Завдання 1.
Вирішити задачу лінійного
програмування симплексним методом.
Варіант 2.
Знайти найбільше значення
функції f (X) = x
1 - 4x
4 при обмеженнях
x
1 - x
2 + x
3 + x
4 = 3
x
1 + x
2 + 2x
3 = 5,
x
j ³ 0, j = 1, 2, 3, 4.
Рішення.
Завдання записана в канонічному вигляді, але не має необхідного числа одиничних стовпців, тобто не має очевидним початковим опорним рішенням.
Для знаходження опорного плану переходимо до М-задачі:
f (X) = x
1 - 4x
4 - Мy
1 ® max
x
1 - x
2 + x
3 + x
4 = 3
x
1 + x
2 + 2x
3 + y
1 = 5,
x
j ³ 0, j = 1, 2, 3, 4; y
1 ³ 0.
Очевидне початкове опорне рішення (0, 0, 0, 3, 5).
Рішення здійснюється
симплекс-методом з штучним базисом.
Розрахунки оформимо у симплекс-таблицах
Номер симплекс-таблиці
| Базис
| C j C i
| B
| 1
| 0
| 0
| -4
| -M
| Q
|
A 1
| A 2
| A 3
| A 4
| P 1
|
0
| A 4
| -4
| 3
| 1
| -1
| 1
| 1
| 0
| 3:1 = 3
|
P 1
| -M
| 5
| 1
| 1
| 2
| 0
| 1
| 5:2 = 2,5
|
j
| -
| -5M-12
| -M-5
| -M +4
| -2M-4
| 0
| 0
| |
1
| A 4
| -4
| 1 / 2
| 1 / 2
| -3 / 2
| 0
| 1
| | 1 / 2: 1 / 2 = 1
|
A 3
| 0
| 5 / 2
| 1 / 2
| 1 / 2
| 1
| 0
| | 5 / 2: 1 / 2 = 1
|
j
| -
| -2
| -3
| 6
| 0
| 0
| | |
2
| A 1
| 1
| 1
| 1
| -3
| 0
| 2
| | |
A 3
| 0
| 2
| 0
| 2
| 1
| -1
| | 2:2 = 1
|
j
| -
| 1
| 0
| -3
| 0
| 6
| | |
3
| A 1
| 1
| 4
| 1
| 0
| 3 / 2
| 1 / 2
| | |
A 2
| 0
| 1
| 0
| 1
| 1 / 2
| -1 / 2
| | |
j
| -
| 4
| 0
| 0
| 3 / 2
| 9 / 2
| | |
Початкове опорне рішення (0, 0, 0, 3, 5),
відповідне симплекс-таблиці 0, неоптимальний, тому що в D - рядку є негативні значення, найменше в стовпці А
3. Цей стовпець буде направляють. Мінімальна позитивне оцінне ставлення Q в рядку P
1, цей рядок напрямна. Направляючий елемент на перетині напрямних рядка і стовпця. Стовпець P
1 виводимо з базису, а А
3 - вводимо в базис.
При перерахунку
таблиці стовпець Р
1 далі можна не розраховувати.
Після перерахунку отримуємо симплекс-таблицю 1.
Відповідне опорне рішення (0; 0; 5 / 2, 1 / 2; 0) не оптимально, так як в D - рядку є негативні значення, у стовпці А
1. Цей стовпець буде направляють. Мінімальна позитивне оцінне ставлення Q в рядку А
4. У якості направляючої рядка візьмемо А
4. Направляючий елемент на перетині напрямних рядка і стовпця. Стовпець А
4 виводимо з базису, а А
1 - вводимо в базис.
Після перерахунку отримуємо симплекс-таблицю 2. Опорне рішення,
відповідне симплекс-таблиці 2 (1, 0, 2, 0, 0) - не оптимально, так як в D - рядку є негативні значення, у стовпці А
2. Цей стовпець буде направляють. Мінімальна позитивне оцінне ставлення Q в рядку А
3. У якості направляючої рядка візьмемо А
3. Направляючий елемент на перетині напрямних рядка і стовпця. Стовпець А
3 виводимо з базису, а А
2 - вводимо в базис.
Після перерахунку отримуємо симплекс-таблицю 3. Опорне рішення, відповідне симплекс-таблиці 3 (4, 1, 0, 0, 0) - оптимально, так як в D - рядку немає негативних значень.
Відкидаючи значення змінної y
1, отримуємо оптимальне рішення вихідної задачі:
х
1 = 4, х
2 = 1; х
3 = 0; х
4 = 0; f
max = 1 × 4 + 0 × 1 + 0 × 0 - 4 × 0 = 4.
Завдання 2.
Завдання 1. Сформулювати економіко-математичну модель вихідної економічної задачі.
Завдання 2. Вирішити отриману
завдання лінійного програмування графічним методом.
Завдання 3. Сформулювати двоїсту задачу і знайти її оптимальне рішення, використовуючи теореми подвійності.
Варіант 2.
Підприємство виробляє полиці для ванних кімнат двох розмірів А і Б. Служба
маркетингу визначили, що на ринку може бути реалізовано до 550 полиць на тиждень, а обсяг поставляється на підприємство матеріалу, з якого робляться полки, дорівнює 1200 м
2 на тиждень. Для кожної полиці типів А і Б потрібно 2 м
2 і 3 м
2 матеріалу
відповідно, а
витрати верстатного часу на обробку однієї полиці типу А і Б становлять відповідно 12 і 30 хвилин. Загальний тижневий обсяг верстатного часу дорівнює 160 годин, а
прибуток від продажу кожної полиці типу А і Б складає 3 і 4 ден. одиниць відповідно. Визначити, скільки полиць кожного типу слід випускати на тиждень для отримання найбільшого прибутку.
Рішення.
Завдання 1.
Позначимо x
1 і x
2 кількість полиць типу А і Б,
відповідно (план випуску). Очевидно, x
1, x
2 ³ 0 і цілі.
Так як обсяг реалізації на тиждень становить до 550 полиць, то x
1 + x
2 £ 550.
Витрата матеріалу складе 2x
1 + 3x
2 м
2, ця величина не повинна перевищувати запасу матеріалу 1200 м
2. Отже, має виконуватися нерівність 2x
1 + 3x
2 £ 1200.
Витрати верстатного часу складуть 0,2 x
1 + 0,5 x
2 год. і не можуть бути більше тижневого обсягу 160 год. Отже, має виконуватися нерівність 0,2 x
1 + 0,5 x
2 £ 160. Щоб не було дробів, помножимо його на 10 і отримаємо 2x
1 + 5x
2 £ 1600.
Прибуток від реалізації полиць складе f (X) = 3x
1 + 4x
2 ден. одиниць, і вона повинна бути найбільшою
Отримуємо економіко-математичну модель задачі:
Знайти максимум функції f (X) при заданих обмеженнях
f (X) = 3x
1 + 4x
2 ® max
x
1 + x
2 £ 550
2x
1 + 3x
2 £ 1200
2x
1 + 5x
2 £ 1600
x
1, x
2 ³ 0, цілі.
Завдання 2.
Вирішуємо задачу без умови цілочисельності рішення. Побудуємо безліч допустимих рішень задачі.
Прямі обмеження x
1,2 ³ 0 виділяють першу чверть площині.
Проведемо пряму x
1 + x
2 = 550 через точки (0; 550) і (550; 0).
Підставимо в перше нерівність координати точки (0; 0): 1 × 0 +1 × 0 = 0 <550, так як нерівність виконується, то вибираємо полуплоскость, що містить цю точку.
Проведемо пряму 2x
1 + 3x
2 = 1200 через точки (0; 400) і (600; 0).
Підставимо в перше нерівність координати точки (0; 0): 2 × 0 + 3 × 0 = 0 <1200, так як нерівність виконується, то вибираємо полуплоскость, що містить цю точку.
Проведемо пряму 2x
1 + 5x
2 = 1600 через точки (0; 320) і (800; 0). Підставимо в перше нерівність координати точки (0; 0): 2 × 0 + 5 × 0 = 0 <1600, так як нерівність виконується, то вибираємо полуплоскость, що містить цю точку.
Безліч допустимих рішень - це багатокутник ABCDO.
Побудуємо лінію рівня цільової функції f (X) = 3x
1 + 4x
2 3x
1 + 4x
2 = 0 через точки (200; -150) і (-200; 150).
Вектор-градієнт {3, 4} задає напрямок, переміщуючись вздовж якого, можна збільшити значення цільової функції; переміщаючись у протилежному напрямку, можна зменшити її значення. На кресленні побудований вектор, пропорційний градієнту (60; 80), так як сам градієнт має малий масштаб на кресленні.
З креслення видно, що найбільше значення цільової функції буде на лінії рівня, що проходить через точку С, що є перетином прямих (1) і (2).
Координати цієї точки знайдемо з системи
x
1 + x
2 = 550,
2x
1 + 3x
2 = 1200.
Перше рівняння помножимо на 2 і віднімемо від другого, отримуємо x
2 = 100 і x
1 = 450
f
mах = 3 × 450 + 4 × 100 = 1750 ден. одиниць.
Отримане оптимальне рішення виявилося цілим, отже, це рішення поставленої задачі. Отримали: в оптимальному плані випуску слід провести полиць типу А 450 шт., А полиць типу Б - 100 шт.Прі цьому
прибуток від реалізації складе 1750 ден. одиниць і буде найбільшою.
Завдання 3.
Двоїста задача.
Знайти мінімум функції g (Y) при обмеженнях:
g (Y) = 550y
1 + 1200y
2 + 1600y
3 ® min
y
1 + 2y
2 + 2y
3 ³ 3
y
1 + 3y
2 + 5y
3 ³ 4
y
1,2,3 ³ 0.
Оптимальне рішення прямої задачі Х = (450; 100). Підставимо його в обмеження цього завдання
1 × 450 + 1 × 100 = 550
2 × 450 + 3 × 100 = 1200
2 × 450 + 5 × 100 = 1400 <1600
Умови доповнює нежорсткої (друга теорема двоїстості): для оптимальних планів двоїстих завдань мають місце співвідношення:
Так як для оптимального розв'язання прямої задачі третину обмеження виконується як нерівність, то в оптимальному рішенні двоїстої задачі y
3 = 0.
Так як для оптимального розв'язання прямої задачі х
1> 0і х
2> 0, то обидва обмеження двоїстої задачі виконуються як рівність. Для знаходження рішення двоїстої задачі отримуємо систему
y
3 = 0
y
1 + 2y
2 + 2y
3 =
3 y
1 + 3y
2 + 5y
3 = 4
Отримуємо рішення: y
1 =, y
2 = 1, y
3 = 0.
Знайдемо значення цільової функції двоїстої задачі:
g (Y) = 550 × 1 + 1200 × 1 + 1600 × 0 = 1750.
Отримали g
min = f
max = 1750 ден. одиниць.
Так як значення прямої та двоїстої функцій рівні, то Y = (1; 1; 0) є оптимальним рішенням двоїстої задачі (по першій теоремі подвійності).
Завдання 3.
Завдання 1. Записати вихідні дані задачі у вигляді
транспортної таблиці, визначити, відкритою або закритою є
транспортна задача.
Завдання 2. Сформулювати економіко-математичну модель вихідної транспортної задачі.
Завдання 3. Знайти оптимальний план перевезень, відзначивши при цьому єдиність або неєдиний оптимального плану.
Варіант 3.
На складах A, B, C, Д знаходиться відповідно 50 т, 40 т, 40 т і 70 т борошна, яку потрібно доставити чотирьом хлібозаводам. Першому хлібозаводу потрібно 50 т борошна, другому - 40 т, третьому - 50 т і четвертому - 60 т борошна. Вартість доставки однієї тонни борошна зі складу А кожному хлібозаводу відповідно рівні 8, 3, 5 і 2 ден. одиниць, зі складу В - 7, 4, 9 і 8 ден. одиниць, зі складу С - 6, 3, 3 і 1 ден. одиниць, зі складу Д - 2, 4, 1 та 5 ден. одиниць. Скласти план перевезення борошна, що забезпечує мінімальні
транспортні витрати.
Рішення.
Завдання 1.
Потужності постачальників
| Потужності споживачів
|
50
| 40
| 50
| 60
|
50
| 8
| 3
| 5
| 2
|
40
| 7
| 4
| 9
| 8
|
40
| 6
| 3
| 3
| 1
|
70
| 2
| 4
| 1
| 5
|
Сума потужностей постачальників (запаси борошна на всіх складах) 50 +40 +40 +70 = 200, сума потужностей споживачів (потреби всіх хлібозаводів) 50 +40 +50 +60 = 200. Суми рівні, ця задача є транспортної завданням закритого типу.
Завдання 2.
Позначимо x
ij обсяг поставок борошна від i - го постачальника (складу) j - му споживачеві (хлібозаводу), i = 1, 2, 3, 4; j = 1, 2, 3, 4. Очевидно, x
ij ³ 0. У закритій транспортної задачі всі обмеження є равенствами.
Так як потреби повинні бути задоволені, то виконуються умови:
х
11 + х
21 + х
31 + х
41 = 50
х
12 + х
22 + х
32 + х
42 = 40 (1)
х
13 + х
23 + х
33 + х
43 = 50
х
14 + х
24 + х
34 + х
44 = 60
Так як постачання від виробника всім споживачам не можуть бути більше його можливостей, то виконуються умови:
х
11 + х
12 + х
13 + х
14 = 50
х
21 + х
22 + х
23 + х
24 = 40 (2)
х
31 + х
32 + х
33 + х
34 = 40
х
41 + х
42 + х
43 + х
44 = 70
Витрати на транспортування складуть
F (X) = 8х
11 + 3х
12 + 5х
13 + 2х
14 +
+ 7х
21 + 4х
22 + 9x
23 + 8х
24 +
+ 6х
31 + 3х
32 + 3х
33 + 1х
34 +
+ 2х
41 + 4х
42 + 1х
43 + 5х
44 +.
Потрібно знайти невід'ємне рішення системи рівнянь (1) - (2), на якому цільова
функція витрат F (X) приймає мінімальне значення.
Завдання 3.
Початковий план перевезень знаходимо методом мінімальної вартості:
Заповнюємо клітину (3, 4) х
34 = min {60, 40} = 40, від постачальника 3 вивезено все, у рядку 3 більше поставок немає. Заповнюємо клітину (4; 3) х
43 = min {50, 70} = 50, споживачеві 3 все завезено, в стовпчик 3 більше поставок немає.
Клітка (1, 4) х
14 = min {60 - 40, 50} = 20, споживачеві 4 все завезено, в стовпець 4 більше поставок немає.
Клітка (4; 1) х
41 = min {50, 70 - 50} = 20, від постачальника 4 вивезено все, у рядку 4 більше поставок немає. Клітка (1, 2) х
12 = min {40, 50 - 20} = 30, від постачальника 1 вивезено все, у рядку 1 більше поставок немає. Клітка (2, 2) х
22 = min {40 - 30, 40} = 10, споживачеві 2 всі завезено, в колонці 2 більше поставок немає. Клітка (2; 1) х
21 = 30. Всі клітини, в які дані поставки, вважаємо зайнятими, інші - вільними. Початковий план перевезень задається
таблицею 1.
Таблиця 1.
Потужності постачальників
| Потужності споживачів
| u i
|
50
| 40
| 50
| 60
|
50
| 8
| 3 30
| 5
| 2 20
| 0
|
40
| 7 30
| 4 10
| 9
| 8
| -1
|
40
| 6
| 3
| 3
| 1 40
| 1
|
70
| 2 20
| 4
| 1 50
| 5
| 4
|
v j
| 6
| 3
| 5
| 2
|
Досліджуємо цей план перевезень на оптимальність методом потенціалів. Потенціали для зайнятих клітин задовольняють рівнянням: v
j = C
ij + u
i. Нехай u
1 = 0; по клітці (1, 2) знаходимо v
2 = 3; по клітці (1, 4) знаходимо v
4 = 2; по клітці (2, 2) знаходимо u
2 = -1; по клітці (2 ; 1) знаходимо v
1 = 6; по клітці (3, 4) знаходимо u
3 = 1; по клітці (4; 1) знаходимо u
4 =
4; по клітці (4, 3) знаходимо v
3 = 5.
Для всіх клітин
матриці перевезень знайдемо оцінки клітин d
ij = (u
i + c
ij) - v
j :
Серед оцінок є негативна, отже план перевезень Х
0 (таблиця 1) не оптимальний. Найменша
оцінка в клітці (3, 3).
Складемо цикл перерахунку і пометим клітини по черзі знаками «+» і «-»:
+ - + - + - + -
(3, 3), (3, 4), (1, 4), (1, 2), (2, 2), (2; 1), (4; 1), (4, 3).
В клітини з «+» перемістив з кліток з «-» величину min {40; 30; 30; 50} = 30. У цьому разі план перевезень стане таким (таблиця 2).
Таблиця 2.
Потужності постачальників
| Потужності споживачів
| u i
|
50
| 40
| 50
| 60
|
50
| 8
| 3 0
| 5
| 2 50
| 0
|
40
| 7
| 4 40
| 9
| 8
| -1
|
40
| 6
| 3
| 3 30
| 1 10
| 1
|
70
| 2 50
| 4
| 1 20
| 5
| 3
|
v j
| 5
| 3
| 4
| 2
|
Звільнилося дві клітини (1, 2) і (2; 1). Клітку (1, 2) вважаємо зайнятої з нульовою поставкою.
Серед оцінок немає негативних, отже план перевезень Х
0 (таблиця 1) оптимальний.
Досліджуємо цей план перевезень на оптимальність методом потенціалів. Потенціали для зайнятих клітин задовольняють рівнянням: v
j = C
ij + u
i. Нехай u
1 = 0; по клітці (1, 2) знаходимо v
2 = 3; по клітці (1, 4) знаходимо v
4 = 2; по клітці (2, 2) знаходимо u
2 = -1; по клітці (3 ; 4) знаходимо u
3 = 1; по клітці (3; 3) знаходимо v
3 = 4; по клітці (4, 3) знаходимо u
4 = 3; по клітці (4; 1) знаходимо v
1 = 5.
Для всіх клітин матриці перевезень знайдемо оцінки клітин d
ij = (u
i + c
ij) - v
j :
Так як серед оцінок вільних клітин немає нульових, то оптимальний план перевезень єдиний.
Загальні витрати на перевезення
F (X
1) = 2 * 50 + 4 * 40 + 3 * 30 + 1 * 10 + 2 * 50 + 1 * 20 = 480 ден. одиниць
будуть мінімальними при:
x
14 = 50, x
22 = 40, x
33 = 30, х
34 = 10, x
41 = 50, x
43 = 20, решта x
ij = 0.
За оптимальному плану перевезень слід перевезти борошна:
зі складу А на четвертий хлібозавод - 50 т;
зі складу У на другий хлібозавод - 40 т;
зі складу З на третій хлібозавод - 30 т;
на четвертий хлібозавод - 10 т;
зі складу Д на перший хлібозавод - 50 т;
на третій хлібозавод - 20 т.
Задача 4
У таблиці наведені річні дані про трудомісткість виробництва I т цементу (нормо-змін) (N-остання цифра залікової книжки студента):
Поточний номер року (t)
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
| 10
|
Трудомісткість 1 т цементу (y i)
| 7,9 +0, N
| 8,3 +0, N
| 7,5 +0, N
| 6,9 +0, N
| 7,2 +0, N
| 6,5 +0, N
| 5,8 +0, N
| 4,9 +0, N
| 5,1 +0, N
| 4,4 +0, N
|
Завдання 1. Згладити часовий ряд методом простий ковзної середньої, вибравши довжину інтервалу згладжування m = 3; результати відобразити на графіку.
Завдання 2. Визначити наявність тренда в часі ряду методом Фостера -
Стюарт. Табличні значення статистики Стьюдента t
a прийняти рівними при рівні значимості a = 0.05 t
a = 2,23, а при a = 0,30 - t
a = 1,09; інші необхідні табличні дані наведені у таблиці 4.5
підручника на с.153 (
опис методу Фостера - Стюарт см .
підручник с. 151 - 153).
Завдання 3. Для вихідного часового ряду побудувати лінійну трендовую модель
, Визначивши її параметри на основі методу найменших квадратів (
відповідну систему нормальних рівнянь див. у
підручнику на с. 196 формула (5.5)).
Завдання 4. Оцінити адекватність побудованої моделі на основі дослідження
а) близькості математичного очікування залишкової компоненти (ряду залишків) нулю; критичні значення r-критерію прийняти рівним
того числа, як вказано в завданні 2;
б) випадковості відхилень залишкової компоненти за критерієм піків (поворотних точок);
Розрахунки виконати на основі співвідношення 5.9.
підручника на с. 200;
в) незалежності рівнів ряду залишків (відсутність автокореляції) на основі критерію Дарбіна - Уотсона (див.
підручник с. 203 - 204), використовуючи як критичних значень d
l = 1.08 і d
2 = 1,36; якщо критерій Дарбіна - Уотсона відповіді не дає, дослідження незалежності провести по першому коефіцієнту автокореляції:
,
де e
i - рівні залишкової компоненти;
Модуль першого коефіцієнта автокореляції порівняти з критичним рівнем цього коефіцієнта, значення якого прийняти рівним 0,36;
г) нормальності закону розподілу рівнів залишкової компоненти на основі RS-критерію;
В якості критичних значень прийняти інтервал від 2,7 до 3,7 (див. підручник, стор 201 - 202).
Завдання 5. Оцінити точність побудованої трендової лінійної моделі, використовуючи показники середнього квадратичного відхилення від лінії тренду (формула (5,17) підручника на с. 210, k = 1) і середньої відносної помилки апроксимації (формула (5.14) підручника на с. 204).
Завдання 6. Побудувати точковий та інтервальний прогноз трудомісткості виробництва 1 т цементу на два кроки вперед (формула (5.18) підручника на с. 210). Результати
моделювання та
прогнозування відобразити на графіку.
Всі проміжні результати обчислень представити у
таблицях, обчислення провести з двома десятковими знаками в дробовій частині.
Варіант 2. Умови при N = 2
Поточний номер року (t)
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
| 10
|
Трудомісткість 1 т цементу (y i)
| 8,1
| 8,5
| 7,7
| 7,1
| 7,4
| 6,7
| 6,0
| 5,1
| 5,3
| 4,6
|
Рішення.
Завдання 1. Згладжування низки Y (t) зробимо по простий ковзної середньої
Результати в таблиці 1.
| | | Таблиця 1.
|
Згладжування ряду динаміки
|
t
| Факт Y (t)
| Ковзна сума
| Ковзаюче середнє
|
1
| 8,1
| -
| -
|
2
| 8,5
| 24,3
| 8,10
|
3
| 7,7
| 23,3
| 7,77
|
4
| 7,1
| 22,2
| 7,40
|
5
| 7,4
| 21,2
| 7,07
|
6
| 6,7
| 20,1
| 6,70
|
7
| 6,0
| 17,8
| 5,93
|
8
| 5,1
| 16,4
| 5,47
|
9
| 5,3
| 15,0
| 5,00
|
10
| 4,6
| -
| -
|
Завдання 2.
Етап 1. Будуємо дві числові
послідовності k
t і l
t t
| k t
| l t
|
2
| 1
| 0
|
3
| 0
| 1
|
4
| 0
| 1
|
5
| 0
| 0
|
6
| 0
| 1
|
7
| 0
| 1
|
8
| 0
| 1
|
9
| 0
| 0
|
10
| 0
| 1
|
Етап 2. Знаходимо величини
7;
1 - 6 = -5.
Етап 3. Для n = 10 випишемо табличні значення m = 3,858; s
1 = 1,288; s
2 = 1,964.
Обчислюємо
2,44;
2,55.
Етап 4.
Так як
розрахункові значення t
s = 2,44 та t
d = 2,55 більше табличного значення t
a = 2,23, то в даному часовому ряду присутні тренд і тенденція в дисперсії ряду.
З таблиці 1 видно, що ряд Y (t) має тенденцію до зниження.
Завдання 3. Лінійну трендовую модель шукаємо у вигляді
. Параметри моделі а
0, а
1 знайдемо, розв'язавши систему рівнянь
.
n = 9.
Складемо
розрахункову таблицю 2.
| | Таблиця 2
|
t
| y
| t 2
| yt
|
1
| 8,1
| 1
| 8,1
|
2
| 8,5
| 4
| 17,0
|
3
| 7,7
| 9
| 23,1
|
4
| 7,1
| 16
| 28,4
|
5
| 7,4
| 25
| 37,0
|
6
| 6,7
| 36
| 40,2
|
7
| 6
| 49
| 42,0
|
8
| 5,1
| 64
| 40,8
|
9
| 5,3
| 81
| 47,7
|
10
| 4,6
| 100
| 46,0
|
55
| 66,5
| 385
| 330,3
|
Отримуємо систему
;
.
Отримали 1,5 а
1 = -0,64, а
1 = -0,64:1,5 = -0,43; а
0 = 6,65 - 5,5 а
1 = 6,65 - 5,5 × (- 0,43) = 9,02.
Отримали трендовую модель:
.
Завдання 4.
Оцінимо якість моделі. Для цього знайдемо
розрахункові значення Y
p (t), підставляючи t = 1, ..., 10 в трендовую модель, знайдемо відхилення
розрахункових значень від вихідних E (t) = Y (t) - Y
p (t). Для дослідження моделі на адекватність складемо таблицю 3.
| | | | | | | | | Таблиця 3.
|
Розрахункові величини для оцінки адекватності моделі
|
| | | | | | | | | |
t
| Y (t)
| Y р (t)
| E (t)
| k
| E (t) 2
| E (t)-E (t-1)
| (E (t)-E (t-1)) 2
| E (t) * E (t-1)
| IE (t) I: Y (t) * 100
|
1
| 8,1
| 8,59
| -0,49
| | 0,24
| | | | 5,988
|
2
| 8,5
| 8,16
| 0,34
| 1
| 0,12
| 0,83
| 0,69
| -0,17
| 4,059
|
3
| 7,7
| 7,73
| -0,03
| 0
| 0,00
| -0,37
| 0,14
| -0,01
| 0,325
|
4
| 7,1
| 7,30
| -0,20
| 1
| 0,04
| -0,17
| 0,03
| 0,00
| 2,746
|
5
| 7,4
| 6,87
| 0,54
| 1
| 0,29
| 0,73
| 0,53
| -0,10
| 7,23
|
6
| 6,7
| 6,44
| 0,27
| 0
| 0,07
| -0,27
| 0,07
| 0,14
| 3,955
|
7
| 6
| 6,01
| -0,01
| 0
| 0,00
| -0,27
| 0,07
| 0,00
| 0,083
|
8
| 5,1
| 5,58
| -0,48
| 1
| 0,23
| -0,47
| 0,22
| 0,00
| 9,314
|
9
| 5,3
| 5,15
| 0,15
| 1
| 0,02
| 0,63
| 0,40
| -0,07
| 2,925
|
10
| 4,6
| 4,72
| -0,12
| | 0,01
| -0,27
| 0,07
| -0,02
| 2,500
|
S
| 66,5
| 66,5
| 0,00
| 5
| 1,01
| | 2,22
| -0,22
| 39,125
|
а) Близькість математичного очікування залишкової компоненти нулю.
Сума залишків дорівнює 0.
Розрахункове значення критерію Стьюдента
0.
Критичне значення t
a = 2,23 більше розрахункового, отже,
математичне сподівання залишкової компоненти дорівнює нулю.
б) Перевірка залишків E (t) на випадковість.
Критична кількість поворотних точок для n = 10 дорівнює 2.
2.
Для даного ряду кількість таких точок k = 5. Це більше 2, тому залишки E (t) випадкові.
в) Перевірка залишків E (t) на незалежність.
Незалежність (відсутність автокореляції) перевіримо, використовуючи критерій Дарбіна-Уотсона:
,
2,20.
d> 2, перетворимо d '= 4 - d = 4 - 2,20 = 1,80, отримали 1,36 <d' = 1,80 <2. Це означає, що залишки не залежні.
г) Перевірка залишків на відповідність нормальному закону розподілу.
Використовується RS - критерій:
, Де
0,36.
2,87,
RS
т = 2,7 - 3,7; так як
розрахункове значення RS - критерію RS
розр = 2,87 потрапляє всередину інтервалу від 2,7 до 3,7, то залишки E (t) підпорядковуються за нормальним законом розподілу.
Висновок: так як виконуються всі умови адекватності, то модель є повністю адекватною реальному ряду економічної динаміки. Її можна використовувати для побудови прогнозних оцінок.
Завдання 5.
Визначимо точність моделі.
Середнє квадратичне відхилення від лінії тренду
0,36.
Середня відносна помилка
.
Так як 3,91% <5%, то точність моделі висока.
Завдання 6.
Точковий прогноз для Y отримаємо, підставляючи в трендовую модель t = 11 і t = 12.
4,285;
3,855.
Для інтервального прогнозу знайдемо ширину інтервалу
.
Для числа ступенів свободи k = n -2 = 10 - 2 = 8 і рівня значущості a = 0,05 t
a = 2,31.
1,00;
1,04.
Межі інтервалів прогнозу: НГ = Y
n + k - U (k), ВГ = Y
n + k + U (k).
Результати прогнозу представлені таблицею 4.
Таблиця 4.
Точковий та інтервальний прогноз
t
| U (k)
| Y n + kp
| НГ
| ВГ
|
10
| 1,00
| 4,29
| 3,29
| 5,28
|
11
| 1,04
| 3,86
| 2,81
| 4,90
|
Побудуємо графік.
Завдання 5.
У таблиці представлені перший (х
ij) і другий (Y
i) квадранти схеми міжгалузевого балансу виробництва і розподілу продукції для трехотраслевой економічної системи (N - остання цифра залікової книжки студента):
Споживають галузі
| Виробляють галузі
| Кінцева продукція
|
1
| 2
| 3
|
1
| 200 +10 N
| 50 +10 N
| 300 +10 N
| 200 +10 N
|
2
| 150 +10 N
| 250 +10 N
| 0 +10 N
| 100 +10 N
|
3
| 230 +10 N
| 50 +10 N
| 150 +10 N
| 300 +10 N
|
Завдання 1. Розрахувати обсяги валової продукції галузей (формула (6.2) підручника на с. 237).
Завдання 2. Розрахувати матрицю коефіцієнтів прямих витрат А = (a
ij) (формула (6.4) підручника на с. 238).
Завдання 3. Знайти матрицю коефіцієнтів повних витрат B = (b
ij), використовуючи формулу (6.16) підручника на с. 244.
Завдання 4. Розрахувати обсяги умовно чистої продукції галузей Zj, використовуючи формулу (6.1) підручника на с. 236.
Завдання 5. Представити в таблиці повну схему міжгалузевого балансу (відповідно до принципової схемою МОБ; табл. 6.1 підручника на с.234).
Варіант 3. Умови при N = 2.
| | | Таблиця 1.
|
Споживають галузі
| Виробляють галузі
| Кінцева продукція
|
1
| 2
| 3
|
1
| 220
| 70
| 320
| 220
|
2
| 170
| 270
| 20
| 120
|
3
| 250
| 70
| 170
| 320
|
Рішення.
Завдання 1.
Обсяг валової продукції знаходимо за формулою
.
Результати в таблиці 2.
| | | | Таблиця 2.
|
Споживають галузі
| Виробляють галузі
| Кінцева продукція
| Валовий продукт
|
1
| 2
| 3
|
1
| 220
| 70
| 320
| 220
| 830
|
2
| 170
| 270
| 20
| 120
| 580
|
3
| 250
| 70
| 170
| 320
| 810
|
Завдання 2.
Коефіцієнти матриці прямих витрат знаходимо за формулою
Отримуємо матрицю А.
| 0,27
| 0,12
| 0,40
|
А =
| 0,20
| 0,47
| 0,02
|
| 0,30
| 0,12
| 0,21
|
Завдання 3. Щоб знайти матрицю коефіцієнтів повних витрат В, запишемо матрицю Е - А, де Е - одинична матриця.
| 0,73
| -0,12
| -0,40
|
Е - А =
| -0,20
| 0,53
| -0,02
|
| -0,30
| -0,12
| 0,79
|
Матриця В знаходиться за формулою
| 1,96
| 0,67
| 1,00
|
В = (Е - А) -1 =
| 0,79
| 2,15
| 0,46
|
| 0,87
| 0,58
| 1,72
|
Завдання 4. Умовно чисту продукцію знайдемо за формулою
Результати в таблиці 3.
| | | | Таблиця 3.
|
Споживають галузі
| Виробляють галузі
| Кінцева продукція
| Валовий продукт
|
1
| 2
| 3
|
1
| 220
| 70
| 320
| 220
| 830
|
2
| 170
| 270
| 20
| 120
| 580
|
3
| 250
| 70
| 170
| 320
| 810
|
Умовно чиста продукція
| 190
| 170
| 300
| | |
Завдання 5.
Міжгалузевий баланс виробництва і розподілу продукції галузей представлений таблицею 4.
| | | | Таблиця 4.
|
Споживають галузі
| Виробляють галузі
| Кінцева продукція
| Валовий продукт
|
1
| 2
| 3
|
1
| 220
| 70
| 320
| 220
| 830
|
2
| 170
| 270
| 20
| 120
| 580
|
3
| 250
| 70
| 170
| 320
| 810
|
Умовно чиста продукція
| 190
| 170
| 300
| 660
| |
Валовий продукт
| 830
| 580
| 810
| | 2220
|
Література
1. Економіко-математичні методи і прикладні моделі: Учеб. посібник для вузів / В. В. Федосєєв, А. Н. Гармаш, Д.М. Дайітбегов та ін; Під ред. В.В. Федосєєва. М.: ЮНИТИ, 1999.
2. Економіко-математичні методи і прикладні моделі.
Методичні вказівки з вивчення дисципліни та завдання до
контрольної роботи для
студентів III курсу спеціальностей 061000 «Державне та муніципальне управління», 061100 «Менеджмент організації», 061500 «Маркетинг». - М.: ХТРЕІУ, 2002