхні.
Розглянемо елемент тонкої оболонки зі серединної поверхнею S. До деформування в початкової конфігурації радіус-вектор довільної точки оболонки, не лежить на серединній поверхні може бути представлений у вигляді:
r
(a
1,
a
2,
a
3)
=
r
(a
1,
a
2)
+ a
3
n
r
(a
1,
a
2)
- радіус-вектор
проекції точки
на S до деформації.
Після деформування (в актуальній конфігурації)
R
(a
1,
a
2,
a
3)
=
P
(a
1,
a
2)
+ a
3
N
P
(a
1,
a
2)
- радіус-вектор проекції точки на S після деформації
Тоді вектор переміщень запишеться у вигляді:
u
=
R
-
r
=
P
-
r
+ a
3
(N
-
n)
= =
u
° (a
1,
a
2)
+ a
3
u
1
(a
1,
a
2)
u
° - вектор переміщень точок, що лежать на S
У координатної формі відповідно:
u
1
=
(A
1,
a
2)
+ a
3
(A
1,
a
2)
u
2
=
(A
1,
a
2)
+ a
3
(A
1,
a
2)
u
3
=
(A
1,
a
2)
При цьому компоненти вектора переміщень u
1
і u
2
лінійним чином залежать від координати a
3,
а
функція
поперечного
прогину постійна по товщині чинності недеформируемой нормалі.
Розглянемо детальніше
геометричну
гіпотезу Кірхгофа-Лява. Той факт, що нормаль до серединної поверхні S у
процесі
деформування залишається нормаллю призводить до співвідношень:
e
13
= 0, e
23
= 0
Таким чином
u
3,1
/ A
1
+ u
1,3
- u
1
k
1
= 0
/ A
1
+
- (
+ A
3
) K
1
= 0
(1 - a
3
k
1)
-
k
1
+
/ A
1
= 0
вважаючи оболонку досить тонкої, нехтуємо членом a
3
k
1
<<1
(A
1,
a
2)
= -
/ A
1
+
k
1
(A
1,
a
2)
= -
/ A
2
+
k
2
w
12
= - u
3,1
/ A
1
+ u
1
k
1
= -
/ A
1
+
k
1
+ a
3
k
1
=
= -
/ A
1
+
k
1
+ a
3
k
1
(-
/ A
1
+
k
1)
=
= (-
/ A
1
+
k
1)
(1 + a
3
k
1)
=
(1 + a
3
k
1)
»
=
= -
/ A
1
+
k
1
= q
1
(a
1,
a
2)
- кут повороту на поверхні S.
Аналогічно:
w
21
= u
3,2
/ A
2
- u
2
k
2
»
=
/ A
2
-
k
2
= -
= - Q
2
(a
1,
a
2)
Позначимо:
= U;
= V;
= W тоді можна записати:
u
1
= u + a
3
q
1,
u
2
= v + a
3
q
2,
u
3
= w
Введемо в розгляд плоский вектор переміщень і поворотів:
u
= u
e
1
+ v
e
2
q
= q
1
e
1
+ q
2
e
2
Тензор Рімана в головних осях можна представити у вигляді:
= K
1
e
1
e
1
+ k
2
e
2
e
2;
k
i
= 1 / R
i
Остаточно
кінематичні
співвідношення,
відповідні
теорії Кірхгофа-Лява запишуться у вигляді:
q
=-Ñw +
×
u
Ñ =
e
s
(1 / A
s)
(¶ / ¶ s) (s = 1,2)
u
(a
1,
a
2,
a
3)
= u
1
e
1
+ u
2
e
2
=
u
(a
1,
a
2)
+ a
3
q
(a
1,
a
2)
u
3
= w (a
1,
a
2)
З урахуванням проведених викладок для компонентів тензора деформацій маємо:
e
11
= e
11
+ 0,5
=
+ A
3
=
/ A
1
+ A
1,1
/ (A
1
A
2)
+
k
1
+ 0,5
= Q
1,1
/ A
1
+ A
1,1
/ (A
1
A
2)
q
2
(w
12
= q
1)
e
22
= e
22
+ 0,5
=
/ A
2
+ A
2,1
/ (A
1
A
2)
+
k
2
+ 0,5
= Q
2,2
/ A
2
+ A
2,1
/ (A
1
A
2)
q
1
e
12
= e
12
- 0,5 w
12
w
21
= e
12
+ 0,5 q
1
q
2
=
(W
21
=-q
2)
= 0,5 [(A
2
/ A
1)
(
/ A
2), 1
+ (A
1
/ A
2)
(
/ A
1), 2]
+ 0,5 q
1
q
2
= 0,5 [(A
2
/ A
1)
(q
2
/ A
2), 1
+ (A
1
/ A
2)
(q
1
/ A
1), 2]
Введемо в розгляд плоский тензор деформацій
= E
11
e
1
e
1
+ e
12
(e
1
e
2
+
e
2
e
1)
+ e
22
e
2
e
2
Він
може бути записаний в іншій формі:
=
+ A
3
, Де
=
e
1
e
1
+
(E
1
e
2
+
e
2
e
1)
+
e
2
e
2
(b = 0,1)
Таким чином використання
геометричній
гіпотези Кірхгофа-Лява призводить до лінійного розподілу переміщень і деформацій по товщині оболонки. У компактній формі можна записати:
= 0,5 (Ñ
u
+ Ñ
u
T)
+
w
+ 0,5
qq
= 0,5 (Ñ
q
+ Ñ
q
T)
характеризує
деформації розтягування-стиснення серединної поверхні S,
- Зміна кривизн і кручення серединної поверхні.
Визначення напруженого стану оболонки
dS = H
2
da
2
da
3
= A
2
(1 + a
3
k
2)
da
2
da
3
S
11
=
A
2
(1 + a
3
k
2)
da
3
da
2
= A
2
da
2
×
×
(1 + a
3
k
2)
da
3,
A
2
da
2
-
довжина середньої лінії.
Введемо зусилля на одиницю довжини:
T
11
= S
11 /
(A
2
da
2)
(1 + a
3
k
2)
da
3
Аналогічно:
T
12
=
(1 + a
3
k
2)
da
3;
T
22
=
(1 + a
3
k
1)
da
3;
T
21
=
(1 + a
3
k
1)
da
3
T
a b
- зусилля розтягування-стиснення у серединній поверхні оболонки. У подальшому:
T
a b
=
da
3 (a,
b) = 1,2,
= T
a b
e
a
e
b
= T
11
e
1
e
1
+ T
22
e
2
e
2
+ T
12
(e
1
e
2
+
e
2
e
1)
Введемо згинальні моменти
М
a b
=
a
3
da
3
= M
11
e
1
e
1
+ M
22
e
2
e
2
+ M
12
(e
1
e
2
+
e
2
e
1)
Q
b
=
da
3,
b = 1,2 s
b
- перерізуючим сили
Q
= Q
1
e
1
+ Q
2
e
2
Зв'яжемо напружений стан з її деформують.:
Зауваження про можливість використання лінійних физич. співвідношень
Матеріал
: однорідний, ізотропний
Узагальнений закон Гука:
e
11
= (1 / E) [s
11
- n (s
22
+ s
33)]
e
12
= (1/2m) s
12
e
22
= (1 / E) [s
22
- n (s
11
+ s
33)]
e
23
= (1/2m) s
23
e
33
= (1 / E) [s
33
- n (s
11
+ s
22)]
e
13
= (1/2m) s
13
E = 2m (1 + n)
Теорія
- геометр. нелінійна, але физич. - Лінійна.
По 2-ій гіпотезі Кірхгофа-Лява:
s
33
= 0
s
11
- ns
22
= Ee
11
Þ s
11
= E / (1-n
2)
(e
11
+ ne
22)
s
22
- ns
11
= Ee
22
s
22
= E / (1-n
2)
(e
22
+ ne
11)
s
12
= 2m e
12
E / (1 + n) e
12
T
11
=
da
3
=
/ (1-n
2)
(e
11
+ ne
22)
da
3
=
= E / (1-n
2)
= (Eh) / (1-n
2)
- Т.к
матеріал
- однород.
B = (Eh) / (1-n
2)
- жорсткість на розтяг. - Стиснутої
T
11
= B
; T
22
= B
;
T
12
= (Eh) (1 + n)
= B (1-n)
M
11
=
=
= E / (1-n
2)
= (E) / (1-n
2)
=
= (Eh
3)
/ (12 (1-n
2))
M
11
= D
, D = (Eh
3)
/ (12 (1-n
2))
- жорсткість на вигин (циліндрична жорсткість)
M
22
= D
; M
12
= D (1-n)
.
Будь ласка, не зберігайте тестовий текст.
Ваш ip: 3.17.154.171 буде збережений.
категорії
за типом
за алфавітом
завантажені
© Усі права захищені
написати до нас