Введення. Основні визначення
Конструктивні форми сучасних машин і споруд надзвичайно різноманітні. Вибір форми деталі, вузла або споруди визначається багатьма факторами: їх призначенням, умовами роботи, технологією виготовлення, вартістю, а також методами розрахунку. Одним з найпоширеніших типів сучасних і перспективних конструкцій є тонкостінні оболонки. Тонкі пластини і оболонки знаходять виключно широке застосування в конструкції найрізноманітніших інженерних споруд. З цієї причини створення надійних досконалих конструкцій безпосередньо залежить від рівня розвитку теорії тонких пластин і оболонок.Тонка оболонка може бути визначена як тіло, обмежене двома криволінійними поверхнями, відстань між якими мало в порівнянні з іншими розмірами. Таким чином, для оболонкових конструкцій характерна тонкостінні.
До оболонкам відносяться, зокрема, тонкостінні просторові системи, окреслені по криволінійних поверхонь. Оболонки здатні витримувати різноманітні види навантажень і забезпечувати ізоляцію від навколишнього середовища. Їм можна надати обтічну форму і на їх основі отримати відносно легкі конструкції, що має величезне значення в авіакосмічній промисловості
Зниження матеріаломісткості конструкції - важливий фактор для багатьох машин і агрегатів. Вигідно це і в будівельних спорудах. Оболонки дозволяють ефективно вирішувати проблему мінімізації маси.
В даний час оболонки можна бачити всюди. Висотні будівлі і телевежі, спортивно-концертні комплекси, криті стадіони і ринки, цистерни та резервуари, трубопроводи і градирні, літаки і ракети, надводні та підводні кораблі, автомобілі в істотній частині складаються з оболонок. Транспортні конструкції характеризуються не тільки можливістю досягнення високих швидкостей, аеродинамічним досконалістю форм, вантажопідйомністю. Вони втілюють також ідеї оптимальності, економічності, вагової досконалості.
Оболонки як елементи конструкцій відомі давно. Це і паровий котел, і водопровід у стародавньому Римі. З давніх часів відомі ємності для зберігання рідин і зерна, криволінійні склепіння перекриттів у будівництві. Але вирішальну роль в самих різних галузях сучасної техніки оболонки стали грати останні кілька десятиліть.
Термін "оболонка" відноситься до числа перевантажених і в нього можна вкладати різний зміст. Далі під оболонками розуміються конструкції, здатні виконувати силові, експлуатаційні, технологічні, архітектурні та естетичні функції.
При математичному моделюванні з поняттям оболонки в першу чергу пов'язується уявлення про геометричній поверхні. У механіці деформівного твердого тіла та будівельної механіки класифікація об'єктів (тел) заснована на особливостях їхньої форми і співвідношенні характерних розмірів.
Прийнято розрізняти і виділяти елементи конструкцій, один розмір яких набагато більше двох інших. Це стрижні, кільця, арки. Тіла, які мають одного розмір набагато менше за інших, утворюють клас оболонок і пластин.
Основна проблема теорії тонких пружних оболонок полягає у зведенні тривимірної задачі теорії пружності до двовимірної задачі. Таким чином, розвиток загальної теорії тонких пружних пластин і оболонок йде по шляху відомості тривимірних рівнянь теорії пружності до двовимірним. Для вирішення цієї проблеми запропоновано велику кількість методів, які за класифікацією С.А. Амбарцумяна можуть бути об'єднані в три групи: метод гіпотез, метод розкладання загальних рівнянь теорії пружності по товщині оболонки і асимптотичний метод. Всі ці методи інтенсивно розвиваються, доповнюючи один одного.
Список позначень
a 1, a 2 - криволінійні ортогональні координати серединної поверхні S o оболонки на лініях головних кривизн; для оболонки обертання a 1 ─ поздовжня, a 2-окружна координати; z ─ координата по нормаліА 1, А 2-коефіцієнти Ляме; k 1, k 2-головні кривизни;
U, V, W - компоненти вектора переміщень довільної точки оболонки;
u, v, w - компоненти вектора переміщень точок поверхні S o;
q 1, q 2 - кути повороту нормалі
e jk - компоненти тензора деформацій;
E 11, E 22, E 12 - компоненти тангенціальною деформації на S: розтягування-стиснення за напрямками координат a 1 і a 2 і зрушення;
K 11, K 22, K 12 - компоненти згинальної деформації: зміни головних кривизн і кручення;
T 11, T 22, S - тангенціальні внутрішні зусилля, приведені до S o: зусилля розтягування-стиску і зсуву;
M 11, M 22, H - згинальні і крутний моменти;
Q 11, Q 22 - перерізуючим сили;
q 1, q 2, q 3 - компоненти зовнішньої поверхневої навантаження, приведені до S;
E, n - модуль Юнга і коефіцієнти Пуассона матеріалу оболонки;
y j-уніфіковані позначення основних незалежних змінних в дозвільних системах звичайних диференціальних рівнянь (ОДУ);
f j - оператори правих частин канонічних систем ОДУ;
Розглянемо елемент довільної тонкої оболонки, нехай надалі
h - товщина оболонки, яка приймається в подальшому постійною.
Позначимо через R 1, R 2 - головні радіуси кривизни серединної поверхні оболонки S. R = min {R 1, R 2}.
Основним геометричним параметром оболонки є параметр тонкостінні чи відносна товщина, який визначається відношенням e = h / R.
Прийнята досить умовна класифікація оболонок по її товщині на тонкі, середньої довжини і товсті оболонки.
Будемо вважати оболонку тонкої, якщо її відносна товщина значно менше одиниці. Зазвичай оболонки вважають тонкими при значенні e <1 / 20. Значення 1 / 20 <e <1 / 10 відповідають оболонці середньої товщини, а e> 1 / 10 - товстої оболонці.
Для незамкнутих оболонок можна задати характерний розмір розмір a. Тоді параметр тонкостенностью можна визначити як e = min (h / a, h / R).
Поверхня оболонки S, рівновіддалених від лицьових поверхонь S + і S - називається її серединної поверхнею.
Криволінійні, ортогональні системи координат
Правило диференціювання базисних векторів криволінійної ортогональної системи координат визначається наступним чином:e s, t = - (H t, s / H s) e t - d st ÑH t
Ñ = e m (...), m / H m
Тут H m - параметри Ляме координатної системи, що мають вигляд
Тут r, I - радіус - вектор довільної точки тіла оболонки. Зокрема:
e 1,1 = (H 1,1 / H 1) e 1 - (H 1,1 / H 1) e 1 - (H 1,2 / H 2) e 2 - (H 1,3 / H 3) e 3
e 1,2 = (H 2,1 / H 1) e 2; e 3,2 = (H 2,3 / H 3) e 2; H i (a 1, a 2, a 3)
Запишемо умова спільності, яке в прийнятих позначеннях має вигляд:
(E 1,1), 2 = (e 1,2), 1
(E 1,2), 1 = ((H 2,1 / H 1) e 2), 1 = (H 2,1 / H 1), 1 e 2 + (H 2,1 / H 1) (H 1,2 / H 2) e 1;
(E 1,1), 2 = - [(H 1,2 / H 2) e 2 + (H 1,3 / H 3) e 3], 2 =
= - (H 1,2 / H 2), 2 e 2 + (H 1,2 / H 2) ((H 2,1 / H 1) e 1 + (H 2,3 / H 3) e 3) -
(H 1,3 / H 3), 2 e 3 - (H 1,3 / H 3) (H 2,3 / H 3) e 2
Тоді, прирівнюючи коефіцієнти при базисних векторах, отримаємо:
e 1: (H 2,1 H 1,2) / (H 1 H 2) - (H 2,1 H 1,2) / (H 1 H 2) º 0 - тотожність
e 2: (H 2,1 / H 1), 1 + (H 1,2 / H 2), 2 + (H 1,3 × H 2,3) /
e 3: (H 1,2 × H 2,3) / (H 2 H 3) - (H 1,3 / H 3), 2 = 0
Кругова перестановка індексів приводить до шести рівнянь спільності параметрів Ляме.
Деякі відомості з теорії поверхонь
Розглянемо довільну гладку поверхню і систему декартових координат x, y, z.Нехай r = r (a 1, a 2) - радіус-вектор довільної точки серединної поверхні оболонки. Розглянемо похідні r по змінним a 1 і a 2
r, 1 = r 1; r, 2 = r 2
Введемо в розгляд базис
r 1 / ½ r 1 ½ = e 1 r 2 / ½ r 2 ½ = e 2
і позначимо ½ r a ½ = A a на серединній поверхні S ( a 3 = 0). У цьому випадку r i = A i e i
Складемо скалярні добутки:
r a × r b = G a b; G 11 =
G 12 = G 21 = 0 для ортогональної системи координат
При цьому утворюється тензор другого рангу
ds 2 = (d r) 2 = (r, 1 da 1 + r, 2 da 2) 2 =
= (R 1 da 1 + r 2 da 2) 2 = G 11 d
=
Коефіцієнти А 1 і А 2 є коефіцієнтами першого квадратичної форми і називаються параметрами Ляме. Перша квадратична форма визначає так звану внутрішню геометрію поверхні і визначає метрику поверхні. Введемо в розгляд одиничний вектор зовнішньої нормалі до поверхні N. Запишемо очевидне співвідношення N × N = 1 і продиференціюємо його по a 1, a 2:
2 N × N, i = 0; очевидно, вектор N, I лежить в дотичній площини до поверхні S і може бути представлений у вигляді розкладання N, i = B ij r j.
При цьому вводиться в розгляд тензор другого рангу
є другим фундаментальним тензором поверхні, а його компоненти B a b - коефіцієнтами другого квадратичної форми поверхні, що визначає зовнішню геометрію поверхні.
У головних осях тензор
k 1 = 1 / R 1; k 2 = 1 / R 2 -
головні кривизни
Надалі координатні лінії обираються вздовж головних осей кривизни. Нехай надалі
I 1 = k 1 + k 2 - перший інваріант (середня кривизна)
I 2 = k 1 × k 2 - другий інваріант (гауссова кривизна)
Спеціальна система координат в теорії оболонок
N = e 1 'e 2Для будь-якої точки тіла оболонки:
r (a 1, a 2, a 3) = r (a 1, a 2) + a 3 N
H 1 = A 1 (1 + a 3 k 1); H 2 = A 2 (1 + a 3 k 2); (½ r i ½ = A i)
параметри Ляме в спеціальній системі координат
Співвідношення Гауса і Кодацці
Рівняння спільності параметрів Ляме:(H 2,1 / H 1), 1 + (H 1,2 / H 2), 2 + (H 1,3 × H 2,3) /
(H 1,2 × H 2,3) / (H 2 H 3) - (H 1,3 / H 3), 2 = 0
У спеціальній системі координат
H b = A b (1 + a 3 k b); H 3 = 1 (b = 1,2)
Розглянемо серединну поверхню a 3 = 0
(A 2,1 / A 1), 1 + (A 1,2 / A 2), 2 + k 1 A 1 k 2 A 2 = 0 -
співвідношення Гаусса.
A 1,2 k 2 - (A 1 k 1), 2 = 0, (A 1 k 1), 2 = A 1,2 k 2
при заміні індексів отримуємо два співвідношення Кодацці
(A 2 k 2), 1 = A 2,1 k 1
Вектор переміщень
u = R - r = u 1 e 1 + u 2 e 2 + u 3 e 3
R - поточна конфігурація
r - відлікової конфігурація
u, i = (u k e k), i = (u k), i e k + u k (e k), i
Диференціювання ортов в спеціальній системі координат
e 1,1 = - e 2 (H 1,2 / H 2) - e 3 (H 1,3 / H 3) = - e 2 1 / (A 2 (1 + a 3 k 2)) × [A 1 (1 + a 3 k 1)], 2 -
e 3 × [A 1 (1 + a 3 k 1)], 3 = - e 2 1 / (A 2 (1 + a 3 k 2)) [A 1,2 + a 3 (A 1 k 1), 2] - e 3 A 1 k 1 =
= - E 2 (A 1,2 (1 + a 3 k 2)) / (A 2 (1 + a 3 k 2)) - e 3 A 1 k 1 =
= - E 2 (A 1,2 / A 2) - e 3 A 1 k 1;
e 1,2 = e 2 (H 2,1 / H 1) = e 2 1 / (A 1 (1 + a 3 k 1)) [A 2,1 + a 3 (A 2 k 2), 1] =
= E 2 (A 2,1 (1 + a 3 k 1)) / (A 1 (1 + a 3 k 1)) = e 2 (A 2,1 / A 1);
e 1,3 = e 3 (H 3,1 / H 1) = 0 (т.к H 3 = 1)
e 2,1 = e 1 (A 1,2 / A 2) - отримуємо з e 1,2 заміною (1 «2)
e 2,3 = e 3 (H 3,2 / H 2) = 0 e 3,2 = e 2 (H 2,3 / H 3) = e 2 A 2 k 2
e 3,1 = e 1 (H 1,3 / H 3) = e 1 A 1 k 1 e 3,3 = 0 (H 3 = 1)
Подовження, зрушення і повороти елемента суцільного середовища
а) Розглянемо подовженняd r - в відлікової конфігурації, d R - у поточній конфігурації
d R = d r ×
R = r + u
Розглянемо відносне подовження
(½ d R ½ - ½ d r ½) / ½ d r ½ = e; ½ d R ½ = dS; ½ d r ½ = ds;
dS 2 - ds 2 = d R × d R - d r × d r = d r ×
= d r ×
= 2d r ×
d r = e ds ® e = d r / ½ d r ½ - одиничний вектор
dS 2 - ds 2 = 2ds 2 e × e G × e
(DS 2 - ds 2) / ds 2 = (dS / ds) 2 - 1 = 2 e × e G × e
dS / ds = (1 + 2 e × e G × e) 1 / 2;
e e = (dS - ds) / ds = (1 + 2 e × e G × e) 1 / 2 - 1 - подовження
Нехай e = e 1;
e = 0,5 (Ñ u + Ñ u T) - лінійний тензор деформацій Коші.
Деформації зсуву
Виділимо два прямолінійних волокна, напрям яких визначається одиничними векторами m 1 і m 2d r 1 = m 1 ds 1; d r 2 = m 2 ds 2;
ds i = ½ d r i ½ - довжини елементів волокон до деформацій
Деформації зсуву характеризується зміною кута q 12
cos q 12 - cos Q 12 = (d r 1 × d r 2) / (ds 1 × ds 2) - (d R 1 × d R 2) / (dS 1 × dS 2) =
= M 1 × m 2 - [(d r 1 ×
= M 1 × m 2 - m 1 ×
Нехай m 1 = e 1; m 2 = e 2; m 1 × m 2 = 0
cos q 12 = 0 0 - cos Q 12 = -2
cos Q 12 = cos (p / 2 - g 12) = 2
g 12 - кут зсуву; g 12 »e 12, якщо g 12 - невеликий
Повороти
Розглянемо матеріальне волокно d r = e dsw = (d r 'd R) / (½ d r ½ × ½ d R ½) - вектор повороту матеріального волокна
½ w ½ = sin j
w - нормаль, щодо якої відбувається поворот
w = (d r '(d r ×
= E '[e × (
Нехай e = e t - базисні вектора t = 1,2,3
w t - вектор повороту матеріального волокна t
w t = e t '(e t ×
= U tj 'tjk e k = w tk e k = w t, де w tk = u tj' tjk
'Tjk - символи Леві-Чівіта, які визначаються:
СЛЧ = 0, якщо серед r, s, t є однакові
= +1, Якщо індекси r, s, t - різні ® 123, 231, 312
= -1, Якщо цей порядок порушується
'Rst = e r × (e s' e t)
w tk характеризує поворот орта t щодо орта k.
Введемо тензор другого рангу
w 11 = 0; w 12 = u 1j '1j2 = - u 13; w 13 = u 1j' 1j3 = u 12
w 21 = u 2j '2j1 = u 23; w 22 = 0; w 23 = - u 21
w 31 = u 3j '3j1 = - u 32; w 32 = u 3j' 3j2 = u 31;
w 33 = 0;
Визначимо компоненти градієнта вектора переміщень в спеціальній системі координат:
(
"O" - надалі опускаємо
Ñ u = e s (u 1 e 1 + u 2 e 2 + u 3 e 3), s / H s = e 1 (u 1,1 / H 1) e 1 + e 1 (e 1,1 / H 1) u 1 + e 2 (u 1,2 / H 2) e 1 +
+ E 2 (e 1,2 / H 2) u 1 + e 3 (u 1,3 / H 3) e 1 + e 3 (e 1,3 / H 3) u 1 + e 1 (u 2,1 / H 1) e 2 + e 1 (e 2,1 / H 1) u 2 +
+ E 2 (u 2,2 / H 2) e 2 + e 2 (e 2,2 / H 2) u 2 + e 3 (u 2,3 / H 3) e 2 + e 3 (e 2,3 / H 3) u 2 + e 1 (u 3,1 / H 1) e 3 +
+ E 1 (e 3,1 / H 1) u 3 + e 2 (u 3,2 / H 2) e 3 + e 2 (e 3,2 / H 2) u 3 + e 3 (u 3,3 / H 3) e 3
Після підстановки виразів e k, j (j, k = 1,2,3)
H i = A i (1 + a 3 k i) i = 1,2; H 3 = 1
h / 2 £ a 3 £ h / 2; враховуючи, що h / R i "1, тобто оболонка тонка, отримаємо:
u 11 = u 1,1 / A 1 + (A 1,2 / (A 1 A 2)) u 2 + u 3 k 1
u 12 = u 2,1 / A 1 - (A 1,2 / (A 1 A 2)) u 1
u 13 = u 3,1 / A 1 - u 1 k 1
u 21 = u 1,2 / A 2 - (A 2,1 / (A 1 A 2)) u 2
u 22 = u 2,2 / A 2 + (A 2,1 / (A 1 A 2)) u 1 + u 3 k 2
u 23 = u 3,2 / A 2 - u 2 k 2
u 31 = u 1,3 u 32 = u 2,3 u 33 = u 3,3
Для подовжень маємо:
e 11 = u 11; e 22 = u 22; e 33 = u 33;
Для деформацій зсуву відповідно:
e 12 = 0,5 (u 12 + u 21) = 0,5 [(A 2 / A 1) (u 2 / A 2), 1 + (A 1 / A 2) (u 1 / A 1), 2]
e 13 = 0,5 (u 13 + u 31) = 0,5 (u 3,1 / A 1 + u 1,3 - u 1 k 1)
e 23 = 0,5 (u 23 + u 32) = 0,5 (u 3,2 / A 2 + u 2,3 - u 2 k 2)
Кути повороту визначаються через переміщення наступним чином: w ii = 0
w 12 = - u 13 = - u 3,1 / A 1 + u 1 k 1
w 21 = u 23 = u 3,2 / A 2 - u 2 k 2; w 13 = u 12
w 23 = - u 21 w 31 = - u 32 = - u 2,3; w 32 = u 31 = u 1,3.
Теорія малих подовжень і малих квадратів кутів повороту
Розглянемо тензор нелінійних деформацій Гріна:Його нелінійна частина визначається наступним чином:
Ñ u × Ñ u T = u mn e m × e n × u ij e j e i = u mn u ij d nj e m × e i =
= U mn u in e m e i; Þ e mi = e mi + 0,5 u mn u in
Таким чином, компоненти тензора деформацій можна записати у вигляді:
e 11 = e 11 + 0,5 (
e 12 = e 12 + 0,5 (u 11 u 21 + u 12 u 22 + u 13 u 23)
e 13 = e 13 + 0,5 (u 11 u 31 + u 12 u 32 + u 13 u 33)
e 21 = e 21 + 0,5 (u 21 u 11 + u 22 u 12 + u 23 u 13)
e 22 = e 22 + 0,5 (
e 31 = e 31 + 0,5 (u 31 u 11 + u 32 u 12 + u 33 u 13)
e 32 = e 32 + 0,5 (u 31 u 21 + u 32 u 22 + u 33 u 23)
e 33 = e 33 + 0,5 (
e 23 = e 23 + 0,5 (u 21 u 31 + u 22 u 32 + u 23 u 33)
або, підставляючи вирази для кутів повороту:
e 11 = e 11 + 0,5 (
e 22 = e 22 + 0,5 (
e 33 = e 33 + 0,5 (
e 12 = e 12 + 0,5 (-e 11 w 23 + e 22 w 13 - w 12 w 21)
e 13 = e 13 + 0,5 (e 11 w 32 - w 13 w 31 - w 12 w 33)
e 23 = e 23 + 0,5 (- w 32 w 23-e 22 w 31 + e 33 w 21)
(U 21 =-w 23; u 23 = w 21; u 31 = w 32; u 12 = w 13; u 32 =-w 31;
u 31 = w 32; u 11 = e 11; u 22 = e 22; u 33 = e 33)
Введемо наступні припущення:
e ii <<1 - деформації розтягування-стиснення малі
припускаємо, що величини поворотів w 13 <<1; w 23 <<1, а щодо інших величин можна прийняти, що
w ij - кут повороту i-го орта щодо j-го орта. Таким чином з співвідношень (...) слід:
e 11 = e 11 + 0,5
e 22 = e 22 + 0,5
e 33 = e 33 + 0,5 (
e 12 = e 12 - 0,5 w 12 w 21
e 13 = e 13 + 0,5 (e 11 w 32 - w 13 w 31 - w 12 w 33)
e 23 = e 23 + 0,5 (- w 32 w 23-e 22 w 31 + e 33 w 21)
прямолінійні і нормальні до серединної поверхні волокна недеформованою оболонки залишаються прямолінійними і нормальними до деформованої серединної поверхні і не змінюють своєї довжини;
нормальні напруження на площадках, паралельних майданчикам серединної поверхні, пренебрежимо малі в порівнянні з іншими напругами.
Перша гіпотеза має геометричний характер, друга - статичний. Теорія оболонок, заснована на гіпотезах Кірхгофа, була побудована, в основному А. Лявом, тому в теорії оболонок гіпотези 1 і 2 прийнято називати гіпотезами Кірхгофа-Лява. Іноді їх називають гіпотезою жорсткої (недеформованою) нормалі або гіпотезою збереження нормалі.
Гіпотеза 1 використовується тільки для запису залежностей деформації оболонки від переміщень, гіпотеза 2 - для запису залежностей деформацій від напружень. У першому випадку передбачається, що в нормальних перетинах відсутні зрушення e 13 = e 23 = 0, і поперечні деформації e 33 = 0. У другому випадку допускається, що нормальне напруга s 33 незначно впливає на деформації e 11 і e 22, так що ці деформації виражаються через нормальні напруги s 11, s 22 і s 33 <<{s 11, s 12, s 22}. Таким чином гіпотезу 1 не можна розуміти в буквальному сенсі, оскільки насправді в оболонках мають місце поперечні зрушення - поперечні або як їх іноді називають перерізуючим сили не рівні нулю.
Гіпотези Кірхгофа-Лява прості і фізичні. Вони дозволяють звести тривимірну задачу визначення напружено-деформованого стану оболонки до двовимірної. Дослідження поведінки елемента оболонки в рамках цих гіпотез зводиться до дослідження поведінки її серединної поверхні. Слід зазначити, що теорія, побудована на гіпотезах Кірхгофа-Лява, є істотно наближеною. Прийняття цих гіпотез вносить похибка порядку h / R, де h - товщина оболонки, R - мінімальний лінійний розмір серединної поверхні.
Розглянемо елемент тонкої оболонки зі серединної поверхнею S. До деформування в початкової конфігурації радіус-вектор довільної точки оболонки, не лежить на серединній поверхні може бути представлений у вигляді:
r (a 1, a 2, a 3) = r (a 1, a 2) + a 3 n
r (a 1, a 2) - радіус-вектор проекції точки на S до деформації.
Після деформування (в актуальній конфігурації)
R (a 1, a 2, a 3) = P (a 1, a 2) + a 3 N
P (a 1, a 2) - радіус-вектор проекції точки на S після деформації
Тоді вектор переміщень запишеться у вигляді:
u = R - r = P - r + a 3 (N - n) = = u ° (a 1, a 2) + a 3 u 1 (a 1, a 2)
u ° - вектор переміщень точок, що лежать на S
У координатної формі відповідно:
u 1 =
u 2 =
u 3 =
При цьому компоненти вектора переміщень u 1 і u 2 лінійним чином залежать від координати a 3, а функція поперечного прогину постійна по товщині чинності недеформируемой нормалі.
Розглянемо детальніше геометричну гіпотезу Кірхгофа-Лява. Той факт, що нормаль до серединної поверхні S у процесі деформування залишається нормаллю призводить до співвідношень:
e 13 = 0, e 23 = 0
Таким чином
u 3,1 / A 1 + u 1,3 - u 1 k 1 = 0
вважаючи оболонку досить тонкої, нехтуємо членом a 3 k 1 <<1
w 12 = - u 3,1 / A 1 + u 1 k 1 = -
= -
= (-
= -
Аналогічно:
w 21 = u 3,2 / A 2 - u 2 k 2 »
Позначимо:
u 1 = u + a 3 q 1, u 2 = v + a 3 q 2, u 3 = w
Введемо в розгляд плоский вектор переміщень і поворотів:
u = u e 1 + v e 2
q = q 1 e 1 + q 2 e 2
Тензор Рімана в головних осях можна представити у вигляді:
Остаточно кінематичні співвідношення, відповідні теорії Кірхгофа-Лява запишуться у вигляді:
q =-Ñw +
u (a 1, a 2, a 3) = u 1 e 1 + u 2 e 2 = u (a 1, a 2) + a 3 q (a 1, a 2)
u 3 = w (a 1, a 2)
З урахуванням проведених викладок для компонентів тензора деформацій маємо:
e 11 = e 11 + 0,5
e 22 = e 22 + 0,5
e 12 = e 12 - 0,5 w 12 w 21 = e 12 + 0,5 q 1 q 2 =
Введемо в розгляд плоский тензор деформацій
Він може бути записаний в іншій формі:
Таким чином використання геометричній гіпотези Кірхгофа-Лява призводить до лінійного розподілу переміщень і деформацій по товщині оболонки. У компактній формі можна записати:
S 11 =
×
довжина середньої лінії.
Введемо зусилля на одиницю довжини:
T 11 = S 11 / (A 2 da 2)
Аналогічно:
T 12 =
T 22 =
T 21 =
T a b - зусилля розтягування-стиснення у серединній поверхні оболонки. У подальшому:
T a b =
Введемо згинальні моменти
М a b =
Q b =
Q = Q 1 e 1 + Q 2 e 2
Зв'яжемо напружений стан з її деформують.:
Зауваження про можливість використання лінійних физич. співвідношень
Матеріал: однорідний, ізотропний
Узагальнений закон Гука:
e 11 = (1 / E) [s 11 - n (s 22 + s 33)] e 12 = (1/2m) s 12
e 22 = (1 / E) [s 22 - n (s 11 + s 33)] e 23 = (1/2m) s 23
e 33 = (1 / E) [s 33 - n (s 11 + s 22)] e 13 = (1/2m) s 13
E = 2m (1 + n)
Теорія - геометр. нелінійна, але физич. - Лінійна.
По 2-ій гіпотезі Кірхгофа-Лява:
s 33 = 0
s 11 - ns 22 = Ee 11 Þ s 11 = E / (1-n 2) (e 11 + ne 22)
s 22 - ns 11 = Ee 22 s 22 = E / (1-n 2) (e 22 + ne 11)
s 12 = 2m e 12 E / (1 + n) e 12
T 11 =
= E / (1-n 2)
= (Eh) / (1-n 2)
B = (Eh) / (1-n 2) - жорсткість на розтяг. - Стиснутої
T 11 = B
T 12 = (Eh) (1 + n)
M 11 =
= E / (1-n 2)
= (E) / (1-n 2)
= (Eh 3) / (12 (1-n 2))
M 11 = D
M 22 = D
e 13 = e 13 + 0,5 (u 11 u 31 + u 12 u 32 + u 13 u 33)
e 21 = e 21 + 0,5 (u 21 u 11 + u 22 u 12 + u 23 u 13)
e 22 = e 22 + 0,5 (
e 31 = e 31 + 0,5 (u 31 u 11 + u 32 u 12 + u 33 u 13)
e 32 = e 32 + 0,5 (u 31 u 21 + u 32 u 22 + u 33 u 23)
e 33 = e 33 + 0,5 (
e 23 = e 23 + 0,5 (u 21 u 31 + u 22 u 32 + u 23 u 33)
або, підставляючи вирази для кутів повороту:
e 11 = e 11 + 0,5 (
e 22 = e 22 + 0,5 (
e 33 = e 33 + 0,5 (
e 12 = e 12 + 0,5 (-e 11 w 23 + e 22 w 13 - w 12 w 21)
e 13 = e 13 + 0,5 (e 11 w 32 - w 13 w 31 - w 12 w 33)
e 23 = e 23 + 0,5 (- w 32 w 23-e 22 w 31 + e 33 w 21)
(U 21 =-w 23; u 23 = w 21; u 31 = w 32; u 12 = w 13; u 32 =-w 31;
u 31 = w 32; u 11 = e 11; u 22 = e 22; u 33 = e 33)
Введемо наступні припущення:
e ii <<1 - деформації розтягування-стиснення малі
припускаємо, що величини поворотів w 13 <<1; w 23 <<1, а щодо інших величин можна прийняти, що
w ij - кут повороту i-го орта щодо j-го орта. Таким чином з співвідношень (...) слід:
e 11 = e 11 + 0,5
e 22 = e 22 + 0,5
e 33 = e 33 + 0,5 (
e 12 = e 12 - 0,5 w 12 w 21
e 13 = e 13 + 0,5 (e 11 w 32 - w 13 w 31 - w 12 w 33)
e 23 = e 23 + 0,5 (- w 32 w 23-e 22 w 31 + e 33 w 21)
Гіпотези Кірхгофа-Лява
Результати, отримані в попередніх параграфах, засновані на геометричних і статичних міркуваннях. Проте їх недостатньо для повної побудови теорії оболонок. При виборі співвідношень, що зв'язують компоненти деформацій з переміщеннями і зусилля і моменти з компонентами деформацій доводиться приймати деякі спрощують підходи. Перший полягає в тому, що оболонку розглядають як тривимірне пружне тіло. Рішення відповідних рівнянь теорії пружності розшукуються шляхом розкладання всіх величин до лав за ступенями точки оболонки від серединної поверхні. Цей підхід, запропонований в теорії пластин А. Коші, дозволяє при утриманні достатнього числа членів (за умови збіжності рядів) отримати рішення близьке до точного. Цей метод досить громіздкий, тому в більшості випадків йдуть іншим шляхом. У другому підході запропонованому також при побудові теорії пластин Г. Кірхгофа приймаються гіпотези, аналогічні тим, які використовуються в теорії балок:прямолінійні і нормальні до серединної поверхні волокна недеформованою оболонки залишаються прямолінійними і нормальними до деформованої серединної поверхні і не змінюють своєї довжини;
нормальні напруження на площадках, паралельних майданчикам серединної поверхні, пренебрежимо малі в порівнянні з іншими напругами.
Перша гіпотеза має геометричний характер, друга - статичний. Теорія оболонок, заснована на гіпотезах Кірхгофа, була побудована, в основному А. Лявом, тому в теорії оболонок гіпотези 1 і 2 прийнято називати гіпотезами Кірхгофа-Лява. Іноді їх називають гіпотезою жорсткої (недеформованою) нормалі або гіпотезою збереження нормалі.
Гіпотеза 1 використовується тільки для запису залежностей деформації оболонки від переміщень, гіпотеза 2 - для запису залежностей деформацій від напружень. У першому випадку передбачається, що в нормальних перетинах відсутні зрушення e 13 = e 23 = 0, і поперечні деформації e 33 = 0. У другому випадку допускається, що нормальне напруга s 33 незначно впливає на деформації e 11 і e 22, так що ці деформації виражаються через нормальні напруги s 11, s 22 і s 33 <<{s 11, s 12, s 22}. Таким чином гіпотезу 1 не можна розуміти в буквальному сенсі, оскільки насправді в оболонках мають місце поперечні зрушення - поперечні або як їх іноді називають перерізуючим сили не рівні нулю.
Гіпотези Кірхгофа-Лява прості і фізичні. Вони дозволяють звести тривимірну задачу визначення напружено-деформованого стану оболонки до двовимірної. Дослідження поведінки елемента оболонки в рамках цих гіпотез зводиться до дослідження поведінки її серединної поверхні. Слід зазначити, що теорія, побудована на гіпотезах Кірхгофа-Лява, є істотно наближеною. Прийняття цих гіпотез вносить похибка порядку h / R, де h - товщина оболонки, R - мінімальний лінійний розмір серединної поверхні.
Розглянемо елемент тонкої оболонки зі серединної поверхнею S. До деформування в початкової конфігурації радіус-вектор довільної точки оболонки, не лежить на серединній поверхні може бути представлений у вигляді:
r (a 1, a 2, a 3) = r (a 1, a 2) + a 3 n
r (a 1, a 2) - радіус-вектор проекції точки на S до деформації.
Після деформування (в актуальній конфігурації)
R (a 1, a 2, a 3) = P (a 1, a 2) + a 3 N
P (a 1, a 2) - радіус-вектор проекції точки на S після деформації
Тоді вектор переміщень запишеться у вигляді:
u = R - r = P - r + a 3 (N - n) = = u ° (a 1, a 2) + a 3 u 1 (a 1, a 2)
u ° - вектор переміщень точок, що лежать на S
У координатної формі відповідно:
u 1 =
u 2 =
u 3 =
При цьому компоненти вектора переміщень u 1 і u 2 лінійним чином залежать від координати a 3, а функція поперечного прогину постійна по товщині чинності недеформируемой нормалі.
Розглянемо детальніше геометричну гіпотезу Кірхгофа-Лява. Той факт, що нормаль до серединної поверхні S у процесі деформування залишається нормаллю призводить до співвідношень:
e 13 = 0, e 23 = 0
Таким чином
u 3,1 / A 1 + u 1,3 - u 1 k 1 = 0
вважаючи оболонку досить тонкої, нехтуємо членом a 3 k 1 <<1
w 12 = - u 3,1 / A 1 + u 1 k 1 = -
= -
= (-
= -
Аналогічно:
w 21 = u 3,2 / A 2 - u 2 k 2 »
Позначимо:
u 1 = u + a 3 q 1, u 2 = v + a 3 q 2, u 3 = w
Введемо в розгляд плоский вектор переміщень і поворотів:
u = u e 1 + v e 2
q = q 1 e 1 + q 2 e 2
Тензор Рімана в головних осях можна представити у вигляді:
Остаточно кінематичні співвідношення, відповідні теорії Кірхгофа-Лява запишуться у вигляді:
q =-Ñw +
u (a 1, a 2, a 3) = u 1 e 1 + u 2 e 2 = u (a 1, a 2) + a 3 q (a 1, a 2)
u 3 = w (a 1, a 2)
З урахуванням проведених викладок для компонентів тензора деформацій маємо:
e 11 = e 11 + 0,5
e 22 = e 22 + 0,5
e 12 = e 12 - 0,5 w 12 w 21 = e 12 + 0,5 q 1 q 2 =
Введемо в розгляд плоский тензор деформацій
Він може бути записаний в іншій формі:
Таким чином використання геометричній гіпотези Кірхгофа-Лява призводить до лінійного розподілу переміщень і деформацій по товщині оболонки. У компактній формі можна записати:
Визначення напруженого стану оболонки
dS = H 2 da 2 da 3 = A 2 (1 + a 3 k 2) da 2 da 3S 11 =
×
довжина середньої лінії.
Введемо зусилля на одиницю довжини:
T 11 = S 11 / (A 2 da 2)
Аналогічно:
T 12 =
T 22 =
T 21 =
T a b - зусилля розтягування-стиснення у серединній поверхні оболонки. У подальшому:
T a b =
Введемо згинальні моменти
М a b =
Q b =
Q = Q 1 e 1 + Q 2 e 2
Зв'яжемо напружений стан з її деформують.:
Зауваження про можливість використання лінійних физич. співвідношень
Матеріал: однорідний, ізотропний
Узагальнений закон Гука:
e 11 = (1 / E) [s 11 - n (s 22 + s 33)] e 12 = (1/2m) s 12
e 22 = (1 / E) [s 22 - n (s 11 + s 33)] e 23 = (1/2m) s 23
e 33 = (1 / E) [s 33 - n (s 11 + s 22)] e 13 = (1/2m) s 13
E = 2m (1 + n)
Теорія - геометр. нелінійна, але физич. - Лінійна.
По 2-ій гіпотезі Кірхгофа-Лява:
s 33 = 0
s 11 - ns 22 = Ee 11 Þ s 11 = E / (1-n 2) (e 11 + ne 22)
s 22 - ns 11 = Ee 22 s 22 = E / (1-n 2) (e 22 + ne 11)
s 12 = 2m e 12 E / (1 + n) e 12
T 11 =
= E / (1-n 2)
= (Eh) / (1-n 2)
B = (Eh) / (1-n 2) - жорсткість на розтяг. - Стиснутої
T 11 = B
T 12 = (Eh) (1 + n)
M 11 =
= E / (1-n 2)
= (E) / (1-n 2)
= (Eh 3) / (12 (1-n 2))
M 11 = D
M 22 = D