Завдання 1.
Вирішити задачу лінійного програмування симплексним методом.
Варіант 2.
Знайти найбільше значення функції f (X) = x 1 - 4x 4 при обмеженнях
x 1 - x 2 + x 3 + x 4 = 3
x 1 + x 2 + 2x 3 = 5,
x j ³ 0, j = 1, 2, 3, 4.
Рішення.
Завдання записана в канонічному вигляді, але не має необхідного числа одиничних стовпців, тобто не має очевидним початковим опорним рішенням.
Для знаходження опорного плану переходимо до М-задачі:
f (X) = x 1 - 4x 4 - Мy 1 ® max
x 1 - x 2 + x 3 + x 4 = 3
x 1 + x 2 + 2x 3 + y 1 = 5,
x j ³ 0, j = 1, 2, 3, 4; y 1 ³ 0.
Очевидне початкове опорне рішення (0, 0, 0, 3, 5).
Рішення здійснюється симплекс-методом з штучним базисом.
Розрахунки оформимо у симплекс-таблицах
Початкове опорне рішення (0, 0, 0, 3, 5), відповідне симплекс-таблиці 0, неоптимальний, тому що в D - рядку є негативні значення, найменше в стовпці А 3. Цей стовпець буде направляють. Мінімальна позитивне оцінне ставлення Q в рядку P 1, цей рядок напрямна. Направляючий елемент на перетині напрямних рядка і стовпця. Стовпець P 1 виводимо з базису, а А 3 - вводимо в базис.
При перерахунку таблиці стовпець Р 1 далі можна не розраховувати.
Після перерахунку отримуємо симплекс-таблицю 1. Відповідне опорне рішення (0; 0; 5 / 2, 1 / 2; 0) не оптимально, так як в D - рядку є негативні значення, у стовпці А 1. Цей стовпець буде направляють. Мінімальна позитивне оцінне ставлення Q в рядку А 4. У якості направляючої рядка візьмемо А 4. Направляючий елемент на перетині напрямних рядка і стовпця. Стовпець А 4 виводимо з базису, а А 1 - вводимо в базис.
Після перерахунку отримуємо симплекс-таблицю 2. Опорне рішення, відповідне симплекс-таблиці 2 (1, 0, 2, 0, 0) - не оптимально, так як в D - рядку є негативні значення, у стовпці А 2. Цей стовпець буде направляють. Мінімальна позитивне оцінне ставлення Q в рядку А 3. У якості направляючої рядка візьмемо А 3. Направляючий елемент на перетині напрямних рядка і стовпця. Стовпець А 3 виводимо з базису, а А 2 - вводимо в базис.
Після перерахунку отримуємо симплекс-таблицю 3. Опорне рішення, відповідне симплекс-таблиці 3 (4, 1, 0, 0, 0) - оптимально, так як в D - рядку немає негативних значень.
Відкидаючи значення змінної y 1, отримуємо оптимальне рішення вихідної задачі:
х 1 = 4, х 2 = 1; х 3 = 0; х 4 = 0; f max = 1 × 4 + 0 × 1 + 0 × 0 - 4 × 0 = 4.
Завдання 2.
Завдання 1. Сформулювати економіко-математичну модель вихідної економічної задачі.
Завдання 2. Вирішити отриману завдання лінійного програмування графічним методом.
Завдання 3. Сформулювати двоїсту задачу і знайти її оптимальне рішення, використовуючи теореми подвійності.
Варіант 2.
Підприємство виробляє полиці для ванних кімнат двох розмірів А і Б. Служба маркетингу визначили, що на ринку може бути реалізовано до 550 полиць на тиждень, а обсяг поставляється на підприємство матеріалу, з якого робляться полки, дорівнює 1200 м 2 на тиждень. Для кожної полиці типів А і Б потрібно 2 м 2 і 3 м 2 матеріалу відповідно, а витрати верстатного часу на обробку однієї полиці типу А і Б становлять відповідно 12 і 30 хвилин. Загальний тижневий обсяг верстатного часу дорівнює 160 годин, а прибуток від продажу кожної полиці типу А і Б складає 3 і 4 ден. одиниць відповідно. Визначити, скільки полиць кожного типу слід випускати на тиждень для отримання найбільшого прибутку.
Рішення.
Завдання 1.
Позначимо x 1 і x 2 кількість полиць типу А і Б, відповідно (план випуску). Очевидно, x 1, x 2 ³ 0 і цілі.
Так як обсяг реалізації на тиждень становить до 550 полиць, то x 1 + x 2 £ 550.
Витрата матеріалу складе 2x 1 + 3x 2 м 2, ця величина не повинна перевищувати запасу матеріалу 1200 м 2. Отже, має виконуватися нерівність 2x 1 + 3x 2 £ 1200.
Витрати верстатного часу складуть 0,2 x 1 + 0,5 x 2 год. і не можуть бути більше тижневого обсягу 160 год. Отже, має виконуватися нерівність 0,2 x 1 + 0,5 x 2 £ 160. Щоб не було дробів, помножимо його на 10 і отримаємо 2x 1 + 5x 2 £ 1600.
Прибуток від реалізації полиць складе f (X) = 3x 1 + 4x 2 ден. одиниць, і вона повинна бути найбільшою
Отримуємо економіко-математичну модель задачі:
Знайти максимум функції f (X) при заданих обмеженнях
f (X) = 3x 1 + 4x 2 ® max
x 1 + x 2 £ 550
2x 1 + 3x 2 £ 1200
2x 1 + 5x 2 £ 1600
x 1, x 2 ³ 0, цілі.
Завдання 2.
Вирішуємо задачу без умови цілочисельності рішення. Побудуємо безліч допустимих рішень задачі.
Прямі обмеження x 1,2 ³ 0 виділяють першу чверть площині.
Проведемо пряму x 1 + x 2 = 550 через точки (0; 550) і (550; 0). Підставимо в перше нерівність координати точки (0; 0): 1 × 0 +1 × 0 = 0 <550, так як нерівність виконується, то вибираємо полуплоскость, що містить цю точку.
Проведемо пряму 2x 1 + 3x 2 = 1200 через точки (0; 400) і (600; 0). Підставимо в перше нерівність координати точки (0; 0): 2 × 0 + 3 × 0 = 0 <1200, так як нерівність виконується, то вибираємо полуплоскость, що містить цю точку.
Проведемо пряму 2x 1 + 5x 2 = 1600 через точки (0; 320) і (800; 0). Підставимо в перше нерівність координати точки (0; 0): 2 × 0 + 5 × 0 = 0 <1600, так як нерівність виконується, то вибираємо полуплоскость, що містить цю точку.
Безліч допустимих рішень - це багатокутник ABCDO.
Побудуємо лінію рівня цільової функції f (X) = 3x 1 + 4x 2
3x 1 + 4x 2 = 0 через точки (200; -150) і (-200; 150).
Вектор-градієнт {3, 4} задає напрямок, переміщуючись вздовж якого, можна збільшити значення цільової функції; переміщаючись у протилежному напрямку, можна зменшити її значення. На кресленні побудований вектор, пропорційний градієнту (60; 80), так як сам градієнт має малий масштаб на кресленні.
З креслення видно, що найбільше значення цільової функції буде на лінії рівня, що проходить через точку С, що є перетином прямих (1) і (2).
Координати цієї точки знайдемо з системи
x 1 + x 2 = 550,
2x 1 + 3x 2 = 1200.
Перше рівняння помножимо на 2 і віднімемо від другого, отримуємо x 2 = 100 і x 1 = 450
f mах = 3 × 450 + 4 × 100 = 1750 ден. одиниць.
Отримане оптимальне рішення виявилося цілим, отже, це рішення поставленої задачі. Отримали: в оптимальному плані випуску слід провести полиць типу А 450 шт., А полиць типу Б - 100 шт.Прі цьому прибуток від реалізації складе 1750 ден. одиниць і буде найбільшою.
Завдання 3.
Двоїста задача.
Знайти мінімум функції g (Y) при обмеженнях:
g (Y) = 550y 1 + 1200y 2 + 1600y 3 ® min
y 1 + 2y 2 + 2y 3 ³ 3
y 1 + 3y 2 + 5y 3 ³ 4
y 1,2,3 ³ 0.
Оптимальне рішення прямої задачі Х = (450; 100). Підставимо його в обмеження цього завдання
1 × 450 + 1 × 100 = 550
2 × 450 + 3 × 100 = 1200
2 × 450 + 5 × 100 = 1400 <1600
Умови доповнює нежорсткої (друга теорема двоїстості): для оптимальних планів двоїстих завдань мають місце співвідношення:
Так як для оптимального розв'язання прямої задачі третину обмеження виконується як нерівність, то в оптимальному рішенні двоїстої задачі y 3 = 0.
Так як для оптимального розв'язання прямої задачі х 1> 0і х 2> 0, то обидва обмеження двоїстої задачі виконуються як рівність. Для знаходження рішення двоїстої задачі отримуємо систему
y 3 = 0
y 1 + 2y 2 + 2y 3 = 3
y 1 + 3y 2 + 5y 3 = 4
Отримуємо рішення: y 1 =, y 2 = 1, y 3 = 0.
Знайдемо значення цільової функції двоїстої задачі:
g (Y) = 550 × 1 + 1200 × 1 + 1600 × 0 = 1750.
Отримали g min = f max = 1750 ден. одиниць.
Так як значення прямої та двоїстої функцій рівні, то Y = (1; 1; 0) є оптимальним рішенням двоїстої задачі (по першій теоремі подвійності).
Завдання 3.
Завдання 1. Записати вихідні дані задачі у вигляді транспортної таблиці, визначити, відкритою або закритою є транспортна задача.
Завдання 2. Сформулювати економіко-математичну модель вихідної транспортної задачі.
Завдання 3. Знайти оптимальний план перевезень, відзначивши при цьому єдиність або неєдиний оптимального плану.
Варіант 3.
На складах A, B, C, Д знаходиться відповідно 50 т, 40 т, 40 т і 70 т борошна, яку потрібно доставити чотирьом хлібозаводам. Першому хлібозаводу потрібно 50 т борошна, другому - 40 т, третьому - 50 т і четвертому - 60 т борошна. Вартість доставки однієї тонни борошна зі складу А кожному хлібозаводу відповідно рівні 8, 3, 5 і 2 ден. одиниць, зі складу В - 7, 4, 9 і 8 ден. одиниць, зі складу С - 6, 3, 3 і 1 ден. одиниць, зі складу Д - 2, 4, 1 та 5 ден. одиниць. Скласти план перевезення борошна, що забезпечує мінімальні транспортні витрати.
Рішення.
Завдання 1.
Сума потужностей постачальників (запаси борошна на всіх складах) 50 +40 +40 +70 = 200, сума потужностей споживачів (потреби всіх хлібозаводів) 50 +40 +50 +60 = 200. Суми рівні, ця задача є транспортної завданням закритого типу.
Завдання 2.
Позначимо x ij обсяг поставок борошна від i - го постачальника (складу) j - му споживачеві (хлібозаводу), i = 1, 2, 3, 4; j = 1, 2, 3, 4. Очевидно, x ij ³ 0. У закритій транспортної задачі всі обмеження є равенствами.
Так як потреби повинні бути задоволені, то виконуються умови:
х 11 + х 21 + х 31 + х 41 = 50
х 12 + х 22 + х 32 + х 42 = 40 (1)
х 13 + х 23 + х 33 + х 43 = 50
х 14 + х 24 + х 34 + х 44 = 60
Так як постачання від виробника всім споживачам не можуть бути більше його можливостей, то виконуються умови:
х 11 + х 12 + х 13 + х 14 = 50
х 21 + х 22 + х 23 + х 24 = 40 (2)
х 31 + х 32 + х 33 + х 34 = 40
х 41 + х 42 + х 43 + х 44 = 70
Витрати на транспортування складуть
F (X) = 8х 11 + 3х 12 + 5х 13 + 2х 14 +
+ 7х 21 + 4х 22 + 9x 23 + 8х 24 +
+ 6х 31 + 3х 32 + 3х 33 + 1х 34 +
+ 2х 41 + 4х 42 + 1х 43 + 5х 44 +.
Потрібно знайти невід'ємне рішення системи рівнянь (1) - (2), на якому цільова функція витрат F (X) приймає мінімальне значення.
Завдання 3.
Початковий план перевезень знаходимо методом мінімальної вартості:
Заповнюємо клітину (3, 4) х 34 = min {60, 40} = 40, від постачальника 3 вивезено все, у рядку 3 більше поставок немає. Заповнюємо клітину (4; 3) х 43 = min {50, 70} = 50, споживачеві 3 все завезено, в стовпчик 3 більше поставок немає. Клітка (1, 4) х 14 = min {60 - 40, 50} = 20, споживачеві 4 все завезено, в стовпець 4 більше поставок немає. Клітка (4; 1) х 41 = min {50, 70 - 50} = 20, від постачальника 4 вивезено все, у рядку 4 більше поставок немає. Клітка (1, 2) х 12 = min {40, 50 - 20} = 30, від постачальника 1 вивезено все, у рядку 1 більше поставок немає. Клітка (2, 2) х 22 = min {40 - 30, 40} = 10, споживачеві 2 всі завезено, в колонці 2 більше поставок немає. Клітка (2; 1) х 21 = 30. Всі клітини, в які дані поставки, вважаємо зайнятими, інші - вільними. Початковий план перевезень задається таблицею 1.
Таблиця 1.
Досліджуємо цей план перевезень на оптимальність методом потенціалів. Потенціали для зайнятих клітин задовольняють рівнянням: v j = C ij + u i.
Нехай u 1 = 0; по клітці (1, 2) знаходимо v 2 = 3; по клітці (1, 4) знаходимо v 4 = 2; по клітці (2, 2) знаходимо u 2 = -1; по клітці (2 ; 1) знаходимо v 1 = 6; по клітці (3, 4) знаходимо u 3 = 1; по клітці (4; 1) знаходимо u 4 = 4; по клітці (4, 3) знаходимо v 3 = 5.
Для всіх клітин матриці перевезень знайдемо оцінки клітин d ij = (u i + c ij) - v j :
Серед оцінок є негативна, отже план перевезень Х 0 (таблиця 1) не оптимальний. Найменша оцінка в клітці (3, 3).
Складемо цикл перерахунку і пометим клітини по черзі знаками «+» і «-»:
+ - + - + - + -
(3, 3), (3, 4), (1, 4), (1, 2), (2, 2), (2; 1), (4; 1), (4, 3).
В клітини з «+» перемістив з кліток з «-» величину min {40; 30; 30; 50} = 30. У цьому разі план перевезень стане таким (таблиця 2).
Таблиця 2.
Звільнилося дві клітини (1, 2) і (2; 1). Клітку (1, 2) вважаємо зайнятої з нульовою поставкою.
Серед оцінок немає негативних, отже план перевезень Х 0 (таблиця 1) оптимальний.
Досліджуємо цей план перевезень на оптимальність методом потенціалів. Потенціали для зайнятих клітин задовольняють рівнянням: v j = C ij + u i.
Нехай u 1 = 0; по клітці (1, 2) знаходимо v 2 = 3; по клітці (1, 4) знаходимо v 4 = 2; по клітці (2, 2) знаходимо u 2 = -1; по клітці (3 ; 4) знаходимо u 3 = 1; по клітці (3; 3) знаходимо v 3 = 4; по клітці (4, 3) знаходимо u 4 = 3; по клітці (4; 1) знаходимо v 1 = 5.
Для всіх клітин матриці перевезень знайдемо оцінки клітин d ij = (u i + c ij) - v j :
Так як серед оцінок вільних клітин немає нульових, то оптимальний план перевезень єдиний.
Загальні витрати на перевезення
Вирішити задачу лінійного програмування симплексним методом.
Варіант 2.
Знайти найбільше значення функції f (X) = x 1 - 4x 4 при обмеженнях
x 1 + x 2 + 2x 3 = 5,
x j ³ 0, j = 1, 2, 3, 4.
Рішення.
Завдання записана в канонічному вигляді, але не має необхідного числа одиничних стовпців, тобто не має очевидним початковим опорним рішенням.
Для знаходження опорного плану переходимо до М-задачі:
f (X) = x 1 - 4x 4 - Мy 1 ® max
x 1 + x 2 + 2x 3 + y 1 = 5,
x j ³ 0, j = 1, 2, 3, 4; y 1 ³ 0.
Очевидне початкове опорне рішення (0, 0, 0, 3, 5).
Рішення здійснюється симплекс-методом з штучним базисом.
Розрахунки оформимо у симплекс-таблицах
| Номер симплекс-таблиці | Базис | C j C i | B | 1 | 0 | 0 | -4 | -M | Q |
| A 1 | A 2 | A 3 | A 4 | P 1 | |||||
| 0 | A 4 | -4 | 3 | 1 | -1 | 1 | 1 | 0 | 3:1 = 3 |
| P 1 | -M | 5 | 1 | 1 | 2 | 0 | 1 | 5:2 = 2,5 | |
| j | - | -5M-12 | -M-5 | -M +4 | -2M-4 | 0 | 0 | ||
| 1 | A 4 | -4 | 1 / 2 | 1 / 2 | -3 / 2 | 0 | 1 | 1 / 2: 1 / 2 = 1 | |
| A 3 | 0 | 5 / 2 | 1 / 2 | 1 / 2 | 1 | 0 | 5 / 2: 1 / 2 = 1 | ||
| j | - | -2 | -3 | 6 | 0 | 0 | |||
| 2 | A 1 | 1 | 1 | 1 | -3 | 0 | 2 | ||
| A 3 | 0 | 2 | 0 | 2 | 1 | -1 | 2:2 = 1 | ||
| j | - | 1 | 0 | -3 | 0 | 6 | |||
| 3 | A 1 | 1 | 4 | 1 | 0 | 3 / 2 | 1 / 2 | ||
| A 2 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 / 2 | -1 / 2 | |||
| j | - | 4 | 0 | 0 | 3 / 2 | 9 / 2 |
При перерахунку таблиці стовпець Р 1 далі можна не розраховувати.
Після перерахунку отримуємо симплекс-таблицю 1. Відповідне опорне рішення (0; 0; 5 / 2, 1 / 2; 0) не оптимально, так як в D - рядку є негативні значення, у стовпці А 1. Цей стовпець буде направляють. Мінімальна позитивне оцінне ставлення Q в рядку А 4. У якості направляючої рядка візьмемо А 4. Направляючий елемент на перетині напрямних рядка і стовпця. Стовпець А 4 виводимо з базису, а А 1 - вводимо в базис.
Після перерахунку отримуємо симплекс-таблицю 2. Опорне рішення, відповідне симплекс-таблиці 2 (1, 0, 2, 0, 0) - не оптимально, так як в D - рядку є негативні значення, у стовпці А 2. Цей стовпець буде направляють. Мінімальна позитивне оцінне ставлення Q в рядку А 3. У якості направляючої рядка візьмемо А 3. Направляючий елемент на перетині напрямних рядка і стовпця. Стовпець А 3 виводимо з базису, а А 2 - вводимо в базис.
Після перерахунку отримуємо симплекс-таблицю 3. Опорне рішення, відповідне симплекс-таблиці 3 (4, 1, 0, 0, 0) - оптимально, так як в D - рядку немає негативних значень.
Відкидаючи значення змінної y 1, отримуємо оптимальне рішення вихідної задачі:
х 1 = 4, х 2 = 1; х 3 = 0; х 4 = 0; f max = 1 × 4 + 0 × 1 + 0 × 0 - 4 × 0 = 4.
Завдання 2.
Завдання 1. Сформулювати економіко-математичну модель вихідної економічної задачі.
Завдання 2. Вирішити отриману завдання лінійного програмування графічним методом.
Завдання 3. Сформулювати двоїсту задачу і знайти її оптимальне рішення, використовуючи теореми подвійності.
Варіант 2.
Підприємство виробляє полиці для ванних кімнат двох розмірів А і Б. Служба маркетингу визначили, що на ринку може бути реалізовано до 550 полиць на тиждень, а обсяг поставляється на підприємство матеріалу, з якого робляться полки, дорівнює 1200 м 2 на тиждень. Для кожної полиці типів А і Б потрібно 2 м 2 і 3 м 2 матеріалу відповідно, а витрати верстатного часу на обробку однієї полиці типу А і Б становлять відповідно 12 і 30 хвилин. Загальний тижневий обсяг верстатного часу дорівнює 160 годин, а прибуток від продажу кожної полиці типу А і Б складає 3 і 4 ден. одиниць відповідно. Визначити, скільки полиць кожного типу слід випускати на тиждень для отримання найбільшого прибутку.
Рішення.
Завдання 1.
Позначимо x 1 і x 2 кількість полиць типу А і Б, відповідно (план випуску). Очевидно, x 1, x 2 ³ 0 і цілі.
Так як обсяг реалізації на тиждень становить до 550 полиць, то x 1 + x 2 £ 550.
Витрата матеріалу складе 2x 1 + 3x 2 м 2, ця величина не повинна перевищувати запасу матеріалу 1200 м 2. Отже, має виконуватися нерівність 2x 1 + 3x 2 £ 1200.
Витрати верстатного часу складуть 0,2 x 1 + 0,5 x 2 год. і не можуть бути більше тижневого обсягу 160 год. Отже, має виконуватися нерівність 0,2 x 1 + 0,5 x 2 £ 160. Щоб не було дробів, помножимо його на 10 і отримаємо 2x 1 + 5x 2 £ 1600.
Прибуток від реалізації полиць складе f (X) = 3x 1 + 4x 2 ден. одиниць, і вона повинна бути найбільшою
Отримуємо економіко-математичну модель задачі:
Знайти максимум функції f (X) при заданих обмеженнях
f (X) = 3x 1 + 4x 2 ® max
x 1 + x 2 £ 550
2x 1 + 3x 2 £ 1200
2x 1 + 5x 2 £ 1600
x 1, x 2 ³ 0, цілі.
Завдання 2.
Вирішуємо задачу без умови цілочисельності рішення. Побудуємо безліч допустимих рішень задачі.
Прямі обмеження x 1,2 ³ 0 виділяють першу чверть площині.
Проведемо пряму x 1 + x 2 = 550 через точки (0; 550) і (550; 0). Підставимо в перше нерівність координати точки (0; 0): 1 × 0 +1 × 0 = 0 <550, так як нерівність виконується, то вибираємо полуплоскость, що містить цю точку.
Проведемо пряму 2x 1 + 3x 2 = 1200 через точки (0; 400) і (600; 0). Підставимо в перше нерівність координати точки (0; 0): 2 × 0 + 3 × 0 = 0 <1200, так як нерівність виконується, то вибираємо полуплоскость, що містить цю точку.
Проведемо пряму 2x 1 + 5x 2 = 1600 через точки (0; 320) і (800; 0). Підставимо в перше нерівність координати точки (0; 0): 2 × 0 + 5 × 0 = 0 <1600, так як нерівність виконується, то вибираємо полуплоскость, що містить цю точку.
Безліч допустимих рішень - це багатокутник ABCDO.
Побудуємо лінію рівня цільової функції f (X) = 3x 1 + 4x 2
3x 1 + 4x 2 = 0 через точки (200; -150) і (-200; 150).
Вектор-градієнт {3, 4} задає напрямок, переміщуючись вздовж якого, можна збільшити значення цільової функції; переміщаючись у протилежному напрямку, можна зменшити її значення. На кресленні побудований вектор, пропорційний градієнту (60; 80), так як сам градієнт має малий масштаб на кресленні.
З креслення видно, що найбільше значення цільової функції буде на лінії рівня, що проходить через точку С, що є перетином прямих (1) і (2).
Координати цієї точки знайдемо з системи
2x 1 + 3x 2 = 1200.
Перше рівняння помножимо на 2 і віднімемо від другого, отримуємо x 2 = 100 і x 1 = 450
f mах = 3 × 450 + 4 × 100 = 1750 ден. одиниць.
Отримане оптимальне рішення виявилося цілим, отже, це рішення поставленої задачі. Отримали: в оптимальному плані випуску слід провести полиць типу А 450 шт., А полиць типу Б - 100 шт.Прі цьому прибуток від реалізації складе 1750 ден. одиниць і буде найбільшою.
A |
B |
C |
D |
O |
(1) |
(2) |
(3) |
x 1 |
x 2 |
Завдання 3.
Двоїста задача.
Знайти мінімум функції g (Y) при обмеженнях:
g (Y) = 550y 1 + 1200y 2 + 1600y 3 ® min
y 1 + 2y 2 + 2y 3 ³ 3
y 1 + 3y 2 + 5y 3 ³ 4
y 1,2,3 ³ 0.
Оптимальне рішення прямої задачі Х = (450; 100). Підставимо його в обмеження цього завдання
1 × 450 + 1 × 100 = 550
2 × 450 + 3 × 100 = 1200
2 × 450 + 5 × 100 = 1400 <1600
Умови доповнює нежорсткої (друга теорема двоїстості): для оптимальних планів двоїстих завдань мають місце співвідношення:
Так як для оптимального розв'язання прямої задачі третину обмеження виконується як нерівність, то в оптимальному рішенні двоїстої задачі y 3 = 0.
Так як для оптимального розв'язання прямої задачі х 1> 0і х 2> 0, то обидва обмеження двоїстої задачі виконуються як рівність. Для знаходження рішення двоїстої задачі отримуємо систему
y 1 + 2y 2 + 2y 3 = 3
y 1 + 3y 2 + 5y 3 = 4
Отримуємо рішення: y 1 =, y 2 = 1, y 3 = 0.
Знайдемо значення цільової функції двоїстої задачі:
g (Y) = 550 × 1 + 1200 × 1 + 1600 × 0 = 1750.
Отримали g min = f max = 1750 ден. одиниць.
Так як значення прямої та двоїстої функцій рівні, то Y = (1; 1; 0) є оптимальним рішенням двоїстої задачі (по першій теоремі подвійності).
Завдання 3.
Завдання 1. Записати вихідні дані задачі у вигляді транспортної таблиці, визначити, відкритою або закритою є транспортна задача.
Завдання 2. Сформулювати економіко-математичну модель вихідної транспортної задачі.
Завдання 3. Знайти оптимальний план перевезень, відзначивши при цьому єдиність або неєдиний оптимального плану.
Варіант 3.
На складах A, B, C, Д знаходиться відповідно 50 т, 40 т, 40 т і 70 т борошна, яку потрібно доставити чотирьом хлібозаводам. Першому хлібозаводу потрібно 50 т борошна, другому - 40 т, третьому - 50 т і четвертому - 60 т борошна. Вартість доставки однієї тонни борошна зі складу А кожному хлібозаводу відповідно рівні 8, 3, 5 і 2 ден. одиниць, зі складу В - 7, 4, 9 і 8 ден. одиниць, зі складу С - 6, 3, 3 і 1 ден. одиниць, зі складу Д - 2, 4, 1 та 5 ден. одиниць. Скласти план перевезення борошна, що забезпечує мінімальні транспортні витрати.
Рішення.
Завдання 1.
| Потужності постачальників | Потужності споживачів | |||
| 50 | 40 | 50 | 60 | |
| 50 | 8 | 3 | 5 | 2 |
| 40 | 7 | 4 | 9 | 8 |
| 40 | 6 | 3 | 3 | 1 |
| 70 | 2 | 4 | 1 | 5 |
Завдання 2.
Позначимо x ij обсяг поставок борошна від i - го постачальника (складу) j - му споживачеві (хлібозаводу), i = 1, 2, 3, 4; j = 1, 2, 3, 4. Очевидно, x ij ³ 0. У закритій транспортної задачі всі обмеження є равенствами.
Так як потреби повинні бути задоволені, то виконуються умови:
х 11 + х 21 + х 31 + х 41 = 50
х 12 + х 22 + х 32 + х 42 = 40 (1)
х 13 + х 23 + х 33 + х 43 = 50
х 14 + х 24 + х 34 + х 44 = 60
Так як постачання від виробника всім споживачам не можуть бути більше його можливостей, то виконуються умови:
х 11 + х 12 + х 13 + х 14 = 50
х 21 + х 22 + х 23 + х 24 = 40 (2)
х 31 + х 32 + х 33 + х 34 = 40
х 41 + х 42 + х 43 + х 44 = 70
Витрати на транспортування складуть
F (X) = 8х 11 + 3х 12 + 5х 13 + 2х 14 +
+ 7х 21 + 4х 22 + 9x 23 + 8х 24 +
+ 6х 31 + 3х 32 + 3х 33 + 1х 34 +
+ 2х 41 + 4х 42 + 1х 43 + 5х 44 +.
Потрібно знайти невід'ємне рішення системи рівнянь (1) - (2), на якому цільова функція витрат F (X) приймає мінімальне значення.
Завдання 3.
Початковий план перевезень знаходимо методом мінімальної вартості:
Заповнюємо клітину (3, 4) х 34 = min {60, 40} = 40, від постачальника 3 вивезено все, у рядку 3 більше поставок немає. Заповнюємо клітину (4; 3) х 43 = min {50, 70} = 50, споживачеві 3 все завезено, в стовпчик 3 більше поставок немає. Клітка (1, 4) х 14 = min {60 - 40, 50} = 20, споживачеві 4 все завезено, в стовпець 4 більше поставок немає. Клітка (4; 1) х 41 = min {50, 70 - 50} = 20, від постачальника 4 вивезено все, у рядку 4 більше поставок немає. Клітка (1, 2) х 12 = min {40, 50 - 20} = 30, від постачальника 1 вивезено все, у рядку 1 більше поставок немає. Клітка (2, 2) х 22 = min {40 - 30, 40} = 10, споживачеві 2 всі завезено, в колонці 2 більше поставок немає. Клітка (2; 1) х 21 = 30. Всі клітини, в які дані поставки, вважаємо зайнятими, інші - вільними. Початковий план перевезень задається таблицею 1.
Таблиця 1.
| Потужності постачальників | Потужності споживачів | u i | |||
| 50 | 40 | 50 | 60 | ||
| 50 | 8 | 3 30 | 5 | 2 20 | 0 |
| 40 | 7 30 | 4 10 | 9 | 8 | -1 |
| 40 | 6 | 3 | 3 | 1 40 | 1 |
| 70 | 2 20 | 4 | 1 50 | 5 | 4 |
| v j | 6 | 3 | 5 | 2 | |
Нехай u 1 = 0; по клітці (1, 2) знаходимо v 2 = 3; по клітці (1, 4) знаходимо v 4 = 2; по клітці (2, 2) знаходимо u 2 = -1; по клітці (2 ; 1) знаходимо v 1 = 6; по клітці (3, 4) знаходимо u 3 = 1; по клітці (4; 1) знаходимо u 4 = 4; по клітці (4, 3) знаходимо v 3 = 5.
Для всіх клітин матриці перевезень знайдемо оцінки клітин d ij = (u i + c ij) - v j :
Серед оцінок є негативна, отже план перевезень Х 0 (таблиця 1) не оптимальний. Найменша оцінка в клітці (3, 3).
Складемо цикл перерахунку і пометим клітини по черзі знаками «+» і «-»:
+ - + - + - + -
(3, 3), (3, 4), (1, 4), (1, 2), (2, 2), (2; 1), (4; 1), (4, 3).
В клітини з «+» перемістив з кліток з «-» величину min {40; 30; 30; 50} = 30. У цьому разі план перевезень стане таким (таблиця 2).
Таблиця 2.
| Потужності постачальників | Потужності споживачів | u i | |||
| 50 | 40 | 50 | 60 | ||
| 50 | 8 | 3 0 | 5 | 2 50 | 0 |
| 40 | 7 | 4 40 | 9 | 8 | -1 |
| 40 | 6 | 3 | 3 30 | 1 10 | 1 |
| 70 | 2 50 | 4 | 1 20 | 5 | 3 |
| v j | 5 | 3 | 4 | 2 | |
Серед оцінок немає негативних, отже план перевезень Х 0 (таблиця 1) оптимальний.
Досліджуємо цей план перевезень на оптимальність методом потенціалів. Потенціали для зайнятих клітин задовольняють рівнянням: v j = C ij + u i.
Нехай u 1 = 0; по клітці (1, 2) знаходимо v 2 = 3; по клітці (1, 4) знаходимо v 4 = 2; по клітці (2, 2) знаходимо u 2 = -1; по клітці (3 ; 4) знаходимо u 3 = 1; по клітці (3; 3) знаходимо v 3 = 4; по клітці (4, 3) знаходимо u 4 = 3; по клітці (4; 1) знаходимо v 1 = 5.
Для всіх клітин матриці перевезень знайдемо оцінки клітин d ij = (u i + c ij) - v j :
Так як серед оцінок вільних клітин немає нульових, то оптимальний план перевезень єдиний.
Загальні витрати на перевезення
F (X 1) = 2 * 50 + 4 * 40 + 3 * 30 + 1 * 10 + 2 * 50 + 1 * 20 = 480 ден. одиниць
будуть мінімальними при:
x 14 = 50, x 22 = 40, x 33 = 30, х 34 = 10, x 41 = 50, x 43 = 20, решта x ij = 0.
За оптимальному плану перевезень слід перевезти борошна:
зі складу А на четвертий хлібозавод - 50 т;
зі складу У на другий хлібозавод - 40 т;
зі складу З на третій хлібозавод - 30 т;
на четвертий хлібозавод - 10 т;
зі складу Д на перший хлібозавод - 50 т;
на третій хлібозавод - 20 т.
Задача 4
У таблиці наведені річні дані про трудомісткість виробництва I т цементу (нормо-змін) (N-остання цифра залікової книжки студента):
Завдання 1. Згладити часовий ряд методом простий ковзної середньої, вибравши довжину інтервалу згладжування m = 3; результати відобразити на графіку.
Завдання 2. Визначити наявність тренда в часі ряду методом Фостера - Стюарт. Табличні значення статистики Стьюдента t a прийняти рівними при рівні значимості a = 0.05 t a = 2,23, а при a = 0,30 - t a = 1,09; інші необхідні табличні дані наведені у таблиці 4.5 підручника на с.153 (опис методу Фостера - Стюарт см . підручник с. 151 - 153).
Завдання 3. Для вихідного часового ряду побудувати лінійну трендовую модель
Завдання 4. Оцінити адекватність побудованої моделі на основі дослідження
а) близькості математичного очікування залишкової компоненти (ряду залишків) нулю; критичні значення r-критерію прийняти рівним того числа, як вказано в завданні 2;
б) випадковості відхилень залишкової компоненти за критерієм піків (поворотних точок); Розрахунки виконати на основі співвідношення 5.9. підручника на с. 200;
в) незалежності рівнів ряду залишків (відсутність автокореляції) на основі критерію Дарбіна - Уотсона (див. підручник с. 203 - 204), використовуючи як критичних значень d l = 1.08 і d 2 = 1,36; якщо критерій Дарбіна - Уотсона відповіді не дає, дослідження незалежності провести по першому коефіцієнту автокореляції:
де e i - рівні залишкової компоненти;
Модуль першого коефіцієнта автокореляції порівняти з критичним рівнем цього коефіцієнта, значення якого прийняти рівним 0,36;
г) нормальності закону розподілу рівнів залишкової компоненти на основі RS-критерію;
В якості критичних значень прийняти інтервал від 2,7 до 3,7 (див. підручник, стор 201 - 202).
Завдання 5. Оцінити точність побудованої трендової лінійної моделі, використовуючи показники середнього квадратичного відхилення від лінії тренду (формула (5,17) підручника на с. 210, k = 1) і середньої відносної помилки апроксимації (формула (5.14) підручника на с. 204).
Завдання 6. Побудувати точковий та інтервальний прогноз трудомісткості виробництва 1 т цементу на два кроки вперед (формула (5.18) підручника на с. 210). Результати моделювання та прогнозування відобразити на графіку.
Всі проміжні результати обчислень представити у таблицях, обчислення провести з двома десятковими знаками в дробовій частині.
Варіант 2. Умови при N = 2
Рішення.
Завдання 1. Згладжування низки Y (t) зробимо по простий ковзної середньої
Результати в таблиці 1.
Завдання 2.
Етап 1. Будуємо дві числові послідовності k t і l t
Етап 2. Знаходимо величини
Етап 3. Для n = 10 випишемо табличні значення m = 3,858; s 1 = 1,288; s 2 = 1,964.
Обчислюємо
Етап 4.
Так як розрахункові значення t s = 2,44 та t d = 2,55 більше табличного значення t a = 2,23, то в даному часовому ряду присутні тренд і тенденція в дисперсії ряду.
З таблиці 1 видно, що ряд Y (t) має тенденцію до зниження.
Завдання 3. Лінійну трендовую модель шукаємо у вигляді
n = 9.
Складемо розрахункову таблицю 2.
будуть мінімальними при:
x 14 = 50, x 22 = 40, x 33 = 30, х 34 = 10, x 41 = 50, x 43 = 20, решта x ij = 0.
За оптимальному плану перевезень слід перевезти борошна:
зі складу А на четвертий хлібозавод - 50 т;
зі складу У на другий хлібозавод - 40 т;
зі складу З на третій хлібозавод - 30 т;
на четвертий хлібозавод - 10 т;
зі складу Д на перший хлібозавод - 50 т;
на третій хлібозавод - 20 т.
Задача 4
У таблиці наведені річні дані про трудомісткість виробництва I т цементу (нормо-змін) (N-остання цифра залікової книжки студента):
| Поточний номер року (t) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Трудомісткість 1 т цементу (y i) | 7,9 +0, N | 8,3 +0, N | 7,5 +0, N | 6,9 +0, N | 7,2 +0, N | 6,5 +0, N | 5,8 +0, N | 4,9 +0, N | 5,1 +0, N | 4,4 +0, N |
Завдання 2. Визначити наявність тренда в часі ряду методом Фостера - Стюарт. Табличні значення статистики Стьюдента t a прийняти рівними при рівні значимості a = 0.05 t a = 2,23, а при a = 0,30 - t a = 1,09; інші необхідні табличні дані наведені у таблиці 4.5 підручника на с.153 (опис методу Фостера - Стюарт см . підручник с. 151 - 153).
Завдання 3. Для вихідного часового ряду побудувати лінійну трендовую модель
Завдання 4. Оцінити адекватність побудованої моделі на основі дослідження
а) близькості математичного очікування залишкової компоненти (ряду залишків) нулю; критичні значення r-критерію прийняти рівним того числа, як вказано в завданні 2;
б) випадковості відхилень залишкової компоненти за критерієм піків (поворотних точок); Розрахунки виконати на основі співвідношення 5.9. підручника на с. 200;
в) незалежності рівнів ряду залишків (відсутність автокореляції) на основі критерію Дарбіна - Уотсона (див. підручник с. 203 - 204), використовуючи як критичних значень d l = 1.08 і d 2 = 1,36; якщо критерій Дарбіна - Уотсона відповіді не дає, дослідження незалежності провести по першому коефіцієнту автокореляції:
де e i - рівні залишкової компоненти;
Модуль першого коефіцієнта автокореляції порівняти з критичним рівнем цього коефіцієнта, значення якого прийняти рівним 0,36;
г) нормальності закону розподілу рівнів залишкової компоненти на основі RS-критерію;
В якості критичних значень прийняти інтервал від 2,7 до 3,7 (див. підручник, стор 201 - 202).
Завдання 5. Оцінити точність побудованої трендової лінійної моделі, використовуючи показники середнього квадратичного відхилення від лінії тренду (формула (5,17) підручника на с. 210, k = 1) і середньої відносної помилки апроксимації (формула (5.14) підручника на с. 204).
Завдання 6. Побудувати точковий та інтервальний прогноз трудомісткості виробництва 1 т цементу на два кроки вперед (формула (5.18) підручника на с. 210). Результати моделювання та прогнозування відобразити на графіку.
Всі проміжні результати обчислень представити у таблицях, обчислення провести з двома десятковими знаками в дробовій частині.
Варіант 2. Умови при N = 2
| Поточний номер року (t) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Трудомісткість 1 т цементу (y i) | 8,1 | 8,5 | 7,7 | 7,1 | 7,4 | 6,7 | 6,0 | 5,1 | 5,3 | 4,6 |
Завдання 1. Згладжування низки Y (t) зробимо по простий ковзної середньої
Результати в таблиці 1.
| Таблиця 1. | |||
| Згладжування ряду динаміки | |||
| t | Факт Y (t) | Ковзна сума | Ковзаюче середнє |
| 1 | 8,1 | - | - |
| 2 | 8,5 | 24,3 | 8,10 |
| 3 | 7,7 | 23,3 | 7,77 |
| 4 | 7,1 | 22,2 | 7,40 |
| 5 | 7,4 | 21,2 | 7,07 |
| 6 | 6,7 | 20,1 | 6,70 |
| 7 | 6,0 | 17,8 | 5,93 |
| 8 | 5,1 | 16,4 | 5,47 |
| 9 | 5,3 | 15,0 | 5,00 |
| 10 | 4,6 | - | - |
Завдання 2.
Етап 1. Будуємо дві числові послідовності k t і l t
| t | k t | l t |
| 2 | 1 | 0 |
| 3 | 0 | 1 |
| 4 | 0 | 1 |
| 5 | 0 | 0 |
| 6 | 0 | 1 |
| 7 | 0 | 1 |
| 8 | 0 | 1 |
| 9 | 0 | 0 |
| 10 | 0 | 1 |
Етап 3. Для n = 10 випишемо табличні значення m = 3,858; s 1 = 1,288; s 2 = 1,964.
Обчислюємо
Етап 4.
Так як розрахункові значення t s = 2,44 та t d = 2,55 більше табличного значення t a = 2,23, то в даному часовому ряду присутні тренд і тенденція в дисперсії ряду.
З таблиці 1 видно, що ряд Y (t) має тенденцію до зниження.
Завдання 3. Лінійну трендовую модель шукаємо у вигляді
n = 9.
Складемо розрахункову таблицю 2.
| Таблиця 2 | |||
| t | y | t 2 | yt |
| 1 | 8,1 | 1 | 8,1 |
| 2 | 8,5 | 4 | 17,0 |
| 3 | 7,7 | 9 | 23,1 |
| 4 | 7,1 | 16 | 28,4 |
| 5 | 7,4 | 25 | 37,0 |
| 6 | 6,7 | 36 | 40,2 |
| 7 | 6 | 49 | 42,0 |
| 8 | 5,1 | 64 | 40,8 |
| 9 | 5,3 | 81 | 47,7 |
| 10 | 4,6 | 100 | 46,0 |
| 55 | 66,5 | 385 | 330,3 |
Отримали 1,5 а 1 = -0,64, а 1 = -0,64:1,5 = -0,43; а 0 = 6,65 - 5,5 а 1 = 6,65 - 5,5 × (- 0,43) = 9,02.
Отримали трендовую модель:
Завдання 4.
Оцінимо якість моделі. Для цього знайдемо розрахункові значення Y p (t), підставляючи t = 1, ..., 10 в трендовую модель, знайдемо відхилення розрахункових значень від вихідних E (t) = Y (t) - Y p (t). Для дослідження моделі на адекватність складемо таблицю 3.
| Таблиця 3. | |||||||||
| Розрахункові величини для оцінки адекватності моделі | |||||||||
| t | Y (t) | Y р (t) | E (t) | k | E (t) 2 | E (t)-E (t-1) | (E (t)-E (t-1)) 2 | E (t) * E (t-1) | IE (t) I: Y (t) * 100 |
| 1 | 8,1 | 8,59 | -0,49 | 0,24 | 5,988 | ||||
| 2 | 8,5 | 8,16 | 0,34 | 1 | 0,12 | 0,83 | 0,69 | -0,17 | 4,059 |
| 3 | 7,7 | 7,73 | -0,03 | 0 | 0,00 | -0,37 | 0,14 | -0,01 | 0,325 |
| 4 | 7,1 | 7,30 | -0,20 | 1 | 0,04 | -0,17 | 0,03 | 0,00 | 2,746 |
| 5 | 7,4 | 6,87 | 0,54 | 1 | 0,29 | 0,73 | 0,53 | -0,10 | 7,23 |
| 6 | 6,7 | 6,44 | 0,27 | 0 | 0,07 | -0,27 | 0,07 | 0,14 | 3,955 |
| 7 | 6 | 6,01 | -0,01 | 0 | 0,00 | -0,27 | 0,07 | 0,00 | 0,083 |
| 8 | 5,1 | 5,58 | -0,48 | 1 | 0,23 | -0,47 | 0,22 | 0,00 | 9,314 |
| 9 | 5,3 | 5,15 | 0,15 | 1 | 0,02 | 0,63 | 0,40 | -0,07 | 2,925 |
| 10 | 4,6 | 4,72 | -0,12 | 0,01 | -0,27 | 0,07 | -0,02 | 2,500 | |
| S | 66,5 | 66,5 | 0,00 | 5 | 1,01 | 2,22 | -0,22 | 39,125 | |
Сума залишків дорівнює 0. Розрахункове значення критерію Стьюдента
Критичне значення t a = 2,23 більше розрахункового, отже, математичне сподівання залишкової компоненти дорівнює нулю.
б) Перевірка залишків E (t) на випадковість.
Критична кількість поворотних точок для n = 10 дорівнює 2.
Для даного ряду кількість таких точок k = 5. Це більше 2, тому залишки E (t) випадкові.
в) Перевірка залишків E (t) на незалежність.
Незалежність (відсутність автокореляції) перевіримо, використовуючи критерій Дарбіна-Уотсона:
d> 2, перетворимо d '= 4 - d = 4 - 2,20 = 1,80, отримали 1,36 <d' = 1,80 <2. Це означає, що залишки не залежні.
г) Перевірка залишків на відповідність нормальному закону розподілу.
Використовується RS - критерій:
RS т = 2,7 - 3,7; так як розрахункове значення RS - критерію RS розр = 2,87 потрапляє всередину інтервалу від 2,7 до 3,7, то залишки E (t) підпорядковуються за нормальним законом розподілу.
Висновок: так як виконуються всі умови адекватності, то модель є повністю адекватною реальному ряду економічної динаміки. Її можна використовувати для побудови прогнозних оцінок.
Завдання 5.
Визначимо точність моделі.
Середнє квадратичне відхилення від лінії тренду
Середня відносна помилка
Так як 3,91% <5%, то точність моделі висока.
Завдання 6.
Точковий прогноз для Y отримаємо, підставляючи в трендовую модель t = 11 і t = 12.
Для інтервального прогнозу знайдемо ширину інтервалу
Для числа ступенів свободи k = n -2 = 10 - 2 = 8 і рівня значущості a = 0,05 t a = 2,31.
Межі інтервалів прогнозу: НГ = Y n + k - U (k), ВГ = Y n + k + U (k).
Результати прогнозу представлені таблицею 4.
Таблиця 4.
Точковий та інтервальний прогноз
| t | U (k) | Y n + kp | НГ | ВГ |
| 10 | 1,00 | 4,29 | 3,29 | 5,28 |
| 11 | 1,04 | 3,86 | 2,81 | 4,90 |
Завдання 5.
У таблиці представлені перший (х ij) і другий (Y i) квадранти схеми міжгалузевого балансу виробництва і розподілу продукції для трехотраслевой економічної системи (N - остання цифра залікової книжки студента):
| Споживають галузі | Виробляють галузі | Кінцева продукція | ||
| 1 | 2 | 3 | ||
| 1 | 200 +10 N | 50 +10 N | 300 +10 N | 200 +10 N |
| 2 | 150 +10 N | 250 +10 N | 0 +10 N | 100 +10 N |
| 3 | 230 +10 N | 50 +10 N | 150 +10 N | 300 +10 N |
Завдання 2. Розрахувати матрицю коефіцієнтів прямих витрат А = (a ij) (формула (6.4) підручника на с. 238).
Завдання 3. Знайти матрицю коефіцієнтів повних витрат B = (b ij), використовуючи формулу (6.16) підручника на с. 244.
Завдання 4. Розрахувати обсяги умовно чистої продукції галузей Zj, використовуючи формулу (6.1) підручника на с. 236.
Завдання 5. Представити в таблиці повну схему міжгалузевого балансу (відповідно до принципової схемою МОБ; табл. 6.1 підручника на с.234).
Варіант 3. Умови при N = 2.
| Таблиця 1. | ||||
| Споживають галузі | Виробляють галузі | Кінцева продукція | ||
| 1 | 2 | 3 | ||
| 1 | 220 | 70 | 320 | 220 |
| 2 | 170 | 270 | 20 | 120 |
| 3 | 250 | 70 | 170 | 320 |
Завдання 1.
Обсяг валової продукції знаходимо за формулою
Результати в таблиці 2.
| Таблиця 2. | |||||
| Споживають галузі | Виробляють галузі | Кінцева продукція | Валовий продукт | ||
| 1 | 2 | 3 | |||
| 1 | 220 | 70 | 320 | 220 | 830 |
| 2 | 170 | 270 | 20 | 120 | 580 |
| 3 | 250 | 70 | 170 | 320 | 810 |
Коефіцієнти матриці прямих витрат знаходимо за формулою
Отримуємо матрицю А.
| 0,27 | 0,12 | 0,40 | |
| А = | 0,20 | 0,47 | 0,02 |
| 0,30 | 0,12 | 0,21 |
| 0,73 | -0,12 | -0,40 | |
| Е - А = | -0,20 | 0,53 | -0,02 |
| -0,30 | -0,12 | 0,79 |
1,96 | 0,67 | 1,00 | |
| В = (Е - А) -1 = | 0,79 | 2,15 | 0,46 |
| 0,87 | 0,58 | 1,72 |
Результати в таблиці 3.
| Таблиця 3. | |||||
| Споживають галузі | Виробляють галузі | Кінцева продукція | Валовий продукт | ||
| 1 | 2 | 3 | |||
| 1 | 220 | 70 | 320 | 220 | 830 |
| 2 | 170 | 270 | 20 | 120 | 580 |
| 3 | 250 | 70 | 170 | 320 | 810 |
| Умовно чиста продукція | 190 | 170 | 300 | ||
| Таблиця 4. | |||||
| Споживають галузі | Виробляють галузі | Кінцева продукція | Валовий продукт | ||
| 1 | 2 | 3 | |||
| 1 | 220 | 70 | 320 | 220 | 830 |
| 2 | 170 | 270 | 20 | 120 | 580 |
| 3 | 250 | 70 | 170 | 320 | 810 |
| Умовно чиста продукція | 190 | 170 | 300 | 660 | |
| Валовий продукт | 830 | 580 | 810 | 2220 | |
Література
1. Економіко-математичні методи і прикладні моделі: Учеб. посібник для вузів / В. В. Федосєєв, А. Н. Гармаш, Д.М. Дайітбегов та ін; Під ред. В.В. Федосєєва. М.: ЮНИТИ, 1999.
2. Економіко-математичні методи і прикладні моделі. Методичні вказівки з вивчення дисципліни та завдання до контрольної роботи для студентів III курсу спеціальностей 061000 «Державне та муніципальне управління», 061100 «Менеджмент організації», 061500 «Маркетинг». - М.: ХТРЕІУ, 2002