ЗМІСТ
ВСТУП
ЗАВДАННЯ
ПІДГОТОВКА ПЛАНУ ПРОВЕДЕННЯ Однофакторний ЕКСПЕРИМЕНТУ
ПЛАН ЕКСПЕРИМЕНТУ І Результати дослідів
РІВНЯННЯ регресії
Результати дослідів в графічному вигляді
ПЕРЕВІРКА АДЕКВАТНОСТІ І ПРАЦЕЗДАТНОСТІ МОДЕЛІ
ВИСНОВОК
ЛІТЕРАТУРА
Сучасний етап наукових досліджень характеризується тим, що поряд із класичним натурним експериментом все ширше застосовується обчислювальний експеримент, проведений на математичній моделі з допомогою ЕОМ. Проведення обчислювального експерименту значно дешевше і мобільніші, ніж проведення аналогічного натурного, і в ряді випадків обчислювальний експеримент є єдиним можливим інструментом дослідника.
Математичний апарат теорії планування й обробки результатів експериментів повною мірою може бути застосований як до натурних, так і до обчислювальних експериментів. У даній контрольно-курсової роботі під проведеним експериментом будемо розуміти експеримент на математичній моделі, виконаний за допомогою ЕОМ.
Основна задача теорії планування й обробки результатів експериментів - це побудова статистичної моделі досліджуваного процесу у вигляді Y = f (X 1, X 2, ... X k), де X - фактори, Y - функція відгуку. Отриману функцію відгуку можна використовувати для оптимізації досліджуваних процесів, тобто визначати значення факторів, при яких явище чи процес буде протікати найбільш ефективно.
Об'єкт дослідження - одноциліндровий чотиритактний дизельний двигун ТМЗ-450Д.
Предмет дослідження - Процес функціонування двигуна.
Мета дослідження - аналіз впливу одного з параметрів двигуна на показники його роботи та отримання відповідної функціональної залежності
Область планування фактора X: X min = 0,012 м, X max = 0,055 м.
План проведення експерименту:
№ досвіду
x j
1
-1
2
-0,8
3
-0,6
4
-0,4
5
-0,2
6
0
7
0,2
8
0,4
9
0,6
10
0,8
11
Використовуючи наведені вихідні дані і програму розрахунку функціонування двигуна, проаналізувати вплив радіусу кривошипа (X) на величину максимальної температури (Y) робочого тіла в циліндрі двигуна. Отримати функціональні залежності між зазначеними величинами.
Використовуючи зазначений у завданні план проведення експерименту в кодовому вигляді, а також область планування фактора Х (Х min, Х max), підготуємо план проведення даного однофакторного експерименту.
; ;
.
де - Інтервал (крок) варіювання фактора;
- Натуральне значення основного рівня фактора;
- Кодоване значення фактора x;
- Натуральне значення фактора в j-му досвіді, де j = 1, 2, ..., N; N - число дослідів.
У подальших розрахунках будемо використовувати тільки натуральні значення факторів і функції відгуку.
Використовуючи видану викладачем програму розрахунку (математичну модель) проведемо на ЕОМ необхідну кількість дослідів N. Отримані результати представимо у вигляді таблиці 1.
Табл. 1
X j
Y j
0,012
3601,8348
0,0163
2712,4310
0,0206
2195,4343
0,0249
1855,3637
0,0292
1626,8644
0,0335
1461,2450
0,0378
1339,577
0,0421
1250,5135
0,0464
1173,9877
0,0507
1126,4606
0,055
1092,5573
Отримаємо функціональну залежність Y = f (X) (рівняння регресії) за допомогою методу найменших квадратів (МНК). Як апроксимуючих функцій використовувати лінійну (Y = a 0 + a 1 X) і квадратичну залежності (Y = a 0 + a 1 X + a 2 X 2). За допомогою МНК значення a 0, a 1 і a 2 знайдемо з умови мінімізації суми квадратів відхилень обмірюваних значень відгуку Y j від одержуваних за допомогою регресійної моделі, тобто шляхом мінімізації суми:
Проведемо мінімізацію суми квадратів за допомогою диференціального числення, шляхом прирівнювання до 0 перших приватних похідних по a 0, a 1 і a 2.
Розглянемо реалізацію методу найменших квадратів стосовно до рівняння виду Y = a 0 + a 1 X. Отримаємо:
;
Виконавши ряд перетворень, отримаємо систему нормальних рівнянь методу найменших квадратів:
Вирішуючи цю систему, знайдемо коефіцієнти a 1 і a 0:
; .
Для квадратичної залежності Y = a 0 + a 1 X + a 2 X 2 система нормальних рівнянь має вигляд:
Обчислимо з N дослідів необхідні суми і дані представимо у вигляді таблиці 2.
Табл. 2
X j 2
X j Y j
X j 2 Y j
X j 3
X j 4
0,000144
43,222017
0,5186642
0,0000017
0,000000020736
0,0002656
44,212625
0,7204216
0,0000043
0,0000000705433
0,0004243
45,225946
0,9315227
0,0000087
0,0000001800304
0,00062
46,198556
1,1503254
0,0000154
0,0000003844
0,0008526
47,50444
1,3870645
0,0000248
0,0000007269267
0,0011222
48,951707
1,6398091
0,0000375
0,0000012593328
0,0014288
50,63601
1,9139876
0,000054
0,0000020414694
0,0017724
52,646618
2,2164101
0,0000746
0,0000031414017
0,0021529
54,473029
2,52747781
0,0000998
0,0000046349784
0,0025704
57,111552
2,8954543
0,0001303
0,0000066069561
0,003025
60,090651
3,3049858
0,0001663
0,000009150625
Σ
0,3685
19436,26 6
0,0143782
550,27311
19,206122
0,0006174
0,0000282173998
Для рівняння регресії виду Y = a 0 + a 1 X знайдемо коефіцієнти a 1 і a 0:
Для рівняння регресії виду Y = a 0 + a 1 X + a 2 X 2 знайдемо коефіцієнти a 1, a 2 і a 0:
Вирішимо систему нормальних рівнянь способом Крамера:
Знайдемо визначник (det) матриці:
; ; .
Побудуємо графіки функцій Y = a 0 + a 1 X, Y = a 0 + a 1 X + a 2 X 2:
X
Y = a o + a 1 X
2833,143
2619,9
2406,658
2193,415
1980,172
1766,929
1553,686
1340,443
1127,2
913,9573
700,7144
Y = a 0 + a 1 X + a 2 X 2
3215,923
2748,207
2330,714
1963,444
1646,397
1379,574
1162,973
996,5962
880,4424
814,5117
798,8043
Для перевірки адекватності моделі визначимо абсолютні D Y j і відносні похибки в кожному з дослідів.
D Y j = - Y j; ,
де - Розрахункове значення функції (відгуку) в j-ій точці.
Дані представимо у вигляді таблиці 3.
Табл. 3
j
Y = a 0 + a 1 X
D Y j
-768,6918
-0,21342
-385,9118
-0,10714
-92,531
-0,03411
35,776
0,01319
211,2237
0,09621
135,2797
0,06162
338,0513
0,1822
108,0803
0,05825
353,3076
0,21717
19,5326
305,684
0,20919
-81,671
-0,05589
214,109
0,15983
-176,604
-0,13183
89,9295
0,07191
-253,9173
-0,20305
-46,7877
-0,0398
-293,5453
-0,25004
-212,5033
-0,1886
-311,9489
-0,27693
-391,8429
-0,35865
-293,753
-0,26887
Переглядаючи значення цих похибок, дослідник може легко зрозуміти, яка похибка передбачення в точках, де проводилися досліди, влаштовують його чи ні подібні помилки. Таким чином, шляхом зіставлення фактичних значень відгуку з передбаченими за рівнянням регресії можна отримати досить надійне свідоцтво про точностних характеристики моделі.
За допомогою аналізу працездатності регресійної моделі з'ясуємо практичну можливість її використання для вирішення якої-небудь задачі. Це аналіз будемо проводити, обчислюючи коефіцієнт детермінації (квадрат кореляційного відношення). Коефіцієнт детермінації R 2 обчислюється за формулою:
де - Загальне середнє значення функції відгуку.
Обчислимо з N дослідів необхідні суми і дані представимо у вигляді таблиці 4.
Табл. 4
3366863,62479
1136803,18835
1952571,23764
893965,95743
727552,24249
853898,13319
183613,13271
409247,73017
312848,71152
7819,94095
181886,66602
37616,467
19619,28834
45470,75597
14328,99238
93445,31841
0,00002
147047,20405
182633,3815
45474,39816
359786,00774
266689,37885
181893,9504
589419,20142
351584,44898
409258,65674
602866,06259
410205,24101
727568,0054
801506,847
454782,94891
1136822,67874
759273,70255
6231222,66188
5001978,27246
5732724,84892
Для рівняння регресії Y = a 0 + a 1 X:
Для рівняння регресії Y = a 0 + a 1 X + a 2 X 2:
Т.к. в рівняннях регресії обидва рівняння прийнято вважати працездатними. У рівнянні регресії виду Y = a 0 + a 1 X + a 2 X 2
, А в рівнянні регресії виду Y = a 0 + a 1 X . З цього випливає, що в рівнянні виду Y = a 0 + a 1 X + a 2 X 2 знайдене значення регресії краще пояснює варіацію в значеннях Y (N>> (d +1)), ніж в рівнянні виду Y = a 0 + a 1 X.
У процесі виконання контрольно-курсової роботи ми навчилися:
- Розробляти план проведення обчислювального експерименту;
- Проводити обчислювальний експеримент на ЕОМ і накопичувати статистичну інформацію;
- Обробляти отримані статистичні дані за допомогою регресійного аналізу та отримувати формульні залежності, що зв'язують значення вихідної змінної (відгуку) об'єкта з вхідними змінними (факторами);
- Графічно представляти і аналізувати отримані результати (перевіряти адекватність і працездатність регресійної моделі);
- Обчислювати коефіцієнт детермінації (квадрат кореляційного відносини) і аналізувати отримані результати.
1. Гурман В.Є. Теорія ймовірностей і математична статистика. - М.: Вища школа, 1972.
2.Красовскій Г.І., Филаретов Г.Ф. Планування експерименту. - Мінськ, 1982.
3.Румшінскій Л.З. Математична обробка результатів експерименту. Довідкове керівництво. - М.: Наука, 1971.