Контрольна робота
з дисципліни
Теорія ймовірностей
Рішення задач
Завдання 1
Є четверо чоловіків і шість жінок. Кожен чоловік одружився на одній з жінок. Скількома способами це можна зробити?
Рішення:
A (4; 6) = 6! / 2! = 3 * 4 * 5 * 6 = 360
Відповідь: 360 способів
Завдання 2
У запеклому бою не менше 70% бійців втратили одне око, не менше 75% - одне вухо, не менше 80% - одну руку, не менше 85% - одну ногу. Яку мінімальну кількість втратили одночасно око, вухо, руку, ногу?
Рішення: Я вирішила це завдання двома способами.
1. Т (Ч + Н) = Т (Ч) + Т (Н)-Т (ЧН) б
де X + Y означає об'єднання множин X та Y, XY - перетин, функція N - число елементів множини. Позначимо через A, B, C, D - безлічі бійців, які втратили око, вухо, руку, ногу. У даному прикладі позначимо через N - процентний вміст множини.
Тоді
N (AB) = N (A) + N (B)-N (A + B)> = 70 +75-100 = 45
Аналогічно
N (CD) = N (C) + N (D)-N (C + D)> = 80 +85-100 = 65.
Остаточно маємо
Т (ФІСВ) = Т (ФМ) + Т (СВ)-Т (ФИ + СВ) Ю = 45 +65-100 = 10 ю
2. Всього 100%. Мінус 30% тих, хто має обидва ока, мінус 25% обидва вуха, мінус 20% обидві руки і 15% обидві ноги. 100-30-25-20-15 = 10 відсотків мінімум
Відповідь: мінімальне число втратили одночасно око, вухо, руку, ногу становить 10%.
Завдання 3
Двоє по черзі кидають монетку. Виграє той, у кого раніше випаде герб. Визначити ймовірність виграшу для кожного гравця.
Рішення:
A = {виграв той, хто почав кидати монетку перший}
A = A1 + A2 + A3 + ... A1 = {у першого гравця випав герб}
A2 = {у першого гравця випала решка, у другого - решка, у першого - герб}
A3 = {у першого гравця випала решка, у другого - решка, у першого - решка, у другого - решка, у першого - герб} і так далі
P (A1) = 1 / 2 P (A2) = (1 / 2) * (1 / 2) * (1 / 2) = (1 / 2) * (1 / 4) P (A3) =
(1 / 2) * (1 / 2) * (1 / 2) * (1 / 2) * (1 / 2) = (1 / 2) * (1 / 4) * (1 / 4) = (1 / 2) * ((1 / 4) ^ 2)
і так далі
P (A) = P (A1 + A2 + A3 +...) = [події A 1, A 2, A 3, ... несумісні] =
P (A 1) + + P (A 2) + P (A 3) + ... = (1 / 2) + (1 / 2) * (1 / 4) + (1 / 2) * ((1 / 4) ^ 2) + ... =
[Сума геометричної прогресії] = (1 / 2) / (1 - 1 / 4) = (1 / 2) / (3 / 4) = 2 / 3
P (A) = 2 / 3 B = {виграв той, хто почав кидати монетку другий} B = не
AP (B) = P (не A) = 1 - P (A) = 1 - 2 / 3 = 1 / 3
Відповідь: для першого 2 / 3, для другого 1 / 3.
Завдання 4
У гаманці лежать 8 монет достоїнством по 5 копійок і 2 монети вартістю 3 копійки. Навмання вибирається монета і кидається 5 разів. Яка ймовірність того, що в сумі буде 15 очок, якщо "герб" приймається за "0"?
Рішення:
H1 = {монета в 5 копійок} H2 = {монета в 3 копійки} P (H1) = 8 / 10 = 0.8 P (H2) = 2 / 10 = 0.2 A = {в сумі буде 15 очок при 5 бросаниях} A
H1 = {в сумі буде 15 очок при 5 бросаниях, якщо кидається монета в 5 копійок} = {при 5 бросаниях 3 решки і 2 герба} A
H2 = {в сумі буде 15 очок при 5 бросаниях, якщо кидається монета в 3 копійки} = {при 5 бросаниях 5 решек} n = 5 p = 1 / 2 - ймовірність випадання решки q = 1 - p = 1 / 2 m - кількість бросаний, при яких випаде решка P (A
Р1 = З (ь = 3) = С (3ж5) * ((1.2): 3) * ((1.2): 2) = 10 * (1.8) * (1.4) = 10.32 = 0ю3125 З (Ф/Р2) = З (ь = 5) = (1.2): 5 = 1.32 = 0.03125 За формулою повної ймовірності З (Ф) = З (Р1) З (Ф/Р1) + З (Р2) З (Ф/Р2) = (0ю8) * (0ю3125) + (0ю2) * (0ю03125) = 0ю25 + +0 ю00625 = 0ю25625
Відповідь: якщо кидається монета в 5 копійок 0.3125
якщо кидається монета в 3 копійки 0.03125
повна ймовірність 0.25625
Завдання 5
Для особи, дожив до 20-річного віку, ймовірність смерті на 21-му році життя дорівнює 0,006. Застрахована група в 15000 чоловік 20-річного віку, причому кожний застрахований вніс по 20 у.о. Яку максимальну виплату спадкоємцям слід встановити, щоб ймовірність того, що до кінця року страхова установа виявиться в збитку, була не більше 0,0228?
Рішення: Нехай випадкова величина X - число страхових випадків за рік. Xi - страховий випадок для i-того клієнта,
i = 1 ... 15000 Xi = {1, якщо страховий випадок для i-того клієнта стався
{0, інакше Випадкова величина Xi має розподіл Бернуллі при p = 0.006 M (Xi) = p = 0.006 D (Xi) = p (1-p) = (0.006) * (1 - 0.006) = (0.006) * (0.994 ) = 0.005964 X = sum_ {i = 1} ^ {15000} Xi M (X) = M (sum_ {i = 1} ^ {15000} Xi) = sum_ {i = 1} ^ {15000} M (Xi) = sum_ {i = 1} ^ {15000} 0.006 = (0.006) * (15000) = 90 D (X) = D (sum_ {i = 1} ^ {15000} Xi) = [події Xi незалежні] = sum_ { i = 1} ^ {15000} D (Xi) = sum_ {i = 1} ^ {15000} 0.005964 = = (0.005964) * (15000) = 89.46 Нехай m - виплата за страховий випадок Дохід страхової компанії дорівнює D = 15000 * 20 - mX = 300000 - mX Необхідно знайти m таке, що P (D <= 0) <= 0.0228 P (D <= 0) = P (300000 - mX <= 0) = P (mX> = 300000) = P (X> 300000 / m) = = P ((XM (X)) / sqrt (D (X))> (300000 / m - M (X)) / sqrt (D (X))) = = P (( X - M (X)) / sqrt (D (X))> (300000 / m - 90) / sqrt (89.46)) ~ ~ [по центральній граничній теоремі] ~
~ 0.5 - Ф ((300000 / m - 90/sqrt (89.46))) P (D <= 0) <= 0.0228 0.5 - Ф ((300000 / m - 90/sqrt (89.46))) <= 0.0228 Ф ( (300000 / m - 90/sqrt (89.46)))> = 0.4772 (300000 / m - 90) / sqrt (89.46)> = 2 300 000 / m> = 108.9166593 ... m <= 2754.399574 ... m (max) = 2754
Відповідь: максимальна виплата 2754 у.о.