Зміст
Завдання 1
Завдання 2
Завдання 3
Завдання 4
Завдання 5
Завдання 6
Список використаної літератури
Завдання 1
Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння першого порядку:
.
Рішення:
Перетворимо рівняння і розділяючи
змінні, отримаємо рівняння з розділеними змінними:
Інтегруємо його і отримуємо загальне рішення даного рівняння
Відповідь: Загальне рішення даного рівняння
Завдання 2
Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння першого порядку:
.
Рішення:
Вводимо заміну
→
Так як одну з допоміжних функцій можна взяти довільно, то виберемо в якості
який-небудь приватний інтеграл рівняння
. Тоді для відшукання
одержимо рівняння
. Отже, маємо систему двох рівнянь:
Далі
Перевірка:
вірне тотожність. Ч. т.д.
Відповідь:
Завдання 3
Знайти приватне рішення диференціального рівняння другого порядку, що задовольняє зазначеним початковим умовам:
, Рішення: Загальне рішення даного рівняння
шукається за схемою:
Знаходимо спільне рішення
однорідного рівняння. Складемо характеристичне рівняння
і
Загальне рішення має вигляд:
,
де
Знаходимо частинний розв'язок
. Права частина рівняння має спеціальний вид. Шукаємо рішення
, Тобто
Знайдемо похідні першого і другого порядків цієї
функції.
Т.ч. приватне рішення
Загальне рішення
Використовуючи дані початкових умов, обчислимо коефіцієнти
Одержимо систему двох рівнянь:
→
Шукане приватне рішення:
Відповідь:
Завдання 4
У читальному залі є 6
підручників з теорії ймовірностей, з яких 3 в м'якій палітурці. Бібліотекар взяв 2 підручники. Знайти ймовірність
того, що обидва
підручника в м'якій палітурці.
Рішення:
Нехай є безліч
N елементів, з яких
M елементів володіють деякими ознакою
A. Витягується випадковим чином без
повернення n елементів. Ймовірність події, що з
m елементів мають ознакою
А визначається за формулою:
(N = 6, M = 3, n = 2, m = 2)
Відповідь:
Завдання 5
Дана ймовірність
появи події
A в кожному з
незалежних випробувань. Знайти ймовірність того, що в цих
випробуваннях подія A з'явиться не менш
і не більше
разів.
Рішення:
Застосуємо інтегральну формулу Муавра-Лапласа
Де
і
Ф (x) -
функція Лапласа
, Має властивості
1 0. - Непарна, тобто
2 0. При
, Значення функції представлені
таблицею (табульований) для
Так
Відповідь:
Завдання 6
Задано закон розподілу дискретної випадкової величини X (у першому рядку вказані можливі значення величини X, у другому рядку дані ймовірності p цих значення).
X i
| 8
| 4
| 6
| 5
|
p i
| 0,1
| 0,3
| 0,2
| 0,4
|
Знайти:
1) знайти
математичне сподівання
,
2) дисперсію
;
3) середнє квадратичне відхилення
.
Математичне сподівання (очікуване середнє значення випадкової величини):
Дисперсія
(міра розсіювання значень випадкової величини
Х від середнього значення
а): .
Другий спосіб обчислення дисперсії:
де
.
Середнє квадратичне відхилення (характеристика розсіювання в одиницях ознаки
Х): →
Відповідь:
Математичне сподівання
Дисперсія
Середнє квадратичне відхилення
Завдання 7 Випадкові відхилення розміру деталі від номіналу розподілені нормально.
Математичне сподівання розміру деталі дорівнює 200 мм, середнє квадратичне відхилення дорівнює 0,25 мм.
Стандартними вважаються деталі, розмір яких укладено між 199,5 мм і 200,5 мм. Знайти відсоток
стандартних деталей.
Рішення:
Таким чином, відсоток
стандартних деталей становить 95,45%
Відповідь: Стандартних деталей 95,45%.
Список використаної літератури
1. Горєлова Г.В.
Теорія ймовірностей і
математична статистика в прикладах і задачах з застосуванням MS Excel. / Под ред. Г.В. Горєлової, І.А. Кацко. - Ростов н / Д: Фенікс, 2006. - 475 с.
2. Ковбаса С.І., Іванівський В.Б.
Теорія ймовірностей і математична статистика: Навчальний посібник для економістів. - СПб.: Альфа, 2001. - 192 с.
3. Кочетков Є.С., Смерчинського С.О., Соколов В.В.
Теорія ймовірностей і математична
статистика:
Підручник. - М.: ФОРУМ, 2008. - 200 с.
4. Кремер Н.Ш. Теорія ймовірностей і математична статистика: Підручник. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. - 551 с.
5. Пехлецкій І.Д. Математика. / Под ред. І.Д. Пехлецкого. - М.: Видавничий центр "Академія", 2003. - 421с.
6.
Пугачов В.С. Теорія ймовірностей і математична статистика: Навчальний посібник. - М.: Фізматліт, 2002. - 496 с.